CN107345409A - 一种弹性地基上梁的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种弹性地基上梁的计算方法，该方法是利用链杆法的简化思路和结构力学求解器弹性支座计算功能实现地基反力计算；然后，利用结构力学求解器静定梁计算功能实现基础梁内力计算。本发明具有链杆法适用范围广泛的优点，同时又避免了链杆法繁琐的典型方程求解，简化了计算过程，较链杆法提高计算效率10倍以上，且主要计算过程由软件自动完成，解决了手算法易出错的不足，提高了计算准确率。

Description

一种弹性地基上梁的计算方法

技术领域

本发明涉及一种弹性地基上梁的计算方法，特别是涉及水电工程中常用的文 克尔地基和弹性半无限地基上梁的计算方法，属于基础工程技术领域。

背景技术

在土木、水利工程中将连接上部结构和地基的梁称为基础梁。同时，工民建 行业中的筏形基础、水利行业中的水闸底板、厂房底板等基础底板，一般也简化 为单位宽度的基础梁进行计算。基础梁计算时，如果假设地基是弹性体，则这类 基础梁就称为弹性地基梁。

弹性地基上梁计算的关键在于求解地基反力。从力学的观点讲，这是两个物 体相互挤压的接触问题，其计算十分复杂，只有极少数情况下能等到解析解。为 了将问题简化，通常需要对地基反力与地基变形提出某种关系式，即假设一“地 基模型”。目前，水电工程中常用的地基模型有文克尔地基模型和弹性半无限地 基模型两种。

(1)文克尔地基模型

文克尔地基模假定地基土表面上任一点处的沉降s_i，与该点所承受的压力强 度p_i成正比，而与其他点上的压力无关，即：

p_i＝k₀s_i (1)

式中：k₀——地基抗力系数，也称基床系数，kN/m³。

(2)弹性半无限地基模型

弹性半无限地基模型假设地基是一个均质、连续、弹性的半无限体。所谓半 无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下 方无限延伸的物体。按照弹性半无限体的假设计算弹性地基上的结构，必须把问 题区分为平面问题和空间问题，平面问题又可以分为平面应力问题和平面应变问 题。弹性半无限地基模型中的平面问题，也称为弹性半平面地基；弹性半无限地 基模型中的空间问题，也称为弹性半空间地基。

1)弹性半平面地基

弹性半平面地基平面应力情况下，半无限平面体的边界上作用有一集中力P 时，距离作用点为r和d的两点之间的相对沉降，如图1中左边部分所示，可以 按照弹性力学弗拉曼(Flamant)公式计算：

式中：E₀——地基变形模量，kN/m²。

如图1中右边部分所示的半无限平面体，设在i点处作用有一均匀分布在长 度为c、宽度为1的面积上的单位力，这个均布力的强度q＝1/c，荷载的合力为1。 要计算在此均布力作用下距均布力中点I为x的一点k点的沉降s_ki(对于指定参 考点的相对沉降)，只有选定一个距作用力足够远(即d很大)的点作为基准点， 积分时把d当做常数，由微段dr上的小集中力dr/c在k点所引起的沉降，可利 用式(2)积分求得：

其中：

式中：d——均布力中点I和指定参考点的距离，计算时假定指定参考点取得足 够远，故可取d为常数，m；

如果k点与i点重合，即x＝0，F_ki＝0则

上述沉降公式是平面应力问题导出的，对于平面变形问题，沉降公式(3) 仍然适用，但式中的E₀应替换成E₀/(1+μ₀ ²)。

2)弹性半空间地基

弹性半空间地基上，半无限空间体上作用一集中力P时，距离集中力作用 点为r的任意点k的地基表面沉降(绝对沉降)，如图2中左边部分所示，可以 按照弹性力学中的布希涅斯克(J.Boussinesq)公式计算：

式中：μ₀——地基泊松比。

如图2中右边部分所示的半无限空间体，设在i点处作用有一均匀分布在长 度为c、宽度为b的面积上的单位力，这个均布力的强度为则距i点为 x的k点的沉降，可利用式(7)积分求得：

