CN107204009A - 基于仿射变换模型cpd算法的三维点云配准方法 - Google Patents

基于仿射变换模型cpd算法的三维点云配准方法 Download PDF

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Abstract

基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，本发明涉及基于点云配准的喷漆机器人位置配准方法。本发明的目的是为了解决现有主流三维点云配准算法CPD存在算法复杂度高、程序运行时间长、配准精度低、鲁棒性差的问题。具体过程为：一、得到一组三维点云数据作为待配准点云；二、得到的点云数据作为参考点集；三、计算协方差，并初始化B和t；四、利用GPU并行计算P；五、求解在目标函数取极大值时，参数B,t,σ2的值；六、重复迭代四和五，直到协方差小于设定的阈值，求出协方差小于设定的阈值时的B和t，以及最终配准的结果点集，根据最终的配准结果点集对待喷漆物体进行喷漆作业。本发明用于喷漆机器人喷漆领域。

Description

基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法
技术领域
本发明涉及基于点云配准的喷漆机器人位置配准方法。
背景技术
随着数据采集技术和计算机技术的快速发展，人们可以更加方便地利用各种三维数据采集设备获得物体模型表面一系列的采样点，即三维点云数据，而对应点云数据处理技术也因此被广泛应用。三维点云配准技术作为点云数据处理技术中关键技术之一，因其在灵活性、可移植性、成本以及精度等方面表现出了显著的优势而应用于工业产品检测、医疗诊断、考古研究以及建筑设计等诸多领域，尤其是在喷漆机器人领域，利用三维点云配准技术可以极大提高机器人喷漆效率。
三维点云配准技术就是对采集回的点云数据进行匹配，找到两组点云数据集的一系列空间变换关系，并通过这些空间变换，使得两个点云数据集的对应点在空间位置上尽最大可能的一致。目前，用于处理三维点云配准技术的算法主要有两类：一类是基于最小二乘法的配准算法，另一类则是基于概率模型的配准算法。对于第一类算法，最具代表性的是BeslPJ和Mckay ND提出的迭代最近点算法(Iterated Closest Points Algorithm,ICP)，具有极高的配准精度，但也存在一定的局限性：对初值要求高、鲁棒性差等，因此，一系列的改进算法相继被提出。对于第二类算法，较为成功的AndriyMyronenko和Xubo Song提出了一致点漂移算法(Coherent Point Drift,CPD)，其核心是将匹配矩阵的求解转化为高斯混合模型的质心点集与观测数据点集进行拟合的最大似然估计问题，因此对于噪声、出格点以及缺失点的影响具有较强鲁棒性。
对于只存在刚性变换的两组点云，主流三维点云配准算法ICP和CPD都有较高的匹配精度，但在实际中，由于摄像头等设备的视角变化，往往采集回来的点云数据集相对于模板点集存在缩放、反转等非刚性形变，受数据量大、有噪声、出格点和缺失点的影响，此时，ICP算法已不再适用，但基于仿射变换模型的CPD算法却能很好地解决这一问题；不过，CPD算法复杂度高、程序运行时间长、配准精度低、鲁棒性差。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有主流三维点云配准算法CPD存在算法复杂度高、程序运行时间长、配准精度低、鲁棒性差的问题，而提出基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法。
基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法具体过程为：
步骤一、利用喷漆机器人中的图像采集设备对待喷漆物体进行扫描，采集得到一组三维点云数据作为待配准点云；
步骤二、对步骤一中采集得到的待配准点云进行预处理，得到的点云数据作为参考点集；
步骤三、计算步骤二中得到参考点集与对应的已保存的模板点集的协方差σ2，并初始化仿射变换矩阵B和平移向量t；
步骤四、根据步骤三得到的σ2,B,t三个参数以及模板点集和参考点集，利用GPU并行计算高斯混合模型的后验概率矩阵P；
步骤五、利用步骤四得到的后验概率矩阵P，求解在目标函数Q(B,t,σ2)取极大值时，参数B,t,σ2的值；
步骤六、重复迭代步骤四和步骤五，直到协方差σ2小于设定的阈值，求出协方差σ2小于设定的阈值时的仿射变换矩阵B和平移向量t，以及最终配准的结果点集R＝YM×DBT+lt，l为元素全为1的列向量，YM×D为模板点集，根据最终的配准结果点集对待喷漆物体进行喷漆作业。
本发明的有益效果为：
1)本发明提出基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准并行处理方法，对有缩放、反转等非刚性形变的三维点云，本发明解决了现有的主流配准算法在数据量大，有噪声、出格点和缺失点影响的情况下，CPD存在算法复杂度高、程序运行时间长、配准精度低、鲁棒性差的问题，保证了三维点云配准的强鲁棒性和高配准精度，可以精准完成对待喷漆物体进行喷漆。
2)发明具有较高的配准精度，在有噪声、出格点和缺失点的情况下，配准误差可以小于0.01个单位长度。
3)本发明采用的GPU并行处理极大的缩短了程序的运行时间，较现有的国内外广泛使用的CPD点云配准库，在程序运行效率上有较大的优越性：对于有一万多个点的两组点云，CPD点云配准库中的仿射变换算法完成一次配准的时间约为45min，而本发明的运行时间仅为2min。
附图说明
图1是具体实施方式一中基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法的流程图；
