CN106548044A - 正则哈特莱变换混沌双随机相位编码光学图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及图像信息安全和光信息处理技术领域，为提出光学图像加解密方法，能有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击，且密钥管理和传输更为方便，安全性得到进一步的保证，具有良好的抗暴力攻击、统计攻击、噪声攻击和剪切攻击能力。本发明采用的技术方案是，正则哈特莱变换混沌双随机相位编码光学图像加密方法，步骤如下：1)二维正则Hartley变换系统的构建；2)混沌密钥的生成：起主密钥作用的两块随机相位掩模分别由不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统生成，ICMIC混沌系统的初值和控制参数作为主密钥；3)图像加密和解密过程。本发明主要应用于图像信息安全和光信息处理场合。

Description

正则哈特莱变换混沌双随机相位编码光学图像加密方法

技术领域

本发明涉及图像信息安全和光信息处理技术领域，尤其涉及一种基于正则Hartley变换和混沌双随机相位编码的光学图像加密方法。

背景技术

数字图像作为当前最流行的多媒体形式之一，在政治、经济、军事、教育等领域有着广泛的应用。在互联网技术高度发达的今天，如何保护数字图像免遭篡改、非法复制和传播具有重要的实际意义。对图像加密技术的研究已成为当前信息安全领域的热点之一。

光学信息处理技术以其高处理速度、高并行度、能快速实现卷积和相关运算等优点，在图像加密研究领域引起了人们的极大兴趣(见文献[1])。在光学图像加密技术中，最具有代表性的是Javidi等提出的双随机相位编码技术(见文献[2])。该技术开辟了光学图像加密研究的新领域，基于该技术诞生了一大批光学加密新方法和新技术(见综述文献[3])。此外，Hartley变换和分数Hartley变换作为一种有效的变换手段，也常用于数字图像加密(见文献[4]和[5])。

然而，在基于双随机相位编码的光学图像加密方法中，大都存在如下问题：

1)密钥为图像尺寸的随机相位掩膜，因此，密钥管理和传输不便(见文献[6])；

2)由于随机相位掩膜不便更新，因此，加密系统易受选择明文攻击和已知明文攻击(见文献[7]和[8])。

参考文献：

[1]O.Matoba,T.Nomura,E.Perez-Cabre,M.Millan,and B.Javidi,Opticaltechniques forinformation security,Proceedings of IEEE 2009,97:1128-1148

[2]P.Réfrégier and B.Javidi,Optical image encryption based on inputplaneand Fourier plane random encoding,Opt.Lett.,1995,20:767-769

[3]S.Liu,C.Guo,and J.T.Sheridan,A review of optical image encryptiontechniques,Optics&Laser Technology,2014,57:327-342

[4]L.Chen,D.Zhao,Optical image encryption with Hartleytransforms.Opt.Lett.,2006,31:3438-3440

[5]D.Zhao,X.Li,L.Chen,Optical image encryption with redefinedfractional Hartley transform.Optics Communications,2008,281:5326-5329

[6]S.Yuan,Y.Xin,M.Liu,S.Yao,and X.Sun,An improved method to enhancethe security of double random-phaseencoding in the Fresnel domain,Optics&Laser Technology,2012,44:51-56

[7]X.Peng,H.Wei,and P.Zhang,Chosen-plaintext attack on lenslessdouble-randomphase encoding in the Fresnel domain,Opt.Lett.,2006,31:3261-3263

[8]U.Gopinathan,D.S.Monaghan,T.J.Naughton,and J.T.Sheridan,A known-plaintextheuristic attack on the Fourier plane encryptionalgorithm.Opt.Express,2006,14:3181-3186。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出光学图像加解密方法，能有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击，且密钥管理和传输更为方便，安全性得到进一步的保证，具有良好的抗暴力攻击、统计攻击、噪声攻击和剪切攻击能力。本发明采用的技术方案是，正则哈特莱变换混沌双随机相位编码光学图像加密方法，步骤如下：

1)二维正则Hartley变换系统的构建：二维正则Hartley变换由两个二维线性正则变换LCT的线性组合构成；

2)混沌密钥的生成：起主密钥作用的两块随机相位掩模分别由不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统生成，ICMIC混沌系统的初值和控制参数作为主密钥；此外，二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥；

3)图像加密和解密过程：(1)在加密过程中，待加密的图像首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换；(2)在解密过程中，加密后的图像首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制。

