CN107368649A - 一种基于增量Kriging的序列优化试验设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于增量Kriging的序列优化试验设计方法，包括以下步骤：初始试验设计，初始建模，模型验证，优化采样，采用六西格玛更新准则判断Kriging模型的更新准则，增量Kriging建模或DACE建模；依据算法的设计将整个算法分为两个部分：第一部分是增量Kriging的构造问题，对新增采样点后的相关矩阵、目标函数矩阵和回归函数矩阵进行变换、乔里斯因子分解、最大似然估计操作实现Kriging模型的快速构造；第二部分是序列优化试验设计阶段，通过最大化方差寻优和六西格玛更新准则完成新设计点的优化采样，重复上述的操作，从而在满足模型精度的情况下大幅提高Kriging模型的全局建模效率。
Description
技术领域
本发明涉及基于元模型的智能优化、计算机仿真应用领域，尤其涉及的是，一种基于增量Kriging的序列优化试验设计方法。
背景技术
尽管计算机的计算速度不断提高，但对采用有限元分析、计算流体动力学进行复杂机电产品的建模分析仍需要耗费大量的计算时间，无法满足工业界对仿真分析的需求。为应对巨大的挑战，在过去的几十年中，Kriging方法应运而生并在工业界得到了普遍应用。该方法能够在不影响仿真模型精度的情况下最大程度地减少优化迭代过程中源模型的仿真次数，从而降低对计算资源的消耗。
Kriging是一种通过已知点来预测未知观察点的一种插值方法。Kriging方法利用方差的变化来表达空间的变化，而且可以保证有空间分布得到的预测值的误差最小。Kriging方法源于南非的一位矿业工程师Krige；接着法国数学家Georges对Krige的研究进行系统化、理论化分析，提出一种插值和外推理论；进而，该方法又被运用到计算科学，产生Kriging模型；后来，试验设计与Kriging实现过程的结合被称为计算机试验设计与分析(DACE)，广泛应用于采矿业、水文地质学、自然资源、环境科学、遥感、工程分析、机电产品设计的黑箱仿真模型中。但其建模速度有待于提高。
当采样点比较少的时候，Kriging方法的建模是有效地，随着采样点的增加，Kriging的建模时间陡然增加，因此，提出一种增量Kriging的序列优化构造方法，以提高Kriging的建模效率。
一次试验设计构造出的Kriging模型无法满足精度要求。首先，对于大量的仿真估值，一次试验设计非常耗时；其次，当采样点数量较大时，或许导致Kriging模型无法正常使用。与一次试验设计相比，序列试验设计能控制整个采样过程并充分利用先前的模型信息来决定下面需要采样的有效点，所以，它是一种稳定、有效而又精确的试验设计方法，并在许多工程设计中得到了广泛的应用。以上述为背景，所提出的基于增量Kriging的序列优化试验设计方法将改善在建模效率方面存在的缺陷，更好应用于工程仿真中。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种兼顾Kriging建模效率和试验设计连续性的基于增量Kriging的序列优化试验设计方法。
为实现上述目的，本发明所采用了下述的技术方案：一种基于Kriging模型的多点并行全局优化方法，包括步骤如下：
S1，初始试验设计：为保证采样点在空间分布的独立性和均匀性；初始试验设计采用拉丁方超立方空间填充试验设计方法在整个设计空间获取10n+1个初始采样点和相应的仿真或函数估值；
S2，建模以及模型验证：根据初始采样点和相应的估值，通过计算机试验设计与分析方法(DACE)来建立初始Kriging模型；
S3，模型验证：在广义线性回归模型中，从已有样本数据中保留一个采样点，并利用余下的数据点拟合Kriging模型，接着，通过拟合的Kriging模型估计所保留的采样点的误差(或叫残差)，并通过计算误差结果，其中RCVE是留一交叉验证的方差，yi是点xi处的函数值，是使用除点xi之外的所有样本点构造的Kriging模型在点xi处的估计值；需要进行k次Kriging建模的留一交叉验证提供了广义误差的无偏估计，对模型的验证结果具有较好的评估；
