CN101046506B - 一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法，其特征在于：它包括计算空间偏移量，图像偏移量补偿校正和搜索校正参数三个步骤，其是根据磁感应强度的球谐函数，计算三维空间内的图像上每一个象素点的三维偏移量，并将该偏移量补偿到该象素点的图像坐标中。本发明根据实际图像反求磁共振校正参数，克服了梯度线圈设计参数与真实的磁场梯度参数之间存在差异的缺点；同时在反求磁场梯度参数的过程中，采取依次反求三个方向的磁场梯度参数的方法，提高了算法的收敛速度；另外本发明采用校正水模非均匀标志点分布方案，有效地提高了校正精度。本发明方法可以广泛用于磁共振图像引导下的手术治疗过程中，对病灶图像形成的梯度变形的校正中，使经本发明校正后的图像质量更加真实有效。

Description

一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法

技术领域

本发明涉及一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法。

背景技术

梯度场的非线性会引起图像的几何变形，在不同的磁共振成像设备上以及同样的磁共振成像设备而不同的视野(FOV)内图像的几何变形是不同的。针对梯度场非线性的图像校正对提高磁共振图像导航手术的精度和多磁共振之间图像研究的可行性研究是必要的。磁共振图像梯度变形校正的基本过程是先通过某种方法求出磁共振成像设备成像空间内有限个控制点的位置偏移量，接下来计算待校正图像的每一个象素在磁共振成像设备成像空间内的坐标，通过插值方法根据每一个象素点的坐标计算该象素的空间偏移量，根据磁共振成像设备坐标系与图像坐标系的转换关系，将该象素的空间偏移量换算为图像坐标系内的偏移量，将该偏移量补偿到该象素的图像坐标，即完成了磁共振图像梯度变形校正过程。计算磁共振成像空间内控制点的位置偏移量的方法可以分为两种：第一种是使用三维立体水模，三维立体水模提供了三维空间内的控制点，通过对立体水模的磁共振图像内控制点的分析，可以得到有限空间内控制点上的图像变形量，根据磁共振成像设备坐标系与图像坐标系的转换关系，将该象素的图像坐标系内的偏移量换算为空间偏移量。另一种方法是应用磁场的描述函数-球谐函数计算成像空间内有限个控制点的偏移量。由于第一种方法依赖于三维水模，实施成本远高于第二种方法。而且需要对三维水模多次成像和分析才能获得控制点的位置偏移量，所以实施的效率很低。第二种方法在应用球谐函数进行计算之前，首先要给出球谐函数内的相关校正参数。哈佛大学的研究人员Jorge Jovicich，Silvester Czanner提供了第二种校正方法以及程序，论文题目为Reliability in Multi-SiteStructural MRI Studies：Effects of Gradient Non-linearity Correction onPhantom and Human Data，NeuroImage(in press)(多点结构性磁共振成像可靠性研究：梯度非线性校正在水模和人体图像中的效果，《神经图像》中文译文)。该方法是根据梯度线圈的设计参数计算用于图像校正的校正参数，但梯度线圈的设计参数只是图像变形的一个主要因素，并没有考虑其它因素对图像变形所产生的影响，所以实际的校正参数与设计参数仍存在一定差异。

发明内容

针对上述问题，本发明的主要目的在于提供一种针对特定的梯度线圈在图像空间内取有限的点精确计算校正参数，从而获取真实的磁场梯度参数的基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法。

为达到上述目的，本发明采取以下技术方案：一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法，其特征在于：它包括计算空间偏移量，图像偏移量补偿校正和搜索校正参数三个步骤，其是根据磁感应强度的球谐函数，计算三维空间内的图像上每一个象素点的三维偏移量，并将该偏移量补偿到该象素点的图像坐标中。

所述计算空间偏移量的步骤包括：

(a)使用公式(1)计算在球坐标系内磁共振系统的磁场强度B_{z(r，θ，φ)}

B_r(n，m)(r，θ，φ)＝rⁿ[a_v(n，m)cos(mφ)+b_v(n，m)sin(mφ)]×P_(n，m)(cosθ)    (1)

