CN106909711A - 一种求分数阶ccm开关变换器瞬态解的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法，利用等效小参量法，将复杂的分数阶微分运算转换为微分算子的指数运算，从而将复杂的分数阶变换器状态变量稳态周期解的求解转化为直流分量和各次谐波分量幅度的求解，而直流分量和谐波分量幅度的求解则能够利用谐波平衡法；只需要分析分数阶开关变换器状态变量主振荡方程的瞬态解，再结合其稳态解即可得到分数阶开关变换器状态变量的瞬态解析解。本发明方法能够较好的分析分数阶CCM开关变换器的瞬态过程。

Description

一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法

技术领域

本发明涉及分数阶开关变换器的建模与分析领域，尤其是指一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法。

背景技术

过去针对开关变换器常用的建模与分析方法有：离散迭代映射模型、基于状态空间平均法的模型、基于电路原理(KCL、KVL)的分段线性模型[1]以及结合谐波平衡与扰动法的等效小参量法[2]，这些方法的分析对象均是整数阶的开关变换器，即变换器中的电容、电感都是整数阶的元件，然而文献[3][4]指出实际上电容和电感在本质上均是分数阶的，这就需要为变换器建立相应的分数阶模型。

谐波平衡法是分析非线性系统周期解的常用方法之一，但是它只适用求系统的稳态解，文献[5]提出的通用平均法将谐波平衡法推广到瞬态分析，但是它不易求得高次谐波。文献[6]用结合谐波平衡与扰动法的等效小参量法分析了开关变换器的瞬态过程，但并未考虑电容和电感的分数阶特性。文献[7]考虑了电感电容的分数阶特性，用等效小参量法分析了分数阶开关变换器的稳态特性，但未分析分数阶开关变换器的瞬态过程。

参考文献

[1]罗晓曙.DC-DC变换器的非线性动力学行为与混沌控制[M].科学出版社,2012,pp.23-24.

[2]Qiu S S，FilanovskI M.Calculation of steady-state oscillations innon linear circuits[J],Int.J.Electronics，1989，67(3),pp.403-414.

[3]Westerlund S.Dead Matter Has Memory！[M].Kalmar,Sweden:CausalConsulting,2002,Chap.7.

[4]Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego:AcademicPress,1999,Chap.2.

[5]Sanders SR,Noworolski J,Liu X.et al.Generalized averaging methodfor power conversion circuits.IEEE Trans.on Power Electronics，1991,PE-6(2)；251-259.

[6]林波涛,邱水生.适于瞬态分析的等效小参量法及其在PWM开关变换器中的应用[J].电子科学学刊,1997,19(5),pp.649-657.

[7]Xi Chen,Yanfeng Chen,Bo Zhang,Qiuyuan Dong.A Modeling and AnalysisMethod for Fractional-oder DC-DC Converters.IEEE Trans.on Power Electronics,2016,Vol.pp,no.99,pp.1-1.

发明内容

本发明的目的是在于克服现有人机交互方式的不足，提出了一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法，能够较好的分析分数阶CCM开关变换器的瞬态过程。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法，利用等效小参量法，将复杂的分数阶微分运算转换为微分算子的指数运算，从而将复杂的分数阶变换器状态变量稳态周期解的求解转化为直流分量和各次谐波分量幅度的求解，而直流分量和谐波分量幅度的求解则能够利用谐波平衡法；只需要分析分数阶开关变换器状态变量主振荡方程的瞬态解，再结合其稳态解即可得到分数阶开关变换器状态变量的瞬态解析解；其包括以下步骤：

S1、建立以分数阶微分方程描述的分数阶开关变换器的非线性数学模型；

S2、利用等效小参量法得到分数阶开关变换器的等效数学模型

利用等效小参量法求解S1中的非线性数学模型，得到描述分数阶开关变换器的等效数学方程组，即分数阶开关变换器的等效数学模型；该等效数学方程组包含一个求系统状态变量主振荡分量的主振荡分数阶微分方程，和一系列求状态变量修正量的分数阶微分方程；

