CN106709264A - 双起重机系统变幅角响应建模算法及随机响应域预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双起重机系统变幅角响应建模算法及随机响应域预测方法，变幅角响应建模算法步骤如下：1、建立系统几何模型，并给出各点的坐标；2、建立系统约束方程；3、结合系统约束方程，建立变幅角响应模型。随机响应域预测方法步骤如下：1、根据随机参数模型来描述载荷的不确定性；2、基于变幅角响应模型和随机参数模型，建立随机变幅角响应等效方程；3、结合复合函数特性和随机摄动法，提出了摄动随机复合函数法，并求解出随机变幅角响应表达式；4、根据随机变量函数矩法，进一步求解出变幅角响应的期望和方差。本发明可解决带有随机参数下变幅角响应域的预测问题，具有快速性和精度高的特点，保证了系统作业的可靠性。

Description

双起重机系统变幅角响应建模算法及随机响应域预测方法

技术领域

本发明涉及可靠性技术领域，具体是一种双起重机系统变幅角响应建模算法及随机响应域预测方法。

背景技术

汽车起重机是实现物料搬运机械化的重要工具之一，广泛应用于大型重载起重吊装作业中。近年来，随着单台起重机在结构和控制等方面的快速发展，使得双台汽车起重机系统联合吊装作业成为可能。然而，这也增加了起吊作业的复杂程度和危险性。根据GB6067.1-2010《起重机械安全规程》，“特殊情况需要两台或两台以上的起重机共同起吊重物时，各台起重机的升降、运行应保持同步”。而这类问题的前提和关键是首先要确定多台起重机系统在特定运动下的响应模型。

现有关于多台起重机系统在某一运动下的响应模型，针对的都是确定性载荷参数来分析，而没有考虑载荷参数的不确定性。根据GB6067.1-2010《起重机械安全规程》中多台起重机械联合起升总则，“在多台起重机械的联合起升操作中，由于起重机械之间的相互运动可能产生作用于起重机械、物品和吊索具上的附加载荷，而这些附加载荷的监控是困难的”。根据GB3811-2008《起重机设计规范》中起重机整体抗倾覆稳定性，“对于固定的起重机，在具体使用现场或地区如有地震或其他的基础外部激励效应，则在相应的工作状态或非工作状态抗倾覆稳定性的核算中，将其作为附加的载荷情况加以考虑”。另外，对于一个复杂的系统而言，输入参数即使发生很小的变化，也会给系统响应造成明显地波动，甚至导致严重的事故。因此，将不确定载荷参数建立成随机模型，并研究随机模型下的响应分布情况具有重要的意义。随机理论在其他领域，如结构学、热学以及声学等已经取得了一定的成果，然而在多起重机工程应用领域才刚刚起步。另外，以摄动理论为基础的随机摄动法在多层复合函数的应用也是一片空白。

因此，如何计算双台汽车起重机系统变幅运动下变幅角响应以及快速预测随机载荷下变幅角响应域，是目前起重机可靠性学术领域的一个重点，对于弥补现有双台汽车起重机系统变幅运动中确定性参数下响应模型和随机参数下响应域

发明内容

本发明的目的是提供一种双起重机系统变幅角响应建模算法及随机响应域预测方法，以解决现有技术中双台汽车起重机系统变幅运动中确定性参数下响应模型难以建立及随机参数下响应域难以预测的问题。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：

双起重机系统变幅角响应建模算法，其特征在于：包括以下步骤：

(1.1)、建立双台汽车起重机系统的几何模型及设定坐标系，并给出各点的位置向量如下：

第一台汽车起重机系统中吊臂A₁B₁与第一台汽车起重机系统中转台的铰接点A₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

第二台汽车起重机系统中吊臂A₂B₂与第二台汽车起重机系统中转台的铰接点A₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊臂A₁B₁与第一台汽车起重机系统中吊绳B₁C₁的铰接点B₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊臂A₂B₂与第二台汽车起重机系统中吊绳B₂C₂的铰接点B₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊绳B₁C₁与负载C₁C₂的铰接点C₁在动坐标系{P}下的位置向量为：

