CN107009866A - 一种面向车辆发动机垂直方向振动的减振方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种面向车辆发动机垂向振动的减振方法，它总共有八大步骤。本方法是一种基于半主动式控制减振的方法，利用拉格朗日动力学方法，从发动机动力总成的建模入手，之后计入直动式吸振器，以及控制方案进行整体的动力学建模。分析非线性动力学模型，求解控制模态和被控模态之间的能量关系，通过调整构造的非线性项来调整内共振交换效果，加入阻尼效应，消减发动机的振动能量。本发明利用了内共振现象进行减振，减振效果明显，鲁棒性强而且消耗能量少，在车辆发动机减振方面有较好的实用价值。

Description

一种面向车辆发动机垂直方向振动的减振方法

技术领域

本发明涉及一种基于半主动减振方法，它从非线性的角度构造基于内共振的半主动式吸振器，可在车辆发动机和吸振器之间形成能量交换的通道，使得车辆发动机的垂向振动能量转移到吸振器中，并由吸振器的阻尼耗散。属于车辆发动机的振动控制技术领域。

背景技术

汽车由于其结构的复杂性和路况不确定性，在车辆行进期间有时会出现舱内噪声高、振动大，若长时间工作在舱内，舱内人员很容易感到疲劳烦躁、反应迟钝甚至会出现眩晕呕吐现象；就现阶段而言，我国自主生产和装备的车辆内部的噪声污染较为严重。而舱内噪声环境的好坏直接关系到乘客的舒适深度和身体状况，所以车辆的振动、噪声问题成为了一项重要研究内容。

振动控制方法概括来说主要有以下五种：消振、隔振、阻振、结构修改及吸振。目前车辆的减振主要是通过隔振，也就是增加悬置实现，但是效果还是不能让人足够满意。其他技术中，吸振是对发动机进行减振的一项重要技术。所谓吸振，就是通过在被控主振系统的特定部位附加一个具有质量和刚度的子系统，即动力吸振器。合理选择该子系统的动力参数、结构形式及与主振系的耦合关系，以改变主振系的振动状态，使能量重新分配，即将主振系上的振动能量转移到子系统上，从而减少或消除主振系的振动。动力吸振器主要可以划分为三种类型：被动式吸振器、半主动式吸振器和主动式吸振器。半主动吸振器具有吸振频带宽、能耗低的优点，已成为吸振技术的重要发展方向。

作为经典的振动理论，线性振动理论已经发展得相当完善，并在工程实际中得到了广泛应用。但是随着科学技术的不断发展，人们越来越认识到，虽然在解决许多工程实际问题时用线性振动理论可以得到比较满意的结果，而在许多场合下，比如大振幅振动，用线性振动理论分析就会带来很大的误差甚至是定性的错误。因此非线性振动理论近几十年来得到了非常迅速的发展。某些特种发动机振型复杂、频带宽、振幅大，尤其需要重视振动中的非线性项，因此使用非线性理论来消减发动机振动是值得探索的。

内共振为非线性振动系统特有的现象。对于振动系统中的两个固有频率，在满足内共振条件时，两个振动模态强烈地耦合，发生一种振动激发另一种振动的现象，称为非线性系统振动的内共振现象。在不计阻力的条件下，系统的能量在两种振动之间不断地转换而不衰减，振幅和相位周期性变化。通过内共振可以实现系统内不同模态之间的能量传递，如果某一阶内共振模态存在着一定的阻尼，那么该模态就会利用内共振所建立的能量交换机制不断从其它内共振模态那里获取并且耗散其振动能量。因此可以通过内共振来实现发动机的吸振。

针对发动机振动具有宽频、多振源、多主频以及非线性耦合的振动问题，研制可变阻尼、刚度吸振器，并将其应用到发动机动力总成悬置系统振动控制，探讨内共振状态下能量在被控模态与吸振器之间的交换规律，研究基于非线性内共振耗能减振的方法，具有重大的科学研究意义和工程应用价值。因此，本专利申请中提出一种“直动式半主动吸振器”，这种吸振器具有可变刚度阻尼的特点，同时可以利用内共振达到减小发动机垂向振动的作用。

