CN106527145B - 基于Lambert W函数的多移动机器人的单时滞控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

基于Lambert W函数的多移动机器人时滞控制器设计方法，步骤如下：1)根据拉格朗日方法获取单个移动机器人均为一阶积分的模型；2)根据模型参数建立多移动机器人系统的单时滞控制器；3)基于Lambert W函数方法，选取合适的时滞参数，然后求取使移动机器人稳定的单时滞控制器比例参数的范围；4)将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序；5)经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

Description

基于Lambert W函数的多移动机器人的单时滞控制器设计 方法

技术领域

本发明涉及多移动机器人系统的协同控制方法，针对多移动机器人系统，选取可使系统稳定的控制参数，设计单时滞控制器，从而提高系统的一致性。

背景技术

多移动机器人系统是分布式人工智能系统领域的一个相当重要的分支。多移动机器人系统在20世纪80年代后期已经成为分布式人工智能研究中的主要研究对象。研究多移动机器人系统的主要目的是功能相对简单的多个移动机器人之间进行分布式协同控制，完成复杂任务，为在极端环境下的作业提供了可靠的支持。

移动机器人控制系统发展和研究受到了越来越多的关注与重视。一方面机器人应用可以降低生产成本，提高生产力以及生产效率，把人类从低效率、技术含量低、枯燥繁杂以及容易疲惫的工作领域中解救出来，使得人类专注于其他方面的研究。如集装箱码头的货运搬运传递，工厂生产线中的某些零件装配以及焊接等等；另一方面机器人可以替代人类在危险、恶劣的环境中去完成一些的工作，有些环境人类甚至无法到达，比如核废料的加工和处理，对于宇宙星际空间的探索与开发，深海资源的长时间考察等等。随着机器人智能化程度的提高以及深入的研究，其应用前景越来越广泛，涉及到一些国计民生的领域，正在逐步的改变我们的生活。

多移动机器人系统是由多个简单的移动机器人有机组合而成，它包含了两方面的基本特点：一方面需要多个移动机器人模块，设计由单个移动机器人形成的模块相对容易，这也保证了整个系统的良好的模块性并且方便扩展，同时也有效地降低了应用成本；另一方面，多移动机器人系统是一个注重协调的系统，在这个系统中的各个移动机器人的功能可以比较简单，但是它们通过互相之间的通信、合作、协调、调度、管理和控制能完成复杂的整体功能。

一致性是多移动机器人分布式协作运动的重要研究方向，逐渐成为许多研究领域的热门课题。所谓一致性是指，即在一个多移动机器人系统中，所有的移动机器人最终状态能够趋于一致。一致性问题的出现主要源于合作控制问题。对于多移动机器人系统的合作控制问题，移动机器人之间共享信息是保证合作的一个前提条件，共享信息可以以多种形式出现，比如说一个共同的目标，一种共同的控制算法，或者相对的位置信息。当一组移动机器人要合作共同去完成一项任务，合作控制策略的有效性表现在，多移动机器人必须能够应对各种不可预知的形势和环境的改变，这就要求移动机器人随着环境的改变能够达到一致。因此，多移动机器人达到一致是实现协调合作控制的一个首要条件。

近年来，针对多移动机器人控制的分析与研究，已在一致性和协同控制方面取得了很大的进展。Liu在文献Consensus of multi-agent system with diversecommunication delays(Chinese Control Conference,2007:726-730.)中研究了一阶系统的具有通信时滞与输入时滞的一致性协议，在此一致性协议中，系统个体的输入时滞是相同的，而通信时滞在不同的个体之间是不同的。通过将系统内的时延转变为拉普拉斯矩阵的一部分，基于盖尔圆盘定理与Nyquist稳定判据，给出了一阶系统在此协议控制下达到一致的充分条件。并指出系统的收敛速度会随通信时延的增加而降低。Cao在文献Consensus for multi-agent systems with nonlinear dynamics and time delaysusing a two-hop relay adaptive method(Proceeding of Abstract and AppliedAnalysis,2014:1-6.)中研究了针对非线性系统的一致性算法。基于自适应算法，得到了系统所能容忍的最大时延，并且利用频域内的分析方法得到了系统一致性的必要条件。Hong在文献Consensus of fractional-order multi-agent systems with communicationdelay.(Complex Systems and Complexity Science,2013,10(3):81-85.)研究了针对分数阶系统的一致性条件，得到了多智能体系统的一致性时延上界。然而上述研究都集中于移动机器人个体间的网络拓扑特性，通过改变网络拓扑参数及移动机器人间的控制协议达到控制目标，而将单个移动机器人认为是具有一定动态特性的质点。无法使整个多移动机器人系统满足一定的性能指标要求，也很难灵活地实现不同的全局控制目标。而且将时延当作控制系统设计的不利因素，使系统产生周期震荡、发散现象等。

