CN106202706A - 一种开关变换器离散建模与稳定性分析及参数设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种开关变换器的离散化建模、稳定性分析和参数设计的方法，并以单相全桥逆变器和B00ST变换器为例进行说明。本发明提供的方法借助Matlab求解变换器开关周期内的状态方程，得到解析形式的频闪映射表达式和数值解，然后绘制分叉图、折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面对变换器进行稳定性分析和参数设计。建模、分析与设计过程直接在时域完成。建模过程保留了开关变换器的非线性特性，准确性更高。分析过程主要利用Matlab自带的算法完成，手动计算量少，简单方便。分析结果可以用多种形式呈现和验证，解析法结果可以由数值法结果验证，保证了可信度。

Description

一种开关变换器离散建模与稳定性分析及参数设计方法

技术领域

本发明提供了一种对开关变换器进行时域离散建模、稳定性分析和参数设计的方法。

背景技术

电力电子技术中的开关变换器，包括AC-DC变换器、DC-AC变换器、DC-DC变换器和AC-AC变换器，早已被广泛运用于各行各业，并发挥着重要作用。

开关变换器研究和设计的第一步，也是最关键的一步，是对开关变换器进行建模和稳定性分析。由于开关变换器是强非线性时变系统，其建模和解析解的求解一直是一个难题。

现有的开关变换器建模和分析方法通常分为数字仿真法和解析建模法两大类。数字仿真法又分为直接数字仿真法和间接数字仿真法。直接数字仿真法是指在现有的电路分析软件中，如Matlab/Simulink、Pspice等，直接连接已有模型元件或自己建立的等效元件，得到整个电路的模型，然后进行仿真分析。间接数字仿真法是指先从需要分析的电路中建立一个具体的数学模型，然后再使用牛顿—拉夫逊法等数值分析法求解。直接数字仿真法简单方便，直观明了，但该方法得到的模型精度较低，一般只能得到电压、电流的时域波形图，结果单一，准确性缺少验证，且无法分析电路的稳定性，故只适合对电路原理做初步探讨，对电路设计的指导意义十分有限。间接数字仿真法利用数学算法对电路求数值解，其结果精度很高，但结果一般也是时域的电压、电流值，分析角度比较狭隘，并且一般也无法分析电路的稳定性。

解析建模法中最经典的方法是状态空间平均法。状态空间平均法是在一个开关周期内，将各状态对应的微分方程组乘上状态的持续时间再求和，得到以状态持续时间为权重的加权平均状态方程，代替原单个开关周期内的分段连续状态方程作为电路的数学模型。这种方法可应用于开关变换器的稳态和动态小信号的解析分析，简单易懂，物理概念清楚，分析结果对设计有一定的指导意义。但该方法分析结果的精度较差，忽略了电路由状态切换造成的非线性特性，并且要求输出端的截止频率要远小于开关频率，故这一方法有很大的局限性。

第二种经典的解析建模分析方法是等效电路法。等效电路法对变换器中与非线性元件有关的工作波形或者特性进行平均，其代表方法有等效受控源法和三端开关器件电路模型法。等效受控源法用受控源代替开关器件，得到与原电路相同的等效电路，保留信息多，处理简单，概念清晰，但存在与状态空间平均法相同的缺陷。三端开关器件电路模型法适用于同时含开关管和二极管的电路，其做法是把功率开关管(有源元件)和功率二极管看作一个三端开关器件整体进行分析。该方法将开关变换器转换成等效的线性电路，既可以进行稳态分析又可以进行动态分析，还可以用于电路设计，但该方法对分析的电路结构有较多要求，使用范围有限，并且不能反映电路的非线性特性。

第三种经典的解析建模分析方法是传统离散时域建模法。传统离散时域建模法的主要思路是列出变换器的分段线性化状态方程后，找出状态转换律，并得出非线性差分方程，然后用牛顿迭代法求出其精确的平衡点。非线性差分方程的解就是大信号瞬态响应。小信号分析时，先在平衡点附近对系统进行线性化处理，得到其线性差分方程，再用Z变换进行分析。该方法是一种较精确的方法，并且考虑到了电路的非线性特性，既能对电路进行大信号分析，又能对其进行小信号分析，但该方法存在非线性差分方程求解难度大的局限性，并且对结果进行分析和验证的方法也比较有限。