S4，优化采样阶段：在优化采样中，新数据点的确定受两个因素影响：一是加入采样点后的样本尽可能均匀分布在整个设计空间；二是新采样点具有较大估计误差；对Kriging的方差进行最大化寻优maximize其中，是点x处的均方误差，R是相关矩阵，σ2是过程方差，r(x)是相关函数向量，F是回归函数矩阵；
S5，采用六西格玛更新准则判断Kriging模型的更新方法；新增采样点对Kriging模型的关联参数θ影响较大；然而，随着新采样点的增加，θ值的轻微变化将对Kriging模型的精度影响很小；为此，在序列优化采样中，通过优化采样得到的方差新采样点(xk+1,yk+1)及其Kriging估值引入更新准则如果该准则得到满足，说明新采样点的加入对Kriging模型中θ的变化有较小影响，采用增量构造法来更新Kriging模型，否则，利用DACE方法重新构造Kriging模型；
S6，增量Kriging构造方法或DACE构造方法：更新准则将从增量Kriging构造方法和DACE中选择合适的Kriging建模方法；DACE是利用所有采用点进行Kriging更新的经典方法，效率较低；
所涉及增量Kriging构造方法的Kriging模型具备如下特征：
定m设计点X＝[x1,...,xm]T，Y＝[y1,...,ym]T，的Kriging模型表示为Y(x)＝Fβ+Z(x)，其中F为已知的回归模型的基函数，β为基函数的系数；Z(x)为具有E[Z(x)]＝0、E[Z(x)Z(w)]＝σ2R(θ,ω,x)的随机过程，σ2为该随机过程的方差，为点x和点ω之间的关联函数，θ为关联参数；根据以上公式，相关矩阵R和回归函数F可表示为：由无偏估计，Fβ≈Y的最小二乘解和过程方差为和矩阵R及和σ2都依赖于θ,基于最大似然估计理论，对-(mlnσ2+ln|R|)/2进行最大化来获得最优θ值；R是一个对称正定矩阵，R的乔里斯因子分解可由R＝CCT获取，C即为乔里斯因子，令 表示为
为阻止R出现病态矩阵的情况,瘦型QR分解可由那么可最终获得
和
所涉及增量Kriging构造方法的增量Kriging模型构造具备如下特征：
当增加了k个采样点，有X＝[X0ΔX]T,Y＝[Y0△Y]T,F＝[F0ΔF]T，矩阵解得：则下三角矩阵C的逆矩阵为相应的和为
对进行瘦型QR分解由于瘦型分解具有唯一性，所以其中，△Q为的QR分解，求解得到：故以此完成增量Kriging模型的构造。
相对于现有技术的有益效果是，采用上述方案，本发明随着优化采用点的增加，增量Kriging构造方法将在大数据拟合的情况下提高Kriging模型的建模效率，而优化采样策略将为Kriging的全局近似建模提供更优的新采样点，从而解决的收敛精度与建模速度之间的均衡问题。
附图说明
图1是基于增量Kriging的序列优化试验设计方法的基本流程图；
图2是方法验证实例-摆线齿轮泵仿真实例的内部流场网格划分；
图3针对摆线齿轮泵仿真实例，新增样本数目与θ范数的关系；
图4针对摆线齿轮泵仿真试函数，基于增量Kriging的序列优化试验设计方法(SIED)和基于标准Kriging的序列优化试验设计方法(SEED)的时间消耗比较图；
图5针对摆线齿轮泵仿真试函数，基于增量Kriging的序列优化试验设计方法(SIED)和基于标准Kriging的序列优化试验设计方法(SEED)的模型精度(均方根误差RSME)比较图。
具体实施方式
为了便于理解本发明，下面结合附图和具体实施例，对本发明进行更详细的说明。附图中给出了本发明的较佳的实施例。但是，本发明可以以许多不同的形式来实现，并不限于本说明书所描述的实施例。相反地，提供这些实施例的目的是使对本发明的公开内容的理解更加透彻全面。
需要说明的是，当元件被称为“固定于”另一个元件，它可以直接在另一个元件上或者也可以存在居中的元件。当一个元件被认为是“连接”另一个元件，它可以是直接连接到另一个元件或者可能同时存在居中元件。本说明书所使用的术语“垂直的”、“水平的”、“左”、“右”以及类似的表述只是为了说明的目的。
除非另有定义，本说明书所使用的所有的技术和科学术语与属于本发明的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。本说明书中在本发明的说明书中所使用的术语只是为了描述具体的实施例的目的，不是用于限制本发明。
如图1-5所示，本发明的一个实施例是，该基于Kriging模型的多点并行全局优化方法，包括步骤如下：
