CN104978304A - 电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对工作在电感电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法及装置，本方法结合了谐波平衡的原理，通过将变换器中关于状态变量分数阶次的微分运算转换为微分算子，并将所有微分算子合并为对角符号矩阵，从而将求解非整数阶微积分运算的过程转化为矩阵运算和线性方程组求解的过程，相比较已有的针对分数阶开关变换器常用的在Matlab/Simulink中建立Oustaloup滤波器近似模型的分析方法，本方法除了能够解析地分析变换器状态变量纹波峰峰值大小、储能元件阶次变化对变换器工作状态的影响，还能够快速地获得状态变量的稳态周期解析解，并可以用于分析状态变量的谐波成分。

Description

电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法及装置

技术领域

本发明涉及分数阶开关变换器的建模与分析领域，具体地说，涉及一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法及装置。

背景技术

过去针对开关变换器常用的建模与分析方法有：基于状态空间平均法的模型、离散迭代映射模型、基于电路原理(KCL、KVL)的分段线性模型以及结合谐波平衡与扰动法的等效小参量法，这些方法的分析对象均是整数阶的开关变换器，即变换器中的电容、电感都是整数阶的元件，然而现有参考文献1“Westerlund S.Dead Matter Has Memory！[M].Kalmar,Sweden:CausalConsulting,2002,Chap.7.”及参考文献2“Podlubny I.FractionalDifferential Equations[M].San Diego:Academic Press,1999,Chap.2.”指出实际上电容和电感在本质上均是分数阶的，这就需要为变换器建立相应的分数阶模型。

现有参考文献3“王发强,马西奎.电感电流连续模式下Boost变换器的分数阶建模与仿真分析[J].物理学报,2011,60(7).070506-1–070506-8”同时考虑电感与电容的分数阶特性，首先建立了电感电流连续模式(CCM,Continuous-conduction Mode)下分数阶Boost变换器的状态空间平均模型，并基于Oustaloup滤波器的非整数阶频域逼近微积分算法，在Matlab/Simulink环境下建立了仿真模型(如图1、2所示)，对分数阶DC-DC变换器随阶次变化的工作特性进行了初步的分析。依据这一思路，现有技术(比如参考文献1“王发强,马西奎.基于分数阶微积分的电感电流断续模式下Boost变换器的建模与分析[J].中国科学:技术科学,2013,43(4),pp.368-374”等)分别研究了电感电流断续以及伪连续工作模式下的分数阶开关变换器，图3和图4是分别通过图1和图2中建立的模型获得的电容电压和电感电流波形，已有的技术是通过在Matlab/Simulink中建立模块化模型的方式展示分数阶开关变换器的工作特性，并通过仿真波形的方式展示稳态下变换器状态变量的纹波；这种方法不能得到状态变量的稳态周期解析解，难以解析地分析纹波峰峰值大小。

发明内容

本发明的第一个目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法，快速获得工作在CCM(Continuous Conduction Mode，电流连续模式)状态下分数阶开关变换器状态变量稳态周期解析解。

本发明的另一个目的在于提供一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析装置。

本发明的第一个目的通过下述技术方案实现：

一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法，包括下列步骤：

S1、将工作在电感连续模式下分数阶开关变换器的系统状态描述为：

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流i_Li、第i个电容上的电压v_Ci，k表示相应的电感L、电容C元件上对应的系统状态变量的阶次，A₀和B₀分别表示不受开关函数影响的系数矩阵，A₁和B₁分别表示受开关函数影响的系数矩阵，开关函数δ定义为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比D为固定值，同时令非线性部分为

f＝δ(A₁x+B₁)_，τ＝ωt，其中

S2、定义微积分算子将所述分数阶开关变换器的所有状态变

量相应的微积分算子合并为微分算子对角符号矩阵所述矩阵中α、β元素用于表示不同状态变量的分数阶微积分阶次，当L、C均为整数阶时其中I为单位矩阵，+/-号分别表示对所述状态变量求积分/微分；

S3、将所述分数阶开关变换器的系统状态转换为关于所述微积分算子的代数运算，并表示如下：

式中G₀为所有包含微分算子对角符号矩阵的G_ki组成的列矩阵，k∈E_ir表示当前第i阶修正量中谐波次数k，

S4、将所述状态变量x以及开关函数δ均展开为主部与小量余项之和的形式：

将上式代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并相同阶次余项小量，可得：

f＝δ₀(A₁x₀+B₁)+ε[δ₀x₁+δ₁(A₁x₀+B₁)]+ε²[A₁(δ₀x₂+δ₁x₁)+δ₂(A₁x₀+B₁)]+...    (5)

＝f₀+εf₁+ε²f₂+...