图2是步骤一中使用图像采集设备采集到的一组点云；
图3是步骤二中对原始点云数据进行预处理后的点云效果图；
图4是具体实施方式五中将模板点云配准到参考点云后的最终效果图。
具体实施方式
具体实施方式一：结合图1说明本具体实施方式，本实施方式的基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，具体是按照以下步骤实施的：
步骤一、利用喷漆机器人中的图像采集设备对待喷漆物体进行扫描，采集得到一组三维点云数据作为待配准点云；如图2；
步骤二、对步骤一中采集得到的待配准点云进行预处理，得到的点云数据作为参考点集；如图3；
步骤三、计算步骤二中得到参考点集与对应的已保存的模板点集的协方差σ2，并初始化仿射变换矩阵B和平移向量t；
步骤四、根据步骤三得到的σ2,B,t三个参数以及模板点集和参考点集，利用GPU并行计算高斯混合模型的后验概率矩阵P；
步骤五、利用步骤四得到的后验概率矩阵P，求解在目标函数Q(B,t,σ2)取极大值时，参数B,t,σ2的值；
步骤六、重复迭代步骤四和步骤五，直到协方差σ2小于设定的阈值，求出协方差σ2小于设定的阈值时的仿射变换矩阵B和平移向量t，以及最终配准的结果点集R＝YM×DBT+lt，l为元素全为1的列向量，YM×D为模板点集，根据最终的配准结果点集对待喷漆物体进行喷漆作业；如图4。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤二中对步骤一中采集得到的待配准点云进行预处理,得到的点云数据作为参考点集；具体过程为：
步骤二一、对步骤一中采集得到的待配准点云中不需要配准的背景点云数据进行删除，得到去背景后的点云；
步骤二二、使用统计滤波器和半径滤波器对步骤二一中得到的去背景后的点云中的离群点进行删除，得到滤波后的点云；
步骤二三、对步骤二二中得到的滤波后的点云进行降采样，得到降采样后的点云；以稀疏点云数据，达到减少点云数据量的目的；
步骤二四、将步骤二三中得到的降采样后的点云以矩阵的形式保存为一个数据集，做为参考点集。
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤三中计算步骤二中得到参考点集与对应的已保存的模板点集的协方差σ2，并初始化仿射变换矩阵B和平移向量t；具体过程为：
步骤三一、计算参考点集XN×D＝(x1,…xN)T和模板点集YM×D＝(y1,…yM)T的协方差：
其中，M,N分别为参考点集和模板点集中点的数目，取值为正整数；D为点集的维数，xn为参考点集中第n个点的D维向量，ym为模板点集中第m个点的D维向量；
步骤三二、初始化仿射变换矩阵B和平移向量t，仿射变换矩阵B初始化为单位阵，即B＝I，平移向量t初始化为零，即t＝0；
式中，I为单位阵。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤四中根据步骤三得到的σ2,B,t三个参数以及模板点集和参考点集，利用GPU并行计算高斯混合模型的后验概率矩阵P；具体过程为：
步骤四一、将参考点集XN×D和模板点集YM×D，以及仿射变换矩阵B和平移向量t拷贝进GPU显存；
步骤四二、在GPU中分配M×N个二维线程给CUDA核函数；
步骤四三、所有二维线程同时计算对应高斯混合模型的后验概率矩阵P的元素，如编号为(m,n)的线程计算矩阵P的第m行第n列元素pmn。具体计算方法如下：
其中，exp(a)表示自然对数的底数的a次幂，a为或ω为点云中扰动的占比；pmn为矩阵P的第m行第n列元素，yk为模板点集中第k个点的D维向量，k为点集中第k个点；
步骤四四、将步骤四三得到的矩阵P拷贝至计算机内存，得到高斯混合模型的后验概率矩阵P。
其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤五中利用步骤四得到的后验概率矩阵P，求解在目标函数Q(B,t,σ2)取极大值时，参数B,t,σ2的值；具体过程为：
目标函数Q(B,t,σ2)的具体表达式为：
式中，l为元素全为1的列向量，T表示矩阵或向量的转置。
其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。
具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：所述目标函数Q(B,t,σ2)的具体优化过程为：
步骤五一、利用CUDA平台中的cuBlas库依次计算如下的矩阵乘法：
NP＝lTPl，
式中，NP、μX、μY为中间变量；
步骤五二、利用步骤五一中得到的参数μX,μY，对参考点集XN×D和模板点集YM×D进行更新，计算方法如下：
式中，分别表示更新后的参考点集和模板点集；
步骤五三、利用步骤五二中更新后的参考点集和模板点集，更新仿射变换矩阵B和平移向量t，具体计算方法如下：
式中，d(Pmnl)表示由向量Pmnl生成的对角矩阵；
步骤五四、利用步骤五三得到的更新后的仿射变换矩阵B和平移向量t，更新两组点集的协方差，具体计算方法如下：
式中，符号tr(A)表示矩阵A的迹，A为或
其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
实施例一：
本实施例基于一致点漂移算法的三维非刚体点云配准并行处理方法用于对喷漆机器人采集到的三维点集X10246×3与已有的模板点集Y10502×3进行位置配准。具体步骤与本发明具体实施过程一致。
步骤一、利用喷漆机器人中的图像采集设备对待喷漆物体进行扫描，采集得到一组三维点云数据作为待配准点云；
步骤二、对步骤一中采集得到的待配准点云进行预处理，得到的点云数据作为参考点集；
