CN107679277A - 双起重机系统动力学建模算法及非奇异区间参数设计方法 - Google Patents

双起重机系统动力学建模算法及非奇异区间参数设计方法 Download PDF

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CN107679277A CN201710774029.9A CN201710774029A CN107679277A CN 107679277 A CN107679277 A CN 107679277A CN 201710774029 A CN201710774029 A CN 201710774029A CN 107679277 A CN107679277 A CN 107679277A
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周斌
钱森
王道明
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Abstract

本发明公开了一种双起重机系统动力学建模算法及非奇异区间参数设计方法，其中，动力学建模算法主要步骤如下：1、建立系统的约束方程；2、根据约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；3、根据运动学雅克比矩阵和各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；4、根据铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；5、结合上述方程，根据虚功原理建立系统的动力学模型；非奇异区间参数设计方法步骤如下：1、根据区间模型来描述结构参数的不确定性；2、基于系统的动力学模型和区间模型，建立非奇异区间参数模型。本发明可解决双起重机系统动力学响应的分析问题，以及为区间参数下响应域的预测问题奠定了基础。

Description

双起重机系统动力学建模算法及非奇异区间参数设计方法
技术领域
本发明涉及可靠性技术领域，具体是一种双起重机系统动力学建模算法及非奇异区间参数设计方法。
背景技术
双汽车起重机系统是指两台汽车起重机共同吊运同一重物的系统。由于拥有两台汽车起重机的分支，该系统的机械结构比传统的单台汽车起重机系统相比更加复杂，这使得系统在变幅运动过程中输入端和输出端之间的动力学关系亦更加复杂。然而，双汽车起重机系统动力学问题是求解双汽车起重机系统运动控制的关键。由于单台汽车起重机含有转台、吊臂、变幅油缸及负载等不同机械结构，因此，推导双汽车起重机系统动力学模型显得尤其复杂。多起重机系统的动力学建模方法主要包括朗格朗日方法、牛顿欧拉方法以及虚功原理三大类。近年来，出现了有关多起重机的动力学分析的研究，其中，采用拉格朗日法往往需要考虑每一构件的相对动能和惯性力做功，从而造成运算量急剧增加；而采用牛顿-欧拉方程往往只能得到欠定的运动学方程，从而着重于获得优化解，并未从根本上解决双台起重机的动力学模型。因此，针对双台汽车起重机的动力学建模，特别是采用虚功原理来分析的研究工作尚未展开，而采用虚功原理分析系统动力学问题能够清楚地表达输入参数和动力学响应之间的关系。因此，虚功原理成为获得双汽车起重机系统动力学模型的有效方法。
现有关于多台起重机系统在某一运动下的响应模型，针对的都是确定性参数来分析，而没有考虑结构参数的不确定性。在一台起重机从设计到起吊重物过程中，由于几何误差、装配误差、绳索的振动以及外部不确定因素的影响，结构参数往往分布在某个区间内，因此，不确定结构参数可看成区间参数。值得一提的是，区间分析法在其他领域，如结构学、热学以及声学等已经取得了一定的成果，然而在双台起重机系统的工程应用中才刚刚起步。另外，研究学者常常根据大量的实验样本把不确定结构参数直接考虑成区间参数，然而，这种设计思路在一些复杂的系统中往往导致系统动力学响应奇异值的产生，因此，如何设计出合理的区间参数成为了关键。
基于此，如何采用虚功原理及系统的运动学模型来建立双汽车起重机系统的动力学建模算法，以及如何设计出基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数，对以后如何快速预测双台汽车起重机系统在区间结构参数下变幅角响应域的分布问题奠定了基础，具有重要的工程应用价值。
发明内容
本发明的目的是提供一种双起重机系统动力学建模算法及非奇异区间参数设计方法，以解决现有技术中双台汽车起重机系统变幅运动中确定性参数下动力学模型难以建立及非奇异区间参数难以设计的问题。
为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：
用于起重机系统的建模方法，按如下步骤进行：
步骤1：获取建立起重机系统建模的参数：获取每台起重机各铰接点的位置坐标；起重机各铰接点是指，在同一个起重机系统内的，吊臂与转台间铰接点、吊臂与吊绳间铰接点、吊臂与吊绳间铰接点；即获得每台起重机的吊臂与转台间铰接点的位置坐标，吊臂与吊绳间铰接点的位置坐标吊绳与负载间铰接点的位置坐标；获取负载重心的位置坐标；获取吊臂的长度、负载的长度；获取起重机吊臂与转台间铰接点与相邻起重机吊臂与转台间铰接点之间的距离；获取每台起重机的吊绳与水平面的角度，获取负载与水平面的角度；由计算机建立起重机系统的约束方程；
步骤2：根据步骤1获得的起重机约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；
步骤3：由通过计算机将步骤一获取的起重机各铰接点的位置坐标对时间求导，获得起重机系统各铰接点的速度向量；根据由步骤2获得的运动学雅克比矩阵和起重机系统各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；
步骤4：获得起重机系统各铰接点的加速度向量；根据起重机系统的铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；
步骤5：根据由步骤2获得的变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵、由步骤3获得的吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵、由步骤4获得的吊臂和负载的惯性力和惯性力矩，建立起重机系统的动力学模型：
式中各参数的含义分别为：起重机系统的运动学雅克比矩阵的转置；τ:起重机系统的驱动力矩向量；第i台起重机吊臂AiBi的惯性力；Fp：负载C1C2的惯性力；mi：第i台起重机吊臂AiBi的质量；mp：负载C1C2的质量；g：重力加速度；第i台起重机吊臂AiBi的惯性力矩；Mp：负载的惯性力矩；第i台起重机吊臂AiBi的偏导速度矩阵；第i台起重机吊臂AiBi的偏导角速度矩阵；第1台起重机吊绳与负载间铰接点C1的偏导速度矩阵；负载C1C2的偏导角速度矩阵。
进一步说，所述的起重机系统为双汽车起重机系统，详细步骤如下：
步骤1：建立起重机系统的约束方程：
K1i sinγi+K2i cosγi+K3i＝0,i＝1,2
其中，
式中各参数的含义分别为：γi：第i台起重机吊臂与转台间的变幅角；L1：第1台起重机吊臂的长度；L2：第2台起重机吊臂的长度；D：第1台起重机吊臂与转台间铰接点与第2台起重机吊臂与转台间铰接点之间的距离；d：负载的长度；θ：负载与水平面的角度；S1：第1台起重机吊绳的长度；S2：第2台起重机吊绳的长度；y：负载重心在惯性坐标系中沿Y轴方向的坐标；z：负载重心在惯性坐标系中沿Z轴方向的坐标；
步骤2：根据步骤1获得的起重机约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；
变幅角响应方程：
运动学雅克比矩阵：
JDACS＝M-1N
其中，
其中，
步骤3：根据由步骤2获得的运动学雅克比矩阵和起重机系统各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；
起重机系统各点的速度向量：
该式为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的速度向量；
该式为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量；其中，为第i台起重机吊臂与转台间的变幅角对时间的导数；
该式为第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在基坐标系{B}下的速度向量；其中，βi为第i台起重机吊绳与水平面间的角度；为第i台起重机吊绳与水平面间的角度对时间的导数；