(b)得到磁场的梯度函数：

$G_{v\left(r\right)}\≡\frac{{\∂B}_{\mathrm{zv}\left(r\right)}}{\∂v}\≡\frac{{\∂B}_{\mathrm{zv}\left(r\right)}^L}{\∂v}+\frac{{\∂B}_{\mathrm{zv}\left(r\right)}^N}{\∂v}\≡G_v^L+G_{v\left(r\right)}^N---\left(2\right)$

B_zv(r) ^N是可以由球谐函数展开的高阶项计算的非线性部分，所以：

定义

其中：

根据磁共振成像设备的成像空间选择计算区间，并在该区间内均匀分布控制点V_ci(x，y，z)，根据公式(4)计算每一个控制点的偏移量，并保存在控制点偏移量文件中。

所述图像偏移量补偿校正的步骤包括：

(a)将象素p_(u，v)的图像坐标(u，v)换算为成像空间内坐标(x，y，z)；

(b)根据控制点偏移量文件中所保存的与该象素相邻的8个控制点V_c(1-8)的偏移量η_c(1-8)使用插值算法计算该象素的空间偏移量η_p；

(c)将该象素的空间偏移量换算为图像坐标系内的偏移量σ_p；

(d)将偏移量补偿到该象素的图像坐标中。

所述搜索校正参数的步骤包括：

a)梯度场线性标定：在梯度磁场强度为线性函数的视野内，通过扫描已知尺寸的水模，求出物理尺寸与图像坐标尺寸的比例因子；

b)设置初始的系统参数C_f：设定X方向a_x(5，1)、a_x(3，1)初始参数C_xf；

c)计算空间位置偏移量η_x：将设定的初始参数C_xf带入公式

中，计算出空间位置偏移量η_x，并存入偏移量查找表；

d)将梯度校正水模放置在磁场的中心附近，并保证水模圆柱的行的方向与X方向一致，列方向与Y或Z方向一致；

e)设置磁共振仪器的扫描参数，在步骤d)的放置状态下，在x，y平面内设置扫描的层，图像中心位于磁场中心，视野为希望被校正的范围，并得到梯度校正水模磁共振原始图像Mo；

f)使用图像偏移量补偿校正模块对原始图像校正，得到校正后的水模图像Mc；

g)取包含x轴上的标志点p_1，2，3…的图像进行处理，采用重心法计算每一个标志点的图像坐标Mi；

h)根据步骤a)求出的比例因子计算标志点p_1，2，3…对应的世界坐标Xi；

i)计算标志点p_1，2，3…的位置误差平方和S；

j)判断S是否满足要求或迭代次数n是否超过设定值，如果“是”则退出迭代，以当前系统参数值为程序输出；如果“否”则改变初值继续进行搜索。

所述步骤e)中磁共振仪器的扫描参数包括视野、扫描方向，图像中心的位置。

所述校正水模按照磁场梯度变化的规律采用不等间距的标志点分布和尺寸不同的标志点，标志点间距和尺寸的计算方法如下：

根据公式(3)以及a_x(n，m)、b_x(n，m)的估计值：

a_x(3，1)＝10^-4，a_x(5，1)＝10^-7

可以写出v_{(x，y＝0，z＝0)}处的梯度场磁感应强度B_z的5阶展开：

$B_{\mathrm{zX}}\left(v\right)=x-\frac{3}{2}*{10}^{-4}*x^3+\frac{3}{16}*{10}^{-6}*x^5$

v_{(x，y＝0，z＝0)}处的梯度为：

$G_X\left(v\right)=1-\frac{9}{2}*{10}^{-4}*x^2+\frac{3}{32}*{10}^{-5}*x^4$

假设磁场中心的标志点间距为l₀，标志点的直径为d₀。那么的v_{(x，y＝0，z＝0)}点处的标志点间距为：

$l=\frac{l_0}{G};$

v_{(x，y＝0，z＝0)}点处的标志点直径为：

$d=\frac{d_0}{G_X\left(v\right)}$

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明根据实际图像反求磁共振校正参数，克服了梯度线圈设计参数与真实的磁场梯度参数之间存在差异的缺点。2、本发明在反求磁场梯度参数的过程中，采取依次反求三个方向的磁场梯度参数的方法，提高了算法的收敛速度。3、本发明采用校正水模非均匀标志点分布方案，有效地提高了校正精度。本发明方法可以广泛用于磁共振图像引导下的手术治疗过程中，对病灶图像形成的梯度变形的校正中，使经本发明校正后的图像质量更加真实有效。

