CN107391788B - 运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，针对传统的离散单元法计算连续介质问题的局限性，基于连续介质力学理论，以能量等效为原则,构建了两种三维离散实体离散元模型，通过增加颗粒单元之间的接触弹簧，体现了材料泊松比效应，并推导出了细观模型参数（弹簧刚度）和宏观弹性常数（弹性模量和泊松比）之间的解析关系，对在PFC软件中，能够模拟大泊松比的连续介质是一个很大的突破。另外在颗粒单元间的接触本构方程中增加了塑性部分。本发明能够有效地实现采用离散实体单元法对连续介质弹塑性问题的模拟计算分析，适用于结构或构件的大变形、损伤断裂和倒塌破坏等非线性力学问题。

Description

运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法
技术领域
本发明涉及一种三维离散元计算模拟方法，具体涉及采用一种模拟连续介质的三维离散实体单元法，用于解决结构或构件的大变形、损伤断裂和倒塌破坏等非线性力学问题，属于有限元分析技术领域。
背景技术
传统有限元方法在模拟钢结构，例如装配式节点中会存在一些难点：如螺栓和节点的面面接触需要设置接触对、在实际加载的过程中螺栓处容易产生应力集中、模拟时网格划分需加密、杆件大变形时导致不收敛以及断裂等。因此需寻找新的数值分析方法。
由于离散元法不要求满足位移连续和变形协调条件，所以对于结构或构件的大变形、损伤断裂和倒塌破坏等非线性力学问题，离散元法具有明显的算法优越性。而传统的离散元法计算连续介质问题时计算精度远远不如有限元法，并且反映单元作用力关系的参数往往需要通过实验才能确定，严重制约了离散元法的应用。因此，迫切需要一种新的离散元计算方法能有效地模拟连续介质力学问题。
发明内容
技术问题：针对传统离散单元方法在模拟连续介质的一些问题，提供了一种模拟连续介质的三维离散实体单元法，基于连续介质力学理论，以能量等效为原则，构建了两种三维离散实体离散元模型，体现了材料泊松比效应，并推导出了细观模型参数(弹簧刚度)和宏观弹性常数(弹性模量和泊松比)之间的解析关系，对在PFC软件中，能够模拟大泊松比的连续介质是一个很大的突破。另外在颗粒单元间的接触本构方程中增加了塑性部分，从而有效地实现采用离散实体单元法对连续介质弹塑性力学问题的模拟计算分析。
技术方案：本发明提出的模拟连续介质的三维离散实体单元法，包括以下具体步骤：
(1)对结构或构件进行离散实体建模
采用体心立方模型(简称BCC模型——Body Centered Cubic)或面心立方模型(简称FCC模型——Face Centered Cubic)对结构或构件进行建模，建立模型的颗粒单元为规则排列且单元尺寸相同，材料的变形完全由单元的接触弹簧来存储和表示，输入模型参数以及外力信息，并确定边界条件；
(2)t＝0时刻，对各颗粒单元的内力、速度等赋初值；
(3)对所有单元：计算t(t≥0)时刻的外力及阻尼力，应用牛顿第二定律求解运动控制方程，得到t+Δt时刻的颗粒单元的位置与速度；
任取一个单元α，设有n个单元与其相邻，作用在单元α上的外力为Fext，外力矩为Mext。根据牛顿第二定律，其运动控制方程为
Figure BDA0001317421390000021
其中，m，J分别为单元α的质量和转动惯量；r，ω分别为单元α的位置矢量和角速度矢量；
Figure BDA0001317421390000022
分别为相邻单元j对单元α产生的接触力和接触力矩；t为时间；
(4)计算位移增量ΔU，并计算试探接触力增量
Figure BDA0001317421390000023
从而形成t+Δt的接触力S，根据屈服准则判断当前的颗粒单元的弹塑性状态；
对于颗粒-颗粒接触，接触面的单位法向量可定义为：
Figure BDA0001317421390000024
其中，
Figure BDA0001317421390000025
代表颗粒的形心位置矢量；ni代表颗粒单元之间的接触法向单位矢量；d代表颗粒单元A、B球心之间的距离，其公式为：
Figure BDA0001317421390000026
球体颗粒-球体颗粒接触时，法向的相对接触位移Un为：
Un＝R[A]+R[B]-d
(4)
其中，R[A]、R[B]分别为颗粒单元A、B的半径；
(5)根据弹塑性接触本构方程，计算Δt时步内颗粒单元的接触力增量ΔF，并更新当前时刻的颗粒单元间的接触力；
法向接触力矢量Fi n为：
Fi n＝KnUnni (5)
而切向接触力矢量Fi s以增量的形式进行计算。球体颗粒之间的初始切向接触力为零，随后由于颗粒之间出现了切向位移增量，从而产生附加接触力，这些附加的接触力经过叠加运算，不断的更新球体之间的接触力的大小，即：