其中：

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量的余项小量；

S5、将所述状态变量x与开关函数δ的展开式(4)中主部和第i阶余项小量做傅里叶展开如下：

其中a_ki表示第i阶修正量的k次谐波成分的幅值，所述开关函数δ展开式系数表达式为：

其中

S6、依据谐波平衡原理，将所述系数表达式(8)代入所述傅里叶展开式(7)，依次求解状态变量的主振荡分量和各阶修正量；

S7、将所述主振荡分量和各阶修正量相加，获得关于所述状态变量x的稳态周期解析解表达式。

进一步的，所述步骤S6包括：

S61、求解所述状态变量x的主振荡分量，所述主振荡分量中只含有直流量，故设为：

x₀＝a₀₀    (9)

＝[I₀₀V₀₀]^T

当k＝0，即G₀＝G₀₀＝A₀，代入式(6)中f₀得到：

G₀₀·x₀+[A₁·(b₀x₀)+B₁]+B₀＝0    (10)

通过求解上式可得所述状态变量x的主振荡分量：

S62、求解所述状态变量x的一阶修正量，设所述状态变量x的一阶修正量形式如下：

其中k＝1时，a₁₁＝[I₁₁V₁₁]^T，c.c表示共轭项，由所述状态变量x的一阶修正量中的谐波成分可知 k∈E_1r，代入式(6)中f₁得到一阶修正量表达式：

G_k1·x₁+[b₀x₁+b₁(A₁x₀+B₁)]+B₀＝0    (13)

通过求解上式可以获得谐波幅值a₀₁和a_k1；

S63、求解所述状态变量x的高阶修正量，将所述谐波幅值a₀₁和a_k1代入得到当前阶次修正量的表达式，若当前阶次修正量的各次谐波幅值相比较上一阶修正量小于一个数量级，则表示不需做更高阶的修正并退出，反之，继续依据上述过程求更高阶次的修正量。

本发明的另一个目的，通过以下技术方案实现：

一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析装置，包括下列模块：

系统状态描述模块，该模块用于将工作在电感连续模式下分数阶开关变换器的系统状态描述为：

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流i_Li、第i个电容上的电压v_Ci，k表示相应的电感L、电容C元件上对应的系统状态变量的阶次，A₀和B₀分别表示不受开关函数影响的系数矩阵，A₁和B₁分别表示受开关函数影响的系数矩阵，开关函数δ定义为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比D为固定值，同时令非线性部分为

f＝δ(A₁x+B₁)_，τ＝ωt，其中

微积分算子定义模块，该模块用于定义微积分算子将所述分数阶开关变换器的所有状态变量相应的微积分算子合并为微分算子对角符号矩阵 所述矩阵中α、β元素用于表示不同状态变量的分数阶微积分阶次，当L、C均为整数阶时其中I为单位矩阵，+/-号分别表示对所述状态变量求积分/微分；

系统状态转换模块，该模块用于将所述分数阶开关变换器的系统状态转换为关于所述微积分算子的代数运算，并表示如下：

式中G₀为所有包含微分算子对角符号矩阵的G_ki组成的列矩阵，k∈E_ir表示当前第i阶修正量中谐波次数k，

非线性部分展开模块，该模块用于将所述状态变量x以及开关函数δ均展开为主部与小量余项之和的形式：

将上式代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并相同阶次余项小量，可得：

f＝δ₀(A₁x₀+B₁)+ε[δ₀x₁+δ₁(A₁x₀+B₁)]+ε²[A₁(δ₀x₂+δ₁x₁)+δ₂(A₁x₀+B₁)]+...    (5)

＝f₀+εf₁+ε²f₂+...

其中：

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量的余项小量；

状态变量与开关函数傅里叶展开模块，该模块用于将所述状态变量x与开关函数δ的展开式(4)中主部和第i阶余项小量做傅里叶展开如下：

其中a_ki表示第i阶修正量的k次谐波成分的幅值，所述开关函数δ展开式系数表达式为：

其中

状态变量求解模块，该模块用于依据谐波平衡原理，将所述系数表达式(8)代入所述傅里叶展开式(7)，依次求解所述状态变量x的主振荡分量和各阶修正量；

状态变量表达式获取模块，该模块用于将所述主振荡分量和各阶修正量相加，获得关于所述状态变量x的稳态周期解析解表达式。

进一步的，所述状态变量求解模块包括：

主振荡分量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的主振荡分量，所述主振荡分量中只含有直流量，故设为：

x₀＝a₀₀    (9)

＝[I₀₀V₀₀]^T

当k＝0，即G₀＝G₀₀＝A₀，代入式(6)中f₀得到：

G₀₀·x₀+[A₁·(b₀x₀)+B₁]+B₀＝0    (10)

通过求解上式可得所述状态变量x的主振荡分量：

一阶修正量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的一阶修正量，设所述状态变量x的一阶修正量形式如下：

其中k＝1时，a₁₁＝[I₁₁V₁₁]^T，c.c表示共轭项，由所述状态变量x的一阶修正量中的谐波成分可知 k∈E_1r，代入式(6)中f₁得到一阶修正量表达式：

G_k1·x₁+[b₀x₁+b₁(A₁x₀+B₁)]+B₀＝0    (13)