除以上三种方法外，其他的一些较新的解析建模分析方法，如符号分析法、传输线模型法、等效小参量法等，在对开关变换器的某些性能进行建模分析时具有很高的使用价值，但普遍存在使用范围有限，数学推导和计算复杂，不易理解的缺陷。

综上所述，一种使用范围广，精度高，简单易懂，计算方便，分析角度多样，并且能够保留或反映电路的非线性特性的建模和分析方法，对开关变换器的建模、分析和设计具有重要意义。

发明内容

针对现有开关变换器建模与分析方法中普遍存在的使用范围窄，模型精度低，计算复杂，对电路的非线性特性描述不足等缺陷，本发明提供了一种对开关变换器进行时域离散建模、稳定性分析和参数设计的新方法。

本发明提供的开关变换器建模、稳定性分析和参数设计方法，其具体步骤如下：

1)分析开关变换器的工作特性，选取需要控制的主电路电压或电流作为状态变量，列写描述主电路不同状态的微分方程组；

2)在变换器的单个开关周期内，根据控制电路的工作原理确定主电路各个状态的持续时间，结合1)中的微分方程组，得到单个开关周期内主电路的分段连续状态方程；

3)在Matlab中编写程序，使用软件自带的微分方程组符号求解功能，对单个开关周期内主电路的分段连续状态方程进行求解，得到以开关周期为采样周期的变换器频闪映射表达式，即离散模型的解析表达式；

4)在Matlab中编写程序，将步骤3)得到的频闪映射表达式带入，把需要分析和设计的变换器参数作为分叉参数，绘制分叉参数变化时的分叉图，同时绘制折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面对分叉图进行检验；

5)选定部分确定的典型分叉参数值，在Matlab中编写程序，利用Matlab自带的Runge-Kutta算法对步骤2)中多个连续开关周期中的分段连续状态方程进行求解，得到状态变量的数值解，利用这些数值解绘制电流和电压的时域波形图、相图、庞加莱截面，验证步骤4)中由频闪映射得到的分叉图、折叠图、相图、庞加莱截面；

6)在步骤4)和步骤5)得到的各图谱相互验证无误的条件下，根据步骤4)的分叉图，在使系统稳定的分叉参数范围内选取某一数值作为系统参数。

与现有技术相比，本发明具有如下优点和显著效果：

1.本发明提供的方法利用系统的时域分段连续状态方程直接进行建模和分析，不需要做任何变换，建模过程保留了开关变换器的非线性特性，得到的模型更加接近真实的电路，更加精确。

2.整个分析过程主要在Matlab中利用软件自带的算法完成，手动计算量少，简单方便。

3.分析结果可以用非线性科学中的分叉图、折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面等多种形式呈现和验证，特别地，分叉图可以直观地展示出变换器参数变化时，系统状态变量的变化趋势和变化范围。

