CN107357951A - 基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法 - Google Patents
基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明提出一种基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法，解决了车桥耦合随机振动时，桥梁冲击系数的计算以及冲击系数灵敏度在随机动力学方面的优化问题，进而能够降低桥梁损伤。本发明是按照下述方式进行的：(1)定义车辆模型，(2)根据达朗贝尔原理推导出运动方程使用PIM方法求解确定性响应，并且使用PEM来计算随机响应，本发明为车桥耦合系统的非平稳随机振动提供了一种有效的优化方法，提高舒适性和车辆与桥梁的安全性。本发明的方法兼具精度和效率，能为车桥耦合振动灵敏度分析及优化提供更好的技术支持。在计算精度相同的情况下PEM‑PIM数值方法所需的计算时间比Newmark方法节省了十几倍，且提出了自识别设计变量灵敏度优化方法。
Description
技术领域
本发明属于车桥耦合随机振动领域，具体涉及一种用于评估车桥耦合系统的新方法。
背景技术
对于随机激励下结构动力响应优化设计问题，由于同时涉及到结构随机响应分析以及优化设计，求解起来相当困难和复杂。关于动力优化问题的灵敏度分析，已有不少研究工作。例如，Pantelides等提出MISA(modified iterated simulated anneding)算法求解具有动应力和动位移约束的结构优化问题，Chen等提出求解动力响应灵敏度的摄动方法，但因繁重的计算量，严重限制了这些方法的实际应用。为得到全局最优解，需要进行二阶灵敏度的分析，Hessian矩阵是计算这些二阶灵敏度的熟知方法，对于随机振动，Hessian矩阵的求解是更为复杂的工作，至今涉及其数值算法的文献依然不多见。可见的文献有Durbnin和Zimo-ch的Laplace变换法等派生方法，但这些都基于常规的随机振动分析方法，同样存在效率不高的缺点。而且以Newmark差分格式为代表的传统的逐步积分方法假定在每个积分步内车辆位置及其耦合作用力的位置大小都是固定不变的，仅当进入下一积分步的时候才“突变”到另一个位置，忽略了载荷在空间域的连续性，当积分步取得不够小时会造成较大的误差。由于现有技术方法存在的这些严重不足，就需要有新的技术方法来解决相关问题。
随着科学技术的发展，车辆速度有了很大的提高，人们必须更加注意乘客的舒适性、车辆与桥梁的安全性，这就需要对可能影响车桥系统的动态响应的因素进行分析和优化，这些因素包括车辆重量、刚度、速度、轨道不平顺、接触模型、桥梁跨度、支撑形式和材料参数等。然而对于车桥耦合系统，由路面不平顺引起的振动具有明显的随机性，大量重复的随机振动计算导致车桥系统分析极其困难，而现有技术方法存在效率不高等缺点，这极大限制了车辆随机振动理论在工程中的应用。
发明内容
本发明提出一种基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法，解决了车桥耦合随机振动时，桥梁冲击系数的计算以及冲击系数灵敏度在随机动力学方面的优化问题，进而能够降低桥梁损伤。
本发明的技术方案是这样实现的：一种基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法，是按照下述方式进行的：
(1)定义车辆模型，使用四自由度的1/2车辆模型，车身有垂直和俯仰运动两个自由度，设定车辆以恒定速度V沿着x轴行进，车辆为移动的多刚体弹簧阻尼系统，多跨度桥用简支弹性伯努利-欧拉梁来表示，长度为Lb，
(2)根据达朗贝尔原理推导出运动方程
其中M、K和C分别是质量、刚度和阻尼矩阵，载荷向量是由固定载荷Fg和时变载荷Fw组成；
车辆模型中系统参数如下：m0是车身质量；Iz是车辆绕其y轴的转动惯性；m1和m2是轮轴的质量；Ks1和Ks2是悬架的刚度系数；Cs1和Cs2是悬架的阻尼系数；Kt1和Kt2是轮胎刚度系数；Ct1和Ct2是轮胎阻尼系数；L1和L2是车身中心与前轴或后轴之间的距离；K1和K2表示第二和第三跨度的支撑刚度，
其中，U是位移向量，U＝{u0 θ u1 u2 … ubi}；
其中
Fg＝(l2m0/(l1+l2)+m1){0 0 0 0 Nt1}T
+(l1m0/(l1+l2)+m2){0 0 0 0 Nt2}T (3)
式(2)和(3)中，Nt1和Nt2是桥梁方程的形函数；
使用PIM方法求解确定性响应，并且使用PEM来计算随机响应；
其中H(t-τ,t)是脉冲响应函数，则随机响应的平均值可以写为
其中，Fw(τ)是一个零均值函数，这个随机响应的平均值由确定性激励Fg(τ)决定
由于路面处的车轮激励之间的相位滞后，将道路不平顺性的影响认为是一组均匀调制的多点、不同相位的非平稳的随机激励，则方程(1)中的时变荷载Fw可表示为均匀调制的多点演变随机激励
其中：
其中r(t)是路面不平顺激励R的分量，GR(t)是调制函数矩阵，