通过求解上式可以获得谐波幅值a₀₁和a_k1；

高阶修正量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的高阶修正量，将所述谐波幅值a₀₁和a_k1代入得到当前阶次修正量的表达式，若当前阶次修正量的各次谐波幅值相比较上一阶修正量小于一个数量级，则表示不需做更高阶的修正并退出，反之，继续依据上述过程求更高阶次的修正量。

本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：

由本发明所提方法的求解公式可知，采用本方法求分数阶开关变换器状态变量的稳态周期解析解，相当于将求解非整数阶微积分运算的复杂过程转化为矩阵运算和求线性方程(组)的过程，只要根据电路原理建立如公式(3)矩阵形式的分数阶开关变换器状态方程，然后将系数表达式代入各阶修正量公式，通过简单的矩阵乘除加减运算和消元就可以得到关于分数阶变换器状态变量稳态解的表达式。相比较过去纯数学领域提出的各类分数阶微积分方程的求解方法，本发明所提方法的求解过程结合了开关变换器的特点，避开了针对分数阶微积分运算原理的深入讨论，所得的解具有明显的物理意义，根据采用本发明所提方法获得的稳态解的形式，可以清楚的看到状态变量所包含的谐波成分，有利于对该类变换器展开更深入的分析。

附图说明

图1是参考文献3中在Matlab/Simulink中基于Oustaloup滤波器法建立的开环分数阶Boost变换器仿真模型；

图2是图1中封装的基于分数阶频域近似方法的Oustaloup滤波器子系统；

图3是图1中开环分数阶Boost变换器仿真模型输出电容电压的逐周期仿真波形，横坐标为迭代的周期数，纵坐标表示电容电压值；

图4是图1中开环分数阶Boost变换器仿真模型电感电流逐周期仿真波形，横坐标为迭代的周期数，纵坐标表示电感电流值；

图5是本实施例一中工作在电感电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法流程图；

图6是本实施例一中状态变量求解的步骤流程图；

图7(a)为本发明所公开方法与参考文献3中方法当电感与电容的阶数为1时电感电流波形的仿真结果对比图；

图7(b)为本发明所公开方法与参考文献3中方法当电感与电容的阶数为1时电容电压波形的仿真结果对比图；

图7(c)为本发明所公开方法与参考文献3中方法当电感与电容的阶数为0.9时电感电流波形的仿真结果对比图；

图7(d)为本发明所公开方法与参考文献3中方法当电感与电容的阶数为0.9时电容电压波形的仿真结果对比图；

图7(e)为本发明所公开方法与参考文献3中方法当电感与电容的阶数为0.8时电感电流波形的仿真结果对比图；

图7(f)为本发明所公开方法与参考文献3中方法当电感与电容的阶数为0.8时电容电压波形的仿真结果对比图；

图8是本实施例二中工作在电感电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析装置组成图；

图9是本实施例二中状态变量求解模块组成图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚、明确，以下参照附图并举实施例对本发明进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例

请参见图5，图5是本实施例一中一种工作在电感电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法流程图。如图中所示，本发明提供的CCM(ContinuousConduction Mode，电流连续模式)状态下的开环分数阶开关变换器的符号分析方法具体实施步骤如下：

步骤S1、分数阶开关变换器的系统状态描述

工作在CCM状态下分数阶DC-DC变换器的系统状态可以描述为：

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量(通常取第i个电感上的电流i_Li、第i个电容上的电压v_Ci)，k表示相应的电感L、电容C元件上对应的系统状态变量的阶次，A₀和B₀分别表示不受开关函数影响的系数矩阵，A₁和B₁分别表示受开关函数影响的系数矩阵，开关函数δ定义为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比D为固定值，令非线性部分为f＝δ(A₁x+B₁)_，τ＝ωt，其中

步骤S2、微积分算子以及微积分算子对角符号矩阵的定义

然后将针对状态变量的微积分运算符号转换为微积分算子，即由于变换器中存在多个状态变量，故将每个状态变量相应的微积分算子合并为微分算子对角符号矩阵 矩阵中α、β等元素用于表示不同状态变量的分数阶微积分阶次，当L、C均为整数阶时(I为单位矩阵)，其中的+/-号分别表示对状态变量求积分/微分。

上述步骤所建立的分数阶开关变换器数学模型中，考虑了开关变换器中储能元件的分数阶特性，将状态方程中针对状态变量的分数阶的微分运算转换为微分算子，同时将多个分数阶微分算子合并为符号对角矩阵。

步骤S3、分数阶开关变换器的系统状态转换

通过将微分运算转换为关于微分算子的代数运算，可将分数阶开关变换器的数学模型如下所示：

式(3)中G₀为所有包含微分算子对角符号矩阵的G_ki组成的列矩阵，k∈E_ir表示当前第i阶修正量中谐波次数k(i、k的定义后同)， 从G_ki的形式可以体现出分数阶次对状态变量解析解的影响。

步骤S4、非线性部分的主部和余项展开

将状态变量x以及开关函数δ均展开为主部与小量余项之和的形式：

将式(4)代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并相同阶次余量小项，可得：

f＝δ₀(A₁x₀+B₁)+ε[δ₀x₁+δ₁(A₁x₀+B₁)]+ε²[A₁(δ₀x₂+δ₁x₁)+δ₂(A₁x₀+B₁)]+...    (5)

＝f₀+εf₁+ε²f₂+...

