CN106769040B - 一种轴承振动信号稀疏重构的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种轴承振动信号稀疏重构的方法，包括以下步骤：S1：利用离散余弦变换基，对原始轴承振动信号x进行稀疏化，得到x在变换域Ψ上的稀疏表示θ，x＝Ψθ，Ψ是正交矩阵；S2：基于约束等距性条件，利用观测矩阵Φ对信号x进行压缩，得到观测信号y，y＝Φx＝ΦΨθ；S3：利用ADMM算法和LSQR算法，由观测信号y得到重构信号与现有技术相比，本发明在保证重构精度高的同时，快速有效地稀疏重构出具有非线性、非平稳特性的轴承振动信号。

Description

一种轴承振动信号稀疏重构的方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域，尤其是涉及一种轴承振动信号稀疏重构的方法。

背景技术

如今，现代工业中的机械设备正朝向更加的自动化、精确和有效的方向发展。为了实现机械设备的实时状态监测和及时故障处理，大量振动信号的采集使得机械设备的故障诊断技术已经进入大数据时代。为了能够尽量不失真地恢复原始信号，传统的信号采集技术都需遵循奈奎斯特采样定理，即采样频率不小于信号频谱中最高频率的2倍。在故障不是瞬时发生的现实状况下，数据的采样、压缩和传输就得持续进行，随着时间的推移，数据量的急剧增加，对信号的存储和传输硬件条件提出了严峻的挑战。针对这个问题，Candes和Donoho在2006年提出了压缩感知(Compressive Sensing，CS)理论。这一理论用一组随机测量矩阵去感知稀疏或可压缩的原始信号，从高维信号中获得降维的观测数据，最后利用数据的稀疏特性重构出原始信号，即稀疏重构(Sparse Reconstruction)。CS突破了奈奎斯特采样定理的限制，缓解了因大数据下信号采集、传输和存储的压力，已被广泛应用于雷达探测、医学成像、语音信号处理和故障信号处理中。然而，目前针对故障振动信号的稀疏重构算法存在两方面的问题。一方面，算法相对较简单，以至于重构信号与原始信号相差较大，丢失较多的信息。尤其是在携带故障信号的时候，信息的丢失将影响故障特征的提取，阻碍状态监测和故障处理的进程。另一方面，稀疏重构算法的优化性不够，无法同时满足迭代次数少，重构误差小的要求，拖累了信号的处理速度。

现有技术中，在针对轴承振动信号的稀疏重构中，在保证重构精度高的同时，计算方法又快速有效，是一个有待解决的问题。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种轴承振动信号稀疏重构的方法，在保证重构精度高的同时，快速有效地稀疏重构出具有非线性、非平稳特性的轴承振动信号。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种轴承振动信号稀疏重构的方法包括以下步骤：

S1：利用离散余弦变换基，对原始轴承振动信号x进行稀疏化，得到x在变换域Ψ上的稀疏表示θ，x＝Ψθ，Ψ是正交矩阵；

S2：基于约束等距性条件，利用观测矩阵Φ对信号x进行压缩，得到观测信号y，y＝Φx＝ΦΨθ；

S3：利用ADMM算法和LSQR算法，由观测信号y得到重构信号

所述步骤S3具体为：

301：将信号重构的L₀范数求解问题转化为L₁范数最小化问题，满足以下公式：

其中，A＝Φ；

302：利用LASSO算法解决公式(1)最小化问题，满足以下公式：

其中，λ＞0，是正则化参数；

303：利用ADMM算法将公式(2)转化为：

x_k+1＝(A^TA+ρI)^-1(A^Ty-ρ(z_k-μ_k))

z_k+1＝S_λ/ρ(x_k+1+μ_k)