本发明一个具体实例步骤如下：

(1)二维正则Hartley变换系统的构建：

二维正则Hartley变换CHT由两个二维线性正则变换LCT的线性组合构成：

其中，二维线性正则变换(LCT)的数学表达式为：

其中，α,β,γ为三个变换常数；I_α,β,γ(x_l,y_l)为变换后的图像，I(x,y)为原始图像；(x_l,y_l)为变换后图像所处位置的坐标，(x,y)为原图像所处位置的坐标；j为虚数单位，π表示圆周率；

(2)混沌密钥的生成：

加密方法中两块混沌随机相位掩模起主密钥作用，二维正则Hartley变换系统的几何参数起辅助密钥作用，一维ICMIC混沌系统的离散形式的数学表达式为：

当控制参数0＜a＜+∞时，一维正弦系统处于混沌状态；x_n为混沌系统的初始值，x_n+1为混沌系统的迭代输出值；

假设要加密的图像的尺寸为M×N个像素，则两块混沌随机相位掩膜的尺寸也是M×N个像素。对于由两组不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统，使其分别迭代M×N次后，得到两组随机数序列X₁＝{x′₁,x′₂,…,x′_M×N}和X₂＝{x″₁,x″₂,…,x″_M×N}；其中，x′₁,x′₂,…,x′_M×N和x″₁,x″₂,…,x″_M×N为混沌系统的输出值。将这两组随机数序列分别整合成两个二维矩阵的形式Z₁＝{z′_m,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N}和Z₂＝{z″_m,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N}，其中z′_m,n和z″_m,n为二维矩阵的元素，m,n为矩阵元素的坐标。则可以得到两块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz′_m,n)和C₂(x₂,y₂)＝exp(j2πz″_m,n)；其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别为两块随机相位掩膜所处位置的坐标；

(3)图像加密和解密过程：

1)在加密过程中，待加密的图像U₀(x₀,y₀)首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换，经两次调制和两次变换后就可以得到加密图像U(x,y)：

其中，CHT{·}表示正则Hartley变换；(x₀,y0)和(x,y)分别为原图像和加密图像所处位置的坐标；α₁,β₁,γ₁和α₂,β₂,γ₂分别为正则哈特莱变换的变换参数；

2)在解密过程中，加密后的图像U(x,y)首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，得到解密后的图像

其中，*为复共轭算符。

本发明的特点及有益效果是：

本发明提供的光学图像加密方法中，混沌密钥的使用，使得本加密方法可以有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击，且使得密钥管理和传输变得更为方便；二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥，使得本加密方法的安全性得到了进一步的保证。

附图说明：

图1本发明加解密过程示意图。图中：

(a)为本发明提供的光学图像加密方法的加密过程示意图；

(b)为本发明提供的光学图像加密方法的解密过程示意图；

图2加解密图像对比图。图中：

(a)为待加密的原图像；

(b)为本方法加密的图像；

(c)为所有密钥均正确时的解密图像；

图3不同情况下解密图像对比图。图中：

(a)为控制第二块随机相位掩模的一维ICMIC混沌系统的初值x₂错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(b)为控制第二块随机相位掩模的一维ICMIC混沌系统的控制参数a₂错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(c)为正则Hartley变换系统的几何参数α₁错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(d)为正则Hartley变换系统的几何参数β₁错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(e)为正则Hartley变换系统的几何参数γ₁错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(f)为正则Hartley变换系统的几何参数α₂错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(g)为正则Hartley变换系统的几何参数β₂错误，其它密钥均正确时的解密图像；

(h)为正则Hartley变换系统的几何参数γ₂错误，其它密钥均正确时的解密图像；

图4不同缺失比例下解密图像对比图。图中：

(a)为从缺失12.5％信息的加密图中解密得到的图像；

(b)为从缺失25％信息的加密图中解密得到的图像；

(c)为从缺失50％信息的加密图中解密得到的图像；

图5含有不同噪声情况下解密图像对比图。图中：

(a)为从含有10％高斯噪声的加密图中解密得到的图像；

(b)为从含有10％椒盐噪声的加密图中解密得到的图像；

(c)为从含有10％散斑噪声的加密图中解密得到的图像；

附图中，各标号所代表的部件列表如下：

CRPM₁：第一块混沌随机相位掩模；CRPM₂：第二块混沌随机相位掩模；CRPM₁*：第一块混沌随机相位掩模的复共轭；CRPM₂*：第二块混沌随机相位掩模的复共轭；CHT：正则Hartley变换；ICHT：正则Hartley变换的逆变换。