吊臂的偏导角速度矩阵：
其中，为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi的偏导角速度矩阵；
吊臂的偏导速度矩阵：
其中，为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi的偏导速度矩阵；为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi的偏导速度矩阵；
负载C1C2的偏导角速度矩阵为：
其中，为负载C1C2的偏导角速度矩阵；
铰接点Ci的偏导速度矩阵为：
式中，为第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci的偏导速度矩阵；
步骤4：根据起重机系统的铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；
加速度向量
其中，是原点Op的加速度向量，即 是第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}的位置坐标；
其中，
式中，R″表示为动坐标系{P}到基坐标系{B}的坐标旋转矩阵对时间的二次导数；
吊臂的惯性力
其中，是第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai的加速度向量；是负载重心Oi的加速度向量；
吊臂的惯性力矩
其中，mi是吊臂AiBi的质量，是吊臂AiBi相对于其重心的惯性矩；是第i台起重机吊臂与转台间的变幅角对时间的二次导数；
负载的惯性力Fp：
其中，是第1台汽车起重机系统中吊绳B1C1与负载C1C2的铰接点C1的加速度向量；
负载的惯性力矩Mp：
其中，mp是负载C1C2的质量，是负载C1C2相对于铰接点C1的惯性矩；是负载与水平面的角度对时间的二次导数；
步骤5：根据由步骤2获得的变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵、由步骤3获得的吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵、由步骤4获得的吊臂和负载的惯性力和惯性力矩，建立起重机系统的动力学模型：
其中，τ＝[τ1 τ2]T，τ1和τ2分别是系统作用于吊臂A1B1和A2B2上的驱动力矩。
基于用于起重机系统的建模方法的区间参数获取方法，按如下步骤进行：
S1：在双汽车起重机系统变幅作业中，建立区间参数模型如下：表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有区间结构参数，其中m为区间参数的个数，双台汽车起重机系统区间参数包括：起重机间距A1A2的长度D，负载C1C2的长度d，吊臂A1B1的长度L1，吊臂A2B2的长度L2；
S2：的双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型，结合步骤S1中的区间参数模型，建立基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数模型：
其中，f(YI,t)表示含有区间参数模型下的动力学响应函数，和分别表示第i个区间结构参数的上界和下界，表示第r个区间结构参数在其区间内任意值，表示第r个区间结构参数在其区间内取中点值；
其中，表示第r个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第i个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第r个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数。
有益的技术效果
本发明提供的建模方法中，能够根据几何模型、确定性系统参数以及各点的位置向量，建立系统约束方程、变幅角响应方程、运动学雅克比矩阵。然后，本发明在建立各点的速度向量、加速度向量以及吊臂和负载的惯性力和惯性力矩的基础上，根据虚功原理可得双台汽车起重机系统变幅运动中动力学模型。
基于系统的动力学模型和区间结构参数，本发明还给出了双起重机系统非奇异区间参数设计方法。
本发明在充分考虑动力学模型的基础上设计出非奇异区间参数，以提高双台汽车起重机系统在确定性参数下系统的动力学响应分析能力，特别是给出了考虑不确定结构参数下设计区间参数模型的方法，以提高双台汽车起重机系统作业的安全性和可靠性。具体有益技术效果如下：
1)本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学建模算法，具体包括各系统参数和驱动力矩的动力学关系，可以快速给出双台汽车起重机系统变幅运动下吊臂的驱动力矩和负载的工况要求之间的运动关系，对大型起吊作业工程应用提供了理论支持。
2)本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学建模算法，该方法与朗格朗日方法相比，不需要考虑每一构件的动能和惯性力做功，从而运算量急剧降低，大大提高了计算效率；与牛顿欧拉方法相比，避免了由于输入参数少于求解方程个数导致得欠定方程组的产生，因而，从根本上解决了双台汽车起重机变幅运动下的动力学建模。
3)与传统的多起重机系统响应分析方法相比，本发明在双起重机系统动力学建模算法的基础上，给出了基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法，充分考虑了不确定结构参数对系统动力学响应的非奇异性特点，计算得到的非奇异性区间参数对不确定参数下系统的可靠性设计具有重要的指导意义。
附图说明
图1是双台汽车起重机系统三维模型示意图；图中示出了第一台汽车起重机系统中转台1、第二台汽车起重机系统中转台2、第一台汽车起重机系统中吊臂A1B1、第二台汽车起重机系统中吊臂A2B2、第一台汽车起重机系统中吊绳B1C1、第二台汽车起重机系统中吊绳B2C2、负载C1C2、负载重心Op、铰接点A1、A2、B1、B2、C1、C2及其位置关系。
图2是本发明提供的双台汽车起重机系统几何模型示意图。
图3是本发明提供的双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学建模算法的流程图。
图4是本发明提供的基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法的流程图。
图5是本发明提供的根据基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数DI，即起重机间距A1A2的长度D与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。
图6是本发明提供的根据基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数dI，即负载C1C2的长度d与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。
图7是本发明提供的根据基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数即吊臂A1B1的长度L1与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。
图8是本发明提供的根据基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数即吊臂A2B2的长度L2与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。
具体实施方式
现结合附图详细说明本发明的技术特点。
参见图3，用于起重机系统的建模方法，按如下步骤进行：
步骤1：获取建立起重机系统建模的参数：通过计算机建立惯性坐标系，通过位置传感器测出获取每台起重机各铰接点的位置坐标；起重机各铰接点是指，在同一个起重机系统内的，吊臂与转台间铰接点、吊臂与吊绳间铰接点、吊臂与吊绳间铰接点；即获得每台起重机的吊臂与转台间铰接点的位置坐标，吊臂与吊绳间铰接点的位置坐标吊绳与负载间铰接点的位置坐标；通过位置传感器测出获取负载重心的位置坐标；通过距离传感器获取吊臂的长度、负载的长度；获取第1台起重机吊臂与转台间铰接点与相邻第2台起重机吊臂与转台间铰接点之间的距离；通过角度传感器获取每台起重机的吊绳与水平面的角度，获取负载与水平面的角度；将前述起重机系统建模的参数人工输入计算机，由计算机建立起重机系统的约束方程；