其中：

式中用f_im表示第i阶修正量的主部，用R_i表示第i阶修正量的余项小量，式(6)中当前阶次修正量余部中的谐波成分决定了下一阶次修正量的谐波成分。

步骤S5、状态变量和开关函数的傅里叶展开

根据谐波平衡原理，将状态变量x与开关函数δ展开式(4)中主部和第i阶小量均做Fourier展开(根据文献“Chien-Cheng Tseng,Soo-Chang Pei,Shih-Chang Hsia.Computation of fractional derivatives using Fourier”的证明，对指数函数/三角函数进行分数阶的微积分运算，微积分的阶次对指数函数/三角函数的频率没有影响，因此可以采用Fourier级数展开去逼近分数阶的函数，也就是说微积分的阶次对Fourier展开的过程不产生影响)，有：

其中a_ki表示第i阶修正量的k次谐波成分的幅值，开关函数展开式系数为：

其中

步骤S6、状态变量求解

依据谐波平衡原理，将系数表达式(8)代入式(7)，依次求解状态变量的主振荡分量和各阶修正量，具体过程如附图6中状态变量求解的步骤流程图所示

(步骤S61、主振荡分量求解)首先求解状态变量的主振荡分量，通常主振荡中只含有直流量，故设为：

x₀＝a₀₀    (9)

＝[I₀₀V₀₀]^T

此时k＝0，即G₀＝G₀₀＝A₀，代入式(6)中f₀知：

G₀₀·x₀+[A₁·(b₀x₀)+B₁]+B₀＝0    (10)

由(10)可求得变换器状态变量的主振荡分量：

(步骤S62、一阶修正量求解)根据主振荡分量余项R₁中含有的谐波成分，设状态变量的一阶修正量形式如下：

其中a₁₁＝[I₁₁V₁₁]^T，c.c表示共轭项，后同。由状态变量的一阶修正量中的谐波成分可知 k∈E_1r，代入式(6)中f₁，可以得到一阶修正量表达式：

G_k1·x₁+[b₀x₁+b₁(A₁x₀+B₁)]+B₀＝0    (13)

根据式(13)可以获得关于谐波幅值a₀₁和a_k1的线性方程组。

(步骤S63、高阶修正量求解)

将参数代入所得当前阶次修正量的表达式，若当前阶次修正量的各次谐波幅值相比较上一阶修正量小于一个数量级，则不需做更高阶的修正，反之，继续依据上述过程继续求更高阶次的修正量。

步骤S61、步骤S62、步骤S63的实施过程中，考虑到了分数阶微积分运算对指数函数/三角函数的频率不影响的特点，利用了谐波平衡的原理，并结合了扰动法的优点，通过假设与逐级修正的过程，逐步得到了步骤S1所描述的变换器的稳态周期解，求解的过程只涉及到状态变量谐波成分系数的代数运算，并不涉及针对已有的各种分数阶微积分定义与算法的探讨，简化了分数阶运算的过程。

步骤S7、状态变量表达式获取

最后将主振荡分量和各阶修正量相加，获得关于状态变量的稳态周期解析解表达式。

下面针对具体实例采用上述电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法进行运算，对于开环的分数阶Boost变换器，其状态变量x＝[i_L v_C]^T，考虑到储能元件的分数阶特性以及电感损耗，状态方程如下所示：

对应式(1)所描述的形式，可知 B₀＝[0 0]^T、 微分算子矩阵

当采用参考文献“王发强,马西奎.基于分数阶微积分的电感电流断续模式下Boost变换器的建模与分析[J].中国科学:技术科学,2013,43(4),pp.368-374”中参数时，有Boost变换器开关周期fs＝25kHZ，输入电压E＝24V，电感L＝4mH，电感电阻损耗R_L＝0Ω，电容C＝100μF，负载R＝50Ω，取电感阶数α＝0.8、电容阶数β＝0.8。

根据前面的步骤求分数阶Boost变换器的主振荡分量、一阶修正量和二阶修正量，此时由于二阶修正量中各次谐波的幅值比主振荡分量小很多，故不继续求更高阶修正量，分数阶Boost变换器经过两阶修正后的稳态周期解析解形式如下：

式中Re(a_ik)表示取a_ik的实部，Im(a_ik)表示取a_ik的虚部，x_dc和x_ac分别表示状态变量的直流部分和交流量，a_ik的表达式如下所示：

将参数代入式(15)和(16)可得稳态周期解析解为：

将本发明所采用的符号分析法与参考文献3所用方法在稳态时状态变量波形比较，如图7(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)所示，仿真图采用参考文献3中参数，分别当电感与电容的阶数依次为1、0.9、0.8时，本发明所公开方法与参考文献3中方法的仿真结果对比验证图，图中实线为依据参考文献3方法所建立模型的时域仿真结果，点划线为本发明提出的方法的数值仿真结果，图7(a)、(c)、(e)为电感电流波形，图7(b)、(d)、(f)为电容电压波形。从图中可见两条曲线拟合得很好，说明本发明所提出的方法是有效的。由解析解公式可以看出，采用本方法求分数阶开关变换器状态变量的稳态周期解析解，相当于将求解非整数阶微积分运算的复杂过程转化为矩阵运算和求线性方程(组)的过程，只要建立如公式(3)形式的分数阶变换器，然后将系数表达式代入各阶修正量公式，通过简单的矩阵运算和消元就可以得到关于分数阶变换器状态变量稳态解的表达式，通过该表达式可以清楚地看出状态变量中的谐波成分，通过谐波幅值系数的表达式，可以看出储能元件阶次对变换器状态变量的影响。

