CN106447587A - 结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统 - Google Patents

Abstract

本发明属于信息安全和光信息处理技术领域，为实现主要从光学系统上解决加密图像为复数形式不便直接记录的问题，以及从密钥生成方法上解决密钥管理和传输的问题。本发明采用的技术方案是，结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，包括以下三个部分：(1)密钥生成部分：两块随机相位掩模密钥分别由Logistic和ICMIC混沌组成的混合混沌及Logistic和Chebyshev混沌组成的混合混沌生成；混合混沌的初值和控制参数替代两块随机相位掩模作为加密系统的主密钥；此外，物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的辅助密钥；(2)图像加密部分：(3)图像解密部分。本发明主要应用于信息安全和光信息处理。

Description

结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统

技术领域

本发明属于信息安全和光信息处理技术领域，涉及一种结合混合混沌和单帧数字全息技术的光学图像加密系统。

背景技术

数字图像作为当前最流行的多媒体形式之一，在政治、经济、军事、教育等领域有着广泛的应用。在互联网技术高度发达的今天，如何保护数字图像免遭篡改、非法复制和传播具有重要的实际意义。对图像加密技术的研究已成为当前信息安全领域的热点之一。由于光学信息处理技术具有高处理速度、高并行度、能快速实现卷积和相关运算等优点，近年来，利用光学方法进行数字图像加密引起了人们的极大兴趣(见文献[1])。在光学图像加密技术中，最具有代表性的是Javidi等提出的基于光学4f系统的双随机相位编码方法(见文献[2])。该技术开辟了光学图像加密的新领域，基于该技术诞生了一大批光学加密新方法和新技术(见综述文献[3])。然而，大多数基于双随机相位编码方法的光学图像加密技术中，存在如下问题：1)加密后的图像为复数形式，不便于直接记录(见文献[4])；2)系统的加密密钥为图像尺寸的随机相位掩膜，因此，密钥管理和传输不便(见文献[5])。

参考文献：

[1]O.Matoba,T.Nomura,E.Perez-Cabre,M.Millan,and B.Javidi,Opticaltechniques forinformation security,Proceedings of IEEE 2009,97:1128-1148

[2]P.Réfrégier and B.Javidi,Optical image encryption based on inputplaneand Fourier plane random encoding,Opt.Lett.,1995,20:767-769

[3]S.Liu,C.Guo,and J.T.Sheridan,A review of optical image encryptiontechniques,Optics&Laser Technology,2014,57:327-342

[4]W.Chen,B.Javidiand X.Chen,Advances in optical security systems,Advances in Optics and Photonics,2014,6:120-155

[5]L.Sui,K.Duan and J.Liang,Double-image encryption based on discretemultiple-parameter fractional angular transform and two-coupled logisticmaps,Opt.Commun.,2015,343:140-149。

发明内容

基于光学4f系统的双随机相位编码技术，以及基于该技术而发展起来的一系列光学图像加密技术，大都存在以下问题，即加密图像通常为复数形式，不便于直接记录；加密系统中密钥为图像尺寸的随机相位掩模，密钥不便管理和传输。针对上述技术问题，本发明提供了一种结合混合混沌和单帧数字全息技术的光学图像加密系统，主要从光学系统上解决加密图像为复数形式不便直接记录的问题，以及从密钥生成方法上解决密钥管理和传输的问题。本发明采用的技术方案是，结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，包括以下三个部分：

(1)密钥生成部分：

两块随机相位掩模密钥分别由Logistic和ICMIC混沌组成的混合混沌及Logistic和Chebyshev混沌组成的混合混沌生成；混合混沌的初值和控制参数替代两块随机相位掩模作为加密系统的主密钥；此外，物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的辅助密钥；

(2)图像加密部分：

在加密一幅特定的图像前，首先对两个混合混沌系统，设定合适的初值和控制参数；选择合适波长的光波作为物光波；设定合适的菲涅耳变换距离；然后，将待加密的图像紧贴在第一块混沌随机相位掩模的前侧，在物光波的照射下，进行距离为z1的菲涅耳变换，然后，经第二块混沌随机相位掩模调制后，进行距离为z2的菲涅耳变换；携带图像信息的物光波在CCD平面与参考光进行干涉，形成全息图并被CCD记录，该全息图形式的图像即为加密后的图像；