基于虚拟激励法，相应的虚拟激励可以表示为如下形式
路面不平顺是引起车辆随机振动的主要激励，可以表示为其中n0是参考频率，n0＝0.1m-1；Sq(n)是与路面等级相关的系数，
基于PEM，动态响应能够表示为
功率谱矩阵为
其中“*”和“T”分别表示复数和转置矩阵；
方程(1)可以在状态空间中重写为
其中
B＝-M-1K；G＝-M-1C；
已知tk时刻的状态向量v(tk)，则tk+1＝tk+Δt时刻的状态函数v(tk+1)推导为
v(tk+1)＝T(Δt)(v(tk)-vp(tk))+vp(tk+1) (11)
对于当前的车桥耦合问题，在每个时间间隔中允许两种不同形式的载荷，即线性形式和指数形式，可以导出相应的特定解vp(t)，通过将这些载荷分解为单元节点，多项式调制指数载荷具有如下形式
r(t)＝(r0+r1τ)ect (12)
其中τ是精确的时间步长，r0和r1是每个时间步长中的确定向量，c是由初始状态t＝tk·vp(t)确定的积分常数，
vp(t)＝(k0+k1τ)ect (13)
其中k0,k1是常系数向量，I是单位矩阵，因此，
k1＝Jr1；k0＝J(r1-k1)；J＝(cI-H)-1
功率谱密度SUU(ω,t)和标准差σU(t)分别写为
通过使用三倍标准差3σ法计算中跨挠度响应的范围
Umax,min(t)＝Ug(t)±3σU(t) (16)
中跨的冲击系数如下式所示
1+μ＝U'max/U'j (17)
其中U'max表示动态挠曲响应曲线中的最大峰值，U'j表示相同模型中的最大静态挠度。
本专利为车桥耦合系统的非平稳随机振动提供了一种有效的优化方法。桥梁影响因素的研究表明，通过优化因素能够降低桥梁损伤，提高舒适性和车辆与桥梁的安全性。本发明的方法兼具精度和效率，能为车桥耦合振动灵敏度分析及优化提供更好的技术支持。在计算精度相同的情况下PEM-PIM数值方法所需的计算时间比newmark方法节省了十几倍，这也为车桥耦合振动的优化问题提供了更好的技术支持，且提出了自识别设计变量灵敏度优化方法。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明的车桥耦合模型。
图2为跨中的动态挠度响应图。
图3为悬架阻尼对冲击系数的影响图。
图4为悬架刚度对冲击系数的影响。
图5为车辆质量对冲击系数的影响图，
图6为桥梁刚度对冲击系数的影响。
图7为轴距对冲击系数的影响图。
图8为路面等级对冲击系数的影响。
图9为冲击系数的优化趋势。
图10为实施例中管道示意图。
图11为管道的纵向截面示意图。
图12为圆形板式橡胶支座的结构示意图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本申请中采用虚拟激励法(PEM)将时变激励转化为一些列确定简谐激励的叠加，大大简化运动方程，然后采用精细积分方法(PIM)来迭代求解，解决了载荷“突变”和积分步过小的问题，提高耦合振动分析效率。本发明可以方便研究及工程人员将车辆随机振动理论应用于工程实践，为随机振动理论的应用提供理论和实践支持，具有重要的理论和实践意义。
对于车桥耦合系统的线性模型的选择，本专利中车辆为移动的多刚体弹簧阻尼系统，多跨度桥用简支弹性伯努利-欧拉梁来表示。车辆模型选用四自由度的1/2车辆模型。车桥耦合系统的运动方程为载荷向量是由固定载荷Fg和时变载荷Fw组成。
对于响应及冲击系数的求解，因为整个系统是线性的，可以把运动方程的两个载荷分别计算后再叠加。通过使用精细积分方法(PIM)求解确定性响应，并且使用虚拟激励方法(PEM)来计算随机响应，PEM能够将随机轨道不平顺激励变换为一系列确定性虚拟激励，然后用PIM非常方便地给出响应。
采用正交实验法来研究车辆参数、桥梁参数和路面不平顺参数对动态响应的影响规律和意义，来区分各影响因素对设计变量的相对重要性。在多水平正交实验中，研究发现了耦合动力系统的一些关键影响参数(例如悬架刚度和阻尼)，这些参数在决定目标函数中起关键作用。
通过多因素、多水平正交试验的研究，减少了设计变量的数量，并且用冲击系数来优化这些重要设计变量的设计。由于随机耦合动态系统优化问题是非常困难的，为了克服这些困难，本发明提出了一种基于PEM-PIM的灵敏度分析方法。随机响应对设计变量的一阶、二阶灵敏度方程的形式与车桥耦合系统的运动方程类似，应用PEM-PIM方法能很方便求解方程。进而对设计变量进行优化设计。
本专利最主要的部分是基于PEM-PIM的数值方法，下面详细介绍该数值方法。以图1所示的车桥耦合模型为例，车辆为移动的多刚体弹簧阻尼系统，多跨度桥用简支弹性伯努利-欧拉梁来表示，长度为Lb。车辆模型有很多自由度，为了方便起见，使用四自由度的1/2车辆模型，车身有垂直和俯仰运动两个自由度。假设车辆以恒定速度V沿着x轴行进。
根据达朗贝尔原理推导出运动方程
其中系统参数如下：m0是车身质量；Iz是车辆绕其y轴的转动惯性；m1和m2是轮轴的质量；Ks1和Ks2是悬架的刚度系数；Cs1和Cs2是悬架的阻尼系数；Kt1和Kt2是轮胎刚度系数；Ct1和Ct2是轮胎阻尼系数；L1和L2是车身中心与前轴或后轴之间的距离；