步骤2：根据步骤1获得的起重机约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；
步骤3：由通过计算机将步骤一获取的起重机系统各铰接点的位置坐标对时间求导，获得起重机系统各铰接点的速度向量；根据由步骤2获得的运动学雅克比矩阵和起重机系统各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；
步骤4：通过计算机将步骤二获取的起重机系统各铰接点的速度向量对时间求导的值，获得起重机系统各铰接点的加速度向量；根据起重机系统的铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；
步骤5：根据由步骤2获得的变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵、由步骤3获得的吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵、由步骤4获得的吊臂和负载的惯性力和惯性力矩，建立起重机系统的动力学模型：
式中各参数的含义分别为：起重机系统的运动学雅克比矩阵的转置；τ:起重机系统的驱动力矩向量；第i台起重机吊臂AiBi的惯性力；Fp：负载C1C2的惯性力；mi：第i台起重机吊臂AiBi的质量；mp：负载C1C2的质量；g：重力加速度；第i台起重机吊臂AiBi的惯性力矩；Mp：负载的惯性力矩；第i台起重机吊臂AiBi的偏导速度矩阵；第i台起重机吊臂AiBi的偏导角速度矩阵；第1台起重机吊绳与负载间铰接点C1的偏导速度矩阵；负载C1C2的偏导角速度矩阵。
参见图1至3，进一步说，所述起重机系统为双汽车起重机系统，详细步骤如下：
步骤1：建立起重机系统的约束方程：
K1i sinγi+K2i cosγi+K3i＝0,i＝1,2
其中，
式中各参数的含义分别为：γi：第i台起重机吊臂与转台间的变幅角；L1：第1台起重机吊臂的长度；L2：第2台起重机吊臂的长度；D：第1台起重机吊臂与转台间铰接点与第2台起重机吊臂与转台间铰接点之间的距离；d：负载的长度；θ：负载与水平面的角度；S1：第1台起重机吊绳的长度；S2：第2台起重机吊绳的长度；y：负载重心在惯性坐标系中沿Y轴方向的坐标；z：负载重心在惯性坐标系中沿Z轴方向的坐标；
步骤2：根据步骤1获得的起重机约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；
变幅角响应方程：
运动学雅克比矩阵：
JDACS＝M-1N
其中，
其中，
步骤3：根据由步骤2获得的运动学雅克比矩阵和起重机系统各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；
起重机系统各点的速度向量：
该式为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的速度向量；
该式为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量；其中，为第i台起重机吊臂与转台间的变幅角对时间的导数；
该式为第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在基坐标系{B}下的速度向量；其中，βi为第i台起重机吊绳与水平面间的角度；为第i台起重机吊绳与水平面间的角度对时间的导数；
吊臂的偏导角速度矩阵：
其中，为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi的偏导角速度矩阵；
吊臂的偏导速度矩阵：
其中，为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi的偏导速度矩阵；为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi的偏导速度矩阵；
负载C1C2的偏导角速度矩阵为：
其中，为负载C1C2的偏导角速度矩阵；
铰接点Ci的偏导速度矩阵为：
式中，为第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci的偏导速度矩阵；
步骤4：根据起重机系统的铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；
加速度向量
其中，是原点Op的加速度向量，即 是第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}的位置坐标；
其中，
式中，R″表示为动坐标系{P}到基坐标系{B}的坐标旋转矩阵对时间的二次导数；
吊臂的惯性力
其中，是第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai的加速度向量；是负载重心Oi的加速度向量；
吊臂的惯性力矩
其中，mi是吊臂AiBi的质量，是吊臂AiBi相对于其重心的惯性矩；是第i台起重机吊臂与转台间的变幅角对时间的二次导数；
负载的惯性力Fp：
其中，是第1台汽车起重机系统中吊绳B1C1与负载C1C2的铰接点C1的加速度向量；
负载的惯性力矩Mp：
其中，mp是负载C1C2的质量，是负载C1C2相对于铰接点C1的惯性矩；是负载与水平面的角度对时间的二次导数；
步骤5：根据由步骤2获得的变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵、由步骤3获得的吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵、由步骤4获得的吊臂和负载的惯性力和惯性力矩，建立起重机系统的动力学模型：
其中，τ＝[τ1 τ2]T，τ1和τ2分别是系统作用于吊臂A1B1和A2B2上的驱动力矩。
参见图1至3，进一步说，起重机系统为双台汽车起重机系统，包含第一台汽车起重机系统、第二台汽车起重机系统；将第一台汽车起重机系统的转台记为转台1；将第二台汽车起重机系统的转台记为转台2；将第一台汽车起重机系统的吊臂记为吊臂A1B1；将第二台汽车起重机系统的吊臂记为吊臂A2B2；将第一台汽车起重机系统的吊绳记为吊绳B1C1；将第二台汽车起重机系统的吊绳记为吊绳B2C2；负载呈矩形，负载两端分别以C1、C2标识，负载记为负载C1C2，负载重心为Op；铰接点分别为A1、A2、B1、B2、C1和C2；
本起重机系统做变幅运动中，转台1和转台2保持静止状态，即并不通过各自的回转机构实现负载C1C2绕起重机回转中心轴线转动的运动；
吊臂A1B1和吊臂A2B2保持静止状态，包括多节相互套接的伸缩臂，即伸缩臂并不通过伸缩驱动机构的伸缩作用产生相对运动，即并不改变吊臂A1B1和/或吊臂A2B2的长度以调整汽车起重机的作业半径；
吊绳B1C1和吊绳B2C2保持静止状态，即并不通过变幅机构中起升机构中吊绳B1C1和吊绳B2C2的伸缩动作来实现负载C1C2在竖直平面内的升降运动；
变幅油缸D1E1一端与转台1铰接，另一端与吊臂A1B1铰接，通过调节变幅机构中变幅油缸D1E1的长度，进一步实现吊臂A1B1在竖直平面内绕变幅油缸D1E1与转台1铰接点处做旋转运动以改变吊臂A1B1仰角的变化，从而改变汽车起重机1的变幅角度；
变幅油缸D2E2一端与转台2铰接，另一端与吊臂A2B2铰接，通过调节变幅机构中变幅油缸D2E2的长度，进一步实现吊臂A2B2在竖直平面内绕变幅油缸D2E2与转台2铰接点处做旋转运动以改变吊臂A2B2仰角的变化，从而改变汽车起重机2的变幅角度。
将步骤5获得的系统动力学模型改写成如下形式：
Jτ＝F
其中，J是动力学雅可比矩阵，τ是系统驱动力矩向量，F是系统基本动力学矩阵，它们可表示成：
结合图1至3，所述的用于起重机系统的建模方法，步骤1的具体步骤如下：
建立几何模型及设定坐标系，并给出各铰接点的位置向量：所述几何模型是通过计算机将起重机系统各构件简化绘制而成；所述坐标系包括基坐标系{B}:O-YZ和动坐标系{P}:Op-YpZp；所述各点包括第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai；第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi；吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci；负载C1C2的重心Op；
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的位置向量为：
其中，D为起重机间距A1A2的长度；
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的位置向量为：