步骤三、计算步骤二中得到参考点集与对应的已保存的模板点集的协方差σ2，并初始化仿射变换矩阵B和平移向量t；
步骤四、根据步骤三得到的σ2,B,t三个参数以及模板点集和参考点集，利用GPU并行计算高斯混合模型的后验概率矩阵P；
步骤五、利用步骤四得到的矩阵P，求解在目标函数Q(B,t,σ2)取极大值时，参数B,t,σ2的值；
步骤六、重复迭代步骤四和步骤五，直到协方差σ2小于设定的阈值，求出协方差σ2小于设定的阈值时的仿射变换矩阵B和平移向量t，以及最终配准的结果点集R＝YM×DBT+lt，l为元素全为1的列向量，根据最终的配准结果点集对待喷漆物体进行喷漆作业。
最终，在Intel酷睿i5 3230M处理器、NVIDIA GeForce GT 740M的显卡配置下，程序运行时间约为2min，相比其他主流算法效率更高。此外，配准误差小于0.01m，配准精度较高。
本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (6)

1.基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，其特征在于：所述方法具体过程为：
步骤一、利用喷漆机器人中的图像采集设备对待喷漆物体进行扫描，采集得到一组三维点云数据作为待配准点云；
步骤二、对步骤一中采集得到的待配准点云进行预处理，得到的点云数据作为参考点集；
步骤三、计算步骤二中得到参考点集与对应的已保存的模板点集的协方差σ2，并初始化仿射变换矩阵B和平移向量t；
步骤四、根据步骤三得到的σ2,B,t三个参数以及模板点集和参考点集，利用GPU并行计算高斯混合模型的后验概率矩阵P；
步骤五、利用步骤四得到的后验概率矩阵P，求解在目标函数Q(B,t,σ2)取极大值时，参数B,t,σ2的值；
步骤六、重复迭代步骤四和步骤五，直到协方差σ2小于设定的阈值，求出协方差σ2小于设定的阈值时的仿射变换矩阵B和平移向量t，以及最终配准的结果点集R＝YM×DBT+lt，l为元素全为1的列向量，YM×D为模板点集，根据最终的配准结果点集对待喷漆物体进行喷漆作业。
2.根据权利要求1所述基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，其特征在于：所述步骤二中对步骤一中采集得到的待配准点云进行预处理,得到的点云数据作为参考点集；具体过程为：
步骤二一、对步骤一中采集得到的待配准点云中不需要配准的背景点云数据进行删除，得到去背景后的点云；
步骤二二、使用统计滤波器和半径滤波器对步骤二一中得到的去背景后的点云中的离群点进行删除，得到滤波后的点云；
步骤二三、对步骤二二中得到的滤波后的点云进行降采样，得到降采样后的点云；
步骤二四、将步骤二三中得到的降采样后的点云以矩阵的形式保存为一个数据集，做为参考点集。
3.根据权利要求2所述基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，其特征在于：所述步骤三中计算步骤二中得到参考点集与对应的已保存的模板点集的协方差σ2，并初始化仿射变换矩阵B和平移向量t；具体过程为：
步骤三一、计算参考点集XN×D＝(x1,…xN)T和模板点集YM×D＝(y1,…yM)T的协方差：
<mrow> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>D</mi> <mi>N</mi> <mi>M</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
其中，M,N分别为参考点集和模板点集中点的数目，取值为正整数；D为点集的维数，xn为参考点集中第n个点的D维向量，ym为模板点集中第m个点的D维向量；
步骤三二、初始化仿射变换矩阵B和平移向量t，仿射变换矩阵B初始化为单位阵，即B＝I，平移向量t初始化为零，即t＝0；
式中，I为单位阵。
4.根据权利要求3所述基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，其特征在于：所述步骤四中根据步骤三得到的σ2,B,t三个参数以及模板点集和参考点集，利用GPU并行计算高斯混合模型的后验概率矩阵P；具体过程为：
步骤四一、将参考点集XN×D和模板点集YM×D，以及仿射变换矩阵B和平移向量t拷贝进GPU显存；
步骤四二、在GPU中分配M×N个二维线程给CUDA核函数；
步骤四三、所有二维线程同时计算对应高斯混合模型的后验概率矩阵P的元素，具体计算方法如下：
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>By</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>By</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;pi;&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>D</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mi>M</mi> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> </mfrac> </mrow>
其中，exp(a)表示自然对数的底数的a次幂，a为或ω为点云中扰动的占比；pmn为矩阵P的第m行第n列元素，yk为模板点集中第k个点的D维向量，k为点集中第k个点；
步骤四四、将步骤四三得到的矩阵P拷贝至计算机内存，得到高斯混合模型的后验概率矩阵P。