K1和K2表示第二和第三跨度的支撑刚度。
其中，向量U是位移向量U＝{u0 θ u1 u2 … ubi}；M、K和C分别是质量、刚度和阻尼矩阵。载荷向量是由固定载荷Fg和时变载荷Fw组成。其中
Fg＝(l2m0/(l1+l2)+m1){0 0 0 0 Nt1}T
+(l1m0/(l1+l2)+m2){0 0 0 0 Nt2}T (3)
其中，Nt1和Nt2是桥梁方程的形函数。
因为整个系统是线性的，可以把运动方程的两个载荷分别计算后再叠加。通过使用PIM方法求解确定性响应，并且使用PEM来计算随机响应，PEM能够将随机轨道不平顺激励变换为一系列确定性虚拟激励，然后用PIM非常方便地给出响应。耦合系统的动力学方程的解可以表示为：
其中H(t-τ,t)是脉冲响应函数，则响应的平均值可以写为
因为Fw(τ)是一个零均值函数，这个响应的平均值由确定性激励Fg(τ)决定
这里讨论的车桥系统是一个时变体系，考虑到路面处的车轮激励之间的相位滞后，道路不平顺性的影响可以被认为是一组均匀调制的多点、不同相位的非平稳的随机激励，则方程(1)中的时变荷载Fw可表示为均匀调制的多点演变随机激励
其中：
其中r(t)是路面不平顺激励R的分量，GR(t)是调制函数矩阵。
基于虚拟激励法，相应的虚拟激励可以表示为如下形式
路面不平顺是引起车辆随机振动的主要激励，根据国标GB7031中给出的规则计算，可以表示为其中n0是参考频率，通常n0＝0.1m-1；Sq(n)是与路面等级相关的系数。
基于PEM，动态响应能够表示为
功率谱矩阵为
其中“*”和“T”分别表示复数和转置矩阵。通过使用PEM方法可以有效地找到由该确定性虚拟载荷引起的响应，也可以求得耦合系统的响应。这种数值方法的效率和计算精度已经被证明。因此，采用虚拟激励法把非平稳响应的分析转换成在确定性虚拟载荷下的时间历程分析，并用基于精细积分方法(PIM)的一致的分解过程处理时间历程分析，允许其荷载的位置及其幅度在每个积分步骤中随时间变化，因此显着地减少了计算误差。
方程(1)可以在状态空间中重写为
其中
B＝-M-1K；G＝-M-1C；
已知tk时刻的状态向量v(tk)，则tk+1＝tk+Δt时刻的状态函数v(tk+1)推导为
v(tk+1)＝T(Δt)(v(tk)-vp(tk))+vp(tk+1) (11)
关于指数矩阵T(Δt)的精确计算的细节可在文献(Zhong WX,Williams FW.Aprecise time step integration method.Part C:Journal of Mechanical EngineeringScience 1994；208(6):427–30.)中获得。对于当前的车桥耦合问题，在每个时间间隔中允许两种不同形式的载荷，即线性形式和指数形式，可以导出相应的特定解vp(t)。通过将这些载荷分解为单元节点，多项式调制指数载荷具有如下形式
r(t)＝(r0+r1τ)ect (12)
其中τ是精确的时间步长，r0和r1是每个时间步长中的确定向量，c是由初始状态t＝tk·vp(t)确定的积分常数，先前没有对多项式调制指数加载所给出的，但是容易发现
vp(t)＝(k0+k1τ)ect (13)
其中k0,k1是常系数向量，I是单位矩阵，因此有
k1＝Jr1；k0＝J(r1-k1)；J＝(cI-H)-1
正交试验的设计，车桥耦合系统的动态响应可能受许多因素的影响，例如车辆参数、桥梁参数或路面不平顺参数，但考虑所有因素作为优化目标的设计变量是通常是不可接受的，因此如何区分各影响因素对设计变量的相对重要性成为关键问题。
在本申请中，采用正交实验法来研究车辆参数、桥梁参数和路面不平顺参数对动态响应的影响规律和意义。例如，以多跨桥的影响因子为优化目标。
根据前文的推导，给出了桥中跨的响应均值和随机响应功率谱密度(PSD)SUU(ω,t)和标准差σU(t)分别写为
通过使用三倍标准差(3σ)法计算中跨挠度响应的范围
Umax,min(t)＝Ug(t)±3σU(t) (16)
中跨的冲击系数如下式所示
1+μ＝U'max/U'j (17)
其中U'max表示动态挠曲响应曲线中的最大峰值，U'j表示相同模型中的最大静态挠度。
为了研究影响规律，设计了一个包括6因子和5水平(L25(56))的正交试验。
数值模型如图1所示，相应的参数见表1。路面不平顺分为8个级别，在该数值算例中使用A、B和C三个级别。试验的影响因素以及因子水平如表2所示。
表1车辆和三跨桥的参数
表2各个影响因素及因素水平
图2显示出了中跨的动态挠度响应。实线表示使用本方法(PEM-PIM)获得的结果，虚线表示通过应用来自蒙特卡罗方法样品1和2获得的计算结果。使用蒙特卡罗方法的结果在本方法的范围内，从而验证了本方法的适用性。
图3-8给出了6种模型参数的影响规律曲线，如悬架的阻尼和刚度，车辆质量和轴距，桥梁刚度和路面不平顺等级。可以看出，对冲击系数最重要的因素是不平顺等级。随着路面粗糙化的增加，冲击系数的值迅速增加，但不幸的是，因为它是不变的，所以不能作为优化的变量。相比之下，悬架刚度和阻尼是比其他模型参数更重要的影响因素。影响因素的值随着悬架刚度的增加而单调增加。相反的，该值随着悬架阻尼的增强而减小，但是这对于中间跨度不是单调的，并且存在可以改变趋势的阈值。在多水平正交实验中，发现了耦合动力系统的一些关键影响参数，这些参数在决定目标函数中起关键作用。