附图说明

图1是本发明构成原理示意图

图2是本发明水模结构示意图

图3是图2的侧视剖视示意图

图4是本发明X轴上的磁场梯度在±30cm内的变化规律示意图

图5是本发明等间距标志点的图像变化示意图

图6是按照标志点的间距和直径计算公式设计的水模标志点示意图

图7是本发明的流程图

图8是放置水模的一实施方式示意图

图9是梯度校正水模磁共振原始图像Mo

图10是本发明实施例校正后的水模图像

图11是本发明包含x轴上的标志点p_1，2，3…示意图

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

本发明所提供的基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法，是根据磁感应强度的球谐函数，计算三维空间内的图像上每一个象素点的三维偏移量，并将该偏移量补偿到该象素点的图像坐标中。

如图1所示，本发明包括计算空间偏移量、图像偏移量补偿校正和搜索校正参数三部份。

1、计算空间偏移量的步骤如下：

(a)磁共振系统的磁场强度B_{z(r，θ，φ)}在球坐标系内可以使用公式1表示。

B_r(n，m)(r，θ，φ)＝rⁿ[a_v(n，m)cos(mφ)+b_v(n，m)sin(mφ)]×P_(n，m)(cosθ)    (1)

其中B_r(n，m)(r，θ，φ)是B_z的球谐函数展开后第n阶m级项。a_v(n，m)、b_v(n，m)是常数，a_v(n，m)、b_v(n，m)是v方向n阶m级展开项的系数，是磁场非线性梯度的固有特性。r为所求点到球心的距离。P_(n，m)(cosθ)为勒让德多项式。有限项B_r(n，m)(r，θ，φ)之和就可以近似给出磁场强度B_{z(r，θ，φ)}。

(b)在建立了B_{z(r，θ，φ)}的表达式之后，就可以得到磁场的梯度函数：

$G_{v\left(r\right)}\≡\frac{{\∂B}_{\mathrm{zv}\left(r\right)}}{\∂v}\≡\frac{{\∂B}_{\mathrm{zv}\left(r\right)}^L}{\∂v}+\frac{{\∂B}_{\mathrm{zv}\left(r\right)}^N}{\∂v}\≡G_v^L+G_{v\left(r\right)}^N---\left(2\right)$

其中v表示笛卡儿坐标系内的(x，y或z)方向，B_zv(r)是梯度场的总强度，B_zv(r) ^L是梯度场线性部分，即球谐函数展开的一阶项，B_zv(r) ^N是可以由球谐函数展开的高阶项计算的非线性部分，所以：

定义

其中：

公式(4)描述了笛卡儿坐标系内v(x，y或z)方向上梯度的非线性程度，可以用于计算笛卡儿空间内点V(x，y，z)的坐标偏移量，可以根据磁共振成像设备的成像空间选择合适大小的计算区间(一般能够覆盖MRI在扫描过程中所使用的所有成像空间的最小体积，例如扫描人体最大的体积也就是0.6m×0.6m×0.6m)，并在该区间内均匀分布控制点V_ci(x，y，z)，根据公式(4)计算每一个控制点的偏移量，并保存在控制点偏移量文件中。

2、偏移量补偿校正的步骤如下：

对待校正图像进行校正由图像偏移量补偿校正实现，是在图像坐标系中通过改变每一个象素的图像坐标完成的，所以针对每一个象素的图像校正的过程，即：

(a)首先将象素p_(u，v)的图像坐标(u，v)换算为成像空间内坐标(x，y，z)；

(b)再根据控制点偏移量文件中所保存的与该象素相邻的8个控制点V_c(1-8)的偏移量η_c(1-8)使用插值算法计算该象素的空间偏移量η_p；

(c)再次将该象素的空间偏移量换算为图像坐标系内的偏移量σ_p；

(d)最后将偏移量补偿到该象素的图像坐标。具体公式描述如下：

假设在磁共振成像空间内待校正图像的行对应的向量为v_r，列对应的向量为v_c。第一个象素点为P_0(u0，v0)，其磁共振空间坐标为V₀，图像的分辨率为Res，图像的视野为Fov。则任意象素p_i(u，v)的磁共振空间坐标为V_i。