其中，Li是吊臂AiBi的长度。γi是吊臂AiBi的变幅角。基坐标系{B}:O-YZ坐落于A1A2连接点的中心；
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的位置向量为：
其中，d为负载C1C2的长度。动坐标系{P}:Op-YpZp坐落于C1C2连接点的中心；
负载C1C2的重心Op在基坐标系{B}下的位置向量为：
其中，y和z分别是负载C1C2中心Op的沿Y轴和Z轴的笛卡尔坐标值；
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在基坐标系{B}下的位置向量为：
其中表示为动坐标系{P}到基坐标系{B}的坐标旋转矩阵；
根据各铰接点的位置向量，建立系统约束方程，其中：
吊绳BiCi的约束方程为：
根据上述所有方程，整理可得：
其中θ表示动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度。Si为吊绳BiCi的长度；
上式可重新写成系统约束方程为：
K1i sinγi+K2i cosγi+K3i＝0,i＝1,2。
步骤2的具体步骤如下：
求解系统约束方程，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程γi：
其中，
根据变幅角的非负性，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程可重新写成为：
将系统约束方程对时间求导，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的运动学雅克比矩阵。
针对系统约束方程对时间求导，可得方程为：
上式可重新写成方程为：
其中，
M11＝K11cosγ1-K21sinγ1,M22＝K12cosγ2-K22sinγ2,
记和可得双台汽车起重机系统变幅运动下的运动学雅克比矩阵为：JDACS＝M-1N
进一步说，步骤3的具体步骤如下：
将各铰接点位置向量对时间一次求导，得到各点的速度向量：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的速度向量为：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量为：
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的速度向量为：
其中，是原点Op的速度向量，即
根据运动学雅克比矩阵和的各点的速度向量，得到吊臂AiBi、吊绳BiCi和负载C1C2的偏导角速度矩阵和铰接点Ai、Bi和Ci偏导速度矩阵：
根据运动学雅克比矩阵，得到吊臂AiBi的偏导角速度矩阵为：
由于铰接点Ai是固定的，铰接点Ai的偏导速度矩阵为：
类似地，吊绳BiCi的偏导角速度矩阵为：
铰接点Bi的偏导速度矩阵为：
假设吊臂AiBi是对称分布的，吊臂AiBi的偏导速度矩阵为：
负载C1C2的偏导角速度矩阵和铰接点Ci的偏导速度矩阵分别为：
进一步说，步骤4的具体步骤如下：
将各铰接点速度向量对时间一次求导，得到各点的加速度向量：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量为：
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的加速度向量为：
其中，是原点Op的加速度向量，即
根据铰接点的加速度向量，得到吊臂AiBi和负载C1C2的惯性力和惯性力矩：
考虑到铰接点Ai是固定的，吊臂AiBi的惯性力为：
吊臂AiBi的惯性力矩为：
其中，mi是吊臂AiBi的质量，是吊臂AiBi相对于其重心的惯性矩；
负载C1C2相对于铰接点C1的惯性力为：
负载C1C2相对于铰接点C1的惯性力矩为：
其中，mp是负载C1C2的质量，是负载C1C2相对于铰接点C1的惯性矩；
由于吊绳BiCi质量忽略不计，因此，吊绳BiCi的惯性力和惯性力矩记为零。
进一步说，步骤5的具体步骤如下：
根据虚功原理可得双台汽车起重机系统变幅运动中动力学模型为：
其中，τ＝[τ1 τ2]T，τ1和τ2分别是系统作用于吊臂A1B1和A2B2上的驱动力矩；
因此，双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型可重新写成为：
将系统动力学模型重写成如下形式：Jτ＝F
其中，J是动力学雅可比矩阵，τ是系统驱动力矩向量，F是系统基本动力学矩阵，它们可表示成：
参见图4，基于用于起重机系统的建模方法的区间参数获取方法，按如下步骤进行：
S1：在双汽车起重机系统变幅作业中，建立区间参数模型如下：表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有区间结构参数，其中m为区间参数的个数，双台汽车起重机系统区间参数包括：起重机间距A1A2的长度D，负载C1C2的长度d，吊臂A1B1的长度L1，吊臂A2B2的长度L2；
S2：基于双起重机系统变幅运动下的动力学建模算法得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型，结合步骤S1中的区间参数模型，建立基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数模型：
其中，f(YI,t)表示含有区间参数模型下的动力学响应函数，和分别表示第i个区间结构参数的上界和下界，表示第r个区间结构参数在其区间内任意值，表示第r个区间结构参数在其区间内取中点值；表示第r个区间参取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第i个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第r个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数。
实施例
参见图3，双起重机系统变幅运动下的动力学建模算法，按如下步骤进行：
(1.1)、建立几何模型及设定坐标系，并给出各点的位置向量。
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的位置向量为：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的位置向量为：
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的位置向量为：
负载C1C2的重心Op在基坐标系{B}下的位置向量为：
其中，D和d分别为起重机间距A1A2和负载C1C2的长度。基坐标系{B}:O-YZ坐落于A1A2连接点的中心。动坐标系{P}:Op-YpZp坐落于C1C2连接点的中心。Li是吊臂AiBi的长度。γi是吊臂AiBi的变幅角。y和z分别是负载C1C2中心Op的沿Y轴和Z轴的笛卡尔坐标值。
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在基坐标系{B}下的位置向量为：
其中表示为动坐标系{P}到基坐标系{B}的坐标旋转矩阵。
(1.2)、根据步骤(1.1)各点的位置向量，建立系统约束方程，其中：
吊绳BiCi的约束方程为：
根据上述所有方程，整理可得：
其中θ表示动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度。Si为吊绳BiCi的长度。
上式可重新写成系统约束方程为：
K1i sinγi+K2i cosγi+K3i＝0,i＝1,2 (9)
(1.3)、求解步骤(1.2)所得到的系统约束方程，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程。
针对上式系统约束方程求解，可得双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角方程为：
其中，
根据变幅角的非负性，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程可重新写成为：
(1.4)、步骤(1.2)所得到的系统约束方程对时间求导，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的运动学雅克比矩阵。
针对系统约束方程对时间求导，可得方程为：
上式可重新写成方程为：
其中，
M11＝K11cosγ1-K21sinγ1,M22＝K12cosγ2-K22sinγ2,