吊绳B₂C₂与负载C₁C₂的铰接点C₂在动坐标系{P}下的位置向量为：

负载C₁C₂的重心O_p在基坐标系{B}下的位置向量为：

其中，D和d分别为汽车起重机系统间距A₁A₂和负载C₁C₂的长度；基坐标系{B}：O-YZ坐落于A₁A₂连接点的中心；动坐标系{P}：O_p-Y_pZ_p坐落于C₁C₂连接点的中心；L₁和L₂分别是吊臂A₁B₁和吊臂A₂B₂的长度；γ₁和γ₂分别是吊臂A₁B₁和吊臂A₂B₂的变幅角；y和z分别是负载C₁C₂中心O_p的沿Y轴和Z轴的笛卡尔坐标值；

吊绳B₁C₁与负载C₁C₂的铰接点C₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊绳B₂C₂与负载C₁C₂的铰接点C₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

(1.2)、根据步骤(1.1)各点的位置向量，建立系统约束方程，其中：

吊绳B₁C₁的约束方程为：

吊绳B₂C₂的约束方程为：

根据上述所有方程，整理可得：

其中θ表示动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度。S₁和S₂分别为吊绳B₁C₁和吊绳B₂C₂的长度；

上式可重新写成系统约束方程为：

K_1isinγ_i+K_2icosγ_i+K_ai＝0，i＝1，2；

(1.3)、求解步骤(1.2)所得到的系统约束方程，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程：

针对上式系统约束方程求解，可得双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角方程为：

其中：

根据变幅角的非负性，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程可重新写成为：

(1.4)、根据步骤(1.3)所得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角 响应方程，进一步建立双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型：

根据上述分析，进一步构建双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型：

M＝T_γ

其中系统随机向量M＝{M₁ M₂}^T，

系统随机矩阵T₁＝K₃₁-K₂₁，T₂＝K₃₂-K₂₂；

系统变幅角响应向量γ＝{γ₁ γ₂}^T，

一种基于变幅角响应模型的双起重机系统变幅角随机响应域预测方法，其特征在于：包括以下步骤：

(2.1)、在吊运负载过程中，复杂的环境因素及绳索的振动往往导致载荷参数具有随机性，因此，建立随机参数模型如下：用随机向量X＝{x₁，x₂，...，x_r，...，x_n}^T表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有随机负载参数，其中n为随机参数的个数，双台汽车起重机系统随机参数包括：负载沿Y轴的位置坐标y，负载沿Z轴的位置坐标z，动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度θ；

(2.2)、基于步骤(1.4)得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型，结合步骤(2.1)中的随机参数模型，建立带有随机参数模型的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应等效方程：

M_i(K_i(X))＝T_i(K_i(X))γ_i，i＝1，2，

其中，复合函数向量M_i(K_i(X))＝M_i，复合函数矩阵T_i(K_i(X))-T_i。K_i(X)＝{K_1i(X)，K_2i(X)，K_ai(X)}^T为引入的关系函数矩阵；

(2.3)、根据摄动随机复合函数法对步骤(2.2)中的带有随机参数模型的双 台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应等效方程进行求解，得到带有随机载荷参数的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角表达式：

首先，根据一阶泰勒展开式和复合函数微分法，可以将复合函数向量M_i(Ki(X))和复合函数矩阵T_i(K_i(X))分别展开表示为：

其中：

表示复合函数向量M_i(K_i(X))的期望，Δ₁M_i表示复合函数向量M_i(K_i(X))的增量，表示复合函数向量T_i(K_i(X))的期望，Δ₁T_i表示复合函数向量T_i(K_i(X))的增量，X^o表示随机向量X的期望，表示随机参数x_r的期望；

因此，双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程可表示为：

用纽曼级数展开式对展开可表示为：

忽略高阶项，根据随机摄动法，将上式代入双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程可得：

进一步整理可得：

(2.4)、根据随机变量函数矩法对步骤S3中的双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程进行求解，可得随机载荷下变幅角响应域的期望的方程为：