发明内容

本发明要克服现有技术的上述缺点，提供一种基于Lambert W函数多移动机器人单时滞控制器设计方法。

本发明采用基于Lambert W函数的分布式单时滞控制器的设计方法。首先根据时滞对闭环系统的特征方程的影响，研究基于使系统稳定的单时滞控制器。然后通过给定期望的系统极点的位置，求得相应的单时滞控制器的参数取值。最后改善多移动机器人的一致性。

本发明是通过以下技术方案实现的：先基于刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出等时滞的影响。采用拉格朗日方法建立单个移动机器人的模型，为了使其能够不受外界干扰按照设定的速度前进，在现有的鲁棒控制器设计方法以及控制系统稳定性分析结果的基础上，采用单位反馈控制结构，结合Lambert W方程确定单时滞控制器的参数确定。对于一般一阶系统，可以求出单时滞控制器的控制参数范围，然后得到每个控制参数对应的子系统的最右特征根。最后基于Lambert W函数的多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法的具体步骤如下：

步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑多移动机器人的输入输出等时滞的影响。根据以下步骤确定多移动机器人的模型。

(1)考虑多机器人系统的个体皆具有一阶积分器模型：

其中x_i(t)为多移动机器人的状态信息，u_i(t)为控制输入，t为多移动机器人的个数。

(2)控制输入u_i采用下列的控制器协议：

其中N_i是节点i的邻居节点,a_ij是节点i和节点j之间的权重，b是控制增益。

(3)引入单时滞控制器，相应的闭环系统表示为:

其中，k_i是比例控制系数，τ为时滞控制系数。

步骤2，建立多移动机器人系统的单时滞控制器，系统控制框图如图2所示，图中，为具有时延的移动机器人模型矩阵，为控制系统达到一致性的单时滞控制器矩阵。n为单个移动机器人的邻居个数，L为多移动机器人系统拓扑结构对应的Laplacian矩阵，r为系统输入，y为系统输出。

步骤3，根据以下步骤确定能使移动机器人稳定的单时滞控制器k的参数范围。

a.普通一阶多移动机器人系统闭环系统可进行如下变形：

进行Laplace变换，可得：

其中，b/_s+a为被控一阶个体的动态模型，ke^-τs为单时滞控制器的动态模型。

b.多移动机器人的闭环系统框图如图2所示，其闭环系统的传递函数是

闭环系统的特征方程为

因为L是一个正规矩阵，它是可对角化的，即存在矩阵R，使得L＝R^-1ΛR。则

其中，n′为系统Laplacian矩阵非零特征根的个数。原多移动机器人系统可被分解为几个子系统，每一个子系统的特征方程为

s+a+bλ_ike^-τs＝0 (5)

c.普通一阶多移动机器人系统的单时滞控制器参数确定。

根据Lambert W方程及其定义，方程(5)的最右根可以表示为：

每一个分支都有其对应的范围，并且此范围与时滞控制参数τ相关，如下所示：

由于单时滞控制器至少要保证系统的稳定性，因此有

为满足系统的稳定性，最右极点的实部需要小于0：

根据(8)，可以求出对应的n′个k的取值范围，这n′个k的取值范围的交集，为可以使系统稳定的比例控制系数k的取值范围。

步骤4，将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域比例时延控制算式计算输出控制信号u(n)的值，其中，n为当前时刻的采样步数。u(n)计算公式如下：

u(n)＝ke(n-τ)+u₀

其中，u₀为控制器调节之前的输入控制信号，k是比例控制参数，e(n-τ)为采样步数为n时的时滞跟踪误差。通过对比例时滞控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行。

步骤5，将步骤4中经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

本发明提出了一种基于Lambert W函数的单时滞控制器设计方法。根据多移动机器人系统中个体相互耦合的特点，将个体之间交换信息的权重以及个体发送信息时的通信时延为控制参数。在根据矩阵理论将系统分解为几个子系统后，通过引入Lambert W方程来求得每个子系统的最右极点的位置与控制器参数的解析关系，根据给定的期望最右特征值，可以求出每个个体相应的控制器参数，并改善了多移动机器人系统的性能。

本发明的优点是适用于有向拓扑结构的多移动机器人系统，每个机器人都采用较为普遍的一阶模型。主要特征在于引入了单时滞控制器，并且运用Lambert W方程推导出多移动机器人系统稳定的不等式，配置合适的比例和时延参数可实现更快的协同控制。

附图说明

图1为本发明方法采用的工作流程

图2为本发明的多移动机器人系统闭环框图

图3为本发明的多移动机器人系统拓扑结构图

图4为本发明的控制参数k的取值范围以及与最右极点实部的关系效果图

图5为本发明的不加控制器时单积分多移动机器人系统仿真效果图

图6为本发明的控制参数为k＝1.656与τ＝0.15时多移动机器人系统仿真效果图

图7为本发明的控制器参数为k＝2.483与τ＝0.15时多移动机器人系统仿真效果图

具体实施方式

以下结合附图和实例对本发明的技术方案作进一步描述。

先根据刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出和时滞的影响，利用拉格朗日方法建立单个移动机器人的模型。通过Lambert W函数，解析得到可使系统稳定的参数范围。接着运用矩阵原理，分解拓扑结构，得到能使新个体达成协同控制的条件。最后通过所得到的条件求取单时滞控制器的比例控制参数和通讯时延参数。随机给定单个移动机器人的初速度，通过单时滞控制器条件各移动机器人的速度，使整个系统的一致性得到提高。