通过多因素、多水平正交试验的研究，减少了设计变量的数量，并且用冲击系数来优化悬挂阻尼和刚度的设计。由于随机耦合动态系统优化问题是非常困难的，为了克服这些困难，本文提出了一种基于PEM-PIM的灵敏度分析方法。
根据方程(16)，标准差σU(t)是目标函数中的主要可变因子，Ks1、Ks2、Cs1和Cs2是设计变量。位移，速度和加速度的响应相对于设计变量的一阶导数可以表示为
将车辆方程微分运动(1)两边同时对设计变量Qi求导，整理得到随机响应对设计变量的一阶灵敏度方程
如果用Fd表示一阶灵敏度方程的右端项，则这个灵敏度方程为
其中矢量Fd由两部分组成，即时不变矢量和时变矢量方程(19)可以使用PEM-PIM来求解(U)i′，以求出位移相对于设计变量的一阶灵敏度。为便于理解，定义车辆随机响应的第n个分量为
Un＝(a+bi)eiωt,n＝1,2,···,q (20)
则
则响应及其功率谱的一阶灵敏度可以表示为
U′ni＝(a′+b′i)eiωt (22)
类似地，方差的一阶灵敏度可以从下式中计算
同样，对于多源随机激励问题，也可以导出用于车辆的一阶灵敏度公式。
表3冲击系数及其一阶灵敏度值
基于提出的灵敏度分析方法，以冲击系数μ为目标函数，悬架刚度和阻尼系数Ks1、Ks2Cs1和Cs2作为设计变量进行最优设计，约束条件是悬挂行程和车辆操纵性，使用初始设计计算当车辆刚刚到达桥中点时的一阶灵敏度，其中Ks1＝Ks2＝2.28×106N·m-1，Cs1＝Cs2＝9.8×104N·s·m-1。结果如表3所示，影响因子的优化趋势如图9所示，显示出了对于车辆速度v＝60km/h和路面等级为A的桥梁的左，右和中间跨的影响因子变化。最佳目标基于先前步骤中的方向导数而减小，趋势在接下来的步骤中变慢。左、右和中跨的影响因素稳定下降，中跨和右跨的变化不是单调的。优化过程以7个步骤完成，相应地，不同悬架参数的目标值下降了19.34％、19.80％和19.47％。最后，验证所提出的方法的实用性和效率。
本专利提出的基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法，用于分析车桥耦合系统的非平稳随机振动，研究不同参数的影响规律，并提供了一种有效的优化方法。桥梁影响因素的研究表明，通过优化因素能够降低桥梁损伤，展示了优化效率和计算精度。
具体实施方式1：
表4优化结果
| 钢带厚度(mm) | |
| 初始值 | 1.2000 |
| 第一步 | 1.0867 |
| 第二步 | 1.0639 |
| 第三步 | 1.0010 |
| 第四步 | 0.9888 |
| 第五步 | 0.9702 |
| 第六步 | 0.9611 |
某地下管道示意图如图10所示(缺口是为了能看清纵向截面)，图11为管道纵向截面详图，管道有基部和钢带组成，管道参数：管道直径为1800mm，每个单元的长L＝140mm，LC＝70mm，钢带的参数：B＝30mm，C＝50mm，高H＝60mm。管道埋在地下，车辆和道路的耦合振动会对管道产生动力作用，管道会产生比静载荷作用时更大的响应。如果管道变形过大会对道路产生很大的危害，所以管道的变形量要控制在一定水平。在管道变形一定的情况下，应用本文方法能很好的对管道的钢带厚度进行优化，优化结果如表4所示。经过优化钢带的厚度降低了19.91％。
具体实施方式2：桥梁支座的优化。
支座是桥梁重要的组成部分，它支撑上部结构并传递荷载于桥梁墩台上，保证上部结构在荷载、温度变化或其他因素作用下所预计的位移功能。支座必须具有足够的承载能力，以保证安全可靠地传递支座反力。车辆在桥面上行驶时，会与桥梁产生耦合振动，此时支座反力应计入冲击影响力。应用本文方法对圆形板式橡胶支座进行优化，如图12所示，圆形板式橡胶支座由加劲钢板1和橡胶层2组成，可以降低支座反力，减小支座设计所需的平面面积。经过优化支座平面面积减小了7.43％。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (1)
1.一种基于参数识别技术的桥梁冲击系数优化方法，其特征在于是按照下述方式进行的：
(1)定义车辆模型，使用四自由度的1/2车辆模型，车身有垂直和俯仰运动两个自由度，设定车辆以恒定速度V沿着x轴行进，车辆为移动的多刚体弹簧阻尼系统，多跨度桥用简支弹性伯努利-欧拉梁来表示，长度为Lb，
(2)根据达朗贝尔原理推导出运动方程
<mrow>
<mi>M</mi>
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<mi>U</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
