CN106803019A - 复合载荷下带有硬芯的环形薄膜最大挠度的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了复合载荷下带有硬芯的环形薄膜最大挠度的确定方法：对厚度为h、外半径为a、内半径为b、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中硬芯的半径也为b，并在硬芯的中心处同时施加一个横向集中载荷F，基于对这个轴对称变形问题的静力平衡分析，利用均布载荷q和集中载荷F的测量值，则可确定出该环形薄膜变形后的最大挠度w_m。

Description

复合载荷下带有硬芯的环形薄膜最大挠度的确定方法

技术领域

本发明涉及复合载荷作用下周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜最大挠度的确定方法。

背景技术

环形薄膜结构在机械、电子、生物工程等领域有着广泛的应用。周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜结构，可以用于电容式压力传感器的研制，其中，环形薄膜和硬芯将同时处于压力的作用下(均布载荷的作用下)。但实际上，在较小的压力作用下，硬芯元件的自重，对环形薄膜而言，是一个不可忽略的作用载荷，改变了环形薄膜结构的力学行为，因而影响着传感器的精度。如果考虑硬芯元件自重对环形薄膜的载荷作用，这实际上是一个复合载荷作用下周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜的轴对称变形问题。而从文献查新的结果看，该问题还没有被解析求解，因而影响着传感器的精细化研制。

发明内容

本发明解析求解了复合载荷作用下周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜的轴对称变形问题，并在此基础上给出了周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜在复合载荷共同作用下的最大挠度的确定方法。

复合载荷下带有硬芯的环形薄膜最大挠度的确定方法：对厚度为h、外半径为a、内半径为b、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中硬芯的半径也为b，并在硬芯的中心处同时施加一个横向集中载荷F，那么基于对这个轴对称变形问题的静力平衡分析，该环形薄膜的最大挠度w_m与所施加的均布载荷q和集中载荷F的解析关系可以表示为

其中，

β＝(a+b)/(2a)，

α＝(F-πb²q)/(πa²q)，π为圆周率，c₁和c₂的值由方程

和

确定，而c₀的值由公式

确定。其中，所有参量皆采用国际单位制。

这样，只要测量出所施加的均布载荷q和集中载荷F的值，就可以确定出该环形薄膜变形后的最大挠度w_m。

附图说明

图1为周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜加载构造示意图，其中，1－变形后的环形薄膜，2－硬芯，3－夹紧装置，而a表示夹紧装置的内半径和环形薄膜的外半径，b表示硬芯的半径和环形薄膜的内半径，q表示横向均布载荷，F表示横向集中载荷，w_m表示薄膜的最大挠度。

具体实施方式

下面结合图1对本发明的技术方案作进一步的详细说明：

对厚度h＝0.5mm、外半径a＝20mm、内半径b＝10mm、杨氏弹性模量E＝7.84MPa、泊松比ν＝0.47的周边固定夹紧的带有硬芯的环形橡胶薄膜横向施加一个均布载荷q，其中硬芯的半径也为b＝10mm，并在硬芯的中心处同时施加一个横向集中载荷F。测得q＝0.01MPa、F＝4.712N。采用本发明所给出的方法，则α＝(F-πb²q)/(πa²q)＝0.125，β＝(a+b)/(2a)＝0.75，通过方程

和

即，方程

和

其中，

可以得到c₁＝-0.865040715，c₂＝-0.612728044。然后，再由公式

即，公式

得到c₀＝0.257767795。最后，由公式

即，公式

则可以得到，当均布载荷q为0.01MPa、集中荷载F为4.712N时，该环形橡胶薄膜的最大挠度w_m＝3.25mm。

Claims (1)

1.复合载荷下带有硬芯的环形薄膜最大挠度的确定方法，其特征在于：对厚度为h、外半径为a、内半径为b、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的带有硬芯的环形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中硬芯的半径也为b，并在硬芯的中心处同时施加一个横向集中载荷F，测得所施加的均布载荷q和集中载荷F的值，该环形薄膜在均布载荷q和集中载荷F共同作用下的最大挠度w_m由以下公式确定，

$w_m={\left(\frac{a^{4}q}{Eh}\right)}^{1/3}\underset{n=0}{\overset{7}{\Σ}}{c}_n{(\frac{b}{a}-\mathrm{\β})}^n,$