4.利用数值法结果验证解析法结果，提高了分析结果的可信度。

5.从给出的对单相全桥逆变器和电流控制型BOOST变换器的例子可以看出，该方法还适用于其他开关变换器的建模、分析与参数设计，尤其是一些阶数较低的开关变换器。

附图说明

图1是本发明提供的方法的实施步骤框图。

图2是本发明用来说明实施方式的单相全桥逆变器电路结构图。

图3是单相全桥逆变器输出电流i的频闪映射采样示意图。

图4是单相全桥逆变器以反馈系数K为分叉参数、输出电流i的分叉图。

图5是单相全桥逆变器反馈系数K变化时输出电流i的李雅普诺夫指数谱。

图6是单相全桥逆变器反馈系数K取典型值时输出电流i的折叠图。

图7是单相全桥逆变器反馈系数K取典型值时，基于Runge-Kutta算法得到的输出电流i的时域波形图。

图8是本发明用来说明实施方式的电流控制型BOOST变换器电路结构图。

图9是BOOST变换器电感电流i_L和电容电压v_c的频闪映射采样示意图。

图10是BOOST变换器以参考电流I_ref为分叉参数、电感电流i_L的分叉图。

图11是BOOST变换器参考电流I_ref变化时电感电流i_L的李雅普诺夫指数谱。

图12是BOOST变换器参考电流I_ref取典型值时基于频闪映射模型的庞加莱截面。

图13是BOOST变换器参考电流I_ref＝1A时基于Runge-Kutta算法得到的分析结果。

图14是BOOST变换器参考电流I_ref＝2A时基于Runge-Kutta算法得到的分析结果。

图15是BOOST变换器参考电流I_ref＝3A时基于Runge-Kutta算法得到的分析结果。

图16是BOOST变换器参考电流I_ref＝4.6A时基于Runge-Kutta算法得到的分析结果。

图17是BOOST变换器参考电流I_ref＝5A时基于Runge-Kutta算法得到的分析结果。

图18是BOOST变换器参考电流I_ref＝6A时基于Runge-Kutta算法得到的分析结果。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例进行详细说明，应当理解，以下所说明的优选实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

先以单相全桥逆变器为例进行说明。

单相全桥逆变器电路结构如图2所示。变换器主电路是一阶的，输出为交流电流。选择系统的输出电流i＝i(t)为状态变量建模，频闪映射采样示意图如图3所示。

第n个开关周期内主电路的分段连续状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{di}{dt}=-\frac{R_1}{L_1}i-\frac{E_1}{L_1},{\mathrm{nT}}_c<t\&le;{\mathrm{nT}}_c+t_{n1}\\ \frac{di}{dt}=-\frac{R_1}{L_1}i+\frac{E_1}{L_1},{\mathrm{nT}}_c+t_{n1}<t\&le;{\mathrm{nT}}_c+t_{n1}+t_{n2}\\ \frac{di}{dt}=-\frac{R_1}{L_1}i-\frac{E_1}{L_1},{\mathrm{nT}}_c+t_{n1}+t_{n2}+<t\&le;(n+1)T_c\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，E₁是变换器的直流输入电压，L₁是主电路滤波电感，R₁是负载电阻，T_c是开关周期，t_n1是第n个开关周期内开关管S2和S4开通时间的一半，t_n2是第n个开关周期内开关管S1和S3的开通时间。根据双极性PWM的对称规则采样法，第n个开关周期内占空比的计算值d_n为：

$d_n=\frac{1}{2}(1+\frac{i_c\left(n\right)}{I_H})---\left(2\right)$

其中，i_c(n)是第n个开关周期内的反馈电流值，I_H是载波电流的幅值。令D_n＝t_n2为第n个开关周期内的占空比的实际值，考虑饱和限制，则D_n可表示为：

$D_n=\left\{\begin{array}{c}1,d_n\&GreaterEqual;1\\ d_n,0<d_n<1\\ 0,d_n\&le;0\end{array}\right.---\left(3\right)$

t_n1和t_n2可以表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{n1}=\frac{(1-D_n)T_c}{2}\\ t_{n2}=D_n{T}_c\end{array}\right.---\left(4\right)$

将第n个开关周期时刻的输出电流值i(nT_c)＝i(n)作为初值，在Matlab中使用dsolve函数求解nT_c～(n+1)T_c时间段内的主电路分段连续状态方程可得：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_1=i\left(n\right)\\ I_3=-(E_1-\frac{1}{R_1}{e}^{-(R_1{t}_{n1}/L_1)(E_1+I_1{R}_1)})\\ I_5=\frac{1}{R_1}(E_1-(E_1-I_3{R}_1\left)e^{-\left(R_1{t}_{n2}\right)/L_1}\right)\\ I_7=-\frac{1}{R_1}(E_1-(E_1+I_5{R}_1\left)e^{-\left(R_1{t}_{n1}\right)/L_1}\right)\\ i(n+1)=I_7\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，I₁，I₃，I₅，I₇是求解方程过程中的中间变量，i(n+1)＝i((n+1)T_c)是第n+1个开关周期时刻的输出电流值。控制电路部分可直接写为：

i_c(n)＝K(i_ref(n)-i(n)) (6)