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<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中M、K和C分别是质量、刚度和阻尼矩阵，载荷向量是由固定载荷Fg和时变载荷Fw组成；
车辆模型中系统参数如下：m0是车身质量；Iz是车辆绕其y轴的转动惯性；m1和m2是轮轴的质量；Ks1和Ks2是悬架的刚度系数；Cs1和Cs2是悬架的阻尼系数；Kt1和Kt2是轮胎刚度系数；Ct1和Ct2是轮胎阻尼系数；L1和L2是车身中心与前轴或后轴之间的距离；K1和K2表示第二和第三跨度的支撑刚度，
其中，U是位移向量，U＝{u0 θ u1 u2 … ubi}；
其中
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mi>F</mi>
<mi>w</mi>
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</mrow>
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</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
Fg＝(l2m0/(l1+l2)+m1){0 0 0 0 Nt1}T
+(l1m0/(l1+l2)+m2){0 0 0 0 Nt2}T (3)
式(2)和(3)中，Nt1和Nt2是桥梁方程的形函数；
使用PIM方法求解确定性响应，并且使用PEM来计算随机响应；
<mrow>
<mi>U</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<mn>0</mn>
<mi>t</mi>
</msubsup>
<mi>H</mi>
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<mi>d</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中H(t-τ,t)是脉冲响应函数，则随机响应的平均值可以写为
<mrow>
<mover>
<mi>U</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
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<mo>=</mo>
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</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，Fw(τ)是一个零均值函数，这个随机响应的平均值由确定性激励Fg(τ)决定
<mrow>
<mover>
<mi>U</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
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</mrow>
<mo>=</mo>
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<mrow>
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<msubsup>
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<mn>0</mn>
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<mi>d</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由于路面处的车轮激励之间的相位滞后，将道路不平顺性的影响认为是一组均匀调制的多点、不同相位的非平稳的随机激励，则方程(1)中的时变荷载Fw可表示为均匀调制的多点演变随机激励
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "{" close = "}">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>R</mi>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>-</mo>
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<mo>-</mo>
<mi>&Delta;</mi>
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<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>=</mo>