其中：

如果k点均布荷载中心i重合，则沉降计算公式仍为式(8)，但式中的系数 F_ki为：

设弹性半无限地基表面作用着任意分布的荷载，把基底平面划分为n个矩形 网格(如图3所示)，作用于各网格面积(f₁，f₂，…，f_n)上的基地压力(p₁， p₂，…，p_n)可近似地认为是均布的。如果以柔度系数δ_ij表示网格i的中点由作 用于网格j上的均布压力p_j＝1/f_j(此时面积f_j上的总压力R_j＝1，R_j＝p_jf_j称 为集中基地反力)引起的沉降。则按叠加原理网格i中点的沉降应为所有n个网 格上的地基压力分别引起的沉降之和，即：

实际计算δ_ij时，常以均布力p_j＝1/f_j作用于f_j来计算。

由式(3)可得弹性半平面地基柔度系数δ_ij：

由式(8)可得弹性半空间地基柔度系数δ_ij：

目前，弹性地基上梁的计算方法主要有：初参数法、幂级数法、查表法、链 杆法、有限差分法和有限单元法。

初参数法利用梁端的4个参数(初参数)，即挠度y、转角θ、弯矩M和剪 力Q来表示基础梁基本微分方程通解中的4个常数，从而求解基础梁的位移和 内力。该方法属于解析法，计算结果为精确解，但其计算繁琐，且只能计算常截 面基础梁。初参数法适用于文克尔地基上梁的计算。

幂级数法将地基反力近似地用有限项的幂级数表示，将幂级数带入基础梁的 平衡方程、基本微分方程和沉降方程，联立求解这些方程就可得到地基反力，从 而求得基础梁的位移和内力。幂级数法属于解析法，其计算结果精度随幂级数所 取项数的增加而提高。但其计算繁琐，易于出错，且只能计算常截面基础梁。幂 级数法适用于弹性半无限地基上梁的计算。

查表法将初参数法(或幂级数法)求得的结果编制成计算表格，以便设计时 查用。该方法避免了初参数法(或幂级数法)繁琐的联立方程求解过程，计算较 幂级数法有一定简化，但受计算表格间隔影响，其计算结果存在舍入误差，且查 表计算仍较繁琐。

链杆法将基础梁分为若干个相同的区段，在每个区段的中心设置一根刚性链 杆，用它来联系基础梁和地基，从而将基础梁的无穷多次超静定问题简化为有限 次超静定问题。通过静力平衡条件和变形协调条件，建立链杆法典型方程，从而 求得链杆内力(地基反力)和基础梁的内力。该方法为近似解，计算精度随链杆 数的增多而提高，一般取6～10根链杆，就可以得到满足实际设计精度的解答。 链杆法力学概念明确，适用范围广泛，但其计算繁琐、工作量大。

差分法利用差分方程代替基础梁基本微分方程和边界条件，从而把微分方程 的求解转变为线性代数方程组的求解，这是一种数学上的近似。该方法为近似解， 计算精度随梁段数的增多而提高。差分法适用范围广泛，但其线性方程求解工作 量较大，一般需采用计算机编程计算。

有限单元法将基础梁分成n个单元，由位移形成梁的单元刚度矩阵，然后集 合为梁的总刚度矩阵，再将基础梁和地基的接触处也划分成单元；然后，根据地 基模型分别计算梁节点处地基的竖向沉降，形成地基柔度矩阵，求逆后得地基刚 度矩阵；最后，根据梁节点处的变形协调条件和平衡条件，形成体系的总刚度矩 阵，由高斯消去法求得梁节点的位移，并求得地基反力和基础梁的内力。该方法 为近似解，计算精度随梁段数的增多而提高。有限单元法适用范围广泛，但其线 性方程求解工作量较大，一般需采用计算机编程计算。

同时，ANSYS、ABAQUS等大型商用有限元软件也能计算弹性地基上梁， 但这些软件都是通用的有限元软件，需要设计人员有足够的经验进行参数设置和 结果合理性分析，且建模过程复杂，不能直接求得基础梁内力，计算结果受人为 因素影响较大。PKPM-JCCAD、理正岩土计算软件具有弹性地基上梁的专用计 算模块，但PKPM-JCCAD软件需按整体模型进行荷载导算，建模较复杂，且不 适用于水电站厂房等复杂结构基础梁的计算；理正岩土计算软件只能计算常截面 基础梁，也不适用于复杂基础梁的计算。