实施例：

步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出等时滞的影响，利用拉格朗日方法建立具有如下传递函数形式的移动机器人模型：

步骤2，建立多移动机器人系统的单时滞控制器，系统控制框图如图2所示，图中，为具有时延的移动机器人模型矩阵，为控制系统达到一致性的单时滞控制器矩阵。n为单个移动机器人的邻居个数，L为多移动机器人系统拓扑结构对应的Laplacian矩阵，r为系统输入，y为系统输出。

步骤3，建立多移动机器人之间的交互拓扑如图3所示，可以得到其对应的Laplacian矩阵，时滞参数选择为0.15。由于图3所示拓扑结构对应的Laplacian矩阵存在9个非零特征值，故根据式(8)，可以得到对应的9个不等式，每一个不等式可以对应求出一个k的取值范围，对应可以表示为如图4的形式。从图4中可以看出k与子系统最右极点的实部的对应关系。图中横坐标为k，纵坐标为对应的子系统的最右极点的实部，k_lb＝-0.12与k_ub＝3.37为对应的k的下界与上界。由于每一个子系统的最右极点的实部都不相同，因此子系统的最右极点的位置与多移动机器人系统的一致性性能的关系也就越复杂。

步骤4，将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域比例时延控制算式计算输出控制信号u(n)的值，其中，n为当前时刻的采样步数。u(n)计算公式如下：

u(n)＝k_pe(n-τ)+u₀

其中，u₀为控制器调节之前的输入控制信号，e(n-τ)为采样步数为n时的时滞跟踪误差。通过对比例时滞控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行。

步骤5，将步骤4中经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

由图4可得，k＝2.483可以让闭环系统的最大非零特征根的实部最小化，因此选择控制参数k＝2.483，为进行比对，在范围内任选一点k＝1.656，并同时与不加控制器的系统进行仿真比较，效果如图5到图7所示。由图可以看出，在无控制器的情况下，系统可以收敛到一致，但速度较慢。在k＝2.483时，系统的Laplacian矩阵的最大非零特征值达到了最小，使得系统的收敛速度达到了最优。对比k＝1.656时的控制效果，系统收敛的更快。从而验证了控制器的有效性。

Claims (1)

1.基于Lambert W函数的多移动机器人时滞控制器设计方法，包括如下步骤：

步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑多移动机器人的输入输出等时滞的影响；根据以下步骤确定多移动机器人的模型；

(11)考虑多机器人系统的个体皆具有一阶积分器模型：

其中x_i(t)为多移动机器人的状态信息，u_i(t)为控制输入，t为多移动机器人的个数；

(12)控制器协议已经得到了广泛的研究：

其中N_i是节点i的邻居节点,a_ij是节点i和节点j之间的权重，b是控制增益；

(13)引入单时滞控制器，相应的闭环系统表示为:

其中，k是比例控制系数，τ为时滞控制系数；

步骤2，建立具有单时滞控制器矩阵带有时滞控制模型集合反馈环节是多移动机器人系统拓扑结构对应的Laplacian矩阵，系统输入为r，系统输出为y的多移动机器人反馈控制系统；其中

步骤3，根据以下步骤确定能使移动机器人稳定的单时滞控制器的参数范围；

(31)普通一阶多移动机器人系统闭环系统可进行如下变形：

进行Laplace变换，可得：

由上式可以看出，b/(s+a)为被控一阶个体的动态模型，ke^-τs为单时滞控制器的动态模型；

(32).多移动机器人闭环系统的传递函数是

闭环系统的特征方程为

由于L是一个正规矩阵，它是可对角化的，即存在矩阵R，使得L＝R^-1ΛR；则

其中，n′为系统Laplacian矩阵非零特征根的个数；原多智能体系统可被分解为几个子系统，每一个子系统的特征方程为

s+a+bλ_ike^-τs＝0 (5)

(33)根据Lambert W方程及其定义，方程(5)的最右根可以表示为：

每一个分支都有其对应的范围，并且此范围与时滞控制参数τ相关，如下所示：

由于单时滞控制器至少要保证系统的稳定性，因此有

此外，为满足系统的稳定性，最右极点的实部需要小于0：

根据(8)，可以求出对应的n′个k的取值范围，这n′个k的取值范围的交集，为可以使系统稳定的比例控制系数k的取值范围；

步骤4，将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域比例时延控制算式计算输出控制信号u(n)的值；其中，n为当前时刻的采样步数；u(n)计算公式如下：

u(n)＝ke(n-τ)+u₀

其中，u₀为控制器调节之前的输入控制信号，k是比例控制参数，e(n-τ)为采样步数为n时的时滞跟踪误差；通过对比例时滞控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行；

步骤5，将步骤4中经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制；通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。