发明内容

本发明提出一种面向车辆发动机垂向振动的基于内共振的半主动减振方法。为了清楚简明的阐述本发明中提出的减振方法，在这里用简化模型代替具体发动机模型。该方法具体步骤如下：

步骤一：对计入直动式吸振器的发动机建立坐标系，规定直动式吸振器所作用的坐标方向。

建立发动机动力学模型。在发动机质心处定义Go-xyz坐标系。Go-xyz坐标系原点O位于发动机质心处；x轴与曲轴平行，方向与汽车前进方向相反；z轴垂直于气缸上端面端盖法兰平面，指向上方；y轴由右手定则确定。以Go-xyz坐标系建立系统动力总成动力学振动方程。由于考虑的是发动机垂向的振动，所以选取的控制坐标为z向。吸振器定子质心Ps在发动机Go-xyz坐标系中位置为(x_s0,y_s0,z_s0)，吸振器动子初值位置Pa点在Go-xyz坐标系中位置为(x_a0,y_a0,z_a0)。

步骤二：吸振器整体等效为一套弹簧阻尼系统，将吸振器的控制原理设计为：

其中分别表示电机速度期望值和位移期望值，k_d、k_p分别表示电机的速度反馈增益和位置反馈增益。在本模型中，电机的期望位置是零，因此期望速度和位移均为零。这样就有

同时为了构造系统非线性内共振关系，将动力总成振动的加速度与动子加速度作为非线性项构造引入控制系统，作为调谐参数对吸振器控制力起到了修正作用。则吸振器系统的控制力矩可表示为：

式中，χ为可根据内共振需要进行构造的非线性参数。

令：

则：

步骤三：计入吸振器后，系统为7自由度振动模型，定义广义坐标为X＝[x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z,z_a]^T。其中，z_a为吸振器动子的坐标。基于Lagrange(拉格朗日)方法，将直动式吸振器计入整个发动机的动力总成模型中，可以得到整体的动力学模型为式(6)。

其中：

M＝M_p+M_ms+M_ma，

上述参数中，M为计入直动式吸振器的系统质量矩阵，M_p为未计入直动式吸振器的系统质量矩阵，M_ms为吸振器定子引起的质量矩阵，M_ma为吸振器动子引起的质量矩阵；(x_c,y_c,z_c)为动力总成质心在发动机质心坐标系下的坐标；F为广义力；K为计入直动式吸振器时系统的刚度矩阵，C为计入直动式吸振器时系统的阻尼矩阵；K_p为不计入直动式吸振器时系统的刚度矩阵，C_p为不计入直动式吸振器时系统的阻尼矩阵；m为动力总成总体质量，m_p为活塞组质量，m_l2为连杆小端质量，m_s为定子质量，m_a为动子质量；r为发动机曲柄半径，e_y为二、三缸中心线到质心X方向距离，λ为曲柄连杆长度之比；M_eo为怠速工况下发动机输出扭矩；ω为曲轴角速度。

步骤四：分析计入直动式吸振器的发动机非线性动力学模型。

互相耦合的7个自由度振动系统，经过正交变换后，成为在模态坐标下互相独立的7个自由度的振动系统，解耦后的第i阶模态的振动微分方程为

式中，q_i为系统的第i阶主振型模态坐标，m_i为第i阶模态的模态质量，k_i为第i阶模态的模态刚度，c_i为第i阶模态的模态阻尼。f_i为第i阶模态的广义力。

f_i＝r_i1χ+r_i2(m_l2+m_p)rλω²cos2ωt+r_i3e_y(m_l2+m_p)rλω²cos2ωt+r_i4M_eo[1+1.3sin2ωt] (8)