其中，K是反馈系数，i_ref(n)是第n个开关周期时刻的参考电流值，且有

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{ref}\left(n\right)=I_{m}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{nT}}_c\right)\\ {\mathrm{\&omega;}}_1=2{\mathrm{\&pi;f}}_1\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，I_m是参考电流的幅值，f₁是参考电流的频率，ω₁是f₁对应的角频率。(5)式、(6)式和(7)式就构成了单相全桥逆变器的频闪映射模型。

选择参数L₁＝0.02H，R₁＝20Ω，T_c＝0.0001s，E₁＝380V，I_H＝1A，I_m＝15A，f₁＝50Hz来设计合适的反馈系数K。在Matlab中，利用(5)式、(6)式和(7)式构成的频闪映射模型，绘制分叉图、李雅普诺夫指数谱、折叠图来研究反馈系数K变化时，变换器运行状态的演化过程。得到的分叉图、李雅普诺夫指数谱、折叠图分别如图4、图5、图6所示。

需要说明的是，分叉图中确定的K值对应的输出电流i值是在迭代10000个开关周期(即50个正弦周期)后，选择后30个正弦周期的固定时刻对i进行采样得到的。折叠图是在K取0.3，0.6，1，1.6，2，2.5这六个典型值时，迭代10000个开关周期后，将后30个正弦周期内采样到的全部电流i值画到第4000至第4200个开关周期内得到的。确定的K值下，李雅普诺夫指数的计算公式为：

${\mathrm{\&lambda;}}_{L_a}=\frac{1}{10000}\underset{n=1}{\overset{10000}{\&Sigma;}}\lg \left|\frac{di(n+1)}{di\left(n\right)}\right|---\left(8\right)$

由图4的分叉图可知，K<1.055时分叉参数K与输出电流i是一一对应的，说明变换器运行在稳定状态；K>1.055时，一个K值对应多个或无穷个i值,说明变换器运行在不稳定状态，K＝1.055为变换器由稳定状态转变到不稳定状态的临界点。并且，K值越大，i的取值越分散，变换器的不稳定现象越明显。

对应地，图5中，K<1.055时，李雅普诺夫指数小于零，说明变换器运行在稳定状态；K>1.055时，李雅普诺夫指数大于零，说明变换器运行在不稳定状态，K＝1.055即为变换器由稳定状态转变到不稳定状态的临界点。

图6中，K＝0.3，0.6，1时，折叠图均为光滑的正弦曲线，说明采样到的后30个正弦周期内的全部输出电流i值能够完全重叠，变换器运行在周期的稳定状态；而K＝1.6，2，2.5时，折叠图均为带状的正弦曲线，说明采样到的后30个正弦周期内的全部输出电流i值不能够完全重叠，变换器运行在不稳定状态。而且K值越大，折叠图上带状正弦曲线宽度越大，表明各曲线的重合度越差，变换器的不稳定现象越明显。

可以看出李雅普诺夫指数谱和折叠图的分析结果与分叉图的分析结果是相符合的。

图7是K取0.3，0.6，1，1.6，2，2.5这六个典型值时，利用Matlab中的Runge-Kutta算法计算出的输出电流i在单个正弦周期内的时域波形图。K＝0.3，0.6，1时，i均是光滑的正弦波，说明变换器运行在稳定状态；K＝1.6，2，2.5时，i仍然都是正弦波，但波形变差，有毛刺和畸变，说明变换器运行在不稳定状态；并且K值越大，毛刺和畸变越明显，说明变换器的不稳定现象越明显。

比较后可知，利用Runge-Kutta算法得到的数值分析结果与基于频闪映射得到的分叉图、李雅普诺夫指数谱、折叠图分析结果是相符的。

综上，设计反馈系数K时，K的取值小于1.055是合适的。

下面再以电流控制型BOOST变换器为例进行说明。

电流控制型BOOST变换器电路结构如图8所示。变换器主电路是二阶的，输出为直流电压。选择主电路的电感电流i_L＝i_L(t)和电容电压v_C＝v_C(t)为状态变量建模，频闪映射采样示意图如图9所示。