总之，现有弹性地基上梁的计算方法中，初参数法、幂级数法、查表法、链 杆法需采用人工手算，计算繁琐，效率低，易出错；差分法和有限单元一般需编 程计算，但其编程比较困难，一般工程技术人员难以完成；通用有限元软件针对 性不强，建模复杂、计算结果受人为因素影响；专业软件只考虑了一般情况，不 适用于复杂结构的基础梁计算。

发明内容

本发明针对弹性地基上梁的现有计算方法的不足，提出一种基于结构力学求 解器的弹性地基上梁的计算方法，简化计算过程，提高计算效率和准确率。

本发明的技术方案是：利用链杆法的简化思路和结构力学求解器弹性支座计 算功能实现地基反力计算；然后，利用结构力学求解器静定梁计算功能实现基础 梁内力计算。

具体来说，就是用结构力学求解器弹性支座代替链杆法中的刚性链杆，用弹 性支座的变形代替地基的沉降，将地基梁变成支承在n个不同刚度(K₁，K₂，…， K_n)的弹性支座上的梁，而连续的地基反力也就离散为n个集中反力(R₁，R₂，…，R_n)，这样就把原本为无限次支承的地基梁计算问题，简化为支承在若干个弹性 支座上的连续梁的计算问题，从而利用结构力学求解器弹性支座计算功能计算出 各支座反力(即集中的地基反力R_i)，并进一步的将集中反力R_i均化到各梁段上， 计算出阶梯形分布的地基反力p_i，以近似代替曲线分布的地基反力，从而实现地 基反力的计算；然后，根据所有荷载(含阶梯形地基反力)计算成果，并利用结 构几何组成原理，将基础梁构造为几何不变体系，从而利用结构力学求解器静定梁计算功能实现基础梁内力计算。

其中，结构力学求解器(Structural Mechanics Solver，简称SM Solver)是清 华大学袁驷教授主持研发的结构力学计算机辅助分析计算软件，其求解内容包括 了二维平面结构(体系)的几何组成、静定、超静定、位移、内力、影响线、包 络图、自由振动、弹性稳定、极限荷载等经典结构力学中所涉及的一系列问题， 全部采用精确算法给出精确解答。结构力学求解器是一款快捷、准确的平面结构 辅助计算软件，但其没有专门的弹性地基上梁计算功能，不能直接用于弹性地基 上粱的计算。不过结构力学求解器可以设置弹性支座，其特点是支座产生弹性变 形，而且支座反力与其对应的变形成正比。这个比例系数弹性支座的刚度系数K， 即刚度系数在数值上等于使支座产生单位位移时所需施加的力。根据弹性支座定 义，可得支座反力计算公式为：

R＝Ks (14)

式中：R——支座反力，kN；

K——弹性支座的刚度系数，kN/m；

s——弹性支座的变形量，m。

本发明的弹性地基上梁的计算方法，包括地基反力计算和基础梁内力计算， 具体计算步骤如下：

(1)地基反力计算

第一步：梁段划分。本发明与链杆法一样均将连续的地基反力简化为阶梯形 分布的反力，属于地基反力的近似解答，计算时梁分段越多，则解答愈趋精确。 链杆法在满足工程设计精度的前提下，为减小计算工作量一般将梁分为6～10段； 而本发明利用结构力学求解器软件进行计算，不需要求解链杆法繁琐的典型方 程，只需根据弹性支座刚度系数K，软件可自动进行反力计算，原则上梁分段数 不受计算工作量限制，但考虑到过多分段对精度提高意义不大。因此，建议根据 具体情况梁分段数控制在10～20段即可。

第二步：建立地基反力计算模型。根据梁段划分结果，在各梁段中心设在弹 性支座；同时为阻止梁的水平移动，还需在梁的一端附加一水平链杆，将梁构造 为几何不变体系。利用结构力学求解器中“结点定义”，“单元定义”，“弹性支座 定义”，“荷载条件”和“材料性质”页面中将计算简图输入结构力学求解器，建立 地基反力计算模型。

第三步：弹性支座刚度系数K计算。

1)文克尔地基模型

文克尔地基上任一点的沉降只与该点的地基反力有关。因此弹性支座刚度系 数K为定值，可直接求解。设基础梁宽为b，梁分段长(弹性支座间距)为c， 根据结构力学求解器弹性支座反力计算公式和文克尔地基的定义可得：