其中，

β＝(a+b)/(2a)，

$c_3=\frac{1}{6}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^2{c}_1(\mathrm{\α}+{\mathrm{\β}}^2)}(8{\mathrm{\β}}^4{c}_2^2-10{\mathrm{\β}}^3{c}_1{c}_2+3{\mathrm{\β}}^2{c}_1^2-{\mathrm{\βc}}_1^5-2{\mathrm{\α\βc}}_1{c}_2+8{\mathrm{\α\β}}^2{c}_2^2-{\mathrm{\αc}}_1^2),$

$\begin{array}{c}{c}_4=\frac{1}{24}\frac{1}{{c_1}^2{\mathrm{\β}}^3{(\mathrm{\α}+{\mathrm{\β}}^2)}^2}(48{\mathrm{\β}}^7{c}_2^3-16{\mathrm{\β}}^4{c}_1^5{c}_2-120{\mathrm{\β}}^6{c}_1{c}_2^2+96{\mathrm{\α\β}}^5{c}_2^3+8{\mathrm{\β}}^3{c}_1^6\\ -16{\mathrm{\α\β}}^2{c}_1^5{c}_2+90{\mathrm{\β}}^5{c}_1^2{c}_2-144{\mathrm{\α\β}}^4{c}_1{c}_2^2+48{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_2^3+2{\mathrm{\α\βc}}_1^6-21{\mathrm{\β}}^4{c}_1^3\\ +36{\mathrm{\α\β}}^3{c}_1^2{c}_2-24{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_1{c}_2^2+6{\mathrm{\α\β}}^2{c}_1^3-6{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\βc}}_1^2{c}_2+3{\mathrm{\α}}^2{c}_1^3)\end{array},$

$\begin{array}{c}{c}_5=\frac{1}{120}\frac{1}{{c_1}^3{\mathrm{\β}}^4{(\mathrm{\α}+{\mathrm{\β}}^2)}^3}(-464{\mathrm{\α\β}}^5{c}_1^5{c}_2^2+384{\mathrm{\α\β}}^4{c}_1^6{c}_2+2616{\mathrm{\α\β}}^6{c}_1^2{c}_2^2\\ +696{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_1^2{c}_2^2-3168{\mathrm{\α\β}}^7{c}_1{c}_2^3-2016{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_1{c}_2^3+72{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_1^6{c}_2-576{\mathrm{\α\β}}^5{c}_1^3{c}_2\\ +120{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_1^3{c}_2-24{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^2{c}_1^2{c}_2^2+384{\mathrm{\β}}^{10}{c}_2^4-232{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_1^5{c}_2^2-288{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^3{c}_1{c}_2^3\\ +48{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\βc}}_1^3{c}_2-6{\mathrm{\α}}^3{c}_1^4+8{\mathrm{\β}}^4{c}_1^{10}-101{\mathrm{\β}}^5{c}_1^7+198{\mathrm{\β}}^6{c}_1^4-232{\mathrm{\β}}^7{c}_1^5{c}_2^2+312{\mathrm{\β}}^6{c}_1^6{c}_2\\ +1152{\mathrm{\α\β}}^8{c}_2^4+1152{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_2^4+8{\mathrm{\α\β}}^2{c}_1^{10}-46{\mathrm{\α\β}}^3{c}_1^7+7{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\βc}}_1^7+384{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_2^4\\ -1440{\mathrm{\β}}^9{c}_1{c}_2^3+1896{\mathrm{\β}}^8{c}_1^2{c}_2^2-1032{\mathrm{\β}}^7{c}_1^3{c}_2-42{\mathrm{\α\β}}^4{c}_1^4-54{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_1^4)\end{array},$