S3、利用谐波平衡法求分数阶开关变换器系统状态变量的稳态周期解

利用谐波平衡法逐步求解S2中等效数学方程组中的各个分数阶微分方程的稳态解，得到分数阶开关变换器状态变量稳态周期解的近似解表达式，所得到的近似周期解包含直流分量和纹波分量，其中纹波分量由基波和各次谐波组成；

S4、求分数阶开关变换器主振荡分量瞬态解

根据分数阶微积分定义求S2中主振荡分数阶微分方程瞬态解，得到分数阶开关变换器状态变量的主振荡分量的瞬态解；

S5、获取分数阶开关变换器系统状态变量瞬态解的解析表达式

把S3所得到纹波分量与S4所得到的主振荡分量的瞬态解叠加，即得到分数阶开关变换器的瞬态解的解析表达式。

在步骤S1中，所建立的以分数阶微分方程描述的分数阶开关变换器的非线性数学模型如下：

G₀(p^α,p^β)x+G₁f(x)＝U (1)

式中，x＝[i_L v_C]^T表示开关变换器系统的状态变量，其中i_L为电感电流瞬时值，v_C为电容电压瞬时值，上标“T”表示求矩阵的转置；p代表微分算子，其定义为p＝d/dt，相应的分数阶微分运算d^α/dt^α和d^β/dt^β分别记为p^α和p^β，其中α和β分别表示分数阶电感和分数阶电容的阶次；系数矩阵G₀(p^α,p^β)、G₁由具体的开关变换器的电路参数所确定，其中G₀(p^α,p^β)同分数阶微分运算相关；f(x)＝δx是一个非线性函矢量函数，其中δ＝1为一个表征开关变换器中受控开关通断状态的开关函数，当该受控开关导通时δ＝1，当该受控开关断开时δ＝0；U为变换器输入电压向量；

在步骤S2中，所述的等效小参量法的具体步骤如下：

S21、将开关函数δ表示成主振荡分量和修正量之和的级数形式：其中δ₀表示开关函数的主振荡分量，δ_i表示开关函数的第i阶修正量，它们能够根据具体开关函数的傅里叶级数来确定；

S22、将待求解的状态变量x也表示成级数形式：其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶修正量，它们在具体的求解过程逐步确定；

S23、将δ和x的级数表达式代入非线性矢量函数f(x)＝δx中，得到其中f₀表示非线性矢量函数的主振荡分量，f_i表示非线性矢量函数的第i阶修正量；

S24、将f₀表示为f₀＝f_0m+εR₁，将f_i表示为f_i＝f_im+εR_i+1,其中f_0m为f₀的主项，包含f₀中所有与x₀具有相同频率成分的项，R₁为f₀的余项，包含f₀中所有与x₀具有不同频率成分的项；同理，f_im为f_i的主项，包含f_i中所有与x_i具有相同频率成分的项，R_i+1为f_i的余项，包含f_i中所有与x_i具有不同频率成分的项；

S25、将f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入中，从而能够将f(x)表示为

在上述步骤S21～S25中，上标或下标i是一个整数，i＝1,2,……；ε是引入的一个小量标记，εⁱx_i表明x_i是状态变量x的第i阶小量，并且有εⁱ⁺¹x_i+1＜εⁱx_i＜x₀，当在运算过程中需要具体数值时ε＝1；

S26、将和代入到公式(1)中，并令等式两边具有相同εⁱ项的项分别相等，能够得到描述分数阶CCM开关变换器的等效数学模型，如下式(2)：

式(2)中的第1个分数阶微分方程用于求状态变量的主振荡分量x₀，称为主振荡方程；第2～n个分数阶微分方程用于求状态变量的各阶修正量x_i(i＝1,2,……n)，称为修正量方程；