实施例二

本实施例二公开了一种工作在电感连续模式分数阶开关变换器的符号分析装置，具体包括系统状态描述模块、微积分算子定义模块、系统状态转换模块、非线性部分展开模块、状态变量与开关函数傅里叶展开模块、状态变量求解模块、状态变量求解模块、状态变量表达式获取模块。下面具体阐述：

201、系统状态描述模块

该模块用于将工作在电感连续模式下分数阶开关变换器的系统状态描述为：

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流i_Li、第i个电容上的电压v_Ci，k表示相应的电感L、电容C元件上对应的系统状态变量的阶次，A₀和B₀分别表示不受开关函数影响的系数矩阵，A₁和B₁分别表示受开关函数影响的系数矩阵，开关函数δ定义为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比D为固定值，同时令非线性部分为

f＝δ(A₁x+B₁)_，τ＝ωt，其中

202、微积分算子定义模块

该模块用于定义微积分算子将所述分数阶开关变换器的所有状态变量相应的微积分算子合并为微分算子对角符号矩阵 所述矩阵中α、β元素用于表示不同状态变量的分数阶微积分阶次，当L、C均为整数阶时其中I为单位矩阵，+/-号分别表示对所述状态变量求积分/微分；

203、系统状态转换模块

该模块用于将所述分数阶开关变换器的系统状态转换为关于所述微积分算子的代数运算，并表示如下：

式中G₀为所有包含微分算子对角符号矩阵的G_ki组成的列矩阵，k∈E_ir表示当前第i阶修正量中谐波次数k，

204、非线性部分展开模块

该模块用于将所述状态变量x以及开关函数δ均展开为主部与小量余项之和的形式：

将上式代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并相同阶次余项小量，可得：

f＝δ₀(A₁x₀+B₁)+ε[δ₀x₁+δ₁(A₁x₀+B₁)]+ε²[A₁(δ₀x₂+δ₁x₁)+δ₂(A₁x₀+B₁)]+...    (5)

＝f₀+εf₁+ε²f₂+...

其中：

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量的余项小量；

205、状态变量与开关函数傅里叶展开模块，该模块用于将所述状态变量x与开关函数δ的展开式(4)中主部和第i阶余项小量做傅里叶展开如下：

其中a_ki表示第i阶修正量的k次谐波成分的幅值，所述开关函数δ展开式系数表达式为：

其中

206、状态变量求解模块，该模块用于依据谐波平衡原理，将所述系数表达式(8)代入所述傅里叶展开式(7)，依次求解所述状态变量x的主振荡分量和各阶修正量。

优选的，所述状态变量求解模块又具体包括：

2061、主振荡分量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的主振荡分量，所述主振荡分量中只含有直流量，故设为：

x₀＝a₀₀    (9)

＝[I₀₀ V₀₀]^T

当k＝0，即G₀＝G₀₀＝A₀，代入式(6)中f₀得到：

G₀₀·x₀+[A₁·(b₀x₀)+B₁]+B₀＝0    (10)

通过求解上式可得所述状态变量x的主振荡分量：

2062、一阶修正量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的一阶修正量，设所述状态变量x的一阶修正量形式如下：

其中k＝1时，a₁₁＝[I₁₁ V₁₁]^T，c.c表示共轭项，由所述状态变量x的一阶修正量中的谐波成分可知 k∈E_1r，代入式(6)中f₁得到一阶修正量表达式：

G_k1·x₁+[b₀x₁+b₁(A₁x₀+B₁)]+B₀＝0    (13)

通过求解上式可以获得谐波幅值a₀₁和a_k1；

2063、高阶修正量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的高阶修正量，将所述谐波幅值a₀₁和a_k1代入得到当前阶次修正量的表达式，若当前阶次修正量的各次谐波幅值相比较上一阶修正量小于一个数量级，则表示不需做更高阶的修正并退出，反之，继续依据上述过程求更高阶次的修正量。

207、状态变量表达式获取模块，该模块用于将所述主振荡分量和各阶修正量相加，获得关于所述状态变量x的稳态周期解析解表达式。

值得注意的是，上述装置实施例中，所包括的各个模块和单元只是按照功能逻辑进行划分的，但并不局限于上述的划分，只要能够实现相应的功能即可；另外，各模块和单元的具体名称也只是为了便于相互区分，并不用于限制本发明的保护范围。