式中，r_i1,r_i2,r_i3,r_i3为与系统振型矩阵有关的常数项系数。

设吸振器模态为第1阶模态，按固有频率由低到高排列，被控的垂向模态为第5阶模态。振动方程为

令B＝(m_l2+m_p)rλω²；C＝e_y(m_l2+m_p)rλω²；D＝M_eo；E_i＝r_i2B+r_i3C

式(9)可写为

将式(10)同除以质量，有

为了使第1阶模态与第5阶模态形成1:2内共振，需要构造非线性耦合项，即需要构造χ，令

令：

其中：ω_i为第i阶模态频率，ζ_i为第i阶模态阻尼比。

故式(11)可写为

由非线性振动的内共振可知，当吸振器模态和被控模态的固有频率满足可公度关系时，能量可以在两个模态之间传递，并且吸振器的阻尼吸收被控模态的振动能量。

可知直动式吸振器的运动频率ω₁与驱动该直动式电机的位置反馈增益k_p有关，故可以通过调整k_p从而控制直动式吸振器的运动频率，使系统形成内共振；直动式吸振器的控制阻尼2ζ₁ω₁与驱动该直动式电机的速度反馈增益k_d有关，故可以通过调整k_d从而控制直动式吸振器的运动阻尼，吸收发动机的振动能量。

步骤五：应用多尺度法求解方程(13)的近似解析解。对变量进行无量纲化处理，设动力总成高为l。

令τ＝ω₁t；

在方程中引入小参数0＜ε＜＜1，代表系统的非线性项和阻尼项。

令：ζ₁→εη₁；ζ₅→εη₅

使得非线性项和阻尼项第一次出现时具有相同的量级。最后可以得到如下方程

运用多尺度法求解方程(14)，引入不同尺度的时间变量T₀＝τ,T₁＝ετ,T₂＝ε²τ...，利用求导的链式法则将对无量纲时间τ的一阶导数和二阶导数改写为

取到方程的一次近似解

其中式(17)中快变时间T₀描述的是系统的稳态响应，慢变时间T₁描述的是系统的瞬态响应。

将式(15)、(16)、(17)代入方程(14)，提取出ε⁰、ε¹对应项。

ε⁰阶的方程

ε¹阶的方程

其中：

步骤六：求解方程组(18)，得到解为：

式中：A₁、A₅是未知的关于慢变时间T₁的复函数，cc为共轭项。

为了分析内共振，引进如下的解谐参数σ

ω_s＝2+εσ (21)

消除长期项

将式(21)代入式(22)，不考虑共轭项，可得

令(A₁、A₅、a₁、a₄、θ₁、θ₅均为慢变时间T₁的函数。)将A₁、A₅代入方程(23)中，并根据实部和虚部为零可得，

其中γ＝θ₅-2θ₁+εσT₀；T₁＝εT₀。

步骤七：在无阻尼(ζ₁＝ζ₂＝0)的情况下，将式(24)乘以υa₁，式(25)乘以a₅，并把所得的两个方程相加，得

取则

其中E是积分常数，表示系统的初始能量。

从式(30)可以看到υ＞0时，将其代入式(30)可知a₁和a₅总是有界的，且呈现着此消彼长的关系。这证明了利用此方法能够在被控模态与吸振器模态之间形成内共振，能量能够在两个模态间传递。

可以通过调整e₁、e₂的符号，保证满足形成内共振的条件。通过调整e₁、e₂的数值，来调整内共振状态下控制模态与受控模态之间的能量交换幅度。

步骤八：从步骤七中可知，汽车发动机系统在无阻尼条件下，能量可以在两个模态之间进行传递。当引入阻尼到吸振器模态中，即ζ₁≠0，此时减振装置的阻尼可以耗散来自发动机的振动能量，调节减振装置的阻尼到合适的值，使得减振装置能够最大程度地减小发动机的振动。

本发明充分考虑了汽车发动机大幅度振动和多阵型复杂情况带来的非线性振动，并且利用非线性振动系统发生内共振时，能量在不同模态之间进行交互的特性，提供了一套理论上可行且操作上方便的减振方法和装置。