E(γ_i)＝(T_i(K_i(X^e)))^-1M_i(K_i(X^e))_r i＝1，2，

随机载荷下变幅角响应域的方差的方程为：

本发明提供的双台汽车起重机系统变幅角响应模型计算方法中，操作人员能 够根据确定性结构参数，结合负载运动轨迹曲线即确定性载荷参数，然后根据双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程求得负载在任意位置下的变幅角。针对随机载荷下的变幅角响应域数学特征的预测问题，本发明在双台汽车起重机系统变幅角响应模型获得的基础上，基于摄动随机复合函数法和随机函数矩法，根据双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法，以获得变幅角响应域的数学特征公式。基于此，本发明还给出了双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施的两套方案。本发明在充分考虑随机载荷参数的情况下设计出变幅角响应域的预测方法，以提高双台汽车起重机系统随机响应域预测能力，具有快速性和精度高的特点，以提高双台汽车起重机系统作业的可靠性。具体有益技术效果如下：

1)本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型的计算方法，具体包括各结构参数、载荷参数和变幅角的运动关系，可以快速给出双台汽车起重机系统变幅运动下的各输入端、输出端的运动状态，对大型起吊作业工程具有重要的参考意义。

2)与传统的多起重机系统响应分析方法相比，本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法充分考虑了载荷参数的随机性，计算得到的变幅角响应域的数学特征对系统的可靠性设计及参数优化具有重要的指导意义。

3)本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机的实施方案一和实施方案二，可根据工程问题的复杂程度合理选取合适的方案。具体而言，实施方案一中针对的是已知各类确定性结构参数和详细的随机性载荷参数分布的场合，求解结果精度更高，但是计算时间较长；而实施方案二中所提出的摄动随机复合函数法充分考虑变幅运动下的变幅角响应方程的多层复合函数关系，并结合随机函数矩法推导出变幅角响应域的数学特征，同时，针对载荷参数的小不确定性的场合，采用一阶泰勒级数展开式和一阶纽曼级数展开式进行求解，既充分考虑了工程问题的复杂性，又保证了计算结果的相对精确性，特别地，计算时间较短且计算效率显著提高。

附图说明

图1是双台汽车起重机系统三维模型示意图；图中示出了第一台汽车起重机 系统中转台1、第二台汽车起重机系统中转台2、第一台汽车起重机系统中吊臂A₁B₁、第二台汽车起重机系统中吊臂A₂B₂、第一台汽车起重机系统中吊绳B₁C₁、第二台汽车起重机系统中吊绳B₂C₂、负载C₁C₂、负载重心O_p、铰接点A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂及其位置关系。

图2是双台汽车起重机系统坐标结构示意图，图中示出了基坐标系{B}、动坐标系{P}、吊臂A₁B₁、吊臂A₂B₂、吊绳B₁C₁、吊绳B₂C₂、负载C₁C₂、负载重心O_p、铰接点A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂及其几何关系。

图3是本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法的流程图。

图4是本发明提供的随机载荷参数的方差系数范围为[0,0.1]时，采用双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一和实施方案二所计算的第一台汽车起重机系统变幅角响应域的方差曲线图。

图5是本发明提供的随机载荷参数的方差系数范围为[0,0.1]时，采用双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一和实施方案二所计算的第一台汽车起重机系统变幅角响应域的方差曲线图。

具体实施方式

参见图2，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型的计算方法，按如下步骤进行：

步骤一：建立几何模型及设定坐标系，并给出各点的位置向量。

吊臂A₁B₁与第一台汽车起重机系统的转台1的铰接点A₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊臂A₂B₂与第二台汽车起重机系统的转台2的铰接点A₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊臂A₁B₁与吊绳B₁C₁的铰接点B₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊臂A₂B₂与吊绳B₂C₂的铰接点B₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊绳B₁C₁与负载C₁C₂的铰接点C₁在动坐标系{P}下的位置向量为：

吊绳B₂C₂与负载C₁C₂的铰接点C₂在动坐标系{P}下的位置向量为：

负载C₁C₂的重心O_p在基坐标系{B}下的位置向量为：

其中D和d分别为起重机间距A₁A₂和负载C₁C₂的长度。基坐标系{B}：O-YZ坐落于A₁A₂连接点的中心。动坐标系{P}：O_p-Y_pZ_p坐落于C₁C₂连接点的中心。L₁和L₂分别是吊臂A₁B₁和吊臂A₂B₂的长度。γ₁和γ₂分别是吊臂A₁B₁和吊臂A₂B₂的变幅角。y和z分别是负载C₁C₂中心O_p的沿Y轴和Z轴的笛卡尔坐标值。