本领域普通技术人员可以意识到，结合本文中所公开的实施例描述的各示例的模块及算法步骤，能够以电子硬件、或者计算机软件和电子硬件的结合来实现。这些功能究竟以硬件还是软件方式来执行，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。专业技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本发明的范围。

所属领域的技术人员还可以清楚地了解到，为描述的方便和简洁，上述描述的装置、模块和单元的具体工作过程，可以参考前述方法实施例中的对应过程，在此不再赘述。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法，其特征在于，包括下列步骤：

S1、将工作在电感连续模式下分数阶开关变换器的系统状态描述为：

$\frac{d^{k}x}{dt}=(A_{0}x+B_0)+\mathrm{\δ}(A_{1}x+B_1)---\left(1\right)$

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流i_Li、第i个电容上的电压v_Ci，k表示相应的电感L、电容C元件上对应的系统状态变量的阶次，A₀和B₀分别表示不受开关函数影响的系数矩阵，A₁和B₁分别表示受开关函数影响的系数矩阵，开关函数δ定义为：

$\mathrm{\&delta;}=\left\{\begin{array}{cc}0,& on:0<t\&le;DT\\ 1,& off:DT<t\&le;T\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，开关变换器在开环工作时占空比D为固定值，同时令非线性部分为

f＝δ(A₁x+B₁)_，τ＝ωt，其中

S2、定义微积分算子将所述分数阶开关变换器的所有状态变量相应的微积分算子合并为微分算子对角符号矩阵 $\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&kappa;}}}=\left[\begin{array}{ccc}{p}^{-\mathrm{\&alpha;}}& & \\ & p^{-\mathrm{\&beta;}}& \\ & & ...\end{array}\right],$ 所述矩阵中α、β元素用于表示不同状态变量的分数阶微积分阶次，当L、C均为整数阶时其中I为单位矩阵，+/-号分别表示对所述状态变量求积分/微分；

S3、将所述分数阶开关变换器的系统状态转换为关于所述微积分算子的代数运算，并表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_0\left(\mathrm{\&kappa;}\right)x+f+B_1=0\\ G_0\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=A_0-\mathrm{\&kappa;}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中G₀为所有包含微分算子对角符号矩阵的G_ki组成的列矩阵，k∈E_ir表示当前第i阶修正量中谐波次数k， $G_{ki}=A_o-\left[\begin{array}{ccc}{\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}& & \\ & {\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&beta;}}& \\ & & ...\end{array}\right];$

S4、将所述状态变量x以及开关函数δ均展开为主部与小量余项之和的形式：

$\left\{\begin{array}{c}x=x_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&epsiv;}}^i{x}_i\\ \mathrm{\&delta;}={\mathrm{\&delta;}}_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&epsiv;}}^i{\mathrm{\&delta;}}_i\end{array}\right.---\left(4\right)$

将上式代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并相同阶次余项小量，可得：

f＝δ₀(A₁x₀+B₁)+ε[δ₀x₁+δ₁(A₁x₀+B₁)]+ε²[A₁(δ₀x₂+δ₁x₁)+δ₂(A₁x₀+B₁)]+...   (5)

＝f₀+εf₁+ε²f₂+...

其中：

$\{\begin{array}{c}{f}_0={\mathrm{\&delta;}}_0\left(A_1{x}_0+B_1\right)=f_{0m}+R_1\\ f_1={\mathrm{\&delta;}}_0{x}_1+{\mathrm{\&delta;}}_1\left(A_1{x}_0+B_1\right)=f_{1m}+R_2\\ f_2=A_1\left({\mathrm{\&delta;}}_0{x}_2+{\mathrm{\&delta;}}_1{x}_1\right)+{\mathrm{\&delta;}}_2\left(A_1{x}_0+B_1\right)=f_{2m}+R_3\\ ...\end{array}---\left(6\right)$

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量的余项小量；

S5、将所述状态变量x与开关函数δ的展开式(4)中主部和第i阶余项小量做傅里叶展开如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i=a_{0i}+\underset{k\&Element;E_{ir}}{\mathrm{\&Sigma;}}\left(a_{ki}{e}^{jk\mathrm{\&tau;}}+{\stackrel{\&OverBar;}{a}}_{ki}{e}^{-jk\mathrm{\&tau;}}\right)\\ {\mathrm{\&delta;}}_i=b_0+\underset{k\&Element;E_{ir}}{\mathrm{\&Sigma;}}\&lsqb;b_{ki}{e}^{jk\mathrm{\&tau;}}+{\stackrel{\&OverBar;}{b}}_{ki}{e}^{-jk\mathrm{\&tau;}}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中a_ki表示第i阶修正量的k次谐波成分的幅值，所述开关函数δ展开式系数表达式为： $\left\{\begin{array}{c}{b}_0=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\&Integral;}}\mathrm{\&delta;}dt=D\\ b_{ki}=\frac{1}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_{ki}-{\mathrm{j\&beta;}}_{ki})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中 ${\mathrm{\&alpha;}}_{ki}=\frac{sin2Dk\mathrm{\&pi;}}{k\mathrm{\&pi;}},{\mathrm{\&beta;}}_{ki}=\frac{1-cos2Dk\mathrm{\&pi;}}{k\mathrm{\&pi;}};$