S1，初始试验设计：为保证采样点在空间分布的独立性和均匀性；初始试验设计采用拉丁方超立方空间填充试验设计方法在整个设计空间获取10n+1个初始采样点和相应的仿真或函数估值；
S2，建模以及模型验证：根据初始采样点和相应的估值，通过计算机试验设计与分析方法(DACE)来建立初始Kriging模型；
S3，模型验证：在广义线性回归模型中，从已有样本数据中保留一个采样点，并利用余下的数据点拟合Kriging模型，接着，通过拟合的Kriging模型估计所保留的采样点的误差(或叫残差)，并通过计算误差结果，其中RCVE是留一交叉验证的方差，yi是点xi处的函数值，是使用除点xi之外的所有样本点构造的Kriging模型在点xi处的估计值；需要进行k次Kriging建模的留一交叉验证提供了广义误差的无偏估计，对模型的验证结果具有较好的评估；
S4，优化采样阶段：在优化采样中，新数据点的确定受两个因素影响：一是加入采样点后的样本尽可能均匀分布在整个设计空间；二是新采样点具有较大估计误差；对Kriging的方差进行最大化寻优maximize其中，是点x处的均方误差，R是相关矩阵，σ2是过程方差，r(x)是相关函数向量，F是回归函数矩阵；
S5，采用六西格玛更新准则判断Kriging模型的更新方法；新增采样点对Kriging模型的关联参数θ影响较大；然而，随着新采样点的增加，θ值的轻微变化将对Kriging模型的精度影响很小；为此，在序列优化采样中，通过优化采样得到的方差新采样点(xk+1,yk+1)及其Kriging估值引入更新准则如果该准则得到满足，说明新采样点的加入对Kriging模型中θ的变化有较小影响，采用增量构造法来更新Kriging模型，否则，利用DACE方法重新构造Kriging模型；
S6，增量Kriging构造方法或DACE构造方法：更新准则将从增量Kriging构造方法和DACE中选择合适的Kriging建模方法；DACE是利用所有采用点进行Kriging更新的经典方法，效率较低；
所涉及增量Kriging构造方法的Kriging模型具备如下特征：
定m设计点X＝[x1,...,xm]T，Y＝[y1,...,ym]T，的Kriging模型表示为Y(x)＝Fβ+Z(x)，其中F为已知的回归模型的基函数，β为基函数的系数；Z(x)为具有E[Z(x)]＝0、E[Z(x)Z(w)]＝σ2R(θ,ω,x)的随机过程，σ2为该随机过程的方差，为点x和点ω之间的关联函数，θ为关联参数；根据以上公式，相关矩阵R和回归函数F可表示为：由无偏估计，Fβ≈Y的最小二乘解和过程方差为和矩阵R及和σ2都依赖于θ,基于最大似然估计理论，对-(mlnσ2+ln|R|)/2进行最大化来获得最优θ值；R是一个对称正定矩阵，R的乔里斯因子分解可由R＝CCT获取，C即为乔里斯因子，令 表示为
为阻止R出现病态矩阵的情况,瘦型QR分解可由那么可最终获得
和
所涉及增量Kriging构造方法的增量Kriging模型构造具备如下特征：
当增加了k个采样点，有X＝[X0ΔX]T,Y＝[Y0△Y]T,F＝[F0ΔF]T，矩阵解得：则下三角矩阵C的逆矩阵为相应的和为
对进行瘦型QR分解由于瘦型分解具有唯一性，所以其中，△Q为的QR分解，求解得到：故以此完成增量Kriging模型的构造。
本发明的计算构思为：Kriging模型的全局近似能力强，但采样点的增加将大幅降低建模效率，考虑结合基于增量Kriging的序列优化设计方法以提高全局建模效率，从而解决的收敛精度与建模速度之间的均衡问题。依据算法的设计将整个算法分为两个部分：第一部分是增量Kriging的构造问题，在这一阶段对新增采样点后的相关矩阵、目标函数矩阵和回归函数矩阵进行变换、乔里斯因子分解、最大似然估计操作实现Kriging模型的快速构造；第二个部分是序列优化试验设计阶段，通过最大化方差寻优和六西格玛更新准则完成新设计点的优化采样，重复上述的操作，从而在满足模型精度的情况下大幅提高Kriging模型的全局建模效率。
本发明在优化采样阶段，采用一种有效的全局优化方法DIRECT进行寻优采样。当方差满足情况下，将终止DIRECT算法。上述的优化采样策略有如下两个优点：随着优化采用点的增加，增量Kriging构造方法将在大数据拟合的情况下提高Kriging模型的建模效率，而优化采样策略将为Kriging的全局近似建模提供更优的新采样点，从而解决的收敛精度与建模速度之间的均衡问题。
