CN106525029B - 一种圆环磁体的近场磁定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种圆环磁体的近场磁定位方法，其在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型，再利用圆环磁体磁场分布积分模型获取圆环磁体在平面YOZ上的空间点处产生的磁通量密度向量；计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量的值；利用磁偶极子磁通量密度分布模型，计算在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数各自的初步值；根据在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数各自的初步值，在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，再获取在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数各自的最终值；优点是在近场磁定位时定位精度高，且简化了磁通量密度的计算复杂度。

Description

一种圆环磁体的近场磁定位方法

技术领域

本发明涉及一种近距离磁定位技术，尤其是涉及一种沿轴均匀磁化的圆环磁体的近场磁定位方法。

背景技术

磁定位一般是通过计算磁体周围的磁通量密度，通过磁体的磁场中的空间点的位置与磁体周围的磁通量密度的关系求解磁体的位置参数和方向参数。磁定位技术的难点在于磁体的磁通量密度分布模型的复杂程度，目前常用的一种方法是利用磁偶极子磁通量密度分布模型来确定磁体的位置参数和方向参数。一般将磁体的中心点称为源点，磁体在其周围的空间点处产生的磁通量密度向量与磁体的位置参数和方向参数以及该空间点相对源点的距离有关。

图1给出了磁偶极子磁通量密度分布模型的示意图。在图1中，在坐标系OXYZ中，圆环磁体的中心点即源点的坐标位置为(a,b,c)，圆环磁体的磁矩方向的单位向量为(m,n,p)，圆环磁体周围的任意一个空间点的坐标位置表示为(x,y,z)，由毕奥-萨法尔定律可计算出圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量，

记为 其中，μ₀表示圆环磁体的真空磁导率，δ为与圆环磁体的材料和体积有关的常量，表示圆环磁体的磁矩方向的单位向量， 表示源点与任意一个空间点之间的距离向量，R为的模。在推导磁偶极子磁场分布模型时，有近似假定；所以，当空间点相对源点的距离与圆环磁体的主轴长度之比较大时，此磁偶极子磁通量密度分布模型是准确的；而当空间点相对源点的距离与圆环磁体的主轴长度之比较小(即近场定位)时，此磁偶极子磁通量密度分布模型的准确度较低。

综上，对于近场磁定位，磁偶极子磁通量密度分布模型会不准确，从而将导致最终的磁定位结果存在较大的误差，因此需要研究一种磁定位精度高的近场磁定位方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种圆环磁体的近场磁定位方法，其在近场磁定位时定位精度高。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种圆环磁体的近场磁定位方法，其特征在于包括以下步骤：

①构建磁体坐标系OXYZ，然后在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型，再利用圆环磁体磁场分布积分模型获取圆环磁体在平面YOZ上的空间点处产生的磁通量密度向量，具体过程为：

①_1、以圆环磁体的中心点为原点，且以圆环磁体的轴向对称轴为Z轴，构建得到磁体坐标系OXYZ；

①_2、在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型：

其中，表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量，μ₀表示圆环磁体的真空磁导率，μ_r表示圆环磁体的相对磁导率，M_T＝ρ_s×S，ρ_s表示圆环磁体的面密度，S表示圆环磁体的面积，为向量， 为向量，(x,y,z)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的任意一个空间点的坐标位置，(a₁,b₁,w)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体的轴向顶面上的任意一个小面积单元的中心点的坐标位置，(a₁,b₁,-w)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体的轴向底面上的任意一个小面积单元的中心点的坐标位置，R₁为的模，R₂为的模，符号“| |”为向量取模符号，θ为积分变量；

①_3、将磁体坐标系OXYZ的X轴上的坐标固定为0；然后利用数值计算方法，对圆环磁体磁场分布积分模型进行处理，得到圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的磁通量密度向量，记为 其中，表示圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示任一个三维坐标系的Y轴的单位方向向量，表示任一个三维坐标系的Z轴的单位方向向量；

②计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量的值，具体过程为：

②_1、将描述为其中，表示在X轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示任一个三维坐标系的X轴的单位方向向量，表示在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小；

②_2、设定在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的一个空间点A的坐标位置为(x_A,y_A,z_A)，设定在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的另一个空间点C位于平面XOY上，并使平面AOC与平面XOY相互垂直；

②_3、在磁体坐标系OXYZ中，将圆环磁体在A点处产生的磁通量密度向量分解为其中，表示在引入的R轴方向上的磁通量密度分量，表示在Z轴方向上的磁通量密度分量，引入的R轴的方向向量为

