CN106508038B - 基于误判率的航天器轨迹安全准则研究方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于误判率的航天器轨迹安全准则研究方法。该方法具体包括：(1)通过轨迹安全问题的一般模型建立起轨迹安全问题的安全集和非安全集；(2)通过安全集和非安全集的概念建立起误判率；(3)利用误判率来对轨迹安全准则做出修改。该方法能够有效解决轨迹安全问题中的概率冲淡现象，并且能够在一定程度上解决概率密度函数边缘处偏差较大的问题，它为轨迹安全问题的判定准则提供了一套判定和改进方法，使得判定准则能更加真实的反应实际的碰撞情况。

Description

基于误判率的航天器轨迹安全准则研究方法

技术领域

本发明涉及一个可以用来制定航天器轨迹安全准则的新概念——误判率。

背景技术

轨迹安全问题是航天器运动控制的一个重要问题，它关注的是如何保证飞行器不与其他飞行物体发生碰撞，以确保飞行器的安全。

轨迹安全问题的核心是选取合适的轨迹安全准则，轨迹安全准则的选取有很多种不同的方式，其中一类重要的类型是基于概率理论特别是碰撞概率的安全准则。基于碰撞概率的安全准则存在一个重大的问题：当测量误差很大时，将会出现概率冲淡现象。概率冲淡现象是指，在位置误差远大于两飞行器的最接近距离时，计算得到的碰撞概率值会很小，虽然在数学上是正确的，但这种碰撞概率不足以产生有意义的结果。这种被冲淡的概率，往往会掩盖真实的碰撞，导致做出错误的判断，使航天器蒙受损失。

此外轨迹安全问题研究中的一个隐含的问题是过多地强调碰撞概率，而在一定程度上忽视了轨迹控制的目标是安全而非碰撞，这与动能拦截问题有着本质的区别。在轨迹安全问题中，碰撞永远是小概率的，边缘的，常用的中心概率模型的适用性要大打折扣。因此碰撞概率并不一定是轨迹安全问题中的最佳概率指标。

以上两个问题可以用数学语言表达如下：

1、概率冲淡现象

下述式子表示某一物体的碰撞概率：

其中表示物体的空间坐标，表示以坐标为自变量的概率密度函数，其中σ是测量方差(或协方差矩阵)，它是影响概率密度函数的一个重要的参数，Ω表示包络体所占的空间区域，概率密度函数在空间域内的积分就是碰撞概率P(Ω，σ)。

设包络体Ω距原点最近的点为当时，将有

P(Ω，σ)＜ε＜P_cr (2)

其中P_cr表示碰撞概率准则中的机动预警门限值，当碰撞概率高于此门限时，航天器将会执行规避机动，反之，航天器将不执行机动，沿当前轨迹继续运动。

随着σ的增大(或随主对角元的增大)，P(Ω，σ)会不断的减小，也就是说过大的测量误差掩盖了可能会发生的碰撞，这就是概率冲淡现象带来的问题。

2、边缘概率问题

假设真实的概率密度函数为人为假定的概率密度函数为二者的相对偏差为

随着偏离概率密度函数中心，二者的相对偏差呈现增大的趋势，也就是说，边缘处的概率已经难以正确的反应真实碰撞概率了，碰撞概率方法在边缘处已大打折扣。

发明内容

本发明的目的是为制定航天器的轨迹安全准则提供一种可信度更强的方法。

本发明的技术方案为：该方法具体包括：

(1)通过轨迹安全问题的一般模型建立起轨迹安全问题的安全集和非安全集；

(2)通过安全集和非安全集的概念建立起误判率；

(3)利用误判率来对轨迹安全准则做出修改。

本发明建立了误判率的概念，它能够有效解决轨迹安全问题中的概率冲淡现象，并且能够在一定程度上解决概率密度函数边缘处偏差较大的问题，它为轨迹安全问题的判定准则提供了一套判定和改进方法，使得判定准则能更加真实的反应实际的碰撞情况。

首先，从轨迹安全的一般模型开始，借助碰撞概率的方法对轨迹安全问题的估计过程进行描述，建立起安全集和非安全集的概念，其次在此基础上建立误判率的概念，最后给出误判率的使用方法。

两飞行器相对运动状态可用向量x(t)来代表，其动力学方程可以表示为

其中，u为控制向量，函数中h(x，u)隐含了地球引力及各种摄动力的作用。在无控情况下，以上方程可以简化为

设在观测时刻t₀，飞行器的相对运动真实状态为x₀，测量值为测量值具有随机性，测量偏差相对真实值的概率分布密度函数为设其均值为μ，协方差矩阵∑，协方差矩阵值的大小可以取其在某个方向的标准差σ来表征，这里称为特征标准差，即其中x为给定特征方向。函数通常难以精确得到，需要引入人为假设，给出近似的概率密度分布函数设其均值为μ^*，协方差矩阵Σ^*，特征标准差σ^*。即