Fi s←Fi s+ΔFi s (6)
切向接触力增量矢量为：
ΔFi s＝-KsΔUis (7)
其中，Kn、Ks分别为接触的法向和切向刚度，ΔUi s为切向的相对位移增量；
(6)根据平衡方程，计算各颗粒单元的内力、阻尼力以及外力，为下一个t+Δt时刻的计算作准备，如此循环往复，直至模型达到稳定状态；
具体地，所述的BCC模型由八个处于立方体角上的颗粒和一个处于立方体中心的颗粒构成，所述的颗粒半径r均相等，所述的角上八个颗粒与中心颗粒相切，并通过弹簧系统(包括一个法向弹簧和两个切向弹簧)连接。所述的FCC模型由分布在立方体的八个角上和六个面中心的颗粒构成，所述的颗粒半径r均相等，所述的面中心的颗粒与该面四个角上的颗粒相切，中心颗粒与周围的12个颗粒通过弹簧系统(包括一个法向弹簧和两个切向弹簧)连接；
所述的BCC模型的弹簧系统，其特征在于：基于能量等效原则，推导出了细观模型参数(弹簧刚度)和宏观弹性常数(弹性模量和泊松比)之间的解析关系：
法向弹簧刚度：
Figure BDA0001317421390000031
切向弹簧刚度：
Figure BDA0001317421390000032
具体地，所述的FCC模型的弹簧系统，基于能量等效原则，推导出了细观模型参数(弹簧刚度)和宏观弹性常数(弹性模量和泊松比)之间的解析关系：
法向弹簧刚度：
Figure BDA0001317421390000033
切向弹簧刚度：
Figure BDA0001317421390000034
具体地，屈服法则是根据第四强度理论，只要材料的畸变能密度达到材料限值，材料便发生屈服，因此离散实体单元法的屈服方程可表示为：
Figure BDA0001317421390000035
其中，
Figure BDA0001317421390000036
是单位体积的剪切变形能，
Figure BDA0001317421390000037
是材料的屈服应力，G为剪切模量；
具体地，当弹簧接触内力满足屈服条件时，应建立弹塑性接触本构方程。接触位移包括弹性和塑性两部分，需建立离散实体单元法流动准则，进而推导弹塑性接触本构方程：
Figure BDA0001317421390000041
其中，ΔFn、ΔFs、ΔFt分别为法向和切向接触力，ΔUn、ΔUs、ΔUt分别为法向和切向位移增量，dλ为比例系数，Ke为弹性接触刚度矩阵。
有益效果：在离散实体单元法中，求解时需遍历结构中所有单元，并计算每个单元的接触内力和运动方程式，但无需组集所谓的刚度矩阵和迭代求解，计算流程比较简单清晰。结构越复杂，单元数量就越多，相应的计算量也越大，但只是循环重复计算而已，并不会给分析带来实质性困难。计算效率与传统方法相比，在大型结构和复杂力学行为的模拟中离散实体单元法将表现出更大的优势。
结构的弹塑性行为仅与内力的求解有关，除需采用屈服准则判断单元受力状态、以及采用弹塑性接触本构模型计算单元接触力外，其它的求解流程都不改变。
构建的三维离散实体元模型能够体现泊松比效应，对在PFC3D软件中，能够模拟大泊松比的连续介质是一个突破。
下面结合说明书附图和具体算例对本发明进行进一步的说明，验证了本发明的使用方式和有效性，其具体的数据及内容不在本发明保护范围之内。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为BCC模型；
图3为FCC模型；
图4为受弯矩M作用的悬臂梁示意图；
图5为受不同端弯矩作用的悬臂梁变形图(离散元结果)；
图6为悬臂端的荷载-水平位移曲线；
图7为悬臂端的荷载-竖向位移曲线。
具体实施方式
在线弹性力学中，由于假设结构位移很小，荷载与位移为线性关系，基于变形前位置给出的平衡方程求解值即可满足工程上的精度要求。但当结构大变形时，大变形引起二阶或更高阶效应，荷载与位移为非线性关系，结构刚度变化明显，平衡方程必须建立在变形后的状态下。离散单元法中各单元之间没有变形协调条件的约束，采用动态松弛法求解，单元位置随计算时步的增加而更新，并用于计算下一时步的内力，由此，离散单元法能有效考虑结构大变形引起的高阶效应。
下面用算例验证三维离散元实体模型在模拟大变形构件中的优越性。
算例：如图4所示，一尺寸为1m×1m×10m的悬臂梁左端部固定，悬臂端受弯矩M作用。材料参数为：弹性模量E＝2.06×1011N/m2；泊松比μ＝0.3；密度ρ＝7850kg/m3。本算例考察了悬臂端在弯矩M作用下水平和竖向的位移变化情况。
当悬臂梁受横向端部弯矩M作用时，无因次量纲ML/(EI)与梁变形的关系如表1所示，PFC计算结果如图5所示，可以看出：结构承受静力荷载过程中，随着弯矩的逐渐增加，结构出现大变形和大转角，并且与表1所列的结果相吻合，验证了BCC模型的有效性。
表1悬臂梁端弯矩与变形的关系
Figure BDA0001317421390000051