吊绳B₁C₁与负载C₁C₂的铰接点C₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

吊绳B₂C₂与负载C₁C₂的铰接点C₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

步骤二：根据步骤一各点的位置向量，建立系统约束方程。

吊绳B₁C₁的约束方程为：

吊绳B₂C₂的约束方程为：

根据上述所有方程，整理可得：

其中θ表示动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度。S₁和S₂分别为吊绳B₁C₁和吊绳B₂C₂的长度。

上式可重新写成系统约束方程为：

K_1isinγ_i+K_2icosγ_i+K_at＝0，i＝1，2

步骤三：求解步骤二所得到的系统约束方程，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程。

针对上式系统约束方程求解，可得双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角方程为：

其中，

根据变幅角的非负性，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程可重新写成为：

步骤四：根据步骤三所得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程，进一步建立双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型。

根据上述分析，进一步构建双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型：

M＝T_γ

其中系统随机向量M＝{M₁ M₂}^T，系统随机矩阵T₁＝K₃₁-K₂₁，T₂＝K₃₂-K₂₂。系统变幅角响应向量γ＝{γ₁ γ₂}^T，

图1是双台汽车起重机系统三维模型示意图，包括第一台汽车起重机系统的转台1、第二台汽车起重机系统的转台2、第一台汽车起重机系统的吊臂A₁B₁、第二台汽车起重机系统的吊臂A₂B₂、第一台汽车起重机系统的吊绳B₁C₁、第二台汽车起重机系统的吊绳B₂C₂、负载C₁C₂、负载重心O_p、铰接点A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂。变幅运动中，转台1(转台2)保持静止状态，即并不通过各自的回转机构实现负载C₁C₂绕起重机回转中心轴线转动的运动；吊臂A₁B₁(吊臂A₂B₂)保持静止状态，包括多节相互套接的伸缩臂，即伸缩臂并不通过伸缩驱动机构的 伸缩作用产生相对运动，即并不改变吊臂A₁B₁(吊臂A₂B₂)的长度以调整汽车起重机的作业半径；吊绳B₁C₁(吊绳B₂C₂)保持静止状态，即并不通过变幅机构中起升机构中吊绳B₁C₁(吊绳B₂C₂)的伸缩动作来实现负载C₁C₂在竖直平面内的升降运动。变幅油缸D₁E₁(变幅油缸D₂E₂)一端与转台1(转台2)铰接，另一端与吊臂A₁B₁(吊臂A₂B₂)铰接，通过调节变幅机构中变幅油缸D₁E₁(变幅油缸D₂E₂)的长度，进一步实现吊臂A₁B₁(吊臂A₂B₂)在竖直平面内绕变幅油缸D₁E₁(变幅油缸D₂E₂)与转台1(转台2)铰接点处做旋转运动以改变吊臂A₁B₁(吊臂A₂B₂)仰角的变化，从而改变汽车起重机的变幅角度。对于上述双台汽车起重机系统，以下对本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法进行描述。

参见图3，该图是本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法的流程图，按如下步骤进行：

S1：在吊运负载过程中，复杂的环境因素及绳索的振动往往导致载荷参数具有随机性。因此，建立随机参数模型如下：用随机向量X＝{x₁，x₂，...，x_r，...，x_n}^T表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有随机负载参数，其中n为随机参数的个数。双台汽车起重机系统随机参数包括：负载沿Y轴的位置坐标y，负载沿Z轴的位置坐标z，动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度θ。

S2：基于双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型的计算方法中步骤四的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程，结合步骤S1中的随机参数模型，建立带有随机参数模型的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应等效方程：

M_i(K_i))＝T_i(K_i(X))γ_i，i＝1，2

其中，复合函数向量M_i(K_i(x))＝M_i，复合函数矩阵T_i(K_i(X))＝T_i。K_i(X)＝{K_1i(X)，K_2i(X)，K_3i(X)}^T为引入的关系函数矩阵。

S3：根据摄动随机复合函数法(包括随机摄动法和复合函数微分法)对步骤S2中的带有随机参数模型的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应等效方程进行求解，得到带有随机载荷参数的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角表达式。