$\begin{array}{c}{c}_6=\frac{1}{720}\frac{1}{{c_1}^4{\mathrm{\β}}^4{(\mathrm{\α}+{\mathrm{\β}}^2)}^4}(-3840{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^3{c}_2^4{c}_1+18440{\mathrm{\α\β}}^6{c}_1^6{c}_2^2-10656{\mathrm{\α\β}}^7{c}_1^5{c}_2^3\\ +688{\mathrm{\α\β}}^4{c}_1^{10}{c}_2-61440{\mathrm{\α\β}}^9{c}_1{c}_2^4-10656{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_1^5{c}_2^3+87360{\mathrm{\α\β}}^8{c}_1^2{c}_2^3+8864{\mathrm{\α\β}}^5{c}_1^7{c}_2\\ +11992{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_1^6{c}_2^2-2560{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_1^7{c}_2+64800{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_1^2{c}_2^3+14400{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_1^2{c}_2^3\\ +720{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\βc}}_1^3{c}_2^2+344{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_1^{10}{c}_2+1848{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_1^6{c}_2^2+96{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\βc}}_1^7{c}_2+240{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^2{c}_1^2{c}_2^3\\ -69120{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^7{c}_1{c}_2^4+3552{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^3{c}_1^5{c}_2^3-51360{\mathrm{\α\β}}^7{c}_1^3{c}_2^2-30720{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^5{c}_1{c}_2^4+9960{\mathrm{\α\β}}^6{c}_1^4{c}_2\\ -17280{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_1^3{c}_2^2-2160{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_1^4{c}_2+1440{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^3{c}_1^3{c}_2^2-1800{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^2{c}_1^4{c}_2-2340{\mathrm{\β}}^7{c}_1^5\\ +1489{\mathrm{\β}}^6{c}_1^8+3840{\mathrm{\β}}^{12}{c}_2^5-204{\mathrm{\β}}^5{c}_1^{11}-300{\mathrm{\α\β}}^5{c}_1^5+81{\mathrm{\α}}^3{c}_1^8+900{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_1^5+180{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\βc}}_1^5\\ -180{\mathrm{\α}}^4{c}_1^4{c}_2+14340{\mathrm{\β}}^8{c}_1^4{c}_2-33360{\mathrm{\β}}^9{c}_1^3{c}_2^2+929{\mathrm{\α\β}}^4{c}_1^8-161{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_1^8+8296{\mathrm{\β}}^8{c}_1^6{c}_2^2\\ -3552{\mathrm{\β}}^9{c}_1^5{c}_2^3+344{\mathrm{\β}}^6{c}_1^{10}{c}_2-6208{\mathrm{\β}}^7{c}_1^7{c}_2-256{\mathrm{\α\β}}^3{c}_1^{11}-52{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\βc}}_1^{11}-19200{\mathrm{\β}}^{11}{c}_1{c}_2^4\\ +36720{\mathrm{\β}}^{10}{c}_1^2{c}_2^3+23040{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^8{c}_2^5+15360{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^6{c}_2^5+3840{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^4{c}_2^5+15360{\mathrm{\α\β}}^{10}{c}_2^5)\end{array},$