②_4、计算的模，记为 其中，表示圆环磁体在平面AOC上坐标位置为(r,z_A)的空间点处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，并计算的模，记为其中，表示圆环磁体在平面AOC上坐标位置为(r,z_A)的空间点处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小；

②_5、计算 并计算 计算 然后将和对应表示为f_X(x,y,z)、f_Y(x,y,z)和f_Z(x,y,z)，即和

②_6、根据计算得到的和获得

③利用磁偶极子磁通量密度分布模型，计算在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数各自的初步值，具体过程为：

③_1、在世界坐标系中，在圆环磁体周围的N个空间点上各布置1个磁传感器，将第t个磁传感器在世界坐标系中的坐标位置记为(x_t,y_t,z_t)，其中，N≥5，1≤t≤N；然后计算在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的磁通量密度向量，将在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的磁通量密度向量记为 其中，表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小， 表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，

表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，

B_T表示圆环磁体的磁体常数，且δ为与圆环磁体的材料和体积有关的常量，R_t表示圆环磁体的中心点与第t个磁传感器之间的距离，(a,b,c)表示在世界坐标系中圆环磁体的中心点的坐标位置，(m,n,p)表示在世界坐标系中圆环磁体的磁矩方向的单位向量；

③_2、测量在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值，将在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值对应记为B_X,t、B_Y,t和B_Z,t；

③_3、获取在世界坐标系中圆环磁体在所有磁传感器处产生的磁通量密度分量的大小的实际值与计算值之间的目标误差函数，记为ΔB，其中，符号“|| ||₂”为求矩阵的2范数符号；

③_4、利用非线性优化算法使ΔB最小，求得在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的初步值，对应记为

④根据在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的初步值在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，再获取在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的最终值，具体过程为：

④_1、在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，磁体坐标系OXYZ的原点位于世界坐标系中的坐标位置处，磁体坐标系OXYZ的Z轴方向的向量与相同；

④_2、计算从世界坐标系的Z轴到磁体坐标系OXYZ的Z轴的旋转角，记为γ，然后根据γ计算坐标轴旋转的四元数，记为 接着根据坐标轴旋转的四元数计算旋转矩阵，记为R，其中，arccos()为求反余弦函数；

④_3、计算每个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置，将第t个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置记为(x'_t,y'_t,z'_t)，其中，R^-1为R的逆；

④_4、根据每个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置，计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，将在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小对应记为和

④_5、根据在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，得到在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的磁通量密度向量，在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的磁通量密度向量为其中，为的转置；

④_6、重新获取在世界坐标系中，圆环磁体在所有磁传感器处产生的磁通量密度分量的大小的实际值与计算值之间的目标误差函数，记为ΔB'，

④_7、利用非线性优化算法使ΔB'最小，求得在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的最终值，对应记为

与现有技术相比，本发明的优点在于：

1)本发明方法建立了圆环磁体磁场分布积分模型，通过圆环磁体磁场分布积分模型和现有的磁偶极子磁通量密度分布模型对比，在近场中圆环磁体磁场分布模型更为准确，利用该模型获得了更为准确的近场圆环磁体的磁通量密度向量。

2)本发明方法在计算圆环磁体的磁通量密度分布时，利用圆环磁体的轴对称性，其磁通量密度分布相对圆环磁体的中心点沿圆环磁体的轴对称，在空间点处产生的磁通量密度向量按照二维分布特性计算，简化了磁通量密度的计算复杂度。

3)本发明方法首先通过磁偶极子磁通量密度分布模型计算得到在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数的初步值，然后利用此初步值，构建新的磁体坐标系，然后利用圆环磁体磁场分布积分模型进行校正得到了更为准确的位姿参数，综合应用磁偶极子磁通量密度分布模型和圆环磁体磁场分布积分模型，大大的减小了近场定位误差。

附图说明

图1为现有的磁偶极子磁通量密度分布模型的示意图；

图2为本发明方法所采用的圆环磁体磁场分布积分模型的示意图；

图3为圆环磁体在平面YOZ(轴向对称面)上的空间点处产生的磁通量密度分布图；

图4为平面AOC与平面XOY的空间关系示意图；

图5为世界坐标系与磁体坐标系OXYZ的空间关系示意图；

图6为本发明方法的总体实现框图。

具体实施方式

以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。

本发明提出的一种圆环磁体的近场磁定位方法，其总体实现框图如图6所示，其包括以下步骤：

①构建磁体坐标系OXYZ，然后在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型，再利用圆环磁体磁场分布积分模型获取圆环磁体在平面YOZ(轴向对称面)上的空间点处产生的磁通量密度向量，具体过程为：