μ_k+1＝μ_k+x_k+1-z_k+1

其中，k表示迭代次数，z、μ、ρ为中间变量，S为L₁范数的临近运算子；

304：利用LSQR算法求解公式(3)，得到重构信号

所述LSQR算法包括以下步骤：

(1)初始化：

β₁m₁＝d(β₁＝||d||),a₁v₁＝A^Tm₁(a₁＝||A^Tm₁||),

其中，β₁和a₁都是归一化常数，||m₁||＝1，||v₁||＝1；

(2)循环运算，对于k＝1,2,3,…，重复步骤(3)到步骤(6)；

(3)利用Lanczos算法进行迭代，双对角化：

(4)Givens正交变换过程：

(5)更新和w：

w_k+1＝v_k+1-(n_k+1/ρ_k)w_k；

(6)停止迭代直至收敛。

所述L₁范数的临近运算子S满足以下公式：

S_p(q)＝(1-p|q|)₊q

其中，p、q为中间变量。

所述观测矩阵Φ采用高斯白噪声矩阵。

适用于重构非线性、非平稳的轴承振动信号，所述步骤S3得到的重构信号用于轴承故障特征提取和轴承故障预测。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1)本发明将LASSO(Least Absolute Shinkage and Selection Operator)应用于振动信号的重构中，利用交替方向法(Alternate Direction Multiplier Method，ADMM)实现Lasso的求解和最小二乘QR分解算法(Least Square QR-factorization，LSQR)对Lasso进行优化，便可以在较快的计算速度下得到还原度更高的重构信号。

2)本发明利用ADMM算法得到公式(3)，充分利用了目标函数的可分离性，将原问题分解为若干个更容易得到全局解的交替的极小化子问题进行分析，并且ADMM算法更适用于实际应用中存在大量变量的大规模问题。更重要的是，在大部分应用中，分离的极小化子问题都能得到显示解，这样可以省略掉每个子问题最优解的收敛性证明。

3)针对本发明中出现的大型稀疏问题，本发明利用LSQR方法进行最小二乘问题的求解。与传统的最小二乘问题解决方法相比较，LSQR方法具有计算量小，易于实现并行算法，迭代收敛快和求解精度高等优点。

4)本发明方法完全适用于非线性、非平稳的轴承故障诊断信号，且其重构的信号，几乎携带了原始信号的所有信息，不仅对接下来的故障特征提取和预测部分不影响，还缓解了因大数据带来的采集、传输和储存信号的压力。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为本实施例中轴承振动仿真信号波形示意图；

图3为本实施例中轴承振动仿真信号在DCT下的稀疏形式示意图；

图4为BP算法、LASSO算法与本发明LASSO-LSQR算法用于稀疏重构的迭代次数对比示意图；

图5为轴承振动仿真信号分别与BP算法、LASSO算法与本发明LASSO-LSQR算法获得的重构信号的误差比较示意图；

图6为正常、内圈故障、外圈故障、转子故障时的轴承振动原始信号三维图；

图7为采用本发明方法获得的正常、内圈故障、外圈故障、转子故障时的轴承振动重构信号三维图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，一种重构精度高且计算过程迭代次数少的轴承振动信号稀疏重构的方法包括以下步骤：

S1：利用离散余弦变换基，对原始轴承振动信号x进行稀疏化，得到x在变换域Ψ上的稀疏表示θ，x＝Ψθ，Ψ是正交矩阵。

压缩感知理论实现的前提是信号具有稀疏性，或者在某个变换域上是稀疏的。而本文的研究对象轴承的振动信号通常含有大量的噪声，很难具备稀疏性，因此，首先要将原始振动信号稀疏化。本发明采用DCT(离散余弦变换)基作为稀疏分解矩阵，采集到的轴承振动信号x＝{x₁,x₂,…,x_N}的DCT系数θ＝{θ₁，θ₂，…，θ_N}就可以表示为：