(3)图像解密部分：

当从全息图形式的加密图像中解密原始图像时，采用单帧数字全息技术将此问题作为一个约束优化问题来求解，将从该约束优化问题中求得的目标函数作为解密过程的输入图像，该输入图像被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制后进行距离为z2的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为z1的逆菲涅耳变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，就最终得到解密后的图像。

组成两个混合混沌系统的一维混沌系统分别为Logistic混沌、ICMIC混沌和Chebyshev混沌，这三个一维混沌系统的离散形式的数学表达式分别为：

x_n+1＝μx_n(1-x_n) (1)

x_n+1＝sin(a/x_n) (2)

x_n+1＝cos(w(cos^-1x_n)) (3)

其中，控制参数的取值范围分别为μ∈(3.56…,4]，a∈(0,∞)和w∈[2,∞)。

Logistic混沌和ICMIC混沌组成第一个混合混沌，用于生成第一块混沌随机相位掩模，第一个混合混沌的数学表达式为：

其中，x_n，y_n和x_n+1，y_n+1分别为混沌系统的输入值和迭代输出值；

Logistic混沌和Chebyshev混沌组成第二个混合混沌，用于生成第二块混沌随机相位掩模，第二个混合混沌的数学表达式为：

在这两个混合混沌中，给Logistic混沌赋一个合适的初值，Logistic混沌的迭代结果作为另一个混沌的初始值，另一个混沌再进行一定次数的迭代后，形成的随机数序列可用于生成混沌随机相位掩模。

对于两个混合混沌，其中的Logistic混沌的初始值设为x₁＝x₂＝0.3141，控制参数设为μ₁＝μ₂＝3.8956；ICMIC混沌的控制参数设为a＝12.5098，Chebyshev混沌的控制参数设为w＝4。假设要加密的图像的尺寸为M×N个像素，则两块混沌随机相位掩膜的尺寸也是M×N个像素。对于每个混合混沌，使其中的Logistic混沌迭代M×N次后，输出结果x_n+1作为另一个混沌的初始值。另一个混沌迭代M×N次后，得到一个随机数序列Y＝{y₁,y₂,…,y_M×N}，其中，y₁,y₂,…,y_M×N分别表示混沌系统的迭代输出值。将该随机数序列整合成一个二维矩阵的形式Z＝{z_i,j|i＝1,2,…,M；j＝1,2,…,N}，其中，z_i,j表示二维矩阵的元素；i,j表示矩阵元素的位置。则可以得到两块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz_i,j)和C₂(x₂,y₂)＝exp(j2πz_i,j)，其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示两块随机相位掩膜所处位置的坐标，j表示虚数单位，π表示圆周率。

(2)图像加密部分：

设待加密图像为U₀(x₀,y₀)，则经第一块混沌随机相位掩模调制及进行距离为z1的菲涅耳变换后，其数学表达式为：

FR_Z1{U₀(x₀,y₀)C₁(x₁,y₁)} (6)

其中，FR_Z1{·}表示距离为z1的菲涅耳变换；(x₀,y₀)表示待加密图像所处位置的坐标；

经第二块混沌随机相位掩模调制并进行距离为z2的菲涅耳变换后，得到：

其中，O₀(x,y)为携带图像信息的物光波，表示距离为z2的菲涅耳变换；(x₁,y₁)为CCD平面处的坐标。

假设参考光为：

R＝|R|exp(ikxsinθ) (8)

其中，R为参考光波，i表示虚数单位，k表示波数，θ表示参考光波与物光波的夹角；

则物光波与参考光波在CCD平面形成的干涉全息图为：

其中，H表示全息图，*表示共轭算符。该全息图即是最终的加密图像。

(3)图像解密部分：

耗散方程为：

其中，ψ(O,O^*)为平滑函数，α为控制参数，O,O^*分别表示物光波和物光波的复共轭，上式的梯度方程为：

由梯度方程得到的迭代形式的解为：

其中，t为时间步长，O⁽ⁿ⁾和O⁽ⁿ⁺¹⁾分别为迭代过程的输入值和输出值，(11)式中的α通常设为零；

由上式可以得到复数形式的物光波O(x,y)，将该物光波作为输入图像，该输入图像被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制后进行距离为z2的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为z1的逆菲涅耳变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，最终就可以得到解密后的图像：

其中，IFR_Z表示距离为Z的逆菲涅耳变换。

本发明的特点及有益效果是：

本发明提供的图像加密系统中，采用全息技术可以直接记录加密后的图像；采用的单帧数字全息技术相较于应用广泛的相移全息技术，所需的计算复杂度更小；混合混沌系统的初值和控制参数、物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的密钥，因此，密钥管理和传输变得更为方便。