R_i＝K_is_i＝bcp_i＝(bc)(k_is_i)＝(k_ibc)s_i (15)

即弹性支座刚度系数K为：

K_i＝k_ibc (16)

式中：K_i——弹性支座i的刚度系数，kN/m；

k_i——i区段梁下地基土的基床系数(垫层系数)，kN/m³。

2)弹性半无限地基模型

弹性半无限地基上任意一点的沉降与整个基底反力以及邻近荷载的分布有 关。因此，弹性支座刚度系数K为非定值，需引入变刚度系数的概念。根据结 构力学求解器弹性支座反力计算公式和弹性半无限地基沉降计算公式可得：

即弹性支座刚度系数K为：

上式的K_i是变化的未知数，无法一次求解得到解答，而需要用迭代法求解。 迭代法计算的步骤如下：

①计算初始地基反力{R⁰}。

一般假定地基反力直线分布，以各支座的平均反力作为迭代计算的初始地基 反力{R⁰}；或者假定一个统一的K，带入结构力学求解器求出反力作为迭代计算 的初始地基反力{R⁰}。方法一直接得出反力值，方法二需要带入结构力学求解 器计算反力值，多一步计算过程。因此，除特殊情况(平均反力为0)外，建议 采用方法一确定初始地基反力{R⁰}。

②计算地基柔度矩阵[δ]。

对于弹性半平面地基，由于地基沉降计算公式为相对沉降，因此在迭代计算 中，应首先选定相对沉降计算基准点，确定沉降计算公式中的系数C。如图4所 示基准点的选择不同，相对沉降值大小不同，相当于求解器法中超静定结构体系 整体平移。而对于超静定结构，结构体系平移不会产生自内力，因此不会影响支 座反力的重分配。即不会因沉降计算基准点的选择不同，影响地基反力图形的分 布。沉降计算基准点选择的不同，虽不影响反力图形的分布，但会影响迭代收敛 速度，相对沉降越大，沉降差的敏感性越低，收敛越慢。因此，为加快迭代收敛 速度，在保证各轮次迭代计算中，不出现K_i为负值的情况下，相对沉降越小越 好。一般情况取系数C等于或略小于荷载作用于第1个支座时梁中间支座的沉 降系数F_k1(k为梁中间支座的编号)的绝对值，即梁中间支座的柔度系数δ_k1为 0或略小于0时，可满足不出现K_i为负值，且收敛较快。按上述方法确定系数C 后，按式(12)即可计算弹性半平面地基的柔度矩阵[δ]。

对于弹性半空间地基，由于地基沉降计算公式为绝对沉降，因此直接按式 (13)即可计算弹性半空间地基的柔度矩阵[δ]。

③计算地基沉降{s¹}。

当不考虑边荷载影响时，根据步骤①和②计算结果，按公式{s¹}＝[δ]{R⁰}计 算地基沉降{s¹}。

当考虑边荷载影响时，由于边荷载会引起弹性半无限地基附加沉降{s}″，根 据叠加原理可得地基沉降{s¹}＝[δ]{R⁰}+{s}″。边荷载沉降计算与链杆法考虑边 荷载引起的沉降计算方法相同。

弹性半平面地基边荷载附加沉降{s}″公式：

弹性半空间地基边荷载附加沉降{s}″公式：

④计算近似的刚度系数{K¹}。

根据步骤②和③的计算结果，按公式(i＝1、2、…、n)，计算 近似的刚度系数{K¹}。

⑤计算弹性支座反力{R¹}。

将步骤④计算的近似刚度系数{K¹}，输入结构力学求解器弹性支座刚度系 数中，由求解器计算弹性支座反力{R¹}。

⑥弹性支座反力{R¹}判断。

如果所有的为非负，则转入精度判断；如有负值，则令改点的重 新完成步骤③～⑤的运算，直到全部非负为止。

⑦精度判断。

如对所有i成立，则迭代结束，转入内力计算。如果不满足， 则以{R¹}作为新的{R⁰}，重复上述步骤③～⑦，直至反力满足精度要求。ε为选 定的用以控制精度的小正数，一般可取为{R⁽⁰⁾}中各元素平均值的0.5％～1％。