第n个开关周期内主电路状态方程分为两种情况：

(1)若t_na≥T，

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{di}}_L}{dt}=\frac{E_2}{L_2}\\ \frac{{\mathrm{dv}}_C}{dt}=-\frac{v_C}{R_{2}C}\end{array}\right.,nT\&le;t\&le;(n+1)T---\left(9\right)$

(2)若t_na<T，

$\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{di}}_L}{dt}=\frac{E_2}{L_2}\\ \frac{{\mathrm{dv}}_C}{dt}=-\frac{v_C}{R_{2}C}\end{array}\right.,nT\&le;t\&le;nT+t_{na}\\ \left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{di}}_L}{dt}=\frac{E_2-v_C}{L_2}\\ \frac{{\mathrm{dv}}_C}{dt}=\frac{R_2{i}_L-v_C}{R_{2}C}\end{array}\right.,nT+t_{na}<t\&le;(n+1)T\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，E₂是变换器的直流输入电压，L₂是主电路储能电感，R₂是负载电阻，C是输出端电容，T是开关周期，t_na是第n个开关周期内开关管的开通时间。对控制电路分析可得

$t_{na}=\frac{L_2(I_{ref}-i_L(n\left)\right)}{E_2}---\left(11\right)$

将第n个开关周期时刻的电感电流值i_L(nT)＝i_L(n)和电容电压值v_C(nT)＝v_C(n)作为初值，在Matlab中使用dsolve函数求解nT～(n+1)T时间段内的主电路状态方程并进行整理，得到的频闪映射表达式为：

(1)若t_na≥T,

$\left[\begin{array}{c}{i}_L(n+1)\\ v_C(n+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{i}_L(n+1)=i_L\left(n\right)+\frac{E_{2}T}{L_2}\\ v_C(n+1)=v_C\left(n\right)e^{-2kT}\end{array}\right]---\left(12\right)$

(2)若t_na<T，

$\left[\begin{array}{c}{i}_L(n+1)\\ v_C(n+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{e}^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(A{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}+B{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb})+\frac{E_2}{R_2}\\ E_2-e^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(D{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}+F{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb})\end{array}\right]---\left(13\right)$

$k=\frac{1}{2R_{2}C}---\left(14\right)$

$\mathrm{\&omega;}=\sqrt{\left(\frac{1}{L_{2}C}\right)-k^2}---\left(15\right)$

$A=\frac{{\mathrm{kL}}_2(I_{ref}-\frac{E_2}{R_2})+E_2-v_C\left(n\right)e^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}}{{\mathrm{\&omega;L}}_2}---\left(16\right)$

$B=I_{ref}-\frac{E_2}{R_2}---\left(17\right)$

$D=\frac{{\mathrm{kv}}_C\left(n\right)e^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}-{\mathrm{kE}}_2-\frac{B}{C}}{\mathrm{\&omega;}}---\left(18\right)$

$F=E_2-v_C\left(n\right)e^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}---\left(19\right)$

其中，I_ref是参考电流值，k，ω，A，B，D，F是方程解的部分系数，i_L(n+1)＝i_L((n+1)T)是第n+1个开关周期时刻的电感电流值,v_c(n+1)＝v_c((n+1)T)是第n+1个开关周期时刻的电容电压值。(11)～(19)式就构成了电流控制型BOOST变换器的频闪映射模型。

选择参数E₂＝10V，L₂＝1mH，C＝10μF，R₂＝20Ω，T＝0.0001s来设计合适的I_ref值。在Matlab中，利用(11)～(19)式构成的频闪映射模型，绘制分叉图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面来研究参考电流I_ref变化时，变换器运行状态的演化过程。绘制的分叉图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面分别如图10、图11、图12所示。

需要说明的是，分叉图中确定的I_ref值对应的电感电流i_L值是在迭代的500个开关周期内直接对开关周期固定点的i_L进行采样得到的。确定的I_ref值对应的庞加莱截面是在迭代的500个开关周期内，在开关周期固定点同时对电感电流i_L和和电容电压v_C采样，并以v_C为横坐标，i_L为纵坐标绘制的二维坐标图。图12画出了I_ref＝1，2，3，4.6，5，6A六个典型值时的庞加莱截面。确定的I_ref值下，李雅普诺夫指数的计算公式为：