附图说明：

图1为本发明提供的图像加密系统的光路图；

图2为加密前、加密后、解密后图像对比图。

(a)为待加密的原图像；

(b)为本系统加密的图像；

(c)为所有密钥均正确时的解密图像；

图3不同情况下解密图像对比图。

(a)为混合混沌系统1的初值x1错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

(b)为混合混沌系统1的控制参数μ1错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

(c)为混合混沌系统1的控制参数a错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

(d)为混合混沌系统2的初值x2错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

(e)为混合混沌系统2的控制参数μ2错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

(f)为混合混沌系统2的控制参数w错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图4为不同加密图解密后图像对比图。

(a)为从含有10％高斯噪声的加密图中解密得到的图像；

(b)为从含有10％椒盐噪声的加密图中解密得到的图像；

(c)为从含有10％散斑噪声的加密图中解密得到的图像。

具体实施方式

本发明用于图像加密的结合混合混沌和单帧数字全息技术的光学加密系统包括以下三个部分：

(1)密钥生成部分：

本发明提供的加密系统中，两块随机相位掩模密钥分别由Logistic和ICMIC混沌组成的混合混沌及Logistic和Chebyshev混沌组成的混合混沌生成。混合混沌的初值和控制参数可以替代两块随机相位掩模作为加密系统的主密钥。此外，物光波的波长和菲涅耳变换距离可以作为加密系统的辅助密钥。

(2)图像加密部分：

在加密一幅特定的图像前，首先对两个混合混沌系统，设定合适的初值和控制参数；选择合适波长的光波作为物光波；设定合适的菲涅耳变换距离。然后，将待加密的图像紧贴在第一块混沌随机相位掩模的前侧，在物光波的照射下，进行距离为z1的菲涅耳变换，然后，经第二块混沌随机相位掩模调制后，进行距离为z2的菲涅耳变换。携带图像信息的物光波在CCD平面与参考光进行干涉，形成全息图并被CCD记录，该全息图形式的图像即为加密后的图像。

(3)图像解密部分：

当从全息图形式的加密图像中解密原始图像时，单帧数字全息技术将此问题作为一个约束优化问题来求解。将从该约束优化问题中求得的目标函数作为解密过程的输入图像，该输入图像被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制后进行距离为z2的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为z1的逆菲涅耳变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，就可以最终得到解密后的图像。

下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细地描述。

本发明提供的图像加密系统的光路图如图1所示。加密系统由三部分组成：密钥生成部分，图像加密部分和图像解密部分。下面就这三个部分的具体实施方式分别予以详细的描述。

(1)密钥生成部分：

加密系统中两块混沌随机相位掩模起主密钥作用，物光波的波长和菲涅耳变换距离起辅助密钥作用。下面就如何使用两个混合混沌系统生成这两块混沌随机相位掩膜进行详细介绍。

组成两个混合混沌系统的一维混沌系统分别为Logistic混沌、ICMIC混沌和Chebyshev混沌。这三个一维混沌系统的离散形式的数学表达式分别为：

x_n+1＝μx_n(1-x_n) (1)

x_n+1＝sin(a/x_n) (2)

x_n+1＝cos(w(cos^-1x_n)) (3)

其中，控制参数的取值范围分别为μ∈(3.56…,4]，a∈(0,∞)和w∈[2,∞)。

Logistic混沌和ICMIC混沌组成第一个混合混沌，用于生成第一块混沌随机相位掩模，第一个混合混沌的数学表达式为：

其中，x_n，y_n和x_n+1，y_n+1分别为混沌系统的输入值和迭代输出值。

Logistic混沌和Chebyshev混沌组成第二个混合混沌，用于生成第二块混沌随机相位掩模，第二个混合混沌的数学表达式为：

在这两个混合混沌中，给Logistic混沌赋一个合适的初值，Logistic混沌的迭代结果作为另一个混沌的初始值，另一个混沌再进行一定次数的迭代后，形成的随机数序列可用于生成混沌随机相位掩模。