在步骤S3中，以指数函数表示状态变量的稳态周期解x_S的近似数学表达式如下：

式中，直流分量X_DC＝A₀为分数开关变换器的状态变量稳态主振荡分量；x_ac为纹波分量，其中A₁为基波的的幅度向量，为其共轭；A_i(i＝2，3，……，n)为第i次波的的幅度向量，为其共轭；ω为开关变换器的角频率，t表示时间变量，j为虚数单位；公式(3)中的状态变量的稳态周期解的数学表达式也能够用三角函数的形式表示如下式(4)：

x_S＝X_DC+x_ac＝A₀+2Re(A₁)cosωt-2Im(A₁)sinωt+2Re(A₂)cos2ωt-2Im(A₂)sin2ωt

+2Re(A₃)cos3ωt-2Im(A₃)sin3ωt+...+2Re(A_n)cos nωt-2Im(A_n)sin nωt

(4)

公式(4)中的Re(A_i)(i＝2，3，……，n)分别表示复数向量A_i的实部，Im(A_i)分别表示复数向量A_i的虚部；

在步骤S4中，根据Grnwald-Letnikov定义用离散方法求分数阶主振荡微分方程G₀(p^α,p^β)x₀+G₁f_0m＝U的瞬态数值解，再通过Matlab拟合得到瞬态解的近似表达式；

将主振荡微分方程写成如下关于系统状态变量的分数阶微分方程组的形式：

其中，a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃为跟具体电路参数有关的常系数，α和β分别表示分数阶电感和分数阶电容的阶次；根据Grnwald-Letnikov定义用离散方法得到分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态近似数值解分别为式(6a)和(6b)：

式中v_C0-trans和i_L0-trans分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量的瞬态解，h为步长，v_t-kh和i_t-kh表示t-kh时刻电容电压和电感电流的瞬时值，式中能够由递推公式得出，k为自然数，k＝1,2,....；将式(6a)和(6b)所得到的数值解用Matlab多项式拟合能够得到主振荡分量瞬态解的近似解析表达式x_0-trans＝[i_L0-trans v_C0-trans]^T，其中v_C0-trans和i_L0-trans的近似解析表达式分别为式(7a)、(7b)：

式中V₀和I₀分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态解的直流分量，ω_v和ω_i分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态解的基波角频率，a_vk和b_vk分别表示分数阶电容电压主振荡分量瞬态解第k次谐波中余弦分量和正弦分量的幅值，a_ik和b_ik分别表示分数阶电感电流主振荡分量瞬态解第k次谐波中余弦分量和正弦分量的幅值，自然数k＝1,2,3,……n；

在步骤S5中，把S3所得到纹波分量x_ac与S4所得到的主振荡分量瞬态解x_0-trans叠加，即可得到分数阶开关变换器的瞬态解析解的近似表达式x_trans≈x_0-trans+x_ac。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、由本发明所提方法的求解公式可以看出，采用本方法求分数阶开关变换器状态变量的瞬态解，相当于将求解非整数阶微积分运算的复杂过程转化为矩阵运算和求线性方程(组)的过程，计算量小，结果直观，清晰。

2、通过与PSIM电路仿真波形的对比验证，该发明所提供的方法能够较好的分析分数阶CCM开关变换器的瞬态过程，便于电路的优化控制与设。

附图说明

图1为CCM分数阶Buck变换器的电路原理图。

图2a为本发明方法得到的电感电流波形与PSIM电路仿真波形的对比图。

图2b为本发明方法得到的电容电压波形与PSIM电路仿真波形的对比图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

本实施例所提供的求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法，具体包括以下步骤：

S1、建立以分数阶微分方程描述的分数阶开关变换器的非线性数学模型：

G₀(p^α,p^β)x+G₁f(x)＝U (1)

上式中x＝[i_L v_C]^T表示开关变换器系统的状态变量，其中i_L为电感电流瞬时值，v_C为电容电压瞬时值，上标“T”表示求矩阵的转置；p代表微分算子，其定义为p＝d/dt，相应的分数阶微分运算d^α/dt^α和d^β/dt^β可分别记为p^α和p^β，其中α和β分别表示分数阶电感和分数阶电容的阶次；系数矩阵G₀(p^α,p^β)、G₁由具体的开关变换器的电路参数所确定，其中G₀(p^α,p^β)同分数阶微分运算相关；f(x)＝δx是一个非线性函矢量函数，其中δ＝1为一个表征开关变换器中受控开关通断状态的开关函数，当该受控开关导通时δ＝1，当该受控开关断开时δ＝0；U为变换器输入电压向量。