S6、依据谐波平衡原理，将所述系数表达式(8)代入所述傅里叶展开式(7)，依次求解状态变量的主振荡分量和各阶修正量；

S7、将所述主振荡分量和各阶修正量相加，获得关于所述状态变量x的稳态周期解析解表达式。

2.根据权利要求1所述的一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析方法，其特征在于，所述步骤S6包括：

S61、求解所述状态变量x的主振荡分量，所述主振荡分量中只含有直流量，故设为：

x₀＝a₀₀

                          (9)

＝[I₀₀ V₀₀]^T

当k＝0，即G₀＝G₀₀＝A₀，代入式(6)中f₀得到：

G₀₀·x₀+[A₁·(b₀x₀)+B₁]+B₀＝0   (10)

通过求解上式可得所述状态变量x的主振荡分量：

$\begin{array}{c}{x}_0=a_{00}={\left[\begin{array}{cc}{I}_{00}& V_{00}\end{array}\right]}^T\\ =-G_{00}^{-1}\&CenterDot;\left\{\&lsqb;A_1\&CenterDot;\left(b_0{x}_0\right)+B_1\&rsqb;+B_0\right\}\end{array};---\left(11\right)$

S62、求解所述状态变量x的一阶修正量，设所述状态变量x的一阶修正量形式如下：

$x_1=a_{01}+\underset{k\&Element;E_{1r}}{\&Sigma;}(a_{k1}{e}^{jk\mathrm{\&tau;}}+c.c)---\left(12\right)$

其中k＝1时，a₁₁＝[I₁₁ V₁₁]^T，c.c表示共轭项，由所述状态变量x的一阶修正量中的谐波成分可知 $G_0=G_{k1}=A_0-\left[\begin{array}{ccc}{\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}& & \\ & {\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&beta;}}& \\ & & ...\end{array}\right],$ k∈E_1r，代入式(6)中f₁得到一阶修正量表达式：

G_k1·x₁+[b₀x₁+b₁(A₁x₀+B₁)]+B₀＝0   (13)

通过求解上式可以获得谐波幅值a₀₁和a_k1；

S63、求解所述状态变量x的高阶修正量，将所述谐波幅值a₀₁和a_k1代入得到当前阶次修正量的表达式，若当前阶次修正量的各次谐波幅值相比较上一阶修正量小于一个数量级，则表示不需做更高阶的修正并退出，反之，继续依据上述过程求更高阶次的修正量。

3.一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析装置，其特征在于，包括下列模块：

系统状态描述模块，该模块用于将工作在电感连续模式下分数阶开关变换器的系统状态描述为：

$\frac{d^{k}x}{dt}=(A_{0}x+B_0)+\mathrm{\&delta;}(A_{1}x+B_1)---\left(1\right)$

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流i_Li、第i个电容上的电压v_Ci，k表示相应的电感L、电容C元件上对应的系统状态变量的阶次，A₀和B₀分别表示不受开关函数影响的系数矩阵，A₁和B₁分别表示受开关函数影响的系数矩阵，开关函数δ定义为：

$\mathrm{\&delta;}=\left\{\begin{array}{cc}0,& on:0<t\&le;DT\\ 1,& off:DT<t\&le;T\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，开关变换器在开环工作时占空比D为固定值，同时令非线性部分为

f＝δ(A₁x+B₁)_，τ＝ωt，其中

微积分算子定义模块，该模块用于定义微积分算子将所述分数阶开关变换器的所有状态变量相应的微积分算子合并为微分算子对角符号矩阵 $\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&kappa;}}}=\left[\begin{array}{ccc}{p}^{-\mathrm{\&alpha;}}& & \\ & p^{-\mathrm{\&beta;}}& \\ & & ...\end{array}\right],$ 所述矩阵中α、β元素用于表示不同状态变量的分数阶微积分阶次，当L、C均为整数阶时其中I为单位矩阵，+/-号分别表示对所述状态变量求积分/微分；

系统状态转换模块，该模块用于将所述分数阶开关变换器的系统状态转换为关于所述微积分算子的代数运算，并表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_0\left(\mathrm{\&kappa;}\right)x+f+B_1=0\\ G_0\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=A_0-\mathrm{\&kappa;}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中G₀为所有包含微分算子对角符号矩阵的G_ki组成的列矩阵，k∈E_ir表示当前第i阶修正量中谐波次数k， $G_{ki}=A_0-\left[\begin{array}{ccc}{\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}& & \\ & {\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&beta;}}& \\ & & ...\end{array}\right];$

非线性部分展开模块，该模块用于将所述状态变量x以及开关函数δ均展开为主部与小量余项之和的形式：

$\left\{\begin{array}{c}x=x_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&epsiv;}}^i{x}_i\\ \mathrm{\&delta;}={\mathrm{\&delta;}}_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&epsiv;}}^i{\mathrm{\&delta;}}_i\end{array}\right.---\left(4\right)$

将上式代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并相同阶次余项小量，可得：

f＝δ₀(A₁x₀+B₁)+ε[δ₀x₁+δ₁(A₁x₀+B₁)]+ε²[A₁(δ₀x₂+δ₁x₁)+δ₂(A₁x₀+B₁)]+...   (5)

＝f₀+εf₁+ε²f₂+...