5.根据权利要求4所述基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，其特征在于：所述步骤五中利用步骤四得到的后验概率矩阵P，求解在目标函数Q(B,t,σ2)取极大值时，参数B,t,σ2的值；具体过程为：
目标函数Q(B,t,σ2)的具体表达式为：
<mrow> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>By</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>l</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>P</mi> <mi>l</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>log&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
式中，l为元素全为1的列向量，T表示矩阵或向量的转置。
6.根据权利要求5所述基于仿射变换模型CPD算法的三维点云配准方法，其特征在于：所述目标函数Q(B,t,σ2)的具体优化过程为：
步骤五一、利用CUDA平台中的cuBlas库依次计算如下的矩阵乘法：
<mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>P</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>l</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>P</mi> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>X</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>N</mi> <mi>P</mi> </msub> </mfrac> <msub> <msup> <mi>X</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>Y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>N</mi> <mi>P</mi> </msub> </mfrac> <msub> <msup> <mi>Y</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>P</mi> <mi>l</mi> </mrow>
式中，NP、μX、μY为中间变量；
步骤五二、利用步骤五一中得到的参数μX,μY，对参考点集XN×D和模板点集YM×D进行更新，计算方法如下：
<mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>l&amp;mu;</mi> <mi>X</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>Y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>l&amp;mu;</mi> <mi>Y</mi> <mi>T</mi> </msubsup> </mrow>
式中，分别表示更新后的参考点集和模板点集；
步骤五三、利用步骤五二中更新后的参考点集和模板点集，更新仿射变换矩阵B和平移向量t，具体计算方法如下：
<mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msup> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>Y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>Y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>P</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msub> <mover> <mi>Y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>X</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>B&amp;mu;</mi> <mi>Y</mi> </msub> </mrow>
式中，d(Pmnl)表示由向量Pmnl生成的对角矩阵；
步骤五四、利用步骤五三得到的更新后的仿射变换矩阵B和平移向量t，更新两组点集的协方差，具体计算方法如下：
<mrow> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>P</mi> </msub> <mi>D</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>l</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msup> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>Y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，符号tr(A)表示矩阵A的迹，A为或
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