对于两个混合混沌，其中的Logistic混沌的初始值设为x₁＝x₂＝0.3141，控制参数设为μ₁＝μ₂＝3.8956；ICMIC混沌的控制参数设为a＝12.5098，Chebyshev混沌的控制参数设为w＝4。假设要加密的图像的尺寸为M×N个像素，则两块混沌随机相位掩膜的尺寸也是M×N个像素。对于每个混合混沌，使其中的Logistic混沌迭代M×N次后，输出结果x_n+1作为另一个混沌的初始值。另一个混沌迭代M×N次后，得到一个随机数序列Y＝{y₁,y₂,…,y_M×N}，其中，y₁,y₂,…,y_M×N分别表示混沌系统的迭代输出值。将该随机数序列整合成一个二维矩阵的形式Z＝{z_i,j|i＝1,2,…,M；j＝1,2,…,N}，其中，z_i,j表示二维矩阵的元素；i,j表示矩阵元素的位置。则可以得到两块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz_i,j)和C₂(x₂,y₂)＝exp(j2πz_i,j)，其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示两块随机相位掩膜所处位置的坐标，j表示虚数单位，π表示圆周率。由于混沌随机相位掩膜是由混沌系统的初值和控制参数来控制的，因此，混沌系统的初值和控制参数作为加密系统的主密钥。由于主密钥和辅助密钥都是一些数字，因此，管理和传输这些数字将变得十分方便。

(2)图像加密部分：

设待加密图像为U₀(x₀,y₀)，则经第一块混沌随机相位掩模调制及进行距离为z1的菲涅耳变换后，其数学表达式为：

其中，{·}表示距离为z1的菲涅耳变换；(x₀,y₀)表示待加密图像所处位置的坐标。

经第二块混沌随机相位掩模调制并进行距离为z2的菲涅耳变换后，得到：

其中，O₀(x,y)为携带图像信息的物光波，表示距离为z2的菲涅耳变换；(x₁,y₁)为CCD平面处的坐标。

假设参考光为：

R＝|R|exp(ikxsinθ) (8)

其中，R为参考光波，i表示虚数单位，k表示波数，θ表示参考光波与物光波的夹角。

则物光波与参考光波在CCD平面形成的干涉全息图为：

其中，H表示全息图，*表示共轭算符。该全息图即是最终的加密图像。

(3)图像解密部分：

耗散方程为：

其中，ψ(O,O^*)为平滑函数，α为控制参数，O,O^*表示物光波。上式的梯度方程为：

由梯度方程得到的迭代形式的解为：

其中，t为时间步长，O⁽ⁿ⁾和O⁽ⁿ⁺¹⁾分别为迭代过程的输入值和输出值。(11)式中的α通常设为零；

由上式可以得到复数形式的物光波O(x,y)，将该物光波作为输入图像，该输入图像被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制后进行距离为z2的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为z1的逆菲涅耳变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，最终就可以得到解密后的图像：

其中，IFR_Z表示距离为Z的逆菲涅耳变换。

采用本发明的加密系统对一幅图像(如图2(a)所示)进行加密后，得到的加密图像如图2(b)所示。由图2(b)可以看出，原始图像的任何信息都被隐藏。当所有密钥均正确时，解密出的图像如图2(c)所示。由图2(c)可以看出，原始图像可以较好的被还原。说明采用本系统对彩色图像的加密和解密是成功的。此外，当某一个密钥错误而其他密钥正确时，解密结果如图3(a)-3(f)所示。由此可见，本系统的安全性是可以得到保证的。图4(a)-4(c)为加密图含有10％高斯噪声、椒盐噪声和散斑噪声情况下的解密图像。由此可见，即便加密图像在一定程度上被噪声污染，我们仍然能够解密出一定质量的原始图像。

尽管上面结合图示对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以作出很多变形，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (5)

1.一种结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，其特征是，包括以下三个部分：

(1)密钥生成部分：

两块随机相位掩模密钥分别由Logistic和ICMIC混沌组成的混合混沌及Logistic和Chebyshev混沌组成的混合混沌生成；混合混沌的初值和控制参数替代两块随机相位掩模作为加密系统的主密钥；此外，物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的辅助密钥；

(2)图像加密部分：

在加密一幅特定的图像前，首先对两个混合混沌系统，设定合适的初值和控制参数；选择合适波长的光波作为物光波；设定合适的菲涅耳变换距离；然后，将待加密的图像紧贴在第一块混沌随机相位掩模的前侧，在物光波的照射下，进行距离为z1的菲涅耳变换，然后，经第二块混沌随机相位掩模调制后，进行距离为z2的菲涅耳变换；携带图像信息的物光波在CCD平面与参考光进行干涉，形成全息图并被CCD记录，该全息图形式的图像即为加密后的图像；