首先，根据一阶泰勒展开式和复合函数微分法，可以将复合函数向量M_i(K_i(X))和复合函数矩阵T_i(K_i(X))分别展开表示为：

其中：

其中，表示复合函数向量M_i(K_i(X))的期望，Δ₁M_i表示复合函数向量M_i(K_i(X))的增量，表示复合函数向量T_i(K_i(X))的期望，Δ₁T_i表示复合函数向量T_i(K_i(X))的增量，X^o表示随机向量X的期望，表示随机参数x_r的期望。

因此，双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程可表示为：

用纽曼级数展开式对展开可表示为：

忽略高阶项，根据随机摄动法，将上式代入双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程可得：

进一步整理可得：

S4：根据随机变量函数矩法对步骤S3中的双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程进行求解，可得随机载荷下变幅角响应域的期望的方程为：

E(γ_i)＝(T_i(K_i(X^e)))^-1M_i(K_i(X^e))，i＝1，2

随机载荷下变幅角响应域的方差的方程为：

对于双台汽车起重机系统变幅运动下确定性响应模型的随机性响应域预测方法在计算机中实施的步骤，进一步说明如下：

根据起重机设计参数和工况要求，确定各结构参数和载荷参数的确定值；

在上述各结构参数和载荷参数获得的前提下，利用MATLAB编程将确定性结构参数和确定性载荷参数依次带入双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程。

因此，得到确定性参数下的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应。

确定性结构参数包括起重机间距A₁A₂的长度D，负载C₁C₂的长度d，吊臂A₁B₁的长度L₁，吊臂A₂B₂的长度L₂，吊绳B₁C₁的长度S₁，吊绳B₂C₂的长度S₂。

确定性载荷参数包括负载C₁C₂中心O_p的位姿坐标，包括沿Y轴的笛卡尔坐标值y、沿Z轴的笛卡尔坐标值z以及动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度θ。

对于双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一的步骤，进一步说明如下：

根据起重机设计参数和工况要求，确定各结构参数的确定值和载荷参数随机分布值的数学特征；

利用MATLAB编程将各结构参数的确定值和载荷参数随机分布值的数学特征依次带入随机载荷下变幅角响应域的期望的公式和随机载荷下变幅角响应域的方差的公式。

因此，得到随机载荷参数下的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应域的数学特征。

载荷参数随机分布值的数学特征包括载荷参数随机分布值的期望和方差。

变幅角响应域的数学特征包括变幅角响应域的期望和方差。

对于双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案二的步骤，进一步说明如下：

根据起重机设计参数和工况要求，确定各结构参数的确定值和载荷参数随机分布值的数学特征；

在上述各结构参数的确定值和载荷参数随机分布的数学特征获得的前提下，从每个载荷参数的随机分布值中任选一个随机值，并输入到MATLAB程序；

利用MATLAB编程将各结构参数的确定值和载荷参数的随机值依次带入双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程。

因此，得到随机载荷参数下的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应。

重复上述过程至次数i＝10000次，并输出随机载荷参数下的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应域分布曲线，并根据计算机指令输出随机载荷参数下的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应域的数学特征。

参见图4，该图是本发明提供的随机载荷参数的方差系数范围为[0,0.1]时，采用双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一和实施方案二所计算的第一台汽车起重机系统变幅角响应域的方差曲线图。

引入随机参数模型来表示不同类型的随机载荷参数，并采用实施方案一和实施方案二分别计算双台汽车起重机系统中第一台汽车起重机系统的变幅角响应域的期望和方差，如表1～2所示。

表1第一台汽车起重机系统变幅角响应域的期望.

表2 第一台汽车起重机系统变幅角响应域的方差.

以第一台汽车起重机系统为研究对象，从图1～2和表1～2所示可知，在小范围的随机载荷参数的方差系数下，双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一和实施方案二计算的结果基本保持一致；随着随机载荷参数的方差系数的增加，变幅角响应域的期望和方差的误差增加。实施方案一的特点是：计算精度较高，计算效率高，计算耗时短，此功能是一般计算软件不能实现的。实施方案二的特点是：计算效率低，耗时长。

参见图5，该图是本发明提供的随机载荷参数的方差系数范围为[0,0.1]时，采用双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一和实施方案二所计算的第二台汽车起重机系统变幅角响应域的方差曲线图。

引入随机参数模型来表示不同类型的随机载荷参数，并采用实施方案一和实施方案二分别计算双台汽车起重机系统中第二台汽车起重机系统的变幅角响应域的期望和方差，如表3～4所示。

表3第二台汽车起重机系统变幅角响应域的期望.