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_0={\mathrm{\&delta;}}_0(A_1{x}_0+B_1)=f_{0m}+R_1\\ f_1={\mathrm{\&delta;}}_0{x}_1+{\mathrm{\&delta;}}_1(A_1{x}_0+B_1)=f_{1m}+R_2\\ f_2=A_1({\mathrm{\&delta;}}_0{x}_2+{\mathrm{\&delta;}}_1{x}_1)+{\mathrm{\&delta;}}_2(A_1{x}_0+B_1)=f_{2m}+R_3\\ ...\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量的余项小量；

状态变量与开关函数傅里叶展开模块，该模块用于将所述状态变量x与开关函数δ的展开式(4)中主部和第i阶余项小量做傅里叶展开如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i=a_{0i}+\underset{k\&Element;E_{ir}}{\mathrm{\&Sigma;}}\left(a_{ki}{e}^{jk\mathrm{\&tau;}}+{\stackrel{\&OverBar;}{a}}_{ki}{e}^{-jk\mathrm{\&tau;}}\right)\\ {\mathrm{\&delta;}}_i=b_0+\underset{k\&Element;E_{ir}}{\mathrm{\&Sigma;}}\&lsqb;b_{ki}{e}^{jk\mathrm{\&tau;}}+{\stackrel{\&OverBar;}{b}}_{ki}{e}^{-jk\mathrm{\&tau;}}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中a_ki表示第i阶修正量的k次谐波成分的幅值，所述开关函数δ展开式系数表达式为： $\left\{\begin{array}{c}{b}_0=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\&Integral;}}\mathrm{\&delta;}dt=D\\ b_{ki}=\frac{1}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_{ki}-{\mathrm{j\&beta;}}_{ki})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中 ${\mathrm{\&alpha;}}_{ki}=\frac{sin2Dk\mathrm{\&pi;}}{k\mathrm{\&pi;}},{\mathrm{\&beta;}}_{ki}=\frac{1-cos2Dk\mathrm{\&pi;}}{k\mathrm{\&pi;}};$

状态变量求解模块，该模块用于依据谐波平衡原理，将所述系数表达式(8)代入所述傅里叶展开式(7)，依次求解所述状态变量x的主振荡分量和各阶修正量；

状态变量表达式获取模块，该模块用于将所述主振荡分量和各阶修正量相加，获得关于所述状态变量x的稳态周期解析解表达式。

4.根据权利要求3所述的一种工作在电流连续模式分数阶开关变换器的符号分析装置，其特征在于，所述状态变量求解模块包括：

主振荡分量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的主振荡分量，所述主振荡分量中只含有直流量，故设为：

x₀＝a₀₀

                           (9)

＝[I₀₀ V₀₀]^T

当k＝0，即G₀＝G₀₀＝A₀，代入式(6)中f₀得到：

G₀₀·x₀+[A₁·(b₀x₀)+B₁]+B₀＝0   (10)

通过求解上式可得所述状态变量x的主振荡分量：

$\begin{array}{c}{x}_0=a_{00}={\left[\begin{array}{cc}{I}_{00}& V_{00}\end{array}\right]}^T\\ =-G_{00}^{-1}\&CenterDot;\left\{\&lsqb;A_1\&CenterDot;\left(b_0{x}_0\right)+B_1\&rsqb;+B_0\right\}\end{array};---\left(11\right)$

一阶修正量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的一阶修正量，设所述状态变量x的一阶修正量形式如下：

$x_1=a_{01}+\underset{k\&Element;E_{1r}}{\&Sigma;}(a_{k1}{e}^{jk\mathrm{\&tau;}}+c.c)---\left(12\right)$

其中k＝1时，a₁₁＝[I₁₁ V₁₁]^T，c.c表示共轭项，由所述状态变量x的一阶修正量中的谐波成分可知 $G_0=G_{k1}=A_0-\left[\begin{array}{ccc}{\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}}& & \\ & {\left(jk\mathrm{\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&beta;}}& \\ & & ...\end{array}\right],$ k∈E_1r，代入式(6)中f₁得到一阶修正量表达式：

G_k1·x₁+[b₀x₁+b₁(A₁x₀+B₁)]+B₀＝0   (13)

通过求解上式可以获得谐波幅值a₀₁和a_k1；

高阶修正量求解单元，该单元用于求解所述状态变量x的高阶修正量，将所述谐波幅值a₀₁和a_k1代入得到当前阶次修正量的表达式，若当前阶次修正量的各次谐波幅值相比较上一阶修正量小于一个数量级，则表示不需做更高阶的修正并退出，反之，继续依据上述过程求更高阶次的修正量。