$V_{i(x_i,y_i,z_i)}=V_0+((u-u_0)*v_r+(v-v_0)*v_c)*\frac{\mathrm{Fov}}{\mathrm{Res}}---\left(5\right)$

假设与该象素相邻的8个控制点的偏移量分别为：

η_{(x0，y0，z0)}，η_{(x0，y0，z0+1)}，η_{(x0，y0+1，z0)}，η_{(x0+1，y0，z0)}，η_{(x0，y0+1，z0+1)}，η_{(x0+1，y0+1，z0)}，η_{(x0+1，y0，z0+1)}，η_{(x0+1，y0+1，z0+1)}。

则V_{i(xi，yi，zi)}的偏移量可以表示为：

${\mathrm{\η}}_{i(x_i,y_i,z_i)}={\mathrm{\η}}_{(x_0,y_0,z_0)}*(x_0+1-x_i)*(y_0+1-y_i)*(z_0+1-z_i)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0+1,y_0,z_0)}*(x_i-x_0)*(y_0+1-y_i)*(z_0+1-z_i)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0,y_0+1,z_0)}*(x_0+1-x_i)*(y_i-y_0)*(z_0+1-z_i)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0,y_0,z_0+1)}*(x_0+1-x_i)*(y_0+1-y_i)*(z_i-z_0)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0+1,y_0,z_0+1)}*(x_i-x_0)*(y_0+1-y_i)*(z_i-z_0)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0,y_0+1,z_0+1)}*(x_0+1-x_i)*(y_i-y_0)*(z_i-z_0)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0+1,y_0+1,z_0)}*(x_i-x_0)*(y_i-y_0)*(z_0+1-z_i)$

$+{\mathrm{\η}}_{(x_0+1,y_0+1,z_0+1)}*(x_i-x_0)*(y_i-y_0)*(z_i-z_0)---\left(6\right)$

将该象素的空间偏移量η_{i(xi，yi，zi)}换算为图像坐标系内的偏移量σ_p(u，v)。

σ_p(u，v)＝(Δu，Δv)

$\mathrm{\Δu}={\mathrm{\η}}_{i(x_i,y_i,z_i)}\·v_r*\frac{\mathrm{Res}}{\mathrm{Fov}}$

$\mathrm{\Δv}={\mathrm{\η}}_{i(x_i,y_i,z_i)}\·v_c*\frac{\mathrm{Res}}{\mathrm{Fov}}---\left(7\right)$

将偏移量补偿到该象素的图像坐标，该象素新的图像坐标(u′，v′)。

u′＝u+Δu；

V′＝v+Δv；                                         (8)

对待校正图像内的每一个象素进行以上操作，就可以完成整幅图像的校正。

3、搜索校正参数

搜索校正参数模块通过多次分析梯度校正水模的磁共振图像获得校正参数，下面介绍水模的设计方法和搜索校正参数的步骤，出于精度和计算量的考虑梯度场的计算均以5阶展开。

(1)梯度校正水模

如图2、图3所示，梯度校正水模是用于梯度校正的工具，它既用于搜索系统参数，也用于测量校正后的误差。梯度校正水模为一个方形的盒体1，在盒体1内设置按照不等间距方阵的方式排列成方阵的圆柱2，圆柱2内充满硫酸铜溶液，可以在磁共振成像设备中成像。梯度校正水模中的圆柱2是按照公式(2)表达的梯度分布规律进行排列的，圆柱2作为水模内的标志点，可以更精确地计算出梯度分布的参数值。

如图4所示，显示了圆柱2在X轴上的磁场梯度在±30cm内的变化规律，由于磁场梯度的非线性，以X方向标志点为例，如果标志点为等间距的，则随着X坐标越大，相邻标志点间的图像X坐标差值先变大，之后急剧变小(如图5所示)。所以为了保证标志点的图像坐标计算精度，本发明按照磁场梯度变化的规律采用不等间距的标志点分布和尺寸不同的标志点。下面以X方向为例给出标志点间距和尺寸的计算方法：