本发明与现有技术相比的优点在于：

1)利用构造可控局部自由度的非线性耦合项和发动机之间形成内共振，使得能量能够从发动机的垂向模态转移到直动式吸振器中并将其耗散。

2)减振效果明显、鲁棒性强。本发明通过调节直动式电机的位置反馈系数实现发动机垂向和直动式吸振器之间的内共振，因而针对不同的控制对象，减振装置均能满足频率匹配的要求；通过调节速度反馈系数引入阻尼到吸振器当中，充分吸收来自发动机的振动能量，削减发动机垂向的大幅振动。

3)该减振装置消耗能量少，只要提供减振装置正常工作时的基本电压，不需要额外输入能量来抵消振动能量；而且把伺服电机作为减振装置的作动部件，使得整套装置结构简单，使用方便。

附图说明

图1为本发明的发动机简化模型坐标系建立示意图；

图2为本发明计入控制系统的整体结构示意图；

图3为悬置及吸振器均无阻尼时，吸振器模态与发动机垂向模态幅值曲线；

图4为广义坐标下吸振器与发动机质心z向的振动图像；

图5为无吸振器时发动机质心z向振动图像；

图6为引入吸振器阻尼后，数值仿真得到发动机质心z向振动图像；

图7为加入两个外界瞬时冲击力且无吸振器时发动机质心z向振动图像；

图8为加入两个外界瞬时冲击力且有吸振器时发动机质心z向振动图像；

图1符号说明如下：

Go-xyz表示在发动机质心处定义的坐标系；Ps表示吸振器定子质心；(x_s0,y_s0,z_s0)表示吸振器定子质心在发动机Go-xyz坐标系中位置；Pa表示吸振器动子初值；(x_a0,y_a0,z_a0)表示吸振器动子在Go-xyz坐标系中的位置。

图2中的数字和符号说明如下：

1表示加速度传感器，2表示悬置1，3表示悬置2，4表示悬置3，5表示悬置4，6表示吸振器，表示直动式吸振器中的直线电机期望运动位置，z_a表示直线电机实际运动位置，分别表示发动机和吸振器z向的加速度，k_p表示电机的位置反馈增益，k_d表示伺服电机的速度反馈增益，τ表示控制力。

图3图4中细线表示吸振器的动子振动曲线，粗实线表示发动机质心z向的振动。

具体实施方式

下面结合附图及数值算例对本发明进行详细的说明。

本发明提出一种面向车辆发动机垂向振动的基于内共振的半主动减振方法，包括带有直动式吸振器的发动机建模和内共振分析。为了清楚简明的阐述本发明中提出的减振方法，在这里用简化模型代替具体发动机模型。该方法具体步骤如下：

步骤一：对计入直动式吸振器的发动机建立坐标系，规定直动式吸振器所作用的坐标方向。

如图1所示，建立发动机动力学模型的坐标系。

在发动机质心处定义Go-xyz坐标系。Go-xyz坐标系原点O位于发动机质心处；x轴与曲轴平行，方向与汽车前进方向相反；z轴垂直于气缸上端面端盖法兰平面，指向上方；y轴由右手定则确定。以Go-xyz坐标系建立系统动力总成动力学振动方程。由于考虑的是发动机垂向的振动，所以选取的控制坐标为z向。吸振器定子质心Ps在发动机Go-xyz坐标系中位置为(x_s0,y_s0,z_s0)，吸振器动子初值位置Pa点在Go-xyz坐标系中位置为(x_a0,y_a0,z_a0)。

步骤二：吸振器整体等效为一套弹簧阻尼系统，具体实施采用直动式电机，将吸振器的控制原理设计为：

其中分别表示电机速度期望值和位移期望值，k_d、k_p分别表示电机的速度反馈增益和位置反馈增益。在本模型中，电机的期望位置是零，因此期望速度和位移均为零。这样就有