记和可得双台汽车起重机系统变幅运动下的运动学雅克比矩阵为：
JDACS＝M-1N (14)
(1.5)、步骤(1.1)所得到的各铰接点位置向量对时间一次求导，得到各点的速度向量。
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的速度向量为：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量为：
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的速度向量为：
其中，
是原点Op的速度向量，即
(1.6)、根据步骤(1.4)的运动学雅克比矩阵和步骤(1.5)的各点的速度向量，得到吊臂AiBi、吊绳BiCi和负载C1C2的偏导角速度矩阵和铰接点Ai、Bi和Ci偏导速度矩阵。
根据步骤(1.4)所得到的运动学雅克比矩阵，得到吊臂AiBi的偏导角速度矩阵为：
由于铰接点Ai是固定的，铰接点Ai的偏导速度矩阵为
类似地，吊绳BiCi的偏导角速度矩阵为：
铰接点Bi的偏导速度矩阵为：
为了简化计算，假设吊臂AiBi是对称分布的，吊臂AiBi的偏导速度矩阵为：
负载C1C2的偏导角速度矩阵和铰接点Ci的偏导速度矩阵分别为：
(1.7)、步骤(1.5)所得到的各铰接点速度向量对时间一次求导，得到各点的加速度向量。
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量为：
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的加速度向量为：
其中，是原点Op的加速度向量，即
(1.8)、根据步骤(1.7)所得到的铰接点的加速度向量，得到吊臂AiBi和负载C1C2的惯性力和惯性力矩。
考虑到铰接点Ai是固定的，吊臂AiBi的惯性力为：
吊臂AiBi的惯性力矩为：
其中，mi是吊臂AiBi的质量，是吊臂AiBi相对于其重心的惯性矩。
负载C1C2相对于铰接点C1的惯性力为：
负载C1C2相对于铰接点C1的惯性力矩为：
其中，mp是负载C1C2的质量，是负载C1C2相对于铰接点C1的惯性矩。
由于吊绳BiCi质量忽略不计，因此，吊绳BiCi的惯性力和惯性力矩可记为零。
(1.9)、结合步骤(1.1)至步骤(1.8)所得到的方程，根据虚功原理可得双台汽车起重机系统变幅运动中动力学模型为：
其中，τ＝[τ1 τ2]T，τ1和τ2分别是系统作用于吊臂A1B1和A2B2上的驱动力矩。
因此，双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型可重新写成为：
为了使得分析系统动力学响应方程更加清楚，系统动力学模型可重写成如下形式：
Jτ＝F (33)
其中，J是动力学雅可比矩阵，τ是系统驱动力矩向量，F是系统基本动力学矩阵，它们可表示成：
参见图1，该图是双台汽车起重机系统三维模型示意图，包括第一台汽车起重机系统的转台1、第二台汽车起重机系统的转台2、第一台汽车起重机系统的吊臂A1B1、第二台汽车起重机系统的吊臂A2B2、第一台汽车起重机系统的吊绳B1C1、第二台汽车起重机系统的吊绳B2C2、负载C1C2、负载重心Op、铰接点A1、A2、B1、B2、C1、C2。变幅运动中，转台1(转台2)保持静止状态，即并不通过各自的回转机构实现负载C1C2绕起重机回转中心轴线转动的运动；吊臂A1B1(吊臂A2B2)保持静止状态，包括多节相互套接的伸缩臂，即伸缩臂并不通过伸缩驱动机构的伸缩作用产生相对运动，即并不改变吊臂A1B1(吊臂A2B2)的长度以调整汽车起重机的作业半径；吊绳B1C1(吊绳B2C2)保持静止状态，即并不通过变幅机构中起升机构中吊绳B1C1(吊绳B2C2)的伸缩动作来实现负载C1C2在竖直平面内的升降运动。变幅油缸D1E1(变幅油缸D2E2)一端与转台1(转台2)铰接，另一端与吊臂A1B1(吊臂A2B2)铰接，通过调节变幅机构中变幅油缸D1E1(变幅油缸D2E2)的长度，进一步实现吊臂A1B1(吊臂A2B2)在竖直平面内绕变幅油缸D1E1(变幅油缸D2E2)与转台1(转台2)铰接点处做旋转运动以改变吊臂A1B1(吊臂A2B2)仰角的变化，从而改变汽车起重机的变幅角度。参见图2，该图是双台汽车起重机系统几何模型。对于上述双台汽车起重机系统，以下对本发明提供的双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法进行描述。
参见图4，该图是本发明提供的一种基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法的流程图，按如下步骤进行：
S1：在双汽车起重机系统变幅作业中，尺寸误差及变幅油缸的振动常常会导致结构参数分布在某一个区间，为了使得所得到的动力学响应具有非奇异性，因此，建立区间参数模型如下：表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有区间结构参数，其中m为区间参数的个数，双台汽车起重机系统区间参数包括：起重机间距A1A2的长度D，负载C1C2的长度d，吊臂A1B1的长度L1，吊臂A2B2的长度L2。
S2：基于双起重机系统变幅运动下的动力学建模算法中的步骤(1.9)得到的双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型，结合步骤S1中的区间参数模型，建立基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数模型：
其中，f(YI,t)表示含有区间参数模型下的动力学响应函数，和分别表示第i个区间结构参数的上界和下界，表示第i个区间结构参数在其区间内任意值，表示第i个区间结构参数在其区间内取中点值。
其中，表示第i个区间参数取其余m-i个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第i个区间参数取其余m-i个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第i个区间参数取其余m-i个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数。
参见图5，该图是本发明提供的基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数DI，即起重机间距A1A2的长度D与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。由图可知，对于D＝11m下计算出来的曲线，当时间是0.63s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点；对于D＝11m和D＝13.5m下计算出来的曲线，当时间是0.48s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点，而对于D＝11.5m,12m,12.5m,13m下计算出来的曲线，驱动力矩响应曲线光滑，均不存在奇异点。因此，非奇异区间参数DI＝[11.5m,13m]。
需要指出的是，本发明所提供的方法是首次通过本方法计算出非奇异区间参数，现有论文、研讨会均无类似的方法，可谓首次突破。
参见图6，该图是本发明提供的基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数dI，即负载C1C2的长度d与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。由图可知，对于d＝1m下计算出来的曲线，当时间是0.86s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点；对于d＝4m下计算出来的曲线，当时间是0.03s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点，而对于d＝1.5m,2m,2.5m,3m,3.5m下计算出来的曲线，驱动力矩响应曲线光滑，均不存在奇异点。因此，非奇异区间参数DI＝[1.5m,3.5m]。
参见图7，该图是本发明提供的基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数即吊臂A1B1的长度L1与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。由图可知，对于L1＝4m下计算出来的曲线，当时间是0.27s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点；对于L1＝6m下计算出来的曲线，当时间是0.29s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点，而对于L1＝4.5,5,5.5m下计算出来的曲线，驱动力矩响应曲线光滑，均不存在奇异点。因此，非奇异区间参数