具体实施方式

本发明提供了一种基于正则Hartley变换和混沌双随机相位编码的光学图像加密方法。本发明提供的光学图像加密方法由二维正则Hartley变换系统的构建，混沌密钥的生成，图像加密和解密过程组成。混沌密钥的使用，使得本加密方法可以有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击，且使得密钥管理和传输变得更为方便。此外，二维正则Hartley变换系统的几何参数可以作为加解密过程中的辅助密钥，使得本加密方法的安全性得到了进一步的保证。大量实验表明，本加密方法具有良好的抗暴力攻击、统计攻击、噪声攻击和剪切攻击能力。详见下文描述：

1)二维正则Hartley变换系统的构建：经严格的数学推导和证明，发现二维正则Hartley变换可以由两个二维线性正则变换(LCT)的线性组合构成。正如线性正则变换(LCT)是一种更为广义的傅里叶变换和分数傅里叶变换那样，正则Hartley变换是一种更为广义的Hartley变换和分数Hartley变换。

2)混沌密钥的生成：起主密钥作用的两块随机相位掩模分别由不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统生成，ICMIC混沌系统的初值和控制参数作为主密钥；此外，二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥。由于加解密过程中密钥更新方便，因此，本加密方法可以有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击；此外，密钥管理和传输也更为方便。

3)图像加密和解密过程：(1)在加密过程中，待加密的图像首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换；(2)在解密过程中，加密后的图像首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制。

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施方式作进一步地详细描述。

实施例1

一种基于正则Hartley变换和混沌双随机相位编码的光学图像加密方法，其加解密过程示意图如图1所示，加密方法由二维正则Hartley变换系统的构建，混沌密钥的生成，图像加密和解密过程组成。

(1)二维正则Hartley变换系统的构建：

本发明提供的加密方法中，经严格的数学推导和证明，发现二维正则Hartley变换可以由两个二维线性正则变换(LCT)的线性组合构成。正如线性正则变换(LCT)是一种更为广义的傅里叶变换和分数傅里叶变换那样，正则Hartley变换是一种更为广义的Hartley变换和分数Hartley变换。

(2)混沌密钥的生成：

本发明提供的加密方法中，起主密钥作用的两块随机相位掩模分别由不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统生成，ICMIC混沌系统的初值和控制参数作为主密钥；此外，二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥。由于加解密过程中密钥更新方便，因此，本加密方法可以有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击；此外，密钥管理和传输也更为方便。

(3)图像加密和解密过程：

1)在加密过程中，待加密的图像首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换；2)在解密过程中，加密后的图像首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制。

综上所述，混沌密钥的使用，使得本加密方法可以有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击，且使得密钥管理和传输变得更为方便；二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥，使得本加密方法的安全性得到了进一步的保证。

实施例2

下面结合图1、设计原理对实施例1中的方案进行详细地介绍，详见下文描述：

一种基于正则Hartley变换和混沌双随机相位编码的光学图像加密方法，其加解密过程示意图如图1所示。加密方法由二维正则Hartley变换系统的构建，混沌密钥的生成，图像加密和解密过程组成。下面就这三部分的具体实施方式分别予以详细的描述。

(1)二维正则Hartley变换系统的构建：

经严格的数学推导和证明(在此略去证明和推导过程)，发现二维正则Hartley变换(CHT)可以由两个二维线性正则变换(LCT)的线性组合构成：

其中，二维线性正则变换(LCT)的数学表达式为：

其中，α,β,γ为三个变换常数；I_α,β,γ(x_l,y_l)为变换后的图像，I(x,y)为原始图像；(x_l,y_l)为变换后图像所处位置的坐标，(x,y)为原图像所处位置的坐标；j为虚数单位，π表示圆周率。

(2)混沌密钥的生成：

加密方法中两块混沌随机相位掩模起主密钥作用，二维正则Hartley变换系统的几何参数起辅助密钥作用。下面就如何使用一维ICMIC混沌系统生成这两块混沌随机相位掩膜进行详细介绍。