表4 第二台汽车起重机系统变幅角响应域的方差.

以第二台汽车起重机系统为研究对象，从图3～4和表3～4所示可知，在小范围的随机载荷参数的方差系数下，双台汽车起重机系统变幅运动下随机载荷下的变幅角响应域的预测方法在计算机中实施方案一和实施方案二计算的结果基本保持一致；随着随机载荷参数的方差系数的增加，变幅角响应域的期望和方差的误差增加。实施方案一的特点是：计算精度较高，计算效率高，计算耗时短，此功能是一般计算软件不能实现的。实施方案二的特点是：计算效率低，耗时长。

因此，本发明可以解决双台汽车起重机系统变幅运动中随机载荷下的变幅角响应域数学特征的预测问题。两套实施方案在计算精度和计算效率方面各有特点。

上述实施计算例仅仅为本发明的典型实施例，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的原理和内容之内所作的改动均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.双起重机系统变幅角响应建模算法，其特征在于：包括以下步骤：

(1.1)、建立双台汽车起重机系统的几何模型及设定坐标系，并给出各点的位置向量如下：

第一台汽车起重机系统中吊臂A₁B₁与第一台汽车起重机系统中转台的铰接点A₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{A_1}=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{cc}-D& 0\end{array}\right]}^T,$

第二台汽车起重机系统中吊臂A₂B₂与第二台汽车起重机系统中转台的铰接点A₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{A_2}=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{cc}D& 0\end{array}\right]}^T,$

吊臂A₁B₁与第一台汽车起重机系统中吊绳B₁C₁的铰接点B₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{B_1}=r_{A_1}+L_1\left[\begin{array}{c}{\mathrm{cos\γ}}_1\\ {\mathrm{sin\γ}}_1\end{array}\right],$

吊臂A₂B₂与第二台汽车起重机系统中吊绳B₂C₂的铰接点B₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{B_2}=r_{A_2}+L_2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{cos\γ}}_2\\ {\mathrm{sin\γ}}_2\end{array}\right],$

吊绳B₁C₁与负载C₁C₂的铰接点C₁在动坐标系{P}下的位置向量为：

$r_{C_1}^p=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{cc}-d& 0\end{array}\right]}^T,$

吊绳B₂C₂与负载C₁C₂的铰接点C₂在动坐标系{P}下的位置向量为：

$r_{C_2}^p=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{cc}d& 0\end{array}\right]}^T,$

负载C₁C₂的重心O_p在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{O_p}={\left[\begin{array}{cc}y& z\end{array}\right]}^T,$

其中，D和d分别为汽车起重机系统间距A₁A₂和负载C₁C₂的长度；基坐标系{B}：O-YZ坐落于A₁A₂连接点的中心；动坐标系{P}：O_p-Y_pZ_p坐落于C₁C₂连接点的中心；L₁和L₂分别是吊臂A₁B₁和吊臂A₂B₂的长度；γ₁和γ₂分别是吊臂A₁B₁和吊臂A₂B₂的变幅角；y和z分别是负载C₁C₂中心Q_p的沿Y轴和Z轴的笛卡尔坐标值；

吊绳B₁C₁与负载C₁C₂的铰接点C₁在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{C_1}=r_{O_p}+R\·r_{C_1}^p,$

吊绳B₂C₂与负载C₁C₂的铰接点C₂在基坐标系{B}下的位置向量为：

$r_{C_2}=r_{O_p}+R\·r_{C_2}^p;$

(1.2)、根据步骤(1.1)各点的位置向量，建立系统约束方程，其中：

吊绳B₁C₁的约束方程为：

$\left|\right|r_{C_1}-r_{B_1}\left|\right|=S_1,$

吊绳B₂C₂的约束方程为：

$\left|\right|r_{C_2}-r_{B_2}\left|\right|=S_2,$

根据上述所有方程，整理可得：

$\{\begin{array}{c}{(y-\frac{d\cos \mathrm{\θ}}{2}+\frac{D}{2}-L_1{\mathrm{cos\γ}}_1)}^2+{(z-\frac{d\sin \mathrm{\θ}}{2}-L_1{\mathrm{sin\γ}}_1)}^2={S_1}^2\\ {(y+\frac{d\cos \mathrm{\θ}}{2}-\frac{D}{2}-L_2{\mathrm{cos\γ}}_2)}^2+{(z+\frac{d\sin \mathrm{\θ}}{2}-L_2{\mathrm{sin\γ}}_2)}^2={S_2}^2\end{array},$

