CN114818182B - 一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器(Dynamic vibration absorber，DVA)参数设计方法，获取抑制宽频激励下薄壁结构动响应的DVA最优参数。首先，通过应变传感器获得薄壁结构的应变响应数据；其次，对结构响应数据构成的矩阵进行奇异值分解(Singular value decomposition，SVD)获得奇异值和奇异向量，并根据左、右奇异向量求解结构模态参数；最后，根据获取的模态参数对奇异值较大的前几阶向量分别开展DVA参数设计，实现结构的振动抑制。本发明解决了薄壁结构因模态密集且激励与结构参数难以精确获得导致DVA参数优化困难的问题，克服了现有DVA设计方法难以适用于仅结构响应已知工况的局限性。
Description
技术领域
本发明涉及一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，属于结构振动控制技术领域。
背景技术
动力吸振器由于其理论相对成熟、成本低、安装方便等优点，被广泛应用于各类工程减振中，目前的动力吸振器设计主要基于结构动力学特性，依赖于结构模型精度和外载荷信息。缺乏仅依靠结构响应对动力吸振器进行优化设计的理论。现有的动力吸振器的优化理论均需要准确的载荷信息以及结构参数信息，然而实际工程结构的高保真动力学模型难以建立，外载荷信息难以直接通过测量获取。虽然可以通过载荷识别和模态参数识别的算法反推出结构的载荷和模态参数信息，但识别算法对于复杂工况下的薄壁结构识别效果很差，必然导致动力吸振器的控制效果不佳。为更好的将动力吸振器应用到薄壁结构，亟需发展一种仅依靠响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法。
发明内容
本发明的目的是一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，该方法包含如下步骤：
(1)、获得薄壁结构的应变响应数据；
(2)、对响应数据构成的矩阵进行奇异值分解，获得奇异值与奇异向量；根据奇异值确定目标模态以及DVA的个数；
(3)、根据左奇异向量和右奇异向量获得目标模态的模态振型、模态频率、模态质量、模态刚度和模态阻尼信息；
(4)、通过等效参数替换将单模态振动系统动力吸振器参数设计问题转化为等效单自由度振动系统的动力吸振器参数设计问题，吸振器最优布置位置根据目标模态振型极值确定；
(5)、根据定点理论进行等效单自由度振动系统减振的动力吸振器参数设计，获取薄壁结构减振的动力吸振器优化参数。
进一步的，所述步骤(1)中，利用应变传感器获得结构的应变响应数据。
进一步的，步骤(2)中，目标模态和DVA个数确定包括以下步骤：
目标模态信息包含应变模态和位移模态，同一阶应变模态和位移模态具有相同的模态频率，共享广义坐标，应变模态振型矩阵Φε和位移模态振型矩阵Φw存在如下转换关系：
Φw＝TΦε (1)
其中，T为转换矩阵；
将薄壁结构的应变响应矩阵ε根据模态叠加法投影到模态空间：
ε＝Φεq (2)
式中：为模态空间内的广义坐标矩阵，其中，qn为结构的第n阶应变模态所对应的广义坐标，N为应变模态的总个数；Φε＝[Φε1,Φε2,...,ΦεN]是由结构应变模态振型向量Φεn组成的振型矩阵，其中，Φεn为结构的第n阶应变模态振型向量，n＝1,2,…,N；
由应变响应矩阵ε构造系数矩阵C1：
C1＝εεT (3)
根据模态的能量分布在不同频段内，不同阶模态的广义坐标向量之间内积为零：
根据结构模态的正交性：
综合式(2)、(3)、(4)、(5)得：
对于任意矩阵A，其特征值问题可通过下式求解：
Av＝vλ (7)
式中，v与λ分别为矩阵A的特征向量矩阵和特征值矩阵，对比式(6)和式(7)可得：式(6) 中矩阵Φε与矩阵分别为矩阵C1的特征向量矩阵和特征值矩阵；
由应变响应矩阵ε构造系数矩阵C2：
C2＝εTε (8)
同理得：
式中，矩阵qT与矩阵分别为矩阵C2的特征向量矩阵和特征值矩阵。
式(6)中的Φε以及式(9)中qT通过对应变响应矩阵ε进行奇异值分解得到：
ε＝UΣVT (10)
式中，左奇异矩阵U即为应变模态振型矩阵Φε；右奇异矩阵V即为广义坐标矩阵qT；奇异值矩阵Σ为对角矩阵，且对角项按数值大小降序排列，表征对应阶次奇异向量携带能量的比重，当前m个奇异向量对应的奇异值占全部奇异值总和的90％以上时，选取前m阶奇异向量作为目标模态，并为每一阶目标模态设计一个DVA抑制其振动响应。