第四步：弹性支座反力计算。将上一步计算确定的弹性支座刚度系数K，输 入结构力学求解器“支座定义”页面，然后通过软件“内力计算”页面的“反力计算” 选项，求得弹性支座反力R_i。

第五步：阶梯形分布的反力计算。根据弹性支座反力R_i和梁分段长c，按如 下公式计算阶梯形分布的地基反力：

(2)基础梁内力计算

第一步：几何不变体系构造。基础梁内力计算时，地基的支撑作用被地基反 力所代替后，基础梁成为具有3个自由度的几何可变体系，无法采用结构力学求 解器进行内力计算。因此，需增加约束限制基础梁的自由度，将其构造成几何不 变体系；同时为保证增加约束后，结构内力不变(即超静定次数不变)，所增加 的约束必须为非多余约束。根据结构力学几何组成原理，在梁的一端设置一固定 铰支座(相当于一个铰)，另一端设置一活动铰支座(相对于一个链杆)，从而在 不改变超静定次数的情况下，实现基础梁几何不变体系的构造。

第二步：基础梁内力计算。在基础梁几何不变体系构造的基础上，根据基础 梁上荷载和阶梯形分布的地基反力，采用结构力求解器静定梁计算功能，即可求 得基础梁内力。

另需说明，对于弹性半平面地基中平面应变情况的基础梁内力计算，则必须 将基础梁的E应替换成E/(1+μ²)，地基的E₀应替换成E₀/(1+μ₀ ²)。

本发明的有益效果如下：本发明利用链杆法的简化思路和结构力学求解器强 大的计算功能，通过对基础梁计算模型的适当调整，实现了弹性地基上梁的快速 计算。并经典型算例验证，对于文克尔地基模型，本发明的计算结果与链杆法一 致；对于弹性半无限地基模型，本发明计算结果随迭代次数的增加逐渐趋近于链 杆法，当迭代计算5次时，最大相对误差小于3％，已与连杆法计算结果非常接 近，可用于工程设计；当迭代计算20次时，其计算结果与链杆法计算结果基本 一致。本发明具有链杆法适用范围广泛的优点，同时又避免了链杆法繁琐的典型 方程求解，简化了计算过程，较链杆法提高计算效率10倍以上，且主要计算过 程由软件自动完成，解决了手算法易出错的不足，提高了计算准确率。

附图说明

图1弹性半平面地基沉降计算示意图；

图2弹性半空间地基沉降计算示意图；

图3基底网格划分示意图；

图4弹性半平面地基相对沉降计算基准点选择示意图；

图5弹性地基上梁结构示意图；

图6为本发明地基反力计算模型图；

图7为本发明基础梁内力计算模型图。

附图中的标记为：1-弹性地基、2-基础梁、3-基础梁上荷载、4-弹性支座、 5-附加水平链杆、6-固定铰支座、7-活动铰支座、8-阶梯形分布地基反力。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，但不作为对本发明的任何限 制。

如图5所示，弹性地基上梁结构示意图，其由弹性地基1、基础梁2和基础 梁上荷载3组成。

如图6所示，地基反力计算模型图，其由基础梁2、基础梁上荷载3、弹性 支座4和附加水平链杆5组成。

如图7所示，基础梁内力计算模型图，其由基础梁2、基础梁上荷载3、固 定铰支座6、活动铰支座7和阶形分布地基反力8组成。

本发明实施时，具体步骤如下：

(1)地基反力计算

第一步：梁段划分。根据实际情况将基础梁划分为10～20段。

第二步：建立地基反力计算模型。根据梁段划分结果，在各梁段中心设在弹 性支座；同时为阻止梁的水平移动，还需在梁的一端(如A端)设置一附加水 平链杆，将基础梁构造为几何不变体系。利用结构力学求解器中“结点定义”，“单 元定义”，“弹性支座定义”，“荷载条件”和“材料性质”页面中将计算简图输入结构 力学求解器，建立地基反力计算模型，如图6所示。