同时为了构造系统非线性内共振关系，将动力总成振动的加速度与动子加速度作为非线性项构造引入控制系统，作为调谐参数对吸振器控制力起到了修正作用。则吸振器系统的控制力矩可表示为：

式中，χ为可根据内共振需要进行构造的非线性参数。

令：

则：

整个计入直动吸振器的动力总成系统如图2所示。

步骤三：计入吸振器后，系统为7自由度振动模型，定义广义坐标为X＝[x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z,z_a]^T。其中，z_a为吸振器动子的坐标。基于Lagrange(拉格朗日)方法，将直动式吸振器计入整个发动机的动力总成模型中，可以得到整体的动力学模型为式(6)。

其中：

M＝M_p+M_ms+M_ma，

上述参数中，M为计入直动式吸振器的系统质量矩阵，M_p为未计入直动式吸振器的系统质量矩阵，M_ms为吸振器定子引起的质量矩阵，M_ma为吸振器动子引起的质量矩阵；(x_c,y_c,z_c)为动力总成质心在发动机质心坐标系下的坐标；F为广义力；K为计入直动式吸振器时系统的刚度矩阵，C为计入直动式吸振器时系统的阻尼矩阵；K_p为不计入直动式吸振器时系统的刚度矩阵，C_p为不计入直动式吸振器时系统的阻尼矩阵；m为动力总成总体质量，m_p为活塞组质量，m_l2为连杆小端质量，m_s为定子质量，m_a为动子质量；r为发动机曲柄半径，e_y为二、三缸中心线到质心X方向距离，λ为曲柄连杆长度之比；M_eo为怠速工况下发动机输出扭矩；ω为曲轴角速度。

步骤四：分析计入直动式吸振器的发动机非线性动力学模型。

互相耦合的7个自由度振动系统，经过正交变换后，成为在模态坐标下互相独立的7个自由度的振动系统，解耦后的第i阶模态的振动微分方程为

其中：q_i为系统的第i阶主振型模态坐标，m_i为第i阶模态的模态质量，k_i为第i阶模态的模态刚度，c_i为第i阶模态的模态阻尼。f_i为第i阶模态的广义力。

f_i＝r_i1χ+r_i2(m_l2+m_p)rλω²cos2ωt+r_i3e_y(m_l2+m_p)rλω²cos2ωt+r_i4M_eo[1+1.3sin2ωt] (8)

式中，r_i1,r_i2,r_i3,r_i3为与系统振型矩阵有关的常数项系数。

设吸振器模态为第1阶模态，按固有频率由低到高排列，被控的垂向模态为第5阶模态。振动方程为

令B＝(m_l2+m_p)rλω²；C＝e_y(m_l2+m_p)rλω²；D＝M_eo；E_i＝r_i2B+r_i3C

式(9)可写为

将式(10)同除以质量，有

为了使第1阶模态与第5阶模态形成1:2内共振，需要构造非线性耦合项，即需要构造χ，令

令：

其中：ω_i为第i阶模态频率，ζ_i为第i阶模态阻尼比。

故式(11)可写为

由非线性振动的内共振可知，当吸振器模态和被控模态的固有频率满足可公度关系时，能量可以在两个模态之间传递，并且吸振器的阻尼吸收被控模态的振动能量。

可知直动式吸振器的运动频率ω₁与驱动该直动式电机的位置反馈增益k_p有关，故可以通过调整k_p从而控制直动式吸振器的运动频率，使系统形成内共振；直动式吸振器的控制阻尼2ζ₁ω₁与驱动该直动式电机的速度反馈增益k_d有关，故可以通过调整k_d从而控制直动式吸振器的运动阻尼，吸收发动机的振动能量。