λ_Lb＝max(λ_L1,λ_L2) (20)

其中

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{L1}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{L2}\end{array}\right]=\underset{n\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\frac{1}{n}ln\left|eig(J_n{J}_{n-1}...J_1)\right|---\left(21\right)$

eig(J_nJ_n-1…J₁)为J_nJ_n-1…J₁的特征根函数，J_n是第n个采样点处的Jacobi矩阵。根据频闪映射表达式，可以得到J_n的表达式为：

(1)若t_na≥T，

$J_n=\left[\begin{array}{cc}\frac{\&part;i_L(n+1)}{\&part;i_L\left(n\right)}& \frac{\&part;i_L(n+1)}{\&part;v_C\left(n\right)}\\ \frac{\&part;v_C(n+1)}{\&part;i_L\left(n\right)}& \frac{\&part;v_C(n+1)}{\&part;v_C\left(n\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{-2kT}\end{array}\right]---\left(22\right)$

(2)若t_na<T，

$J_n=\left[\begin{array}{cc}\frac{\&part;i_L(n+1)}{\&part;i_L\left(n\right)}& \frac{\&part;i_L(n+1)}{\&part;v_C\left(n\right)}\\ \frac{\&part;v_C(n+1)}{\&part;i_L\left(n\right)}& \frac{\&part;v_C(n+1)}{\&part;v_C\left(n\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{J}_{11}& J_{12}\\ J_{21}& J_{22}\end{array}\right]---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}{J}_{11}=\frac{-k}{E_2/L_2}{e}^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(A{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}+B{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb})\\ +e^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(\frac{-2{\mathrm{kv}}_C\left(n\right)}{{\mathrm{\&omega;E}}_2}{e}^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}+\frac{A\mathrm{\&omega;}}{E_2/L_2}{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb}-\frac{B\mathrm{\&omega;}}{E_2/L_2}{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb})\end{array}---\left(24\right)$

$J_{12}=-\frac{{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}}{{\mathrm{\&omega;L}}_2}{e}^{-{\mathrm{kt}}_{nb}-2{\mathrm{kt}}_{na}}---\left(25\right)$

$\begin{array}{c}{J}_{21}=\frac{k}{E_2/L_2}{e}^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(D{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}+F{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb})\\ -e^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(\frac{2k^2{v}_C\left(n\right)}{{\mathrm{\&omega;E}}_2/L_2}{e}^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}+\frac{D\mathrm{\&omega;}}{E_2/L_2}{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb}-\frac{2{\mathrm{kv}}_C\left(n\right)}{E_2/L_2}{e}^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb}-\frac{F\mathrm{\&omega;}}{E_2/L_2}{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb})\end{array}---\left(26\right)$

$J_{22}=-e^{-{\mathrm{kt}}_{nb}}(\frac{k}{\mathrm{\&omega;}}{e}^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}{\mathrm{sin\&omega;t}}_{nb}-e^{-2{\mathrm{kt}}_{na}}{\mathrm{cos\&omega;t}}_{nb})---\left(27\right)$

由图10的分叉图可知，I_ref<1.596A时，分叉参数与状态变量i_L是一一对应的，说明变换器运行在稳定状态；I_ref>1.596A时，一个I_ref值对应多个或无穷个i_L值,说明变换器运行在不稳定状态，I_ref＝1.596A为变换器由稳定状态转变到不稳定状态的临界点。

对应的，图11中，I_ref<1.596A时，李雅普诺夫指数始终小于零，说明变换器运行在稳定状态；I_ref>1.596A时，李雅普诺夫指数先是和图中的零分界线相切，然后在正值区域和负值区域往复变化，说明变换器进入了复杂的不稳定运行状态，I_ref＝1.596A即为为变换器由稳定状态转变到不稳定状态的临界点。可以看出李雅普诺夫指数谱与分叉图是相符的。