S2、利用等效小参量法得到分数阶开关变换器的等效数学模型

具体为：利用等效小参量法求解分数阶CCM开关变换器的非线性数学模型，得到描述该分数阶开关变换器的等效数学方程组，即等效数学模型。该等效数学方程组包含一个求分数阶CCM开关变换器状态变量主振荡分量的分数阶微分方程，和一系列求状态变量各阶修正量的分数阶微分方程。

所述的等效小参量法的具体步骤如下：

S21、将开关函数δ表示成主振荡分量和修正量之和的级数形式：其中δ₀表示开关函数的主振荡分量，δ_i表示开关函数的第i阶修正量，它们可根据具体开关函数的傅里叶级数来确定；

S22、将待求解的状态变量x也表示成如下级数形式：其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶修正量，它们在具体的求解过程逐步确定；

S23、将δ和x的级数表达式代入非线性矢量函数f(x)＝δx中，得到其中f₀表示非线性矢量函数的主振荡分量，f_i表示非线性矢量函数的第i阶修正量；

S24、将f₀表示为f₀＝f_0m+εR₁，将f_i表示为f_i＝f_im+εR_i+1,其中f_0m为f₀的主项，包含f₀中所有与x₀具有相同频率成分的项，R₁为f₀的余项，包含f₀中所有与x₀具有不同频率成分的项；类似的，f_im为f_i的主项，包含f_i中所有与x_i具有相同频率成分的项，R_i+1为f_i的余项，包含f_i中所有与x_i具有不同频率成分的项；

S25、将f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入中,从而可将f(x)表示为

在上述步骤S21～S25中，上标或下标i是一个整数，i＝1,2,……；ε是本方法所引入的一个小量标记，例如εⁱx_i表明x_i是状态变量x的第i阶小量，并且有εⁱ⁺¹x_i+1＜εⁱx_i＜x₀，当在运算过程中需要具体数值时ε＝1；

S26、将和代入到公式(1)中，并令等式两边具有相同εⁱ项的项分别相等，可得到描述分数阶CCM开关变换器的等效数学模型，如下式(2)：

上式(2)中所述的第1个分数阶微分方程用于求状态变量的主振荡分量x₀，称为主振荡方程；第2～n个分数阶微分方程用于求状态变量的各阶修正量x_i(i＝1,2,……n)，称为修正量方程。

S3、利用谐波平衡法求分数阶开关变换器系统状态变量的稳态周期解

利用谐波平衡法逐步求解公式(2)所述的等效数学方程模型中的各个分数阶微分方程的稳态解，得到分数阶开关变换器状态变量稳态周期解的近似解表达式，所得到的近似周期解包含直流分量和纹波分量，其中纹波分量由基波和各次谐波组成。所得到的以指数函数表示状态变量的稳态周期解x_S的近似数学表达式如下：

式中直流分量X_DC＝A₀为分数开关变换器的状态变量稳态主振荡分量；x_ac为纹波分量，其中A₁为基波的的幅度向量，为其共轭；A_i(i＝2，3，……，n)为第i次波的的幅度向量，为其共轭；ω为开关变换器的角频率，t表示时间变量，j为虚数单位。公式(3)中的状态变量的稳态周期解的数学表达式也可以用三角函数的形式表示如下式(4)：

x_S＝X_DC+x_ac＝A₀+2Re(A₁)cosωt-2Im(A₁)sinωt+2Re(A₂)cos2ωt-2Im(A₂)sin2ωt

+2Re(A₃)cos3ωt-2Im(A₃)sin3ωt+...+2Re(A_n)cos nωt-2Im(A_n)sin nωt

(4)