根据公式(3)以及a_x(n，m)、b_x(n，m)的估计值：

a_x(3，1)＝10^-4，a_x(5，1)＝10^-7，

可以写出v_{(x，y＝0，z＝0)}处的梯度场磁感应强度B_z的5阶展开：

$B_{\mathrm{zX}}\left(v\right)=x-\frac{3}{2}*{10}^{-4}*x^3+\frac{3}{16}*{10}^{-6}*x^5$

v_{(x，y＝0，z＝0)}处的梯度为：

$G_X\left(v\right)=1-\frac{9}{2}*{10}^{-4}*x^2+\frac{3}{32}*{10}^{-5}*x^4$

假设磁场中心的标志点间距为l₀，标志点的直径为d₀。那么的v_{(x，y＝0，z＝0)}点处的标志点间距为：

$l=\frac{l_0}{G};$

v_{(x，y＝0，z＝0)}点处的标志点直径为：

$d=\frac{d_0}{G_X\left(v\right)}$

同样可以根据公式(3)以及a_z(n，m)、b_z(n，m)的估计值得出梯度场磁感应梯度在z轴方向上的表达式G_Z。进而根据G_Z计算标志点在平面水模另一个方向的点距以及标志点尺寸。一般来讲磁共振的梯度场x，y方向的设计参数基本相同，所以x、y方向仅计算一个即可，一个典型的梯度校正用平面水模可以使用x，z方向的分布数据制作。

按照标志点的间距和直径计算公式重新设计本发明水模(如图6所示)。

(2)搜索校正参数的步骤如下：

校正参数搜索模块需要分三次分别搜索X、Y和Z方向的校正参数，下面仅以X方向校正参数搜索为例介绍实施步骤(如图7所示)：

a)梯度场线性标定：假设在5cm的视野内，梯度磁场强度为线性函数，通过扫描已知尺寸的水模，求出物理尺寸与图像坐标的比例因子；

b)设置初始的系统参数C_f：设定X方向a_x(5，1)、a_x(3，1)初始参数C_xf：

c)计算空间位置偏移量η_x：将设定的初始参数C_xf带入公式

中，计算出空间位置偏移量η_x，并存入偏移量查找表。

d)将梯度校正水模放置在磁场的中心附近，并保证水模圆柱的行的方向与X方向一致，列方向与Y或Z方向一致(如图8所示)。

e)设置磁共振仪器的扫描参数，包括视野、扫描方向，图像中心的位置，设置扫描的层(slice)在x，y平面内，图像中心位于磁场中心，视野为希望被校正的范围，并可得到梯度校正水模磁共振原始图像Mo(如图9所示)。

f)使用图像偏移量补偿校正模块对原始图像校正，得到校正后的水模图像Mc(如图10所示)。

g)取包含X轴上的标志点p_1，2，3…的图像(如图11所示)进行处理，采用重心法计算每一个标志点的图像坐标Mi。

h)根据步骤a)求出的比例因子计算标志点p_1，2，3…对应的世界坐标Xi。

i)计算标志点p_1，2，3…的位置误差平方和S。

j)判断S是否满足要求或迭代次数n是否超过设定值，如果“是”则退出迭代，以当前系统参数值为程序输出；如果“否”则改变初值继续进行搜索。

采用上述校正方法，在梯度线圈视野为5cm内，梯度能够保证线性度误差在4‰左右。

Claims (3)

1.一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法，其特征在于：它包括计算空间偏移量，图像偏移量补偿校正和搜索校正参数三个步骤，其是根据磁感应强度的球谐函数，计算三维空间内的图像上每一个象素点的三维偏移量，并将该偏移量补偿到该象素点的图像坐标中；其中：

所述计算空间偏移量的步骤包括：

(a)使用公式(1)计算在球坐标系内磁共振系统的磁场强度

其中

是B_z的球谐函数展开后第n阶m级项，a_v(n，m)、b_v(n，m)是常数，a_v(n，m)、b_v(n，m)是v方向n阶m级展开项的系数，是磁场非线性梯度的固有特性，r为所求点到球心的距离，P_(n，m)(cosθ)为勒让德多项式，有限项