图12中，I_ref＝1A时，庞加莱截面是1个孤立的点，说明变换器运行于周期1状态；I_ref＝2A时，庞加莱截面是2个孤立的点，说明变换器运行于周期2状态；I_ref＝3A时，庞加莱截面是成片的点，说明变换器运行于混沌状态；I_ref＝4.6A时，庞加莱截面是3个孤立的点，说明变换器从混沌状态退化到了不稳定的周期3状态；I_ref＝5A和I_ref＝6A时，庞加莱截面是成片的点，说明变换器运行于混沌状态。比较可知，庞加莱截面与分叉图分析结果相符。

图13至图18是I_ref取1A,2A,3A,4.6A,5A,6A六个典型值时，利用Matlab中的Runge-Kutta算法计算出的500个开关周期内，电感电流i_L和电容电压v_C的时域波形图、相图和庞加莱截面。其中相图是以同一时刻的v_C值为横坐标，i_L值为纵坐标绘制的二维坐标图，庞加莱截面的绘制方法与基于频闪映射模型的绘制方法一样。

由图13可知，I_ref＝1A时，电感电流i_L和电容电压v_C的时域波形均是周期的，周期为0.1ms，与开关周期相等，相图是单条封闭的曲线，庞加莱截面是单个孤立的点，说明变换器运行在稳定的周期1状态。

由图14可知，I_ref＝2A时，电感电流i_L和电容电压v_C的时域波形均是周期的，周期为0.2ms，是开关周期的2倍，相图是单条封闭的曲线，庞加莱截面是2个孤立的点，说明变换器运行在周期2状态。

由图15可知，I_ref＝3A时，电感电流i_L和电容电压v_C的时域波形均是非周期、杂乱无章的，相图是无穷条随机分布的、不闭合的曲线，庞加莱截面是成片的点，说明变换器运行在混沌状态。

由图16可知，I_ref＝4.6A时，电感电流i_L和电容电压v_C的时域波形均是周期的，周期为0.3ms，是开关周期的3倍，相图是单条封闭的曲线，庞加莱截面是3个孤立的点，说明变换器运行在周期3状态。

由图17和图18可知，I_ref＝5A，6A时，电感电流i_L和电容电压v_C的时域波形均是非周期、杂乱无章的，相图均是无穷条随机分布的、不闭合的曲线，庞加莱截面均是成片的点，说明变换器运行在混沌状态。

比较可知，利用Runge-Kutta算法得到的数值分析结果与基于频闪映射得到的分叉图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面分析结果是相符的。

综上，设计参考电流I_ref时，I_ref不超过1.596A是合适的。

尽管上文对本发明进行了详细说明，但是本发明不限于此，本技术领域技术人员可以根据本发明的原理进行各种修改。因此，凡按照本发明原理所作的修改，都应当理解为落入本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种开关变换器离散建模与稳定性分析及参数设计方法，具体包括如下步骤：

1)分析开关变换器的工作特性，选取需要控制的主电路电压或电流作为状态变量，列写描述主电路不同状态的微分方程组；

2)在变换器的单个开关周期内，根据控制电路的工作原理确定主电路各个状态的持续时间，结合1)中的微分方程组，得到单个开关周期内主电路的分段连续状态方程；

3)在Matlab中编写程序，使用软件自带的微分方程组符号求解功能，对单个开关周期内的分段连续状态方程进行求解，将结果整理后得到以开关周期为采样周期的变换器频闪映射表达式，即离散模型的解析表达式；

4)在Matlab中编写程序，将步骤3)得到的频闪映射表达式带入，选取需要研究和分析的变换器参数作为分叉参数，绘制分叉参数变化时的分叉图，同时绘制折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面对分叉图进行检验；

5)选定部分确定的典型分叉参数值，在Matlab中编写程序，利用Matlab自带的Runge-Kutta算法对多个连续开关周期中的分段连续状态方程进行求解，得到状态变量在一定时间段内的数值解，利用这些数值解绘制电流和电压的时域波形图、相图、庞加莱截面，验证步骤4)中由频闪映射得到的分叉图、折叠图、相图、庞加莱截面；