公式(4)中的Re(A_i)(i＝2，3，……，n)分别表示复数向量A_i的实部，Im(A_i)分别表示复数向量A_i的虚部。

S4、求分数阶开关变换器主振荡分量瞬态解

根据Grnwald-Letnikov定义用离散方法求分数阶主振荡微分方程G₀(p^α,p^β)x₀+G₁f_0m＝U的瞬态数值解，再通过Matlab拟合得到瞬态解的近似表达式。

将主振荡微分方程写成如下关于系统状态变量的分数阶微分方程组的形式：

其中a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃为跟具体电路参数有关的常系数，α和β分别表示分数阶电感和分数阶电容的阶次。根据Grnwald-Letnikov定义用离散方法可得到分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态近似数值解分别为式(6a)和(6b)：

式中，v_C0-trans和i_L0-trans分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量的瞬态解，h为步长，v_t-kh和i_t-kh表示t-kh时刻电容电压和电感电流的瞬时值，式中可以由递推公式得出，k为自然数，k＝1,2,....。将式(6a)和(6b)所得到的数值解用Matlab多项式拟合可以得到主振荡分量瞬态解的近似解析表达式x_0-trans＝[i_L0-trans v_C0-trans]^T，其中v_C0-trans和i_L0-trans的近似解析表达式分别为式(7a)、(7b)：

式中，V₀和I₀分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态解的直流分量，ω_v和ω_i分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态解的基波角频率，a_vk和b_vk分别表示分数阶电容电压主振荡分量瞬态解第k次谐波中余弦分量和正弦分量的幅值，a_ik和b_ik分别表示分数阶电感电流主振荡分量瞬态解第k次谐波中余弦分量和正弦分量的幅值，自然数k＝1,2,3,……n。

S5、获取分数阶开关变换器系统状态变量瞬态解

把S3所得到纹波分量x_ac与S4所得到的主振荡分量瞬态解x_0-trans叠加，即得到分数阶开关变换器的瞬态解析解的近似表达式x_trans≈x_0-trans+x_ac。

下面结合附图1、2a、2b对本实施例上述方法进行具体说明。

图1为CCM分数阶Buck变换器的电路原理图，其中，S表示开关，S_D表示二极管，V_DC表示直流电源，R_L表示负载电阻，L^α与C^β分别表示分数阶电容和分数阶电感。对于图1中的分数阶电感电流连续模式(CCM)Buck变换器，其电路参数为开关频率f_s＝2.5kHz(角频率为ω＝5π×10³rad/s)，输入电压V_DC＝20V，分数阶电感L＝20mH，阶次α＝0.9，分数阶电容C＝47μF，阶次β＝0.9，负载电阻R_L＝22Ω，占空比D＝0.6。取状态变量x＝[i_L v_C]^T，i_L和v_C分别为分数阶电感电流和电容电压。

根据上述方法步骤可求得分数阶Buck变换器状态变量稳态周期解纹波分量的近似解析表达式为x_ac＝[i_Lac v_Cac]^T，其中i_Lac和v_Cac分别为分数阶电感电流和电容电压纹波，它们分别由式(8a)和(8b)表示：

i_Lac≈-0.1028cosωt-0.0148sinωt-0.0076cos2ωt+0.0015sin 2ωt

-0.0056cos3ωt-0.0056sin3ωt (8a)

v_Cac＝-0.0596cosωt-0.3516sinωt-0.0308cos2ωt-0.0072sin2ωt

+0.0054cos3ωt-0.0086sin3ωt (8b)

分数阶CCM-Buck变换器主振荡微分方程可表示为式(9)：

根据步骤S4可得到主振荡分量近似瞬态解如式(7a)和(7b)所示，其中V₀＝-2.03V，ω_v＝218rad/s，I₀＝16.16A，ω_i＝158rad/s，其它各系数如下表1所示。

表1

根据步骤S5可得分数阶CCM-Buck变换器状态变量的瞬态解析解。

将本发明方法分别与PSIM电路仿真得到的瞬态电感电流、电容电压波形进行比较，如图2a、2b仿真结果对比验证图所示，图中实线为本发明得到的波形，虚线为PSIM电路仿真得到的波形。从图中可以看出两条曲线相符合，说明本发明所提出的方法是有效的。