式中，表示测量值样本，为避免记法复杂性，把随机变量和其样本用同一符号代表，后面不再详细说明。f^*(x-x₀)与f(x-x₀)相比，通常具有更大的方差或标准差

σ^*＞σ (7)

即采用保守估计的原则。

基于给定的测量样本可以引入对真实值x₀的估计由于测量的影响也具有随机性，设概率分布密度函数为已知的，则类似(6)式，其概率分布密度函数可以表示为

考虑自由运动的情况，由(5)式结合x₀，构成一个初值问题，可以解得真实运动状态演化方程

x(t)＝x(x₀，t₀，t) (9)

若由(5)式结合也可以类似地给出状态估计值的演化方程

由(10)式可以进一步导出的分布函数f^*随时间的演变关系，记为其对应的均值μ^*(t)，协方差矩阵Σ^*(t)。(10)式可以看作对(9)式的近似。

中包含了两个飞行器的相对位置信息，若是精细模型还会包含相对姿态信息，通过这种相对位形关系，可以对任意时刻飞行器的碰撞概率进行判断，记为P_c(t)，若考虑某一时间区间[a，b]内的总碰撞概率，可取碰撞概率最大值作为该估计状态的碰撞概率，记为P_c。显然，对于给定测量样本P_c(t)的值可以唯一确定，即

根据状态演化方程，利用碰撞概率可以定义碰撞概率安全性判别式：

其中，P_cr为给定的临界概率。进一步可以给出安全性判断准则

根据安全件判断准则，可以把估计值分为两个集合，安全集和非安全集。安全集定义为所有判定为安全的状态集合，即非安全集定义为所有判定为非安全的状态集合，即至此，给出了安全集和非安全集的概念。由上式，可以进一步给出区间安全准则

其中，[a，b]为给定的时间区间，理想情况为[t₀，∞)。(13)式一般又可以近似处理为

其中，t_f为估计的可能碰撞时刻。t_f时刻对应的安全集和非安全集分别为Ω_s(t_f)和Ω_us(t_f)。

以上建立起了轨迹安全问题的安全集和非安全集的概念，下面将利用这个概念引出误判率的概念。

假设两飞行器的真实运动是会发生碰撞的，即真实值代表真实运动发生碰撞的状态集合。这时应用前面的概率安全准则，把准则误判的概率定义为误判率。也就是说，误判率是对真实碰撞事件安全性判断错误的概率。误判率可以表示为

当物体几何尺寸远小于特征标准差时，可以用对一个确定的碰撞事件的分析来近似表示总的误判率。即

至此给出了误判率的概念和基本表达式。事实上，(15)、(16)式不仅仅局限于碰撞概率准则上，只要是轨迹安全判定准则，均有发生误判的可能性，因此(15)、(16)式是对所有轨迹安全判定准则都通用的，也就是说误判率是针对所有判定准则来定义的。

下面将给出误判率在轨迹安全准则中的应用。

由于随机性的引入具有主观性，在轨迹安全评价任务中，前面定义的碰撞概率并不是实际任务真实的碰撞概率，而仅是一种估计，并不适合作为安全准则的参考指标。而把误判率控制到一定范围内是安全评价任务的实际要求。因此本发明提出基于误判率来构建轨迹安全准则的方法，这样就需要在(11)-(14)式基础上进行修正。

基于误判率的轨迹安全准则流程如下：

(1)把碰撞预警门限P_cr设为过程变量，这样(12)-(14)式给出的安全集就成为P_cr的函数，即有Ω_s(t_f)＝Ω_s(P_cr，t_f)；其中，t_f为估计的可能碰撞时刻；

(2)按照(15)、(16)式将误判率表示为P_w＝P_w(P_cr)；

(3)给定误判率阈值P_wcr，建立轨迹安全性判别方程

P_wcr-P_w(P_cr)＝0 (17)

(4)由上式方程可以求得P_cr；P_cr与测量随机模型有关，一旦f^*确定，P_cr即可以确定；其中，f^*为概率密度分布函数；

(5)求得P_cr后，将其带入(8)-(11)式，即可以对任意给定的测量事件的安全性进行判断。

考虑到航天器在轨运行的寿命成本，过多的机动次数会导致寿命下降，可以引入闭环回路：

(6)利用(5)的判断结果计算规避机动所消耗的燃料，如果燃料消耗大于一定值，使得此次机动带来的成本无法接受，则回到步骤(3)，重新制定误判率阈值，直至机动成本达到可以接受的范围。