S2：基于约束等距性条件，利用观测矩阵Φ对信号x进行压缩，得到观测信号y，y＝Φx＝ΦΨθ。

压缩感知的观测过程中进行信号的压缩，测量模型并不是直接测量信号的本身，而是将其投影到一组向量Φ＝{Φ₁,Φ₂,…Φ_M}中，即y＝Φx＝ΦΨθ，式中：y∈R^M×1，Φ∈R^{M ×N}为观测矩阵，M＜＜N。观测矩阵需与稀疏分解矩阵满足约束等距性(RestrictedIsometry Property，RIP)条件即式中：δ_k∈(0,1)。常见的满足约束等距性的观测矩阵有：随机高斯矩阵、随机伯努利矩阵、部分傅里叶矩阵、部分哈达玛矩阵以及部分正交观测矩阵等。随机高斯矩阵几乎与任何固定的正交基都不相干，所以，本发明选择高斯白噪声作为观测矩阵Φ。

S3：利用ADMM算法和LSQR算法，由观测信号y得到重构信号具体为：

301：将信号重构的L₀范数求解问题转化为L₁范数最小化问题，满足以下公式：

其中，A＝Φ。

信号的稀疏重构是压缩感知的核心部分，其最直接的方法是通过L₀范数求解的最优化问题：s.t.y＝Φx。从低维信号重构出原始信号的L₀范数求解问题是一个典型的NP难问题，因为需要穷举所有非零项位置的排列是相当困难的。为了解决这个问题，Donoho和Chen证明了在稀疏矩阵与观测矩阵不相干的情况下，L₀范数问题可以转换为L₁范数最小化问题s.t.y＝Ax。

302：在统计学领域L₁范数约束下的优化问题LASSO，即利用LASSO算法解决公式(1)最小化问题，满足以下公式：

其中，λ＞0，是正则化参数。

303：利用ADMM算法将公式(2)转化为：

x_k+1＝(A^TA+ρI)^-1(A^Ty-ρ(z_k-μ_k))

z_k+1＝S_λ/ρ(x_k+1+μ_k)

μ_k+1＝μ_k+x_k+1-z_k+1

其中，k表示迭代次数，z、μ、ρ为中间变量，S为L₁范数的临近运算子。L₁范数的临近运算子S满足以下公式：

S_p(q)＝(1-p|q|)₊q

其中，p、q为中间变量，(·)₊表示值为正数时才有意义。

对LASSO算法的实现，应用交替方向乘子法(Alternate Direction MultiplierMethod，ADMM)。ADMM算法是一种适用于可分离凸规划问题的简单有效的方法，尤其是在应用统计学和机械学中应用广泛。ADMM算法可以看成是在増广Lagrange算法基础上发展出的一种新算法。相对于増广Lagrange算法，ADMM算法最大的优越性在于充分利用了目标函数的可分离性，将原问题分解为若干个更容易得到全局解的交替的极小化子问题进行分析，并且ADMM算法更适用于实际应用中存在大量变量的大规模问题。更重要的是，在大部分应用中，分离的极小化子问题都能得到显示解，这样可以省略掉每个子问题最优解的收敛性证明。

304：利用LSQR算法求解公式(3)，得到重构信号

对于上中的x迭代，本质上是一种交替实施岭回归过程。岭回归过程，又被成为平方正则化最小二乘问题。传统的最小二乘问题解决方法都是直接求解方程的解，其强调的是最大限度的拟合数据。而针对本发明中出现的大型稀疏问题，利用LSQR方法进行最小二乘问题的求解。

LSQR(最小二乘正交分解法)方法是Paige和Sanders在1982年提出，其并不是去直接求解法方程，而是尊崇最小二乘的原则，在法方程限定的解空间里寻求最佳解。主要运用了Lanczos迭代和Givens正交变换。与传统的最小二乘问题解决方法相比较，LSQR方法具有计算量小，易于实现并行算法，迭代收敛快和求解精度高等优点。LSQR算法程序设计的框架如下：