参见图8，该图是本发明提供的基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数设计方法在计算机中所计算出的非奇异区间参数即吊臂A2B2的长度L2与第一台汽车起重机驱动力矩之间的关系分布图。由图可知，对于L2＝3.5m下计算出来的曲线，当时间是0.42s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点；对于L2＝5.5m下计算出来的曲线，当时间是0.45s时，驱动力矩响应曲线存在奇异点，而对于L2＝4,4.5,5m下计算出来的曲线，驱动力矩响应曲线光滑，均不存在奇异点。因此，非奇异区间参数
综上所述，本发明通过采用虚功原理来解决双汽车起重机系统的动力学建模问题。本发明在已建立动力学模型的基础上，根据大量的不确定结构参数样本来设计出合理的非奇异区间参数问题，对以后如何快速预测双台汽车起重机系统在不确定参数下变幅角响应域的分布问题奠定了基础。
上述实施计算例仅仅为本发明的典型实施例，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的原理和内容之内所作的改动均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.用于起重机系统的建模方法，其特征在于，按如下步骤进行：
步骤1：获取建立起重机系统建模的参数：获取每台起重机各铰接点的位置坐标；起重机各铰接点是指，在同一个起重机系统内的，吊臂与转台间铰接点、吊臂与吊绳间铰接点、吊臂与吊绳间铰接点；即获得每台起重机的吊臂与转台间铰接点的位置坐标，吊臂与吊绳间铰接点的位置坐标吊绳与负载间铰接点的位置坐标；获取负载重心的位置坐标；获取吊臂的长度、负载的长度；获取起重机吊臂与转台间铰接点与相邻起重机吊臂与转台间铰接点之间的距离；获取每台起重机的吊绳与水平面的角度，获取负载与水平面的角度；由计算机建立起重机系统的约束方程；
步骤2：根据步骤1获得的起重机约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；
步骤3：由通过计算机将步骤一获取的起重机各铰接点的位置坐标对时间求导，获得起重机系统各铰接点的速度向量；根据由步骤2获得的运动学雅克比矩阵和起重机系统各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；
步骤4：获得起重机系统各铰接点的加速度向量；根据起重机系统的铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；
步骤5：根据由步骤2获得的变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵、由步骤3获得的吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵、由步骤4获得的吊臂和负载的惯性力和惯性力矩，建立起重机系统的动力学模型：
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式中各参数的含义分别为：起重机系统的运动学雅克比矩阵的转置；τ:起重机系统的驱动力矩向量；第i台起重机吊臂AiBi的惯性力；Fp：负载C1C2的惯性力；mi：第i台起重机吊臂AiBi的质量；mp：负载C1C2的质量；g：重力加速度；第i台起重机吊臂AiBi的惯性力矩；Mp：负载的惯性力矩；第i台起重机吊臂AiBi的偏导速度矩阵；第i台起重机吊臂AiBi的偏导角速度矩阵；第1台起重机吊绳与负载间铰接点C1的偏导速度矩阵；负载C1C2的偏导角速度矩阵。
2.根据权利要求1所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，所述起重机系统为双汽车起重机系统，详细步骤如下：
步骤1：建立起重机系统的约束方程：
K1i sinγi+K2i cosγi+K3i＝0,i＝1,2
其中，
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式中各参数的含义分别为：γi：第i台起重机吊臂与转台间的变幅角；L1：第1台起重机吊臂的长度；L2：第2台起重机吊臂的长度；D：第1台起重机吊臂与转台间铰接点与第2台起重机吊臂与转台间铰接点之间的距离；d：负载的长度；θ：负载与水平面的角度；S1：第1台起重机吊绳的长度；S2：第2台起重机吊绳的长度；y：负载重心在惯性坐标系中沿Y轴方向的坐标；z：负载重心在惯性坐标系中沿Z轴方向的坐标；
步骤2：根据步骤1获得的起重机约束方程建立变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵；
变幅角响应方程：
<mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
运动学雅克比矩阵：
JDACS＝M-1N
其中，
其中，
<mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>13</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>23</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
步骤3：根据由步骤2获得的运动学雅克比矩阵和起重机系统各点的速度向量，得到吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵；
起重机系统各点的速度向量：
该式为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的速度向量；
<mrow> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
该式为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量；其中，为第i台起重机吊臂与转台间的变幅角对时间的导数；
<mrow> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
该式为第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在基坐标系{B}下的速度向量；其中，βi为第i台起重机吊绳与水平面间的角度；为第i台起重机吊绳与水平面间的角度对时间的导数；
吊臂的偏导角速度矩阵：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi的偏导角速度矩阵；
吊臂的偏导速度矩阵：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>12</mn> </mrow>
其中，为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi的偏导速度矩阵；为第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi的偏导速度矩阵；
负载C1C2的偏导角速度矩阵为：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中，为负载C1C2的偏导角速度矩阵；
铰接点Ci的偏导速度矩阵为：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
式中，为第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci的偏导速度矩阵；
步骤4：根据起重机系统的铰接点的加速度向量，得到吊臂和负载的惯性力和惯性力矩；
加速度向量
<mrow> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，是原点Op的加速度向量，即 是第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}的位置坐标；
其中，
<mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
式中，R″表示为动坐标系{P}到基坐标系{B}的坐标旋转矩阵对时间的二次导数；