一维ICMIC混沌系统的离散形式的数学表达式为：

当控制参数0＜a＜+∞时，一维正弦系统处于混沌状态；x_n为混沌系统的初始值，x_n+1为混沌系统的迭代输出值。

假设要加密的图像的尺寸为M×N个像素，则两块混沌随机相位掩膜的尺寸也是M×N个像素。对于由两组不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统，使其分别迭代M×N次后，得到两组随机数序列X₁＝{x′₁,x′₂,…,x′_M×N}和X₂＝{x″₁,x″₂,…,x″_M×N}；其中，x′₁,x′₂,…,x′_M×N和x″₁,x″₂,…,x″_M×N为混沌系统的输出值。将这两组随机数序列分别整合成两个二维矩阵的形式Z₁＝{z′_m,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N}和Z₂＝{z″_m,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N}，其中z′_m,n和z″_m,n为二维矩阵的元素，m,n为矩阵元素的坐标。则可以得到两块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz′_m,n)和C₂(x₂,y₂)＝exp(j2πz″_m,n)；其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别为两块随机相位掩膜所处位置的坐标。由于混沌随机相位掩膜是由混沌系统的初值和控制参数来控制的，因此，混沌系统的初值和控制参数作为加密系统的主密钥。由于主密钥和辅助密钥都是一些数字，因此，管理和传输这些数字将变得十分方便；此外，加解密过程中更新这些数字也将变得十分方便。

(3)图像加密和解密过程：

1)在加密过程中，待加密的图像U₀(x₀,y₀)首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换，经两次调制和两次变换后就可以得到加密图像U(x,y)：

其中，CHT{·}表示正则Hartley变换；(x₀,y₀)和(x,y)分别为原图像和加密图像所处位置的坐标；α₁,β₁,γ₁和α₂,β₂,γ₂分别为正则哈特莱变换的变换参数。

2)在解密过程中，加密后的图像U(x,y)首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，得到解密后的图像

其中，*为复共轭算符。

综上所述，混沌密钥的使用，使得本加密方法可以有效抵抗已知明文攻击和选择明文攻击，且使得密钥管理和传输变得更为方便；二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥，使得本加密方法的安全性得到了进一步的保证。

实施例3

下面结合具体的附图对实施例1和2中的方案进行可行性验证，详见下文描述：

采用本发明实施提供的加密方法对一幅图像(如图2(a)所示)进行加密后，得到的加密图像如图2(b)所示。

由图2(b)可以看出，原始图像的任何信息都被隐藏。当所有密钥均正确时，解密出的图像如图2(c)所示。由图2(c)可以看出，原始图像可以完全被还原。说明采用本系统对灰度图像的加密和解密是成功的。

此外，当某一个密钥错误而其他密钥正确时，解密结果如图3(a)-3(h)所示。由此可见，本系统的安全性是可以得到保证的。

图4(a)-4(c)为加密图缺失12.5％，25％和50％信息情况下的解密图像。图5(a)-5(c)为加密图含有10％高斯噪声、椒盐噪声和散斑噪声情况下的解密图像。由此可见，即便加密图像缺失一部分信息或在一定程度上被噪声污染，本发明实施例仍然能够解密出一定质量的原始图像，验证了本系统的可行性，满足了实际应用中的多种需要。

本发明实施例对各器件的型号除做特殊说明的以外，其他器件的型号不做限制，只要能完成上述功能的器件均可。

本领域技术人员可以理解附图只是一个优选实施例的示意图，上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种正则哈特莱变换混沌双随机相位编码光学图像加密方法，其特征是，步骤如下：

1)二维正则Hartley变换系统的构建：二维正则Hartley变换由两个二维线性正则变换LCT的线性组合构成；

2)混沌密钥的生成：起主密钥作用的两块随机相位掩模分别由不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统生成，ICMIC混沌系统的初值和控制参数作为主密钥；此外，二维正则Hartley变换系统的几何参数作为加解密过程中的辅助密钥；

3)图像加密和解密过程：(1)在加密过程中，待加密的图像首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换；(2)在解密过程中，加密后的图像首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制。