进一步的，所述步骤(3)中，根据左奇异向量和右奇异向量获得目标模态的模态振型、模态频率、模态质量、模态刚度和模态阻尼信息，包括以下步骤：
根据式(10)中左奇异矩阵U获得应变模态振型数据，目标模态频率通过对式(10)中右奇异矩阵V求极值点获得，根据式(1)中应变模态振型Φε和位移模态振型Φw的关系式，由Φε求解Φw，针对薄壁结构，位移模态振型通过将应变模态振型代入下式得到：
式中，εx是薄壁结构沿x方向的应变，h是薄壁结构的厚度，w表示离面位移；
目标模态的模态质量、模态刚度和模态阻尼参数根据将模态振型和模态频率带入下式得到：
式中，Φwn表示结构应变模态振型向量，m为结构的离散集中质量矩阵，Mn、Kn、Cn、ωn分别为第n阶模态的模态质量、模态刚度、模态阻尼和模态频率，假设结构的阻尼为瑞利阻尼Cn＝αMn+βKn，式中，α和β为瑞利阻尼系数。
进一步的，所述步骤(4)中等效参数替换包括以下步骤：
基于单模态振动系统，在薄壁结构附加质量、刚度和阻尼分别为m1、k1和c1的动力吸振器后，其振动响应复振幅X的表达式为：
式中：F为分布外激励；ω为角频率；φn1为吸振器所在位置处第n阶位移模态振型的幅值；j为虚数单位；上标T表示转置，将式代入式(13) 进行等效参数替换得：
式(14)中，等式右边乘积的第一项为关于动力吸振器放置位置的表达式，要使被减振结构振动量级最小，应使φn1最大，即动力吸振器应放置在振型幅值最大处。
进一步的，所述步骤(5)中定点理论包括以下步骤：
对一单自由度振动系统，其质量、刚度和阻尼分别等于Mref、Kref、Cref，附加质量、刚度和阻尼分别为m1、k1和c1的动力吸振器后，其振动响应复振幅Xs的表达式为：
式中，F1为外激励，取复振幅Xs的模得：
式中
式中，为动力吸振器固有频率，为单自由度振动系统固有频率；为动力吸振器阻尼比；为动力吸振器与单自由度振动系统的质量比；单自由度振动系统的阻尼比，式(16)所示单自由度振动系统响应复振幅幅值表达式存在两个不随动力吸振器阻尼比改变的定点，定点的位置由下式得出：
令这两个定点的|Xs|取值相等，并使该单自由度振动系统响应复振幅|Xs|在这两定点的导数为零定为最优设计条件，根据最优设计条件得单自由度振动系统动力吸振器最优材料参数，式(15)与式(14)仅相差一个倍数关系，此时单自由度振动系统动力吸振器最优材料参数即为薄壁结构上附加动力吸振器的最优材料参数：
式中
有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益技术效果：
本发明通过对应变响应数据进行奇异值分解，得到奇异值矩阵和奇异向量矩阵。选取奇异值较大的前几个奇异向量作为目标模态，并针对每一个目标模态分别设计一个动力吸振器抑制其振动响应。根据左、右奇异矩阵获得目标模态的参数信息，进而获得动力吸振器的最优参数。与现有技术相比，本发明提出的动力吸振器设计方法可以不需要高保真的结构模型以及外载荷信息，仅根据实测得到的结构响应信息即可开展，提高了现有技术的工程适用性；同时本发明中的方法不受结构模型建模误差和外载荷误差的影响，比现有技术具有更好的减振效果。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为本发明算例中薄壁结构有限元模型；
图3为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的第1阶应变模态振型；
图4为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的第2阶应变模态振型；
图5为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的第3阶应变模态振型；
图6为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的前3阶模态坐标曲线；
图7为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的第1阶位移模态振型；
图8为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的第2阶位移模态振型；