①_1、以圆环磁体的中心点为原点，且以圆环磁体的轴向对称轴为Z轴，构建得到磁体坐标系OXYZ。

①_2、在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型：

其中，表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量，μ₀表示圆环磁体的真空磁导率，μ_r表示圆环磁体的相对磁导率，M_T＝ρ_s×S，ρ_s表示圆环磁体的面密度，S表示圆环磁体的面积，为向量， 为向量，(x,y,z)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的任意一个空间点的坐标位置，(a₁,b₁,w)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体的轴向顶面上的任意一个小面积单元的中心点的坐标位置，(a₁,b₁,-w)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体的轴向底面上的任意一个小面积单元的中心点的坐标位置，R₁为的模，R₂为的模，符号“| |”为向量取模符号，θ为积分变量。

在本实施例中，将圆环磁体的轴向顶面和轴向底面均分成16个小面积单元，且轴向顶面上的小面积单元和轴向底面上的小面积单元一一对应。

图2给出了圆环磁体磁场分布积分模型的示意图。

①_3、将磁体坐标系OXYZ的X轴上的坐标固定为0；由于圆环磁体的轴对称性，其磁通量密度分布相对圆环磁体的中心点沿圆环磁体的轴对称，因此在空间点处产生的磁通量密度向量按照二维分布特性计算，即然后利用现有的数值计算方法，对圆环磁体磁场分布积分模型进行处理，得到圆环磁体在平面YOZ(轴向对称面)上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的磁通量密度向量，记为 其中，表示圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示任一个三维坐标系的Y轴的单位方向向量，表示任一个三维坐标系的Z轴的单位方向向量。

图3给出了圆环磁体在平面YOZ(轴向对称面)上的空间点处产生的磁通量密度分布图。

②计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量的值，具体过程为：

②_1、将描述为其中，表示在X轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示任一个三维坐标系的X轴的单位方向向量，表示在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小。

②_2、设定在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的一个空间点A的坐标位置为(x_A,y_A,z_A)，设定在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的另一个空间点C位于平面XOY上，并使平面AOC与平面XOY相互垂直。图4给出了平面AOC与平面XOY的空间关系。

②_3、由于圆环磁体的磁通量密度绕Z轴对称，可知圆环磁体在A点处产生的磁通量密度向量位于平面AOC上，且在平面AOC的垂直方向上没有磁通量，因此可在磁体坐标系OXYZ中，将圆环磁体在A点处产生的磁通量密度向量分解为其中，表示在引入的R轴方向上的磁通量密度分量，表示在Z轴方向上的磁通量密度分量，引入的R轴的方向向量为

②_4、计算的模，记为 其中，表示圆环磁体在平面AOC上坐标位置为(r,z_A)的空间点处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小， 的值的获取为将(r,z_A)代入中得到；并计算的模，记为 其中，表示圆环磁体在平面AOC上坐标位置为(r,z_A)的空间点处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，的值的获取为将(r,z_A)代入中得到。

②_5、计算 并计算 计算 然后将和对应表示为f_X(x,y,z)、f_Y(x,y,z)和f_Z(x,y,z)，即和

②_6、根据计算得到的和获得

③利用现有的磁偶极子磁通量密度分布模型，计算在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数各自的初步值，具体过程为：

③_1、在世界坐标系中，在圆环磁体周围的N个空间点上各布置1个磁传感器，将第t个磁传感器在世界坐标系中的坐标位置记为(x_t,y_t,z_t)，其中，N≥5，如具体实施时取N＝5，1≤t≤N；然后计算在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的磁通量密度向量，将在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的磁通量密度向量记为 其中，表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小，

表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，

表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，

B_T表示圆环磁体的磁体常数，且δ为与圆环磁体的材料和体积有关的常量，R_t表示圆环磁体的中心点与第t个磁传感器之间的距离，(a,b,c)表示在世界坐标系中圆环磁体的中心点的坐标位置，(m,n,p)表示在世界坐标系中圆环磁体的磁矩方向的单位向量。

③_2、测量在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值，将在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值对应记为B_X,_t、B_Y,t和B_Z,t。