以上所述实施例只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法，其特征在于：利用等效小参量法，将复杂的分数阶微分运算转换为微分算子的指数运算，从而将复杂的分数阶变换器状态变量稳态周期解的求解转化为直流分量和各次谐波分量幅度的求解，而直流分量和谐波分量幅度的求解则能够利用谐波平衡法；只需要分析分数阶开关变换器状态变量主振荡方程的瞬态解，再结合其稳态解即可得到分数阶开关变换器状态变量的瞬态解析解；其包括以下步骤：

S1、建立以分数阶微分方程描述的分数阶开关变换器的非线性数学模型；

S2、利用等效小参量法得到分数阶开关变换器的等效数学模型

利用等效小参量法求解S1中的非线性数学模型，得到描述分数阶开关变换器的等效数学方程组，即分数阶开关变换器的等效数学模型；该等效数学方程组包含一个求系统状态变量主振荡分量的主振荡分数阶微分方程，和一系列求状态变量修正量的分数阶微分方程；

S3、利用谐波平衡法求分数阶开关变换器系统状态变量的稳态周期解

利用谐波平衡法逐步求解S2中等效数学方程组中的各个分数阶微分方程的稳态解，得到分数阶开关变换器状态变量稳态周期解的近似解表达式，所得到的近似周期解包含直流分量和纹波分量，其中纹波分量由基波和各次谐波组成；

S4、求分数阶开关变换器主振荡分量瞬态解

根据分数阶微积分定义求S2中主振荡分数阶微分方程瞬态解，得到分数阶开关变换器状态变量的主振荡分量的瞬态解；

S5、获取分数阶开关变换器系统状态变量瞬态解的解析表达式

把S3所得到纹波分量与S4所得到的主振荡分量的瞬态解叠加，即得到分数阶开关变换器的瞬态解的解析表达式。

2.根据权利要求1所述的一种求分数阶CCM开关变换器瞬态解的方法，其特征在于，在步骤S1中，所建立的以分数阶微分方程描述的分数阶开关变换器的非线性数学模型如下：

G₀(p^α,p^β)x+G₁f(x)＝U (1)

式中，x＝[i_L v_C]^T表示开关变换器系统的状态变量，其中i_L为电感电流瞬时值，v_C为电容电压瞬时值，上标“T”表示求矩阵的转置；p代表微分算子，其定义为p＝d/dt，相应的分数阶微分运算d^α/dt^α和d^β/dt^β分别记为p^α和p^β，其中α和β分别表示分数阶电感和分数阶电容的阶次；系数矩阵G₀(p^α,p^β)、G₁由具体的开关变换器的电路参数所确定，其中G₀(p^α,p^β)同分数阶微分运算相关；f(x)＝δx是一个非线性函矢量函数，其中δ＝1为一个表征开关变换器中受控开关通断状态的开关函数，当该受控开关导通时δ＝1，当该受控开关断开时δ＝0；U为变换器输入电压向量；

在步骤S2中，所述的等效小参量法的具体步骤如下：

S21、将开关函数δ表示成主振荡分量和修正量之和的级数形式：其中δ₀表示开关函数的主振荡分量，δ_i表示开关函数的第i阶修正量，它们能够根据具体开关函数的傅里叶级数来确定；

S22、将待求解的状态变量x也表示成级数形式：其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶修正量，它们在具体的求解过程逐步确定；

S23、将δ和x的级数表达式代入非线性矢量函数f(x)＝δx中，得到其中f₀表示非线性矢量函数的主振荡分量，f_i表示非线性矢量函数的第i阶修正量；

S24、将f₀表示为f₀＝f_0m+εR₁，将f_i表示为f_i＝f_im+εR_i+1,其中f_0m为f₀的主项，包含f₀中所有与x₀具有相同频率成分的项，R₁为f₀的余项，包含f₀中所有与x₀具有不同频率成分的项；同理，f_im为f_i的主项，包含f_i中所有与x_i具有相同频率成分的项，R_i+1为f_i的余项，包含f_i中所有与x_i具有不同频率成分的项；