(1)初始化：

β₁m₁＝d(β₁＝||d||),a₁v₁＝A^Tm₁(a₁＝||A^Tm₁||),

其中，β₁和a₁都是归一化常数，||m₁||＝1，||v₁||＝1；

(2)循环运算，对于k＝1,2,3,…，重复步骤(3)到步骤(6)；

(3)利用Lanczos算法进行迭代，双对角化：

(4)Givens正交变换过程：

(5)更新和w：

w_k+1＝v_k+1-(n_k+1/ρ_k)w_k

(6)停止迭代直至收敛。

以上步骤中未标明变量意义的都是中间变量。

方案比较

为了进一步表明本发明方法的优越性，将已有的BP和LASSO稀疏重构算法与本发明LASSO-LSQR算法分别作用于仿真信号中。本发明中，研究对象是轴承振动信号，基于其频谱结构，轴承振动信号包含基频振动、谐波振动、冲击振动、调幅振动及噪声信号等。在正常工作的状态中，滚动轴承振动信号主要是与转速同频的正弦信号，此外，由轴承自身结构特点、轴弯曲或裂纹、零部件松动、加工或安装误差及轴系不对中等故障引起的振动也一般是正弦信号。因此，为了建立最基本的轴承振动仿真信号，将正弦信号叠加式作为仿真信号

其中t＝0:1/800:1024/800，采样频率为800Hz，采样点数为1024，稀疏性为100。上式在时域内如图2所示。

为了能够更好的比较ADMM算法下BP、LASSO和LASSO-LSQR稀疏重构的实现结果，将稀疏分解矩阵和观测矩阵分别取为相同的DCT和高斯白噪声。图3则表明了仿真信号在DCT下的稀疏形式，可直观的看出仿真信号在经过DCT后，具有很强的稀疏性，完全满足压缩感知的条件。

将均方根误差与迭代次数作为这三种稀疏重构算法的比较对象，均方根误差的公式为图4和图5分别代表了BP、LASSO、LASSO-LSQR这三种稀疏重构算法通过ADMM的实现下，重构过程中的迭代次数和仿真信号与重构信号之间误差的结果比较，其中(4a)、(5a)对应BP算法，(4b)、(5b)对应LASSO算法，(4c)、(5c)对应本发明LASSO-LSQR算法，图4中横坐标为迭代次数，纵坐标为迭代公式，图5中横坐标为采样点，纵坐标为真实值与预测值的差值。由图4可以直观的看出，LASSO下重构信号的迭代次数比BP要小很多，这就表明重构过程的运算处理时间得到了大幅的缩短。经由LSQR优化后的LASSO，一方面迭代次数进一步的减少，另一方面，重构信号的大小更加近似于原始信号。表1定量地将这三种进行了比较。LASSO-LSQR稀疏重构算法的迭代次数只有8次，而均方根误差的大小仅仅只有0.0092。无论是在迭代次数，还是误差方面，LASSO-LSQR稀疏重构算法都比BP和LASSO更具有优势。所以，在接下来的轴承振动信号重构中选择LASSO-LSQR作为稀疏重构算法。

表1三种稀疏重构算法的比较

发明应用

选取轴承四种状态下的振动信号：正常、内圈故障、外圈故障和转子故障，采用频率为12k，采样点数为1024，稀疏度为100。图6中四种状态下所采集的轴承故障信号，通过短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform，STFT)，将时间、频率和幅值做成三维图，其中(6a)对应正常轴承振动信号，(6b)对应内圈故障的轴承振动信号，(6c)对应外圈故障的轴承振动信号，(6d)对应转子故障的轴承振动信号。图7则是原始的轴承振动信号，经过稀疏分解矩阵DCT的稀疏化，测量矩阵高斯白噪声的压缩，稀疏重构算法ADMM实现的LASSO-LSQR的重构，其中(7a)对应正常轴承振动信号，(7b)对应内圈故障的轴承振动信号，(7c)对应外圈故障的轴承振动信号，(7d)对应转子故障的轴承振动信号。表2则反映了四种状态下重构信号质量的数值结果。可以看出，无论轴承处于何种故障下，重构时的迭代次数都不会超过15，甚至正常状况下，迭代次数只有5。而均方根误差的大小，在时域的比较中，数值分别只有0.0084、0.0091、0.0078和0.0075，在频域中，误差的大小达到了小数点的后四位，几乎可以忽略不计。可以看出，在这种组合下的压缩感知技术，完全适用于非线性、非平稳的轴承故障诊断信号，且其重构的信号，几乎携带了原始信号的所有信息，不仅对接下来的故障特征提取和预测部分不影响，还缓解了因大数据带来的采集、传输和储存信号的压力。