图9为本发明算例模型应变响应数据SVD得到的第3阶位移模态振型；
图10为本发明算例模型添加动力吸振器前后振动响应曲线。
具体实施方式
下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。
实施例：一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，针对如图2中所示典型薄壁结构为对象，具体操作如下：
(1)、在薄壁结构上粘贴应变片获取结构x向应变响应数据。根据模态叠加法，如图2 中所示的应变响应可以表示为其各阶应变模态振型的叠加形式。薄板结构所受载荷以及应变片粘贴位置如图2所示。
(2)、将步骤1获得的应变响应组成响应矩阵ε，并根据下式进行奇异值分解：
ε＝UΣVT (1)
经分析得到应变响应矩阵ε的前3阶奇异向量对应奇异值占总奇异值总和的93.6％，因此将这3阶奇异向量所对应的模态设为目标模态，并分别设计一个DVA进行振动响应抑制。
(3)、前3阶应变模态的振型可通过左奇异矩阵U直接得到，如图3-5所示；由矩阵V获得的前3阶模态坐标如图6所示，模态频率可通过对右奇异矩阵V取极值得到。
针对薄壁结构，位移模态可通过将应变模态代入下式得到：
式中：εx是薄壁结构沿x方向的应变，h是薄壁结构的厚度，w表示离面位移。由式(2)获得相对应的位移模态如图7-9所示。将第n阶位移模态振型和模态频率代入式(5)可得第n阶模态的质量、刚度和阻尼参数：
式中，Φwn表示结构应变模态振型向量，m为结构的离散集中质量矩阵，Mn、Kn、Cn、ωn分别为第n阶模态的模态质量、模态刚度、模态阻尼和模态频率，假设结构的阻尼为瑞利阻尼 Cn＝αMn+βKn，式中，α和β为瑞利阻尼系数。
(4)、通过等效参数替换将单模态结构DVA优化问题转化为单自由度系统DVA优化设计问题。等效参数替换包括以下步骤：
基于薄板第n阶模态振动系统，在薄板结构附加质量、刚度和阻尼分别为m1、k1和c1的动力吸振器后，其振动响应复振幅X的表达式为：
式中：F为分布外激励；ω为角频率；φn1为吸振器所在位置处第n阶位移模态振型的幅值；j 为虚数单位；上标T表示转置，将式代入式(13)进行等效参数替换可得：
式(5)中，等式右边乘积的第一项为关于动力吸振器放置位置的表达式，要使被减振结构振动量级最小，应使φn1最大，即动力吸振器应放置在图7-9所示位移模态振型幅值最大处。第二项与单自由度主系统动力吸振器设计方法表达式形式完全一致。
(5)、根据单自由度主系统动力吸振器优化理论中的定点理论完成对动力吸振器参数的优化。定点理论指单自由度主系统附加动力吸振器结构的传递函数存在两个定点，通过设计使得这两定点取值相等且为域内极大值。将步骤4建立的单自由度主系统动力吸振器优化设计模型代入定点理论可得动力吸振器最优材料参数如表1所示。
表1动力吸振器最优位置及材料参数
图10结果可知，添加动力吸振器薄壁结构前3个位移响应峰均得到了有效抑制。
Claims (5)
1.一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，其特征在于，该方法包含如下步骤：
(1)、获得薄壁结构的应变响应数据；
(2)、对响应数据构成的矩阵进行奇异值分解，获得奇异值与奇异向量；根据奇异值确定目标模态以及DVA的个数；
(3)、根据左奇异向量和右奇异向量获得目标模态的模态振型、模态频率、模态质量、模态刚度和模态阻尼信息；
(4)、通过等效参数替换将单模态振动系统动力吸振器参数设计问题转化为等效单自由度振动系统的动力吸振器参数设计问题，吸振器最优布置位置根据目标模态振型极值确定；
(5)、根据定点理论进行等效单自由度振动系统减振的动力吸振器参数设计，获取薄壁结构减振的动力吸振器优化参数；
所述步骤(5)中定点理论包括以下步骤：
对一单自由度振动系统，其质量、刚度和阻尼分别等于Mref、Kref、Cref，附加质量、刚度和阻尼分别为m1、k1和c1的动力吸振器后，其振动响应复振幅Xs的表达式为：
式中，F1为外激励，取复振幅Xs的模得：
式中
式中，为动力吸振器固有频率，为单自由度振动系统固有频率；为动力吸振器阻尼比；为动力吸振器与单自由度振动系统的质量比；单自由度振动系统的阻尼比，式(16)所示单自由度振动系统响应复振幅幅值表达式存在两个不随动力吸振器阻尼比改变的定点，定点的位置由下式得出：