③_3、获取在世界坐标系中圆环磁体在所有磁传感器处产生的磁通量密度分量的大小的实际值与计算值之间的目标误差函数，记为ΔB，其中，符号“|| ||₂”为求矩阵的2范数符号。

③_4、利用现有的非线性优化算法(Levenberg-Marquardt)使ΔB最小，求得在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的初步值，对应记为

④根据在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的初步值在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，再获取在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的最终值，具体过程为：

④_1、在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，磁体坐标系OXYZ的原点位于世界坐标系中的坐标位置处，磁体坐标系OXYZ的Z轴方向的向量与相同。

图5给出了世界坐标系与磁体坐标系OXYZ的空间关系。

④_2、计算从世界坐标系的Z轴到磁体坐标系OXYZ的Z轴的旋转角，记为γ，然后根据γ计算坐标轴旋转的四元数，记为 接着根据坐标轴旋转的四元数计算旋转矩阵，记为R，其中，arccos()为求反余弦函数。

④_3、计算每个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置，将第t个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置记为(x'_t,y'_t,z'_t)，其中，R^-1为R的逆。

④_4、根据每个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置，计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，将在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小对应记为和

④_5、根据在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，得到在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的磁通量密度向量，在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的磁通量密度向量为其中，为的转置。

④_6、重新获取在世界坐标系中，圆环磁体在所有磁传感器处产生的磁通量密度分量的大小的实际值与计算值之间的目标误差函数，记为ΔB'，

④_7、利用现有的非线性优化算法(Levenberg-Marquardt)使ΔB'最小，求得在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的最终值，对应记为

为了验证本发明方法构建的圆环磁体磁场分布积分模型的准确性，通过实验进行验证。将圆环磁体的轴向顶面和轴向底面均分成16个小面积单元，通过现有的数值计算方法得到圆环磁体的磁通量密度向量的大小，同时利用磁传感器测量圆环磁体在空间点处产生的磁通量密度向量的大小，实验结果证明两者在近场范围内大小很相近，说明计算结果是可靠的。

为了考察圆环磁体磁场分布积分模型和现有的磁偶极子磁通量密度分布模型的差别，设置圆环磁体为中心，分别沿着不同半径r的圆周线(r表示空间点距离圆环磁体的中心点的距离，以r＝20mm和r＝15mm，圆环磁体的轴向长度为16mm为例)，考察圆环磁体磁场分布积分模型和现有的磁偶极子磁通量密度分布模型的差别。计算两种模型的相对的百分比误差ΔR_B，其中，N1为圆环磁体的轴向顶面或轴向底面上小单元的总数，N1＝16，B_Ij表示利用本发明方法计算得到的圆环磁体的磁通量密度数值，B_Dj表示利用现有的磁偶极子磁通量密度分布模型计算得到的圆环磁体的磁通量密度数值。在实验过程中观测到误差随着距离增大而很快降低，特别地，当空间点与圆环磁体的中心点的距离和圆环磁体的主轴长度相同时，误差为14.92％；当空间点与圆环磁体的中心点的距离为3倍圆环磁体的主轴长度以上时，误差为0.61％，结果与磁偶极子磁通量密度分布模型较接近。充分说明了本发明方法对于近场定位的有效性。

Claims (1)

1.一种圆环磁体的近场磁定位方法，其特征在于包括以下步骤：

①构建磁体坐标系OXYZ，然后在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型，再利用圆环磁体磁场分布积分模型获取圆环磁体在平面YOZ上的空间点处产生的磁通量密度向量，具体过程为：

①_1、以圆环磁体的中心点为原点，且以圆环磁体的轴向对称轴为Z轴，构建得到磁体坐标系OXYZ；

①_2、在磁体坐标系OXYZ中构建圆环磁体磁场分布积分模型：

其中，表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量，μ₀表示圆环磁体的真空磁导率，μ_r表示圆环磁体的相对磁导率，M_T＝ρ_s×S，ρ_s表示圆环磁体的面密度，S表示圆环磁体的面积，为向量， 为向量，(x,y,z)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的任意一个空间点的坐标位置，(a₁,b₁,w)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体的轴向顶面上的任意一个小面积单元的中心点的坐标位置，(a₁,b₁,-w)表示在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体的轴向底面上的任意一个小面积单元的中心点的坐标位置，R₁为的模，R₂为的模，符号“||”为向量取模符号，θ为积分变量；