步骤五：应用多尺度法求解方程(13)的近似解析解。对变量进行无量纲化处理，设动力总成高为l。

令τ＝ω₁t；

在方程中引入小参数0＜ε＜＜1，代表系统的非线性项和阻尼项。

令：ζ₁→εη₁；ζ₅→εη₅

使得非线性项和阻尼项第一次出现时具有相同的量级。最后可以得到如下方程

运用多尺度法求解方程(14)，引入不同尺度的时间变量T₀＝τ,T₁＝ετ,T₂＝ε²τ...，利用求导的链式法则将对无量纲时间τ的一阶导数和二阶导数改写为

取到方程的一次近似解

其中式(17)中快变时间T₀描述的是系统的稳态响应，慢变时间T₁描述的是系统的瞬态响应。

将式(15)、(16)、(17)代入方程(14)，提取出ε⁰、ε¹对应项。

ε⁰阶的方程

ε¹阶的方程

其中：

步骤六：求解方程组(18)，得到解为：

式中：A₁、A₅是未知的关于慢变时间T₁的复函数，cc为共轭项。

为了分析内共振，引进如下的解谐参数σ

ω_s＝2+εσ (21)

消除长期项

将式(21)代入式(22)，不考虑共轭项，可得

令(A₁、A₅、a₁、a₄、θ₁、θ₅均为慢变时间T₁的函数。)将A₁、A₅代入方程(23)中，并根据实部和虚部为零可得，

其中γ＝θ₅-2θ₁+εσT₀；T₁＝εT₀。

步骤七：在无阻尼(ζ₁＝ζ₅＝0)的情况下，将式(24)乘以υa₁，式(25)乘以a₅，并把所得的两个方程相加，得

取则

其中E是积分常数，表示系统的初始能量。

从式(30)可以看到υ＞0时，将其代入式(30)可知a₁和a₅总是有界的，且呈现着此消彼长的关系。这证明了利用此方法能够在被控模态与吸振器模态之间形成内共振，能量能够在两个模态间传递。

可以通过调整e₁、e₂的符号，保证满足形成内共振的条件。通过调整e₁、e₂的数值，来调整内共振状态下控制模态与受控模态之间的能量交换幅度。

步骤八：从步骤七中可知，整个系统在无阻尼条件下，能量可以在两个模态之间进行传递。当引入阻尼到直动式吸振器模态中，即ζ₁≠0，此时吸振器的阻尼可以耗散来自发动机垂向的振动能量，调节吸振器的阻尼到合适的值，使得吸振器能够最大程度地减小发动机垂向的振动。

为进一步直观表述本发明的优越性，给定下述算例。设计吸振器动子质量为5kg，定子质量为3kg，安装于发动机前端面靠近右悬置处。悬置及吸振器均无阻尼时，控制模态与被控模态幅值曲线如图3所示，其中细线为控制模态的模态幅值，粗实线为被控模态的模态幅值；广义坐标下吸振器与发动机质心z向的振动如图4所示，其中细线为吸振器的动子振动曲线，粗实线为发动机质心z向的振动。由图3中可以看出，控制模态与被控模态之间存在能量交换；由图4可以看出，吸振器与发动机质心z向的运动呈现拍的现象：发动机质心z向振动幅度小时，吸振器的振幅大；发动机质心z向振动幅度大时，吸振器的振幅小，二者的振幅此消彼长，这也说明了振动能量在两者之间相互传递，调节吸振器的阻尼即可将传递的能量耗散掉，进而实现减振的效果。

无吸振器时，数值仿真得到发动机质心z向振动如图5所示。

有吸振器并引入阻尼时发动机质心z向振动，如图6所示。引入吸振器后，发动机质心z向最大振幅消减了57％；振动衰减时间由300s减小到16s。因此引入吸振器后，不仅可以大幅度消减发动机的瞬态振幅，而且可以使发动机振动迅速达到稳态响应。

由上述分析可知，该吸振器可以使发动机的瞬态振动在很短的时间内迅速衰减。

为模拟汽车过坑洼地段时发动机的振动，在仿真中随机加入两个外界瞬时冲击力。无吸振器时发动机质心z向振动如图7所示，有吸振器时发动机质心z向振动如图8所示。对比可得，引入吸振器后，发动机受外界冲击力时的振幅消减了31.3％；冲击力消失后，振动快速达到稳态响应。由此可知，吸振器不仅可以快速消减瞬态响应，而且可以迅速消减外界冲击带来的振动，使发动机振动达到稳定。