本发明的优点在于：

1、通过制定误判率门限进而求解轨迹安全性判别方程来制定碰撞概率规避预警门限值，制定的预警门限将更加具有可信度，在该预警门限下发生误判的概率将会保持在一定的限度之下；

2、建立安全集和非安全集、误判率的概念，以及提出了误判率准则，能够对航天器的轨迹安全问题做出更加完整的定量描述；

3、通过建立轨迹安全性判别方程，规避预警门限值将与测量精度建立起函数关系，规避预警门限值将能够适应于搭载着不同测量精度的航天器的规避问题，从而解决了前面提及的概率冲淡问题；

4、在近似的情况下，误判率方法可以近似为工程中常用的nσ准则，说明该方法建立了概率方法与nσ方法的桥梁；

5、误判率方法与以往的方法有所不同，它研究问题的视角不是从给定测量的状态入手，而是从给定真实的碰撞状态入手进行研究，因此它能够在很大程度上消除由于测量而引入的主观不确定性。

附图说明

图1是利用误判率确定碰撞预警门限的流程图；

图2是加入了闭环回路的利用误判率确定碰撞预警门限的流程图；

具体实施方式

本发明的应用：

1高速相对运动情况下(例如卫星和空间碎片的相对运动)的航天器轨迹安全分析

建立碰撞概率的二维数学模型(线性)，二维情况下碰撞问题的安全集和非安全集，以及误判率门限和机动预警门限的轨迹安全性判别方程，从而确定碰撞规避预警门限，进而确定某一次相对运动的轨迹安全性。

2低速相对运动情况下(例如航天器的交会对接中近程段的相对运动)的航天器轨迹安全分析

建立碰撞概率的三维数学模型(非线性)，协方差矩阵随时间的变化关系，进而建立三维情况下碰撞问题的安全集和非安全集，以及误判率门限和机动预警门限的轨迹安全性判别方程，确定碰撞规避预警门限，进而确定非线性相对运动的轨迹安全性。

建立碰撞概率的数学模型中，需要对相遇条件进行判别，高速相对运动的情况下可以近似的简化为二维，低速相对运动的情况下只能用三维模型；关于飞行器空间位置的分布的概率密度函数，通常采用高斯分布的数学模型。

建立碰撞问题的安全集和非安全集中，在高速相对运动情况下，认为协方差矩阵是时不变的，因此安全集和非安全集也是确定的集合，对于这种情况得到的碰撞预警门限也是不随时间变化的，对于一次任务来说是确定的；在低速相对运动情况下，协方差矩阵是时变的，安全集和非安全集与测量的时刻密切相关，因此碰撞预警门限同时与测量时刻和协方差矩阵相关。

在确定误判率门限时，需要考虑到太低的门限值所带来的成本附加，在实际应用中可以考虑将误判率门限定制在百分之一的量级。

利用误判率来辅助制定航天器轨迹安全准则，可以有效的解决概率冲淡问题，使得碰撞概率准则可以更加灵活的适用于不同测量精度的航天器的轨迹安全问题的分析和判定，大大的降低了由于测量精度过差所带来的潜在的碰撞危险。

Claims (1)

1.基于误判率的航天器轨迹安全准则研究方法，其特征在于，该方法具体包括：

(1)通过轨迹安全问题的一般模型建立起轨迹安全问题的安全集和非安全集；

(2)通过安全集和非安全集的概念建立起误判率；

(3)利用误判率来对轨迹安全准则做出修改；

首先，从轨迹安全的一般模型开始，借助碰撞概率的方法对轨迹安全问题的估计过程进行描述，建立起安全集和非安全集的概念，其次在此基础上建立误判率的概念，最后给出误判率的使用方法；

两飞行器相对运动状态可用向量x(t)来代表，其动力学方程可以表示为

$\stackrel{\·}{x}=h(x,u)---\left(4\right)$

其中，u为控制向量，函数中h(x，u)隐含了地球引力及各种摄动力的作用。在无控情况下，以上方程可以简化为

$\stackrel{\·}{x}=h\left(x\right)---\left(5\right)$

设在观测时刻t₀，飞行器的相对运动真实状态为x₀，测量值为测量值具有随机性，测量偏差相对真实值的概率分布密度函数为设其均值为μ，协方差矩阵Σ，协方差矩阵值的大小可以取其在某个方向的标准差σ来表征，这里称为特征标准差，即其中x为给定特征方向，函数通常难以精确得到，需要引入人为假设，给出近似的概率密度分布函数设其均值为μ^*，协方差矩阵Σ^*，特征标准差σ^*，即