2.如权利要求1所述的正则哈特莱变换混沌双随机相位编码光学图像加密方法，其特征是，一个具体实例步骤如下：

(1)二维正则Hartley变换系统的构建：

二维正则Hartley变换CHT由两个二维线性正则变换LCT的线性组合构成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{CHT}}_{\mathrm{\α},\mathrm{\β},\mathrm{\γ}}\left\{I\left(x,y\right)\right\}\left(x_l,y_l\right)=\frac{1}{2}\×{\mathrm{LCT}}_{\mathrm{\α},\mathrm{\β},\mathrm{\γ}}\left\{I\left(x,y\right)\right\}\left(x_l,y_l\right)\\ +\frac{1}{2}\×\sqrt{-1}\×{\mathrm{LCT}}_{\mathrm{\α},\mathrm{\β},\mathrm{\γ}}\left\{I\left(x,y\right)\right\}\left(-x_l,-y_l\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，二维线性正则变换(LCT)的数学表达式为：

$\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{\α},\mathrm{\β},\mathrm{\γ}}(x_l,y_l)={\mathrm{LCT}}_{\mathrm{\α},\mathrm{\β},\mathrm{\γ}}\left\{I(x,y)\right\}(x_l,y_l)\\ =\exp \[\frac{-j\mathrm{\π}}{4}\]\·\sqrt{\mathrm{\β}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}I\left(x,y\right)\·\\ \exp \left\{\mathrm{\α}\·\left(x^2+y^2\right)-2\mathrm{\β}\left({\mathrm{xx}}_l+{\mathrm{yy}}_l\right)+\mathrm{\γ}\left(x_l^2+y_l^2\right)\right\}dxdy\end{array}---\left(2\right)$

其中，α,β,γ为三个变换常数；I_α,β,γ(x_l,y_l)为变换后的图像，I(x,y)为原始图像；(x_l,y_l)为变换后图像所处位置的坐标，(x,y)为原图像所处位置的坐标；j为虚数单位，π表示圆周率；

(2)混沌密钥的生成：

加密方法中两块混沌随机相位掩模起主密钥作用，二维正则Hartley变换系统的几何参数起辅助密钥作用，一维ICMIC混沌系统的离散形式的数学表达式为：

$x_{n+1}=sin\left(\frac{a}{x_n}\right)---\left(3\right)$

当控制参数0＜a＜+∞时，一维正弦系统处于混沌状态；x_n为混沌系统的初始值，x_n+1为混沌系统的迭代输出值；

假设要加密的图像的尺寸为M×N个像素，则两块混沌随机相位掩膜的尺寸也是M×N个像素。对于由两组不同混沌参数控制的一维ICMIC混沌系统，使其分别迭代M×N次后，得到两组随机数序列X₁＝{x′₁,x′₂,…,x′_M×N}和X₂＝{x″₁,x″₂,…,x″_M×N}；其中，x′₁,x′₂,…,x′_M×N和x″₁,x″₂,…,x″_M×N为混沌系统的输出值。将这两组随机数序列分别整合成两个二维矩阵的形式Z₁＝{z′_m,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N}和Z₂＝{z″_m,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N}，其中z′_m,n和z″_m,n为二维矩阵的元素，m,n为矩阵元素的坐标。则可以得到两块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz′_m,n)和C₂(x₂,y₂)＝exp(j2πz″_m,n)；其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别为两块随机相位掩膜所处位置的坐标；

(3)图像加密和解密过程：

1)在加密过程中，待加密的图像U₀(x₀,y₀)首先被第一块混沌随机相位掩模调制，然后进行第一次正则Hartley变换，变换后的图像再被第二块混沌随机相位掩模调制，然后进行第二次正则Hartley变换，经两次调制和两次变换后就可以得到加密图像U(x,y)：

$U(x,y)={\mathrm{CHT}}_{{\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\β}}_2,{\mathrm{\γ}}_2}\left\{{\mathrm{CHT}}_{{\mathrm{\α}}_1,{\mathrm{\β}}_1,{\mathrm{\γ}}_1}\right\{U_0(x_0,y_0)C_1(x_1,y_1)\left\}{C}_2(x_2,y_2)\right\}---\left(4\right)$

其中，CHT{·}表示正则Hartley变换；(x₀,y0)和(x,y)分别为原图像和加密图像所处位置的坐标；α₁,β₁,γ₁和α₂,β₂,γ₂分别为正则哈特莱变换的变换参数；

2)在解密过程中，加密后的图像U(x,y)首先进行第二次正则Hartley变换的逆变换，然后被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制，经调制后的图像再进行第一次正则Hartley变换的逆变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，得到解密后的图像

其中，*为复共轭算符。