其中θ表示动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度。S₁和S₂分别为吊绳B₁C₁和吊绳B₂C₂的长度；

上式可重新写成系统约束方程为：

K_1isinγ_i+K_2icosγ_i+K_3i＝0，i＝1，2；

(1.3)、求解步骤(1.2)所得到的系统约束方程，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程：

针对上式系统约束方程求解，可得双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角方程为：

${\mathrm{\γ}}_i=2{\tan }^{-1}\frac{-K_{1i}\±\sqrt{{K_{1i}}^2+{K_{2i}}^2-{K_{3i}}^2}}{K_{3i}-K_{2i}},i=1,2,$

其中：

$K_{11}=-2L_1(z-\frac{d\sin \mathrm{\θ}}{2}),K_{21}=-2L_1(y-\frac{d\cos \mathrm{\θ}}{2}+\frac{D}{2}),$

$K_{31}={(y-\frac{d\cos \mathrm{\θ}}{2}+\frac{D}{2})}^2+{(z-\frac{d\sin \mathrm{\θ}}{2})}^2+L_1^2-S_1^2,$

$K_{12}=-2L_2(z+\frac{d\sin \mathrm{\θ}}{2}),K_{22}=-2L_2(y+\frac{d\cos \mathrm{\θ}}{2}-\frac{D}{2}),$

$K_{32}={(y+\frac{d\cos \mathrm{\θ}}{2}-\frac{D}{2})}^2+{(z+\frac{d\sin \mathrm{\θ}}{2})}^2+L_2^2-S_2^2.,$

根据变幅角的非负性，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程可重新写成为：

$\tan \frac{{\mathrm{\γ}}_i}{2}=\frac{\sqrt{{K_{1i}}^2+{K_{2i}}^2-{K_{3i}}^2}-K_{1i}}{K_{3i}-K_{2i}},i=1,2;$

(1.4)、根据步骤(1.3)所得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程，进一步建立双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型：

根据上述分析，进一步构建双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型：

M＝Tγ

其中系统随机向量M＝{M₁ M₂}^T，

$M_1=\sqrt{{K_{11}}^2+{K_{21}}^2-{K_{31}}^2}-K_{11},M_2=\sqrt{{K_{12}}^2+{K_{22}}^2-{K_{32}}^2}-K_{12};$

系统随机矩阵T₁＝K₃₁-K₂₁，T₂＝K₃₂-K₂₂；

系统变幅角响应向量γ＝{γ₁ γ₂}^T，

2.一种基于权利要求1建立的变幅角响应模型的双起重机系统变幅角随机响应域预测方法，其特征在于：包括以下步骤：

(2.1)、在吊运负载过程中，复杂的环境因素及绳索的振动往往导致载荷参数具有随机性，因此，建立随机参数模型如下：用随机向量X＝{x₁，x₂，...，x_r，...，x_n}^T表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有随机负载参数，其中n为随机参数的个数，双台汽车起重机系统随机参数包括：负载沿Y轴的位置坐标y，负载沿Z轴的位置坐标z，动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度θ；

(2.2)、基于步骤(1.4)得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应模型，结合步骤(2.1)中的随机参数模型，建立带有随机参数模型的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应等效方程：

M_i(K_i(X))＝T_i(K_i(X))·γ_i，i＝1，2，

其中，复合函数向量M_i(K_i(X))＝M_i，复合函数矩阵T_i(K_i(X))＝T_i。K_i(X)＝{K_1i(X)，K_2i(X)，K_3i(X)}^T为引入的关系函数矩阵；

(2.3)、根据摄动随机复合函数法对步骤(2.2)中的带有随机参数模型的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应等效方程进行求解，得到带有随机载荷参数的双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角表达式：