6)在步骤4)和步骤5)得到的各图谱相互验证一致的条件下，根据步骤4)的分叉图，在使系统稳定的分叉参数范围内选取某一数值作为系统参数。

2.如权利要求1所述的开关变换器的离散建模方法，其特征在于建模时将变换器分为主电路和控制电路两部分：

主电路用来分析变换器的状态，根据选取的电压、电流变量和电路理论写出描述各个状态的微分方程组；

控制电路用来分析主电路各状态间的切换关系，根据分析结果，确定出单个开关周期内主电路各个状态的持续时间。

3.如权利要求1或权利要求2所述的开关变换器的离散建模方法，其特征在于建模是在单个开关周期内实现的，采用了频闪映射方法，建立的模型即为频闪映射模型；

对于有确定的时钟信号的开关变换器，如电流控制型BOOST变换器，开关周期即指时钟周期；对于PWM(Pulse-Width Modulation)型变换器，如SPWM(Singlesided Pulse-WidthModulation)型单相全桥逆变器，开关周期即指PWM载波的周期；

单个开关周期内，主电路状态方程的特征在于它是分段连续的，是由一系列微分方程组成的，即一个开关周期被分成了若干个小区间，每个区间内都列写一个微分方程组，某个区间内微分方程组的初值是前一区间内微分方程组解的右端点值。

4.如权利要求1或权利要求3所述的开关变换器的频闪映射的特征在于，其思想是利用第n个开关周期时刻的状态变量值和主电路分段连续状态方程求解出第n+1个开关周期时刻的状态变量值，得到的第n+1个开关周期时刻的状态变量值是第n个开关周期时刻的状态变量值的函数，函数表达式即为频闪映射模型的表达式；频闪映射模型的表达式是在单个开关周期内进行逐段求解分段连续的状态方程得到的，求解过程主要是在Matlab中编写程序完成的，并且主要使用了Matlab自带的dsolve命令，得到的是解析解。

5.如权利要求1所述的开关变换器的稳定性分析方法，其特征在于稳定性分析是建立在变换器频闪映射模型上的，分析过程主要是在Matlab中编写程序完成的，分析结果主要由分叉图来展示，并由折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面来验证，这里的分叉图、折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面符合非线性科学中的定义；

分叉图的特征是可以体现出变换器的三种状态：周期1状态、周期n状态(n≥2)、混沌状态；

周期1状态的特征是：时域波形是周期的，其周期等于开关周期；一个确定的分叉参数值对应一个状态变量值；折叠图是由多条曲线完全重合而得到的单条曲线；相图是单条闭合曲线，李雅普诺夫指数恒小于零；庞加莱截面是单个孤立的点；

周期n状态的特征是：时域波形是周期的，其周期等于开关周期的n倍，n是大于等于2的正整数；一个确定的分叉参数值对应n个状态变量值；折叠图是n条不能重合的曲线；相图是单条闭合曲线；李雅普诺夫指数小于等于零，与零分界线有切点；庞加莱截面是n个孤立的点；

混沌状态的特征是：时域波形是杂乱无章的；一个确定的分叉参数值对应无穷个状态变量值；折叠图是由多条曲线叠加在一起得到的带状曲线；相图是无穷条随机的不闭合曲线；李雅普诺夫指数恒大于零；庞加莱截面是成片的点；

因为这三种状态对应的折叠图、相图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面是不一样的，所以可以用这些图谱来检验分叉图的正确性；三种状态中，周期1状态是人们所期望的状态，所以被定义为稳定状态，其他两种状态则被定义为不稳定状态。

6.如权利要求1或权利要求5所述的开关变换器的稳定性分析方法，其特征在于，基于频闪映射模型的稳定性分析结果还经过了多个连续开关周期内状态方程的数值解的检验；数值解是通过在Matlab中编写程序得到的，求解过程主要使用了Matlab自带的Runge-Kutta算法，得到的数值解结果被绘制成了时域波形图、相图、庞加莱截面来检验基于频闪映射的分析结果。

7.如权利要求1所述的开关变换器稳定性分析及参数设计方法，其特征在于最终选取的变换器参数值位于分叉图上的稳定区间。