综上所述，可以证明基于内共振的吸振器是有效的，特别是该吸振器不仅可以使发动机的瞬态振动在很短的时间内迅速衰减，而且可以消减汽车过坑洼地段时外界冲击引起发动机的振动。

Claims (1)

1.一种面向车辆发动机垂直方向振动的减振方法，其特征在于，该方法具体步骤如下：

步骤一：对计入直动式吸振器的发动机建立坐标系，规定直动式吸振器所作用的坐标方向；

建立发动机动力学模型；在发动机质心处定义Go-xyz坐标系；Go-xyz坐标系原点O位于发动机质心处；x轴与曲轴平行，方向与汽车前进方向相反；z轴垂直于气缸上端面端盖法兰平面，指向上方；y轴由右手定则确定；以Go-xyz坐标系建立系统动力总成动力学振动方程；由于考虑的是发动机垂向的振动，所以选取的控制坐标为z向；吸振器定子质心Ps在发动机Go-xyz坐标系中位置为(x_s0,y_s0,z_s0)，吸振器动子初值位置Pa点在Go-xyz坐标系中位置为(x_a0,y_a0,z_a0)；

步骤二：吸振器整体等效为一套弹簧阻尼系统，将吸振器的控制原理设计为：

其中分别表示电机速度期望值和位移期望值，k_d、k_p分别表示电机的速度反馈增益和位置反馈增益；在本模型中，电机的期望位置是零，因此期望速度和位移均为零；这样就有

同时为了构造系统非线性内共振关系，将动力总成振动的加速度与动子加速度作为非线性项构造引入控制系统，作为调谐参数对吸振器控制力起到了修正作用；则吸振器系统的控制力矩可表示为：

式中，χ为可根据内共振需要进行构造的非线性参数；

令：

则：

步骤三：计入吸振器后，系统为7自由度振动模型，定义广义坐标为X＝[x,y,z,θ_x,θ_y,θ_z,z_a]^T； 其中，z_a为吸振器动子的坐标；基于Lagrange(拉格朗日)方法，将直动式吸振器计入整个发动机的动力总成模型中，可以得到整体的动力学模型为式(6)；

其中：

M＝M_p+M_ms+M_ma，

上述参数中，M为计入直动式吸振器的系统质量矩阵，M_p为未计入直动式吸振器的系统质量矩阵，M_ms为吸振器定子引起的质量矩阵，M_ma为吸振器动子引起的质量矩阵；(x_c,y_c,z_c)为动力总成质心在发动机质心坐标系下的坐标；F为广义力；K为计入直动式吸振器时系统的刚度矩阵，C为计入直动式吸振器时系统的阻尼矩阵；K_p为不计入直动式吸振器时系统的刚度 矩阵，C_p为不计入直动式吸振器时系统的阻尼矩阵；m为动力总成总体质量，m_p为活塞组质量，m_l2为连杆小端质量，m_s为定子质量，m_a为动子质量；r为发动机曲柄半径，e_y为二、三缸中心线到质心X方向距离，λ为曲柄连杆长度之比；M_eo为怠速工况下发动机输出扭矩；ω为曲轴角速度；

步骤四：分析计入直动式吸振器的发动机非线性动力学模型；

互相耦合的7个自由度振动系统，经过正交变换后，成为在模态坐标下互相独立的7个自由度的振动系统，解耦后的第i阶模态的振动微分方程为

式中，q_i为系统的第i阶主振型模态坐标，m_i为第i阶模态的模态质量，k_i为第i阶模态的模态刚度，c_i为第i阶模态的模态阻尼；f_i为第i阶模态的广义力；

f_i＝r_i1χ+r_i2(m_l2+m_p)rλω²cos2ωt+r_i3e_y(m_l2+m_p)rλω²cos2ωt+r_i4M_eo[1+1.3sin2ωt] (8)