$p({\hat{x}}_0=x)=f^{*}(x-x_0)dx---\left(6\right)$

式中，表示测量值样本，把随机变量和其样本用同一符号代表，后面不再详细说明，f^*(x-x₀)与f(x-x₀)相比，通常具有更大的方差或标准差

σ^*＞σ (7)

即采用保守估计的原则，

基于给定的测量样本可以引入对真实值x₀的估计由于测量的影响也具有随机性，设概率分布密度函数为已知的，则类似(6)式，其概率分布密度函数可以表示为

$p({\tilde{x}}_0=x)=f^{*}({\hat{x}}_0-x)dx=f^{*}\[-(x-{\hat{x}}_0)\]dx---\left(8\right)$

考虑自由运动的情况，由(5)式结合x₀，构成一个初值问题，可以解得真实运动状态演化方程

x(t)＝x(x₀，t₀，t) (9)

若由(5)式结合也可以类似地给出状态估计值的演化方程

$\tilde{x}\left(t\right)=\tilde{x}({\tilde{x}}_0,t_0,t)=\tilde{x}({\hat{x}}_0,t_0,t)---\left(10\right)$

由(10)式可以进一步导出的分布函数随时间的演变关系，记为其对应的均值μ^*(t)，协方差矩阵Σ^*(t)，(10)式可以看作对(9)式的近似，

中包含了两个飞行器的相对位置信息，若是精细模型还会包含相对姿态信息，通过这种相对位形关系，可以对任意时刻飞行器的碰撞概率进行判断，记为P_c(t)，若考虑某一时间区间[a，b]内的总碰撞概率，可取碰撞概率最大值作为该估计状态的碰撞概率，记为P_c，显然，对于给定测量样本P_c(t)的值可以唯一确定，即

根据状态演化方程，利用碰撞概率可以定义碰撞概率安全性判别式：

$K({\hat{x}}_0,t_0,t)=P_{cr}-P_c({\hat{x}}_0,t_0,t)---\left(11\right)$

其中，P_cr为给定的临界概率，进一步可以给出安全性判断准则

根据安全性判断准则，可以把估计值分为两个集合，安全集和非安全集，安全集定义为所有判定为安全的状态集合，即非安全集定义为所有判定为非安全的状态集合，即由上式，可以进一步给出区间安全准则

其中，[a，b]为给定的时间区间，理想情况为[t₀，∞)，(13)式又近似处理为

$S({\hat{x}}_0,t_0,t)=s({\hat{x}}_0,t_0,t_f)---\left(14\right)$

其中，t_f为估计的可能碰撞时刻，t_f时刻对应的安全集和非安全集分别为Ω_s(t_f)和Ω_us(t_f)，

以上建立起了轨迹安全问题的安全集和非安全集的概念，下面将利用这个概念引出误判率的概念，

假设两飞行器的真实运动是会发生碰撞的，即真实值 代表真实运动发生碰撞的状态集合，这时应用前面的概率安全准则，把准则误判的概率定义为误判率，也就是说，误判率是对真实碰撞事件安全性判断错误的概率，误判率可以表示为

$P_w=\underset{x_0\∈{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{\mathrm{us}}\left(t_f\right)}{\max }p({\hat{x}}_0\∈{\mathrm{\Ω}}_s\left(t_f\right))---\left(15\right)$

当物体几何尺寸远小于特征标准差时，可以用对一个确定的碰撞事件的分析来近似表示总的误判率，即

$P_w\≈p({\hat{x}}_0\∈{\mathrm{\Ω}}_s(t_f),x_0\∈{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{us}(t_f\left)\right)---\left(16\right)$

至此给出了误判率的概念和基本表达式；

基于误判率的轨迹安全准则做出修改，流程如下：

步骤1、把碰撞预警门限P_cr设为过程变量，安全集就成为P_cr的函数，即有Ω_s(t_f)＝Ω_s(P_cr，t_f)；其中，t_f为估计的可能碰撞时刻；

步骤2、误判率表示为P_w＝P_w(P_cr)；

步骤3、给定误判率阈值P_wcr，建立轨迹安全性判别方程

P_wcr-P_w(P_cr)＝0

步骤4、由上式方程可以求得P_cr；P_cr与测量随机模型有关，一旦f^*确定，P_cr即可以确定；其中，f^*为概率密度分布函数；

步骤5、求得P_cr后，将其带入公式，可以对任意给定的测量事件的安全性进行判断；

考虑到航天器在轨运行的寿命成本，过多的机动次数会导致寿命下降，可以引入闭环回路：

步骤6、利用步骤5的判断结果计算规避机动所消耗的燃料，如果燃料消耗大于一定值，使得此次机动带来的成本无法接受，则回到步骤3，重新制定误判率阈值，直至机动成本达到可以接受的范围。