S25、将f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入中，从而能够将f(x)表示为

在上述步骤S21～S25中，上标或下标i是一个整数，i＝1,2,……；ε是引入的一个小量标记，εⁱx_i表明x_i是状态变量x的第i阶小量，并且有εⁱ⁺¹x_i+1＜εⁱx_i＜x₀，当在运算过程中需要具体数值时ε＝1；

S26、将和代入到公式(1)中，并令等式两边具有相同εⁱ项的项分别相等，能够得到描述分数阶CCM开关变换器的等效数学模型，如下式(2)：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_0(p^{\mathrm{\α}},p^{\mathrm{\β}})x_0+G_1{f}_{0m}=U\\ G_0(p^{\mathrm{\α}},p^{\mathrm{\β}})x_1+G_1{f}_{1m}=-G_1{R}_1\\ G_0(p^{\mathrm{\α}},p^{\mathrm{\β}})x_2+G_1{f}_{2m}=-G_1{R}_2\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ G_0(p^{\mathrm{\α}},p^{\mathrm{\β}})x_n+G_1{f}_{nm}=-G_1{R}_n\end{array}\right.---\left(2\right)$

式(2)中的第1个分数阶微分方程用于求状态变量的主振荡分量x₀，称为主振荡方程；第2～n个分数阶微分方程用于求状态变量的各阶修正量x_i，i＝1,2,……n，称为修正量方程；

在步骤S3中，以指数函数表示状态变量的稳态周期解x_S的近似数学表达式如下：

$\begin{array}{c}{x}_S=X_{DC}+x_{ac}=A_0+\left(A_1{e}^{j\mathrm{\ω}t}+{\stackrel{\‾}{A}}_1{e}^{-j\mathrm{\ω}t}\right)+\left(A_2{e}^{j2\mathrm{\ω}t}+{\stackrel{\‾}{A}}_2{e}^{-j2\mathrm{\ω}t}\right)+\left(A_3{e}^{j3\mathrm{\ω}t}+{\stackrel{\‾}{A}}_3{e}^{-j3\mathrm{\ω}t}\right)+\\ \mathrm{...}+\left(A_n{e}^{jn\mathrm{\ω}t}+{\stackrel{\‾}{A}}_n{e}^{-jn\mathrm{\ω}t}\right)\end{array}---\left(3\right)$

式中，直流分量X_DC＝A₀为分数开关变换器的状态变量稳态主振荡分量；x_ac为纹波分量，其中A₁为基波的的幅度向量，为其共轭；A_i为第i次波的的幅度向量，i＝2，3，……，n，为其共轭；ω为开关变换器的角频率，t表示时间变量，j为虚数单位；公式(3)中的状态变量的稳态周期解的数学表达式也能够用三角函数的形式表示如下式(4)：

x_S＝X_DC+x_ac＝A₀+2Re(A₁)cosωt-2Im(A₁)sinωt+2Re(A₂)cos2ωt-2Im(A₂)sin2ωt

+2Re(A₃)cos3ωt-2Im(A₃)sin3ωt+...+2Re(A_n)cosnωt-2Im(A_n)sinnωt

(4)

公式(4)中的Re(A_i)(i＝2，3，……，n)分别表示复数向量A_i的实部，Im(A_i)分别表示复数向量A_i的虚部；

在步骤S4中，根据Grnwald-Letnikov定义用离散方法求分数阶主振荡微分方程G₀(p^α,p^β)x₀+G₁f_0m＝U的瞬态数值解，再通过Matlab拟合得到瞬态解的近似表达式；

将主振荡微分方程写成如下关于系统状态变量的分数阶微分方程组的形式：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1{p}^{\mathrm{\α}+\mathrm{\β}}{v}_C+a_2{p}^{\mathrm{\α}}{v}_C+a_3{v}_C+a_4=0\\ b_1{p}^{\mathrm{\α}}{i}_L+b_2=b_3{v}_C\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃为跟具体电路参数有关的常系数，α和β分别表示分数阶电感和分数阶电容的阶次；根据Grnwald-Letnikov定义用离散方法得到分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态近似数值解分别为式(6a)和(6b)：