①_3、将磁体坐标系OXYZ的X轴上的坐标固定为0；然后利用数值计算方法，对圆环磁体磁场分布积分模型进行处理，得到圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的磁通量密度向量，记为 其中，表示圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示圆环磁体在平面YOZ上坐标位置为(y,z)的空间点处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示任一个三维坐标系的Y轴的单位方向向量，表示任一个三维坐标系的Z轴的单位方向向量；

②计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在其周围的任意一个空间点处产生的磁通量密度向量的值，具体过程为：

②_1、将描述为其中，表示在X轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示任一个三维坐标系的X轴的单位方向向量，表示在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，表示在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小；

②_2、设定在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的一个空间点A的坐标位置为(x_A,y_A,z_A)，设定在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体周围的另一个空间点C位于平面XOY上，并使平面AOC与平面XOY相互垂直；

②_3、在磁体坐标系OXYZ中，将圆环磁体在A点处产生的磁通量密度向量分解为其中，表示在引入的R轴方向上的磁通量密度分量，表示在Z轴方向上的磁通量密度分量，引入的R轴的方向向量为

②_4、计算的模，记为 其中，表示圆环磁体在平面AOC上坐标位置为(r,z_A)的空间点处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小，并计算的模，记为 其中，表示圆环磁体在平面AOC上坐标位置为(r,z_A)的空间点处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小；

②_5、计算 并计算 计算 然后将和对应表示为f_X(x,y,z)、f_Y(x,y,z)和f_Z(x,y,z)，

即和

②_6、根据计算得到的和获得

③利用磁偶极子磁通量密度分布模型，计算在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数各自的初步值，具体过程为：

③_1、在世界坐标系中，在圆环磁体周围的N个空间点上各布置1个磁传感器，将第t个磁传感器在世界坐标系中的坐标位置记为(x_t,y_t,z_t)，其中，N≥5，1≤t≤N；然后计算在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的磁通量密度向量，将在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的磁通量密度向量记为 其中，表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小， 表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小， 表示在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，

B_T表示圆环磁体的磁体常数，且δ为与圆环磁体的材料和体积有关的常量，R_t表示圆环磁体的中心点与第t个磁传感器之间的距离，(a,b,c)表示在世界坐标系中圆环磁体的中心点的坐标位置，(m,n,p)表示在世界坐标系中圆环磁体的磁矩方向的单位向量；

③_2、测量在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值，将在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小的实际值对应记为B_X,_t、B_Y,t和B_Z,t；

③_3、获取在世界坐标系中圆环磁体在所有磁传感器处产生的磁通量密度分量的大小的实际值与计算值之间的目标误差函数，记为ΔB，其中，符号“||||₂”为求矩阵的2范数符号；

③_4、利用非线性优化算法使ΔB最小，求得在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的初步值，对应记为

④根据在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的初步值在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，再获取在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的最终值，具体过程为：

④_1、在世界坐标系中构建磁体坐标系OXYZ，磁体坐标系OXYZ的原点位于世界坐标系中的坐标位置处，磁体坐标系OXYZ的Z轴方向的向量与相同；

④_2、计算从世界坐标系的Z轴到磁体坐标系OXYZ的Z轴的旋转角，记为γ，然后根据γ计算坐标轴旋转的四元数，记为 接着根据坐标轴旋转的四元数计算旋转矩阵，记为R，其中，arccos()为求反余弦函数；

④_3、计算每个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置，将第t个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置记为(x'_t,y'_t,z'_t)，其中，R^-1为R的逆；

④_4、根据每个磁传感器在磁体坐标系OXYZ中的坐标位置，计算在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，将在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小对应记为和

④_5、根据在磁体坐标系OXYZ中圆环磁体在每个磁传感器处产生的在X轴方向上的磁通量密度分量的大小、在Y轴方向上的磁通量密度分量的大小和在Z轴方向上的磁通量密度分量的大小，得到在世界坐标系中圆环磁体在每个磁传感器处产生的磁通量密度向量，在世界坐标系中圆环磁体在第t个磁传感器处产生的磁通量密度向量为其中，为的转置；

④_6、重新获取在世界坐标系中，圆环磁体在所有磁传感器处产生的磁通量密度分量的大小的实际值与计算值之间的目标误差函数，记为ΔB'，

④_7、利用非线性优化算法使ΔB'最小，求得在世界坐标系中圆环磁体的6个位姿参数a,b,c,m,n,p各自的最终值，对应记为