吊臂的惯性力
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，是第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai的加速度向量；是负载重心Oi的加速度向量；
吊臂的惯性力矩
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，mi是吊臂AiBi的质量，是吊臂AiBi相对于其重心的惯性矩；是第i台起重机吊臂与转台间的变幅角对时间的二次导数；
负载的惯性力Fp：
Fp＝-mpaC1
其中，是第1台汽车起重机系统中吊绳B1C1与负载C1C2的铰接点C1的加速度向量；
负载的惯性力矩Mp：
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>I</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>p</mi> </msub> <mfrac> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> </mrow>
其中，mp是负载C1C2的质量，是负载C1C2相对于铰接点C1的惯性矩；是负载与水平面的角度对时间的二次导数；
步骤5：根据由步骤2获得的变幅角响应方程和运动学雅克比矩阵、由步骤3获得的吊臂的偏导角速度矩阵和偏导速度矩阵、由步骤4获得的吊臂和负载的惯性力和惯性力矩，建立起重机系统的动力学模型：
<mrow> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，τ＝[τ1 τ2]T，τ1和τ2分别是系统作用于吊臂A1B1和A2B2上的驱动力矩。
3.根据权利要求1或2所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，起重机系统为双台汽车起重机系统，包含第一台汽车起重机系统、第二台汽车起重机系统；将第一台汽车起重机系统的转台记为转台1；将第二台汽车起重机系统的转台记为转台2；将第一台汽车起重机系统的吊臂记为吊臂A1B1；将第二台汽车起重机系统的吊臂记为吊臂A2B2；将第一台汽车起重机系统的吊绳记为吊绳B1C1；将第二台汽车起重机系统的吊绳记为吊绳B2C2；负载呈矩形，负载两端分别以C1、C2标识，负载记为负载C1C2，负载重心为Op；铰接点分别为A1、A2、B1、B2、C1和C2；
本起重机系统做变幅运动中，转台1和转台2保持静止状态；
吊臂A1B1和吊臂A2B2保持静止状态；
吊绳B1C1和吊绳B2C2保持静止状态；
变幅油缸D1E1一端与转台1铰接，另一端与吊臂A1B1铰接，通过调节变幅机构中变幅油缸D1E1的长度，进一步实现吊臂A1B1在竖直平面内绕变幅油缸D1E1与转台1铰接点处做旋转运动以改变吊臂A1B1仰角的变化，从而改变汽车起重机1的变幅角度；
变幅油缸D2E2一端与转台2铰接，另一端与吊臂A2B2铰接，通过调节变幅机构中变幅油缸D2E2的长度，进一步实现吊臂A2B2在竖直平面内绕变幅油缸D2E2与转台2铰接点处做旋转运动以改变吊臂A2B2仰角的变化，从而改变汽车起重机2的变幅角度。
将步骤5获得的系统动力学模型改写成如下形式：
Jτ＝F
其中，J是动力学雅可比矩阵，τ是系统驱动力矩向量，F是系统基本动力学矩阵，它们可表示成：
<mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> </mrow>
<mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>.</mo> </mrow>
4.根据权利要求2所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，步骤1的具体步骤如下：
建立几何模型及设定坐标系，并给出各铰接点的位置向量：所述几何模型是通过计算机将起重机系统各构件简化绘制而成；所述坐标系包括基坐标系{B}:O-YZ和动坐标系{P}:Op-YpZp；所述各点包括第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai；第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi；吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci；负载C1C2的重心Op；
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的位置向量为：
<mrow> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，D为起重机间距A1A2的长度；
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的位置向量为：
<mrow> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，Li是吊臂AiBi的长度。γi是吊臂AiBi的变幅角。基坐标系{B}:O-YZ坐落于A1A2连接点的中心；
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的位置向量为：
<mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，d为负载C1C2的长度。动坐标系{P}:Op-YpZp坐落于C1C2连接点的中心；
负载C1C2的重心Op在基坐标系{B}下的位置向量为：
<mrow> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> </mrow>
其中，y和z分别是负载C1C2中心Op的沿Y轴和Z轴的笛卡尔坐标值；
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在基坐标系{B}下的位置向量为：
<mrow> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中表示为动坐标系{P}到基坐标系{B}的坐标旋转矩阵；
根据各铰接点的位置向量，建立系统约束方程，其中：
吊绳BiCi的约束方程为：
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
根据上述所有方程，整理可得：
<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
其中θ表示动坐标系{P}相对于基坐标系{B}的旋转的角度。Si为吊绳BiCi的长度；
上式可重新写成系统约束方程为：
K1i sinγi+K2i cosγi+K3i＝0,i＝1,2。
5.根据权利要求4所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，步骤2的具体步骤如下：
求解系统约束方程，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程γi：
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;PlusMinus;</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>L</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>.</mo> </mrow>
根据变幅角的非负性，双台汽车起重机系统变幅运动下的变幅角响应方程可重新写成为：
<mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
将系统约束方程对时间求导，得到双台汽车起重机系统变幅运动下的运动学雅克比矩阵。
针对系统约束方程对时间求导，可得方程为：
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>K</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>K</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>K</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