首先，根据一阶泰勒展开式和复合函数微分法，可以将复合函数向量M_i(K_i(X))和复合函数矩阵T_i(K_i(X))分别展开表示为：

$\begin{array}{c}{M}_i\left(H_i\right(X\left)\right)=M_i^e+{\mathrm{\Δ}}_1{M}_i\\ =M_i\left(K_i\right(X^e\left)\right)+\underset{r=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂M_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{x=x^e}(x_r-x_r^e),i=1,2\end{array}$

$\begin{array}{c}{T}_i\left(K_i\right(X\left)\right)=T_i^e+{\mathrm{\Δ}}_1{T}_i\\ =T_i\left(K_i\right(X^e\left)\right)+\underset{r=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂T_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{x=x^e}(x_r-x_r^e),i=1,2\end{array}$

其中：

$M_i^e=M_i\left(K_i\right(X^e),{\mathrm{\Δ}}_1{M}_i=\underset{r=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂M_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{x=x^e}(x_r-x_r^e),$

$T_i^e=T_i\left(K_i\right(X^e),{\mathrm{\Δ}}_1{T}_i=\underset{r=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂T_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{x=x^e}(x_r-x_r^e),$

表示复合函数向量M_i(K_i(X))的期望，Δ₁M_i表示复合函数向量M_i(K_i(X))的增量，表示复合函数向量T_i(K_i(X))的期望，Δ₁T_i表示复合函数向量T_i(K_i(X))的增量，X^o表示随机向量X的期望，表示随机参数x_r的期望；

因此，双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程可表示为：

${\mathrm{\γ}}_i={(T_i^e+{\mathrm{\Δ}}_1{T}_i)}^{-1}(M_i^e+{\mathrm{\Δ}}_1{M}_i),i=1,2,$

用纽曼级数展开式对展开可表示为：

${(T_i^e+{\mathrm{\Δ}}_1{T}_i)}^{-1}={\left(T_i^e\right)}^{-1}+\underset{p=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\left(T_i^e\right)}^{-1}{(-{\mathrm{\Δ}}_1{T}_i\·{\left(T_i^e\right)}^{-1})}^p,i=1,2,$

忽略高阶项，根据随机摄动法，将上式代入双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程可得：

${\mathrm{\γ}}_i={\left(T_i^e\right)}^{-1}{M}_i^e+{\left(T_i^e\right)}^{-1}{\mathrm{\Δ}}_1{M}_i-{\left(T_i^e\right)}^{-1}{\mathrm{\Δ}}_1{T}_i{\left(T_i^e\right)}^{-1}{M}_i^e,i=1,2,$

进一步整理可得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_i=\\ {\left(T_i\right(K_i\left(X^e\right)\left)\right)}^{-1}{M}_i\left(K_i\right(X^e\left)\right)+{\left(T_i\right(K_i\left(X^e\right)\left)\right)}^{-1}(\underset{r=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂M_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{X=X^e}(x_r-x_r^e\left)\right)\\ -{\left(T_i\right(K_i\left(X^e\right)\left)\right)}^{-1}(\underset{r=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂T_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{X=X^e}(x_r-x_r^e\left)\right){\left(T_i\right(K_i\left(X^e\right)\left)\right)}^{-1}{M}_i\left(K_i\right(X^e\left)\right),\\ i=1,2;\end{array}$

(2.4)、根据随机变量函数矩法对步骤S3中的双台汽车起重机系统变幅运动下的随机变幅角响应方程进行求解，可得随机载荷下变幅角响应域的期望的方程为：

随机载荷下变幅角响应域的方差的方程为：

$\begin{array}{c}D\left({\mathrm{\γ}}_i\right)=\\ \underset{1}{\overset{r}{\Σ}}\left({\left(T_i\left(K_i\left(X^e\right)\right)\right)}^{-1}\right(\left(\frac{\∂M_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{X=X^e}\right)\\ -(\frac{\∂T_i\left(K_i\right(X\left)\right)}{\∂K_i\left(X\right)}\·\frac{\∂K_i\left(X\right)}{\∂x_r}{|}_{X=X^e}){\left(T_i\right(K_i\left(X^e\right)\left)\right)}^{-1}{M}_i\left(K_i\right(X^e\left)\right)){)}^2\mathrm{var}\left(x_r\right),\\ i=1,2.\end{array}$