令这两个定点的|Xs|取值相等，并使该单自由度振动系统响应复振幅|Xs|在这两定点的导数为零定为最优设计条件，根据最优设计条件得单自由度振动系统动力吸振器最优材料参数，式(15)与式(14)仅相差一个倍数关系，此时单自由度振动系统动力吸振器最优材料参数即为薄壁结构上附加动力吸振器的最优材料参数：
式中
2.根据权利要求1所述的一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，其特征在于：所述步骤(1)中，利用应变传感器获得结构的应变响应数据。
3.根据权利要求1所述的一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，其特征在于，步骤(2)中，目标模态和DVA个数确定包括以下步骤：
目标模态信息包含应变模态和位移模态，同一阶应变模态和位移模态具有相同的模态频率，共享广义坐标，应变模态振型矩阵Φε和位移模态振型矩阵Φw存在如下转换关系：
Φw＝TΦε (1)
其中，T为转换矩阵；
将薄壁结构的应变响应矩阵ε根据模态叠加法投影到模态空间：
ε＝Φεq (2)
式中：为模态空间内的广义坐标矩阵，其中，qn为结构的第n阶应变模态所对应的广义坐标，N为应变模态的总个数；Φε＝[Φε1,Φε2,...,ΦεN]是由结构应变模态振型向量Φεn组成的振型矩阵，其中，Φεn为结构的第n阶应变模态振型向量，n＝1,2,…,N；
由应变响应矩阵ε构造系数矩阵C1：
C1＝εεT (3)
根据模态的能量分布在不同频段内，不同阶模态的广义坐标向量之间内积为零：
根据结构模态的正交性：
综合式(2)、(3)、(4)、(5)得：
对于任意矩阵A，其特征值问题可通过下式求解：
Av＝vλ (7)
式中，v与λ分别为矩阵A的特征向量矩阵和特征值矩阵，对比式(6)和式(7)可得：式(6)中矩阵Φε与矩阵分别为矩阵C1的特征向量矩阵和特征值矩阵；
由应变响应矩阵ε构造系数矩阵C2：
C2＝εTε (8)
同理得：
式中，矩阵分别为矩阵C2的特征向量矩阵和特征值矩阵；
式(6)中的Φε以及式(9)中qT通过对应变响应矩阵ε进行奇异值分解得到：
ε＝UΣVT (10)
式中，左奇异矩阵U即为应变模态振型矩阵Φε；右奇异矩阵V即为广义坐标矩阵qT；奇异值矩阵Σ为对角矩阵，且对角项按数值大小降序排列，表征对应阶次奇异向量携带能量的比重，当前m个奇异向量对应的奇异值占全部奇异值总和的90％以上时，选取前m阶奇异向量作为目标模态，并为每一阶目标模态设计一个DVA抑制其振动响应。
4.根据权利要求3所述的一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，其特征在于，所述步骤(3)中，根据左奇异向量和右奇异向量获得目标模态的模态振型、模态频率、模态质量、模态刚度和模态阻尼信息，包括以下步骤：
根据式(10)中左奇异矩阵U获得应变模态振型数据，目标模态频率通过对式(10)中右奇异矩阵V求极值点获得，根据式(1)中应变模态振型Φε和位移模态振型Φw的关系式，由Φε求解Φw，针对薄壁结构，位移模态振型通过将应变模态振型代入下式得到：
式中，εx是薄壁结构沿x方向的应变，h是薄壁结构的厚度，w表示离面位移；
目标模态的模态质量、模态刚度和模态阻尼参数根据将模态振型和模态频率带入下式得到：
式中，Φwn表示结构应变模态振型向量，m为结构的离散集中质量矩阵，Mn、Kn、Cn、ωn分别为第n阶模态的模态质量、模态刚度、模态阻尼和模态频率，假设结构的阻尼为瑞利阻尼Cn＝αMn+βKn，式中，α和β为瑞利阻尼系数。
5.根据权利要求4所述的一种响应驱动的薄壁结构宽频减振动力吸振器参数设计方法，其特征在于，所述步骤(4)中等效参数替换包括以下步骤：
基于单模态振动系统，在薄壁结构附加质量、刚度和阻尼分别为m1、k1和c1的动力吸振器后，其振动响应复振幅X的表达式为：
式中：F为分布外激励；ω为角频率；φn1为吸振器所在位置处第n阶位移模态振型的幅值；j为虚数单位；上标T表示转置，将式代入式(13)进行等效参数替换得：
式(14)中，等式右边乘积的第一项为关于动力吸振器放置位置的表达式，要使被减振结构振动量级最小，应使φn1最大，即动力吸振器应放置在振型幅值最大处。
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