$v_{C0-trans}\≈\frac{h^{\mathrm{\α}+\mathrm{\β}}}{a_1+a_2{h}^{\mathrm{\β}}+a_3{h}^{\mathrm{\α}+\mathrm{\β}}}\[-a_4-\frac{a_1}{h^{\mathrm{\α}+\mathrm{\β}}}\underset{k=1}{\overset{t/h}{\Σ}}{w}_k^{\mathrm{\α}+\mathrm{\β}}{v}_{t-kh}-\frac{a_2}{h^{\mathrm{\α}}}\underset{k=1}{\overset{t/h}{\Σ}}{w}_k^{\mathrm{\α}}{v}_{t-kh}\]---\left(6a\right)$

$i_{L0-trans}\≈\frac{h^{\mathrm{\α}}}{b_1}\[b_3{v}_{C0-trans}-b_2-\frac{b_1}{h^{\mathrm{\α}}}\underset{k=1}{\overset{t/h}{\Σ}}{w}_k^{\mathrm{\α}}{i}_{t-kh}\]---\left(6b\right)$

式中v_C0-trans和i_L0-trans分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量的瞬态解，h为步长，v_t-kh和i_t-kh表示t-kh时刻电容电压和电感电流的瞬时值，式中能够由递推公式得出，k为自然数，k＝1,2,....；将式(6a)和(6b)所得到的数值解用Matlab多项式拟合能够得到主振荡分量瞬态解的近似解析表达式x_0-trans＝[i_L0-trans v_C0-trans]^T，其中v_C0-trans和i_L0-trans的近似解析表达式分别为式(7a)、(7b)：

$\begin{array}{c}{v}_{C-trans}\≈V_0+a_{v1}\cos \left({\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+b_{v1}\sin \left({\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+a_{v2}\cos \left(2{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+b_{v2}\sin \left(2{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+a_{v3}\cos \left(3{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+b_{v3}\sin \left(3{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)\\ +a_{v4}\cos \left(4{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+b_{v4}\sin \left(4{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+a_{v5}\cos \left(5{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+b_{v5}\sin \left(5{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+a_{v6}\cos \left(6{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+b_{v6}\sin \left(6{\mathrm{\ω}}_{v}t\right)+\mathrm{...}\\ +a_{vn}\cos \left({\mathrm{n\ω}}_{v}t\right)+b_{vn}\sin \left({\mathrm{n\ω}}_{v}t\right)\end{array}---\left(7a\right)$

$\begin{array}{c}{i}_{L-trans}\≈I_0+a_{i1}\cos \left({\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+b_{i1}\sin \left({\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+a_{i2}\cos \left(2{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+b_{i2}\sin \left(2{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+a_{i3}\cos \left(3{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+b_{i3}\sin \left(3{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)\\ +a_{i4}\cos \left(4{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+b_{i4}\sin \left(4{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+a_{i5}\cos \left(5{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+b_{i5}\sin \left(5{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+a_{i6}\cos \left(6{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+b_{i6}\sin \left(6{\mathrm{\ω}}_{i}t\right)+\mathrm{...}\\ +a_{in}\cos \left({\mathrm{n\ω}}_{i}t\right)+b_{in}\sin \left({\mathrm{n\ω}}_{i}t\right)\end{array}---\left(7b\right)$

式中V₀和I₀分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态解的直流分量，ω_v和ω_i分别表示分数阶电容电压和电感电流主振荡分量瞬态解的基波角频率，a_vk和b_vk分别表示分数阶电容电压主振荡分量瞬态解第k次谐波中余弦分量和正弦分量的幅值，a_ik和b_ik分别表示分数阶电感电流主振荡分量瞬态解第k次谐波中余弦分量和正弦分量的幅值，自然数k＝1,2,3,……n；

在步骤S5中，把S3所得到纹波分量x_ac与S4所得到的主振荡分量瞬态解x_0-trans叠加，即可得到分数阶开关变换器的瞬态解析解的近似表达式x_trans≈x_0-trans+x_ac。