上式可重新写成方程为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mn>22</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>13</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>21</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>22</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mn>23</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中，M11＝K11cosγ1-K21sinγ1,M22＝K12cosγ2-K22sinγ2,
<mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>D</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>13</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>23</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow>
记和可得双台汽车起重机系统变幅运动下的运动学雅克比矩阵为：
JDACS＝M-1N
6.根据权利要求4或5任一所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，步骤3的具体步骤如下：
将各铰接点位置向量对时间一次求导，得到各点的速度向量：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中转台的铰接点Ai在基坐标系{B}下的速度向量为：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在基坐标系{B}下的速度向量为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的速度向量为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>R</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msubsup> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，是原点Op的速度向量，即
根据运动学雅克比矩阵和的各点的速度向量，得到吊臂AiBi、吊绳BiCi和负载C1C2的偏导角速度矩阵和铰接点Ai、Bi和Ci偏导速度矩阵：
根据运动学雅克比矩阵，得到吊臂AiBi的偏导角速度矩阵为：
由于铰接点Ai是固定的，铰接点Ai的偏导速度矩阵为：
类似地，吊绳BiCi的偏导角速度矩阵为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>sin&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
铰接点Bi的偏导速度矩阵为：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
假设吊臂AiBi是对称分布的，吊臂AiBi的偏导速度矩阵为：
负载C1C2的偏导角速度矩阵和铰接点Ci的偏导速度矩阵分别为：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
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7.根据权利要求4或6任一所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，步骤4的具体步骤如下：
将各铰接点速度向量对时间一次求导，得到各点的加速度向量：
第i台汽车起重机系统中吊臂AiBi与第i台汽车起重机系统中吊绳BiCi的铰接点Bi在其坐标系{B}下的速度向量为：
<mrow> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
吊绳BiCi与负载C1C2的铰接点Ci在动坐标系{P}下的加速度向量为：
<mrow> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>O</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>p</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，是原点Op的加速度向量，即
<mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
根据铰接点的加速度向量，得到吊臂AiBi和负载C1C2的惯性力和惯性力矩：
考虑到铰接点Ai是固定的，吊臂AiBi的惯性力为：
吊臂AiBi的惯性力矩为：
其中，mi是吊臂AiBi的质量，是吊臂AiBi相对于其重心的惯性矩；
负载C1C2相对于铰接点C1的惯性力为：
负载C1C2相对于铰接点C1的惯性力矩为：
其中，mp是负载C1C2的质量，是负载C1C2相对于铰接点C1的惯性矩。
8.根据权利要求4或7任一所述的用于起重机系统的建模方法，其特征在于，步骤5的具体步骤如下：
双台汽车起重机系统变幅运动中动力学模型为：
<mrow> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>
其中，τ＝[τ1 τ2]T，τ1和τ2分别是系统作用于吊臂A1B1和A2B2上的驱动力矩；
因此，双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型可重新写成为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
将系统动力学模型重写成如下形式：Jτ＝F
其中，J是动力学雅可比矩阵，τ是系统驱动力矩向量，F是系统基本动力学矩阵，它们可表示成：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </msub> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>.</mo> </mrow>
9.基于用于起重机系统的建模方法的区间参数获取方法，其特征在于，按如下步骤进行：
S1：在双汽车起重机系统变幅作业中，建立区间参数模型如下：表示双台汽车起重机系统变幅运动中所有区间结构参数，其中m为区间参数的个数，双台汽车起重机系统区间参数包括：起重机间距A1A2的长度D，负载C1C2的长度d，吊臂A1B1的长度L1，吊臂A2B2的长度L2；
S2：双台汽车起重机系统变幅运动下的动力学模型，结合步骤S1中的区间参数模型，建立基于双起重机系统动力学模型的非奇异区间参数模型：
<mrow> <mi>F</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mi> </mi> <msubsup> <mi>y</mi> <mi>r</mi> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mi>r</mi> <mi>L</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mi>r</mi> <mi>U</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
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其中，f(YI,t)表示含有区间参数模型下的动力学响应函数，和分别表示第i个区间结构参数的上界和下界，表示第r个区间结构参数在其区间内任意值，表示第r个区间结构参数在其区间内取中点值；
其中，表示第r个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第i个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数；表示第r个区间参数取其余n-r个区间参数取其中点值时，动力学响应函数f(YI,t)对时间的一阶导数。
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