之和近似给出磁场强度

(b)得到磁场的梯度函数：

$G_{v\left(r\right)}\≡\frac{\∂B_{\mathrm{zv}\left(r\right)}}{\∂v}\≡\frac{\∂B_{\mathrm{zv}\left(r\right)}^L}{\∂v}+\frac{\∂B_{\mathrm{zv}\left(r\right)}^N}{\∂v}\≡G_v^L+G_{v\left(r\right)}^N---\left(2\right)$

其中v表示笛卡儿坐标系内的(x，y或z)方向，B_zv(r)是梯度场的总强度，

是梯度场线性部分，即球谐函数展开的一阶项，是由球谐函数展开的高阶项计算的非线性部分，所以：

定义

其中：

根据磁共振成像设备的成像空间选择计算区间，并在该区间内均匀分布控制点V_ci(x，y，z)，根据公式(4)计算每一个控制点的偏移量，并保存在控制点偏移量文件中；

所述图像偏移量补偿校正的步骤包括：

(a)将象素p_(u，v)的图像坐标(u，v)换算为成像空间内坐标(x，y，z)；

(b)根据控制点偏移量文件中所保存的与该象素相邻的8个控制点V_c(1-8)的偏移量η_c(1-8)使用插值算法计算该象素的空间偏移量η_p；

(c)将该象素的空间偏移量换算为图像坐标系内的偏移量σ_p；

(d)将偏移量补偿到该象素的图像坐标中；

所述搜索校正参数的步骤包括：

a)梯度场线性标定：在梯度磁场强度为线性函数的视野内，通过扫描已知尺寸的水模，求出物理尺寸与图像坐标尺寸的比例因子；

b)设置初始的系统参数C_f：设定X方向a_x(5，1)、a_x(3，1)初始参数C_xf；

c)计算空间位置偏移量η_x：将设定的初始参数C_xf带入公式

中，计算出空间位置偏移量η_x，并存入偏移量查找表；

d)将梯度校正水模放置在磁场的中心附近，并保证水模圆柱的行的方向与X方向一致，列方向与Y或Z方向一致；

e)设置磁共振仪器的扫描参数，在步骤d)的放置状态下，在x，y平面内设置扫描的层，图像中心位于磁场中心，视野为希望被校正的范围，并得到梯度校正水模磁共振原始图像Mo；

f)使用图像偏移量补偿校正模块对原始图像校正，得到校正后的水模图像Mc；

g)取包含x轴上的标志点p_1，2，3…的图像进行处理，采用重心法计算每一个标志点的图像坐标Mi；

h)根据步骤a)求出的比例因子计算标志点p_1，2，3…对应的世界坐标Xi；

i)计算标志点p_1，2，3…的位置误差平方和S；

j)判断S是否满足要求或迭代次数n是否超过设定值，如果“是”则退出迭代，以当前系统参数值为程序输出；如果“否”则改变初值继续进行搜索。

2.如权利要求1所述的一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法，其特征在于：所述步骤e)中磁共振仪器的扫描参数包括视野、扫描方向，图像中心的位置。

3.如权利要求1所述的一种基于球谐函数的磁共振图像梯度变形校正方法，其特征在于：所述梯度校正水模按照磁场梯度变化的规律采用不等间距的标志点分布和尺寸不同的标志点，标志点间距和尺寸的计算方法如下：

根据公式(3)以及a_x(n，m)、b_x(n，m)的估计值：

a_x(3，1)＝10^-4，a_x(5，1)＝10^-7

写出v_{(x，y＝0，z＝0)}处的梯度场磁感应强度B_z的5阶展开：

$B_{\mathrm{zX}}\left(v\right)=x-\frac{3}{2}*{10}^{-4}*x^3+\frac{3}{16}*{10}^{-6}*x^5$

v_{(x，y＝0，z＝0)}处的梯度为：

$G_X\left(v\right)=1-\frac{9}{2}*{10}^{-4}*x^2+\frac{3}{32}*{10}^{-5}*x^4$

假设磁场中心的标志点间距为l₀，标志点的直径为d₀，那么，v_{(x，y＝0，z＝0)}点处的标志点间距为：

$l=\frac{l_0}{G};$

v_{(x，y＝0，z＝0)}点处的标志点直径为：

$d=\frac{d_0}{G_X\left(v\right)}.$

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