$\begin{array}{c}{c}_7=\frac{1}{2520}\frac{1}{{c_1}^5{\mathrm{\β}}^6{(\mathrm{\α}+{\mathrm{\β}}^2)}^5}(-118656{\mathrm{\α\β}}^{11}{c}_1^5{c}_2^4+324864{\mathrm{\α\β}}^{10}{c}_1^6{c}_2^3-177984{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^9{c}_1^5{c}_2^4\\ +368928{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^8{c}_1^6{c}_2^3+16248{\mathrm{\α\β}}^8{c}_1^{10}{c}_2^2+16248{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_1^{10}{c}_2^2-301416{\mathrm{\α\β}}^9{c}_1^7{c}_2^1\\ -229632{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^7{c}_1^7{c}_2^2-16740{\mathrm{\α\β}}^7{c}_1^{11}{c}_2-11076{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_1^{11}{c}_2+105840{\mathrm{\α\β}}^8{c}_1^8{c}_2\\ +38400{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_1^8{c}_2+552780{\mathrm{\α\β}}^{10}{c}_1^4{c}_2^2+217080{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^8{c}_1^4{c}_2^2-95670{\mathrm{\α\β}}^9{c}_1^5{c}_2\\ +19980{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^7{c}_1^5{c}_2+5416{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_1^{10}{c}_2^2-1194120{\mathrm{\α\β}}^{11}{c}_1^3{c}_2^3-1804{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^3{c}_1^{11}{c}_2\\ -988560{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^9{c}_1^3{c}_2^3+1509120{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^{10}{c}_1^2{c}_2^4+794880{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^8{c}_1^2{c}_2^4+26460{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^5{c}_1^5{c}_2\\ +1226880{\mathrm{\α\β}}^{12}{c}_1^2{c}_2^4-268560{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^7{c}_1^3{c}_2^3+155520{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^6{c}_1^2{c}_2^4-3120{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_1^8{c}_2\\ -29160{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^6{c}_1^4{c}_2^2+4770{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^3{c}_1^5{c}_2-23940{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^4{c}_1^4{c}_2^2+1080{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^5{c}_1^3{c}_2^3+45{\mathrm{\α}}^5{c}_1^6\\ -86{\mathrm{\β}}^7{c}_1^{15}+2524{\mathrm{\β}}^8{c}_1^{12}-12708{\mathrm{\β}}^9{c}_1^9+16605{\mathrm{\β}}^{10}{c}_1^6+23040{\mathrm{\β}}^{16}{c}_2^6-29664{\mathrm{\β}}^{13}{c}_1^5{c}_2^4\\ +100944{\mathrm{\β}}^{12}{c}_1^6{c}_2^3+5416{\mathrm{\β}}^{10}{c}_1^{10}{c}_2^2-7468{\mathrm{\β}}^9{c}_1^{11}{c}_2-124644{\mathrm{\β}}^{11}{c}_1^7{c}_2^2+66120{\mathrm{\β}}^{10}{c}_1^8{c}_2\\ +3696{\mathrm{\α\β}}^6{c}_1^{12}+1140{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_1^{12}-32{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^2{c}_1^{12}-9813{\mathrm{\αc}}_1^9{\mathrm{\β}}^7+1641{\mathrm{\α}}^2{c}_1^9{\mathrm{\β}}^5+1809{\mathrm{\α}}^3{c}_1^9{\mathrm{\β}}^3\\ +328140{\mathrm{\β}}^{12}{c}_1^4{c}_2^2-116910{\mathrm{\β}}^{11}{c}_1^5{c}_2+183{\mathrm{\α}}^4{c}_1^9\mathrm{\β}-172{\mathrm{\α\β}}^5{c}_1^{15}-86{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_1^{15}\\ -469800{\mathrm{\β}}^{13}{c}_1^3{c}_2^3-675{\mathrm{\α\β}}^8{c}_1^6+115200{\mathrm{\α\β}}^{14}{c}_2^6+362880{\mathrm{\β}}^{14}{c}_1^2{c}_2^4-8010{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_1^6\\ +45{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^2{c}_1^6+230400{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^{12}{c}_2^6-144000{\mathrm{\β}}^{15}{c}_2^5{c}_1+230400{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^{10}{c}_2^6+115200{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^8{c}_2^6\\ +23040{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^6{c}_2^6-2250{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_1^6-53592{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^5{c}_1^7{c}_2^2-1800{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^2{c}_1^8{c}_2-604800{\mathrm{\α\β}}^{13}{c}_1{c}_2^5\\ -979200{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^{11}{c}_1{c}_2^5-748800{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^9{c}_1{c}_2^5-259200{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^7{c}_1{c}_2^5+167040{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^6{c}_1^6{c}_2^3\\ -28800{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^5{c}_1{c}_2^5+22032{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^4{c}_1^6{c}_2^3-118656{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^7{c}_1^5{c}_2^4-29664{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^5{c}_1^5{c}_2^4\\ +5760{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^4{c}_1^2{c}_2^4-2340{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^2{c}_1^4{c}_2^2+90{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\βc}}_1^5{c}_2+5400{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^3{c}_1^3{c}_2^3-732{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^3{c}_1^7{c}_2^2)\end{array},$

α＝(F-πb²q)/(πa²q)，π为圆周率，c₁和c₂的值由方程

$\frac{F}{\mathrm{\π}abq}\underset{n=2}{\overset{7}{\Σ}}n(n-1)c_n{(\frac{b}{a}-\mathrm{\β})}^{n-2}-(2-\frac{vF}{{\mathrm{\πb}}^{2}q})\underset{n=1}{\overset{7}{\Σ}}{\mathrm{nc}}_n{(\frac{b}{a}-\mathrm{\β})}^{n-1}=0$

和

$(1+\mathrm{\α})\underset{n=2}{\overset{7}{\Σ}}n(n-1)c_n{(1-\mathrm{\β})}^{n-2}-(2-v-v\mathrm{\α})\underset{n=1}{\overset{7}{\Σ}}{\mathrm{nc}}_n{(1-\mathrm{\β})}^{n-1}=0$

确定，而c₀的值由公式

$c_0=-\underset{n=1}{\overset{7}{\Σ}}{c}_n{(1-\mathrm{\β})}^n$

确定，所有参量皆采用国际单位制。