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<mi>R</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mfenced open = "{" close = "}">
<mtable>
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<mi>r</mi>
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<mrow>
<mi>t</mi>
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<mi>&Delta;t</mi>
<mn>1</mn>
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<mrow>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&Delta;t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
其中：
其中r(t)是路面不平顺激励R的分量，GR(t)是调制函数矩阵，
基于虚拟激励法，相应的虚拟激励可以表示为如下形式
<mrow>
<mover>
<mi>R</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "{" close = "}">
<mtable>
<mtr>
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<mrow>
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</mrow>
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<mi>i&omega;&Delta;t</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
路面不平顺是引起车辆随机振动的主要激励，可以表示为其中n0是参考频率，n0＝0.1m-1；Sq(n)是与路面等级相关的系数，
基于PEM，动态响应能够表示为
<mrow>
<mover>
<mi>U</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
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</mrow>
功率谱矩阵为
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</mrow>
<mo>-</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中“*”和“T”分别表示复数和转置矩阵；
方程(1)可以在状态空间中重写为
<mrow>
<mover>
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</mover>
<mo>=</mo>
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</mrow>
<mo>-</mo>
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中
B＝-M-1K；G＝-M-1C；
已知tk时刻的状态向量v(tk)，则tk+1＝tk+Δt时刻的状态函数v(tk+1)推导为
v(tk+1)＝T(Δt)(v(tk)-vp(tk))+vp(tk+1) (11)
对于当前的车桥耦合问题，在每个时间间隔中允许两种不同形式的载荷，即线性形式和指数形式，可以导出相应的特定解vp(t)，通过将这些载荷分解为单元节点，多项式调制指数载荷具有如下形式
r(t)＝(r0+r1τ)ect (12)
其中τ是精确的时间步长，r0和r1是每个时间步长中的确定向量，c是由初始状态t＝tk·vp(t)确定的积分常数，
vp(t)＝(k0+k1τ)ect (13)
其中k0,k1是常系数向量，I是单位矩阵，因此，
k1＝Jr1；k0＝J(r1-k1)；J＝(cI-H)-1
功率谱密度SUU(ω,t)和标准差σU(t)分别写为
<mrow>
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</mrow>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
通过使用三倍标准差3σ法计算中跨挠度响应的范围
Umax,min(t)＝Ug(t)±3σU(t) (16)
中跨的冲击系数如下式所示
1+μ＝U'max/U′j (17)
其中U'max表示动态挠曲响应曲线中的最大峰值，U′j表示相同模型中的最大静态挠度。
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