表2四种状态下轴承重构信号结果比较

综上所述，本发明减少了计算的复杂度，即迭代次数减少，提高了重构的精度，使得重构信号保留了大部分原始信号的故障信息。

本发明在稀疏重构基本的理论下，针对轴承振动信号非平稳、非高斯、非线性的特征下，选择基于ADMM实现Lasso的求解，利用LSQR对Lasso进行优化的稀疏重构组合。与现有此方向的技术相比较，一方面考虑了信号的自身特点，选择适宜的算法，另一方面对算法进行了优化，提升了运算的速度，提高了重构的精度。

本发明是对大量轴承振动信号的一个前期处理，缓解了大数据对信号的采集、传输、存储的压力，算法经优化过后运算速度快且精度高，软件易于实现。硬件无需改动。

Claims (5)

1.一种轴承振动信号稀疏重构的方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：利用离散余弦变换基，对原始轴承振动信号x进行稀疏化，得到x在变换域Ψ上的稀疏表示θ，x＝Ψθ，Ψ是正交矩阵；

S2：基于约束等距性条件，利用观测矩阵Φ对信号x进行压缩，得到观测信号y，y＝Φx＝ΦΨθ；

S3：利用ADMM算法和LSQR算法，由观测信号y得到重构信号

所述步骤S3具体为：

301：将信号重构的L₀范数求解问题转化为L₁范数最小化问题，满足以下公式：

其中，A＝Φ；

302：利用LASSO算法解决公式(1)最小化问题，满足以下公式：

其中，λ＞0，是正则化参数；

303：利用ADMM算法将公式(2)转化为：

x_k+1＝(A^TA+ρI)^-1(A^Ty-ρ(z_k-μ_k))

z_k+1＝S_λ/ρ(x_k+1+μ_k)

μ_k+1＝μ_k+x_k+1-z_k+1

其中，k表示迭代次数，z、μ、ρ为中间变量，S为L₁范数的临近运算子；

304：利用LSQR算法求解公式(3)，得到重构信号

2.根据权利要求1所述的一种轴承振动信号稀疏重构的方法，其特征在于，所述LSQR算法包括以下步骤：

(1)初始化：

β₁m₁＝d(β₁＝||d||),a₁v₁＝A^Tm₁(a₁＝||A^Tm₁||),

其中，β₁和a₁都是归一化常数，||m₁||＝1，||v₁||＝1；

(2)循环运算，对于k＝1,2,3,…，重复步骤(3)到步骤(6)；

(3)利用Lanczos算法进行迭代，双对角化：

(4)Givens正交变换过程：

(5)更新和w：

w_k+1＝v_k+1-(n_k+1/ρ_k)w_k；

(6)停止迭代直至收敛。

3.根据权利要求1所述的一种轴承振动信号稀疏重构的方法，其特征在于，所述L₁范数的临近运算子S满足以下公式：

S_p(q)＝(1-p|q|)₊q

其中，p、q为中间变量。

4.根据权利要求1所述的一种轴承振动信号稀疏重构的方法，其特征在于，所述观测矩阵Φ采用高斯白噪声矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种轴承振动信号稀疏重构的方法，其特征在于，适用于重构非线性、非平稳的轴承振动信号，所述步骤S3得到的重构信号用于轴承故障特征提取和轴承故障预测。