图6和图7分别为悬臂端的荷载-水平位移曲线和悬臂端的荷载-竖向位移曲线，可见PFC结果与ANSYS结果很好地吻合，三维离散实体单元法在分析结构大变形问题时，不需要修改计算模型，直接可得到准确的几何非线性解，从而验证了本发明的有效性。
以上所述仅为本发明的优选实施方式而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化，在本发明的原理和技术思想的范围内，对这些实施方式进行多种变化、修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1，对结构或构件进行离散实体建模：采用体心立方模型或面心立方模型对结构或构件进行建模，建立模型的颗粒单元为规则排列且单元尺寸相同，材料的变形完全由单元的接触弹簧来存储和表示；
步骤2，t＝0时刻，对各颗粒单元的内力、速度、外力、加速度、位置赋初值；
步骤3，对所有颗粒单元：计算t时刻的外力及阻尼力，其中t≥0；应用牛顿第二定律求解运动控制方程，得到t+Δt时刻的颗粒单元的位置与速度；
步骤4，计算位移增量ΔU，并计算试探接触力增量
Figure FDA0002585668840000013
从而形成t+Δt的接触力F，根据屈服准则判断当前的颗粒单元的弹塑性状态；
步骤5，根据弹塑性接触本构方程，计算Δt时步内颗粒单元的接触力增量ΔF，并更新当前时刻的颗粒单元间的接触力；
步骤6，根据平衡方程，计算各颗粒单元的内力、阻尼力以及外力，为下一个t+2Δt时刻的计算做准备，如此循环往复，直至模型达到稳定状态。
2.根据权利要求书1所述的运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，其特征在于：所述体心立方模型由八个处于立方体角上的颗粒和一个处于立方体中心的颗粒构成，所述的颗粒半径r均相等，所述的角上八个颗粒与中心颗粒相切，并通过弹簧系统连接，所述弹簧系统包括一个法向弹簧和两个切向弹簧；
所述面心立方模型由分布在立方体的八个角上和六个面中心的颗粒构成，所述的颗粒半径r均相等，所述的面中心的颗粒与该面四个角上的颗粒相切，中心颗粒与周围的12个颗粒通过弹簧系统连接。
3.根据权利要求书1所述的运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，其特征在于：所述体心立方模型细观模型参数与宏观弹性常数之间的解析关系为：
法向弹簧刚度：
Figure FDA0002585668840000011
切向弹簧刚度：
Figure FDA0002585668840000012
其中，kn为法向弹簧刚度，ks、kt分别为两个切向弹簧刚度，V为一个颗粒单元所占据的平均体积，r为颗粒半径，E为弹性模量，μ为材料的泊松比；
所述细观模型参数为弹簧刚度，所述宏观弹性常数为弹性模量和泊松比。
4.根据权利要求书1所述的运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，其特征在于：所述面心立方模型细观模型参数与和宏观弹性常数之间的解析关系为：
法向弹簧刚度：
Figure FDA0002585668840000021
切向弹簧刚度：
Figure FDA0002585668840000022
其中，kn为法向弹簧刚度，ks、kt分别为两个切向弹簧刚度，V为一个颗粒单元所占据的平均体积，r为颗粒半径，E为弹性模量，μ为材料的泊松比；
所述细观模型参数为弹簧刚度，所述宏观弹性常数为弹性模量和泊松比。
5.根据权利要求书1所述的运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，其特征在于：根据第四强度理论，离散实体单元法的屈服方程表示为：
Figure FDA0002585668840000023
其中，
Figure FDA0002585668840000024
是单位体积的剪切变形能，
Figure FDA0002585668840000025
是材料的屈服应力，G为剪切模量。
6.根据权利要求书1所述的运用三维离散实体解决连续介质构件非线性力学问题的方法，当弹簧接触内力满足屈服条件时，建立弹塑性接触本构方程；
接触位移包括弹性和塑性两部分，建立离散实体单元法流动准则，推导弹塑性接触本构方程：
Figure FDA0002585668840000026
其中，ΔFn、ΔFs、ΔFt分别为法向和切向接触力增量，Fn、Fs、Ft分别为法向和切向接触力，ΔUn、ΔUs、ΔUt分别为法向和切向位移增量，dλ为比例系数，Ke为弹性接触刚度矩阵，f为离散实体单元法屈服方程。
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