第三步：弹性支座刚度系数K计算。

文克尔地基上弹性支座刚度系数K为定值，按公式(16)直接计算每个弹 性支座的刚度系数K。

弹性半无限地基上弹性支座刚度系数K为非定值，需按迭代法确定每个弹 性支座的刚度系数K。迭代步骤如下：

①计算初始地基反力{R⁰}。一般采用平均反力作为迭代计算的初始地基反 力{R⁰}。

②计算地基柔度矩阵[δ]。

对于弹性半平面地基，一般情况取系数C等于或略小于荷载作用于第1个 支座时梁中间支座的沉降系数F_k1(k为梁中间支座的编号)，然后按式(12)即 可计算弹性半平面地基的柔度矩阵[δ]。

对于弹性半空间地基，直接按式(13)即可计算弹性半空间地基的柔度矩阵 [δ]。

③计算地基沉降{s¹}。不考虑边荷载影响按公式{s¹}＝[δ]{R⁰}计算地基沉降{s¹}；考虑边荷载影响，根据叠加原理可得地基沉降{s¹}＝[δ]{R⁰}+{s}″，其中{s}″ 在弹性半平面地基中按式(19)计算；在弹性半空间地基中按式(20)计算。

④计算近似的刚度系数{K¹}。根据步骤②和③的计算结果，按公式 (i＝1、2、…、n)，计算近似的刚度系数{K¹}。

⑤计算弹性支座反力{R¹}，将步骤④计算的近似刚度系数{K¹}，输入结构 力学求解器弹性支座刚度系数中，由求解器计算弹性支座反力{R¹}。

⑥弹性支座反力{R¹}判断。如果所有的为非负，则转入精度判断；如有 负值，则令改点的重新完成步骤③～⑤的运算，直到全部非负为止。

7)精度判断。如对所有i成立，则迭代结束，转入内力计算。 如果不满足，则以{R¹}作为新的{R⁰}，重复上述步骤③～⑦，直至反力满足精度 要求。ε为选定的用以控制精度的小正数，一般可取为{R⁽⁰⁾}中各元素平均值的 0.5％～1％。

第四步：弹性支座反力计算。将上一步计算确定的弹性支座刚度系数K，输 入结构力学求解器“支座定义”页面，然后通过软件“内力计算”页面的“反力计算” 选项，求得弹性支座反力R_i。

第五步：阶梯形分布的地基反力计算。根据弹性支座反力R_i计算成果，按公 式(21)计算阶梯形分布的地基反力p_i。

(2)基础梁内力计算

第一步：几何不变体系构造。在基础梁的一端(如A端)设置一固定铰支 座，另一端(如B端)设置一活动铰支座，将基础梁构造为几何不变体系。

第二步：基础梁内力计算。在上一步将基础梁构造为几何不变体系的基础上， 将基础梁上荷载和阶梯形分布的地基反力输入基础梁内力计算模型(如图7所 示)，即可采用结构力学求解器静定梁计算功能，进行基础梁内力计算。

另外，对于弹性半平面地基中平面应变情况的基础梁内力计算，则必须将基 础梁的E应替换成E/(1+μ²)，地基的E₀应替换成E₀/(1+μ₀ ²)。

当然，以上只是本发明的具体应用范例，本发明还有其他的实施方式，凡采 用等同替换或等效变换形成的技术方案，均落在本发明所要求的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种弹性地基上梁的计算方法，其特征在于：利用链杆法的简化思路和结构力学求解器弹性支座计算功能实现地基反力计算；然后，利用结构力学求解器静定梁计算功能实现基础梁内力计算。

2.根据权利要求1所述的弹性地基上梁的计算方法，其特征在于：用结构力学求解器弹性支座代替链杆法中的刚性链杆，用弹性支座的变形代替地基的沉降，将地基梁变成支承在n个不同刚度的弹性支座上的梁，而连续的地基反力也就离散为n个集中反力，这样就把原本为无限次支承的地基梁计算问题，简化为支承在若干个弹性支座上的连续梁的计算问题，从而利用结构力学求解器弹性支座计算功能计算出各支座反力，并进一步的将集中反力R_i均化到各梁段上，计算出阶梯形分布的地基反力p_i，以近似代替曲线分布的地基反力，从而实现地基反力的计算；然后，根据所有荷载计算成果，并利用结构几何组成原理，将基础梁构造为几何不变体系，从而利用结构力学求解器静定梁计算功能实现基础梁内力计算。