式中，r_i1,r_i2,r_i3,r_i3为与系统振型矩阵有关的常数项系数；

设吸振器模态为第1阶模态，按固有频率由低到高排列，被控的垂向模态为第5阶模态；振动方程为

令B＝(m_l2+m_p)rλω²；C＝e_y(m_l2+m_p)rλω²；D＝M_eo；E_i＝r_i2B+r_i3C

式(9)可写为

将式(10)同除以质量，有

为了使第1阶模态与第5阶模态形成1:2内共振，需要构造非线性耦合项，即需要构造χ，令

令：

其中：ω_i为第i阶模态频率，ζ_i为第i阶模态阻尼比；

故式(11)可写为

由非线性振动的内共振可知，当吸振器模态和被控模态的固有频率满足可公度关系时，能量可以在两个模态之间传递，并且吸振器的阻尼吸收被控模态的振动能量；

可知直动式吸振器的运动频率ω₁与驱动该直动式电机的位置反馈增益k_p有关，故可以通过调整k_p从而控制直动式吸振器的运动频率，使系统形成内共振；直动式吸振器的控制阻尼2ζ₁ω₁与驱动该直动式电机的速度反馈增益k_d有关，故可以通过调整k_d从而控制直动式吸振器的运动阻尼，吸收发动机的振动能量；

步骤五：应用多尺度法求解方程(13)的近似解析解；对变量进行无量纲化处理，设动力总成高为l；

令

在方程中引入小参数0＜ε＜＜1，代表系统的非线性项和阻尼项；

令：ζ₁→εη₁；ζ₅→εη₅

使得非线性项和阻尼项第一次出现时具有相同的量级；最后可以得到如下方程

运用多尺度法求解方程(14)，引入不同尺度的时间变量T₀＝τ,T₁＝ετ,T₂＝ε²τ...，利用求导的链式法则将对无量纲时间τ的一阶导数和二阶导数改写为

取到方程的一次近似解

其中式(17)中快变时间T₀描述的是系统的稳态响应，慢变时间T₁描述的是系统的瞬态响应；

将式(15)、(16)、(17)代入方程(14)，提取出ε⁰、ε¹对应项；

ε⁰阶的方程

ε¹阶的方程

其中：

步骤六：求解方程组(18)，得到解为：

式中：A₁、A₅是未知的关于慢变时间T₁的复函数，cc为共轭项；

为了分析内共振，引进如下的解谐参数σ

ω_s＝2+εσ (21)

消除长期项

将式(21)代入式(22)，不考虑共轭项，可得

令(A₁、A₅、a₁、a₄、θ₁、θ₅均为慢变时间T₁的函数；)将A₁、A₅代入方程(23)中，并根据实部和虚部为零可得，

其中γ＝θ₅-2θ₁+εσT₀；T₁＝εT₀；

步骤七：在无阻尼(ζ₁＝ζ₂＝0)的情况下，将式(24)乘以υa₁，式(25)乘以a₅，并把所得的两个方程相加，得

取则

其中E是积分常数，表示系统的初始能量；

从式(30)可以看到υ＞0时，将其代入式(30)可知a₁和a₅总是有界的，且呈现着此消彼长的关系；这证明了利用此方法能够在被控模态与吸振器模态之间形成内共振，能量能够在两个模态间传递；

可以通过调整e₁、e₂的符号，保证满足形成内共振的条件；通过调整e₁、e₂的数值，来调整内共振状态下控制模态与受控模态之间的能量交换幅度；

步骤八：从步骤七中可知，汽车发动机系统在无阻尼条件下，能量可以在两个模态之间进行传递；当引入阻尼到吸振器模态中，即ζ₁≠0，此时减振装置的阻尼可以耗散来自发动机的振动能量，调节减振装置的阻尼到合适的值，使得减振装置能够最大程度地减小发动机的振动。