需要说明的是，上述各技术特征继续相互组合，形成未在上面列举的各种实施例，均视为本发明说明书记载的范围；并且，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。
Claims (1)
1.一种基于Kriging模型的多点并行全局优化方法，其特征在于，包括步骤如下：
S1，初始试验设计：为保证采样点在空间分布的独立性和均匀性；初始试验设计采用拉丁方超立方空间填充试验设计方法在整个设计空间获取10n+1个初始采样点和相应的仿真或函数估值；
S2，建模以及模型验证：根据初始采样点和相应的估值，通过计算机试验设计与分析方法(DACE)来建立初始Kriging模型；
S3，模型验证：在广义线性回归模型中，从已有样本数据中保留一个采样点，并利用余下的数据点拟合Kriging模型，接着，通过拟合的Kriging模型估计所保留的采样点的误差(或叫残差)，并通过计算误差结果，其中RCVE是留一交叉验证的方差，yi是点xi处的函数值，是使用除点xi之外的所有样本点构造的Kriging模型在点xi处的估计值；需要进行k次Kriging建模的留一交叉验证提供了广义误差的无偏估计，对模型的验证结果具有较好的评估；
S4，优化采样阶段：在优化采样中，新数据点的确定受两个因素影响：一是加入采样点后的样本尽可能均匀分布在整个设计空间；二是新采样点具有较大估计误差；对Kriging的方差进行最大化寻优maximize其中，是点x处的均方误差，R是相关矩阵，σ2是过程方差，r(x)是相关函数向量，F是回归函数矩阵；
S5，采用六西格玛更新准则判断Kriging模型的更新方法；新增采样点对Kriging模型的关联参数θ影响较大；然而，随着新采样点的增加，θ值的轻微变化将对Kriging模型的精度影响很小；为此，在序列优化采样中，通过优化采样得到的方差新采样点(xk+1,yk+1)及其Kriging估值引入更新准则如果该准则得到满足，说明新采样点的加入对Kriging模型中θ的变化有较小影响，采用增量构造法来更新Kriging模型，否则，利用DACE方法重新构造Kriging模型；
S6，增量Kriging构造方法或DACE构造方法：更新准则将从增量Kriging构造方法和DACE中选择合适的Kriging建模方法；DACE是利用所有采用点进行Kriging更新的经典方法，效率较低；
所涉及增量Kriging构造方法的Kriging模型具备如下特征：
定m设计点X＝[x1,...,xm]T，Y＝[y1,...,ym]T，的Kriging模型表示为Y(x)＝Fβ+Z(x)，其中F为已知的回归模型的基函数，β为基函数的系数；Z(x)为具有E[Z(x)]＝0、E[Z(x)Z(w)]＝σ2R(θ,ω,x)的随机过程，σ2为该随机过程的方差，为点x和点ω之间的关联函数，θ为关联参数；根据以上公式，相关矩阵R和回归函数F可表示为：由无偏估计，Fβ≈Y的最小二乘解和过程方差为和矩阵R及和σ2都依赖于θ,基于最大似然估计理论，对-(mlnσ2+ln|R|)/2进行最大化来获得最优θ值；R是一个对称正定矩阵，R的乔里斯因子分解可由R＝CCT获取，C即为乔里斯因子，令 表示为
为阻止R出现病态矩阵的情况,瘦型QR分解可由那么可最终获得
和
所涉及增量Kriging构造方法的增量Kriging模型构造具备如下特征：
当增加了k个采样点，有X＝[X0ΔX]T,Y＝[Y0△Y]T,F＝[F0ΔF]T，矩阵解得：则下三角矩阵C的逆矩阵为相应的和为
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| PB01 | Publication | ||
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| WW01 | Invention patent application withdrawn after publication | ||
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Application publication date: 20171121 |