(3)图像解密部分：

当从全息图形式的加密图像中解密原始图像时，采用单帧数字全息技术将此问题作为一个约束优化问题来求解，将从该约束优化问题中求得的目标函数作为解密过程的输入图像，该输入图像被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制后进行距离为z2的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为z1的逆菲涅耳变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，就最终得到解密后的图像。

2.如权利要求1所述的结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，其特征是，组成两个混合混沌系统的一维混沌系统分别为Logistic混沌、ICMIC混沌和Chebyshev混沌，这三个一维混沌系统的离散形式的数学表达式分别为：

x_n+1＝μx_n(1-x_n) (1)

x_n+1＝sin(a/x_n) (2)

x_n+1＝cos(w(cos^-1x_n)) (3)

其中，控制参数的取值范围分别为μ∈(3.56…,4]，a∈(0,∞)和w∈[2,∞)；

Logistic混沌和ICMIC混沌组成第一个混合混沌，用于生成第一块混沌随机相位掩模，第一个混合混沌的数学表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}={\mathrm{\μx}}_n(1-x_n)\\ y_{n+1}=\sin (a/y_n)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x_n，y_n和x_n+1，y_n+1分别为混沌系统的输入值和迭代输出值；

Logistic混沌和Chebyshev混沌组成第二个混合混沌，用于生成第二块混沌随机相位掩模，第二个混合混沌的数学表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}={\mathrm{\μx}}_n(1-x_n)\\ y_{n+1}=cos\left(w\right({\cos }^{-1}{y}_n\left)\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

在这两个混合混沌中，给Logistic混沌赋一个合适的初值，Logistic混沌的迭代结果作为另一个混沌的初始值，另一个混沌再进行一定次数的迭代后，形成的随机数序列可用于生成混沌随机相位掩模。

3.如权利要求2所述的结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，其特征是，对于两个混合混沌，其中的Logistic混沌的初始值设为x₁＝x₂＝0.3141，控制参数设为μ₁＝μ₂＝3.8956；ICMIC混沌的控制参数设为a＝12.5098，Chebyshev混沌的控制参数设为w＝4；假设要加密的图像的尺寸为M×N个像素，则两块混沌随机相位掩膜的尺寸也是M×N个像素；对于每个混合混沌，使其中的Logistic混沌迭代M×N次后，输出结果x_n+1作为另一个混沌的初始值；另一个混沌迭代M×N次后，得到一个随机数序列Y＝{y₁,y₂,…,y_M×N}，其中，y₁,y₂,…,y_M×N分别表示混沌系统的迭代输出值；将该随机数序列整合成一个二维矩阵的形式Z＝{z_i,j|i＝1,2,…,M；j＝1,2,,N}，其中，z_i,j表示二维矩阵的元素；i,j表示矩阵元素的位置；则可以得到两块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz_i,j)和C₂(x₂,y₂)＝exp(j2πz_i,j)，其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示两块随机相位掩膜所处位置的坐标，j表示虚数单位，π表示圆周率。

4.如权利要求2所述的结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，其特征是，(2)图像加密部分：

设待加密图像为U₀(x₀,y₀)，则经第一块混沌随机相位掩模调制及进行距离为z1的菲涅耳变换后，其数学表达式为：

${\mathrm{FR}}_{Z_1}\left\{U_0(x_0,y_0)C_1(x_1,y_1)\right\}---\left(6\right)$

其中，表示距离为z1的菲涅耳变换；(x₀,y₀)表示待加密图像所处位置的坐标；

经第二块混沌随机相位掩模调制并进行距离为z2的菲涅耳变换后，得到：

$O_0(x,y)={\mathrm{FR}}_{Z_2}\left\{{\mathrm{FR}}_{Z_1}\right\{U_0(x_0,y_0)C_1(x_1,y_1)\left\}{C}_2(x_2,y_2)\right\}---\left(7\right)$

其中，O₀(x,y)为携带图像信息的物光波，表示距离为z2的菲涅耳变换；(x₁,y₁)为CCD平面处的坐标；

假设参考光为：

R＝|R|exp(ikxsinθ) (8)

其中，R为参考光波，i表示虚数单位，k表示波数，θ表示参考光波与物光波的夹角；

则物光波与参考光波在CCD平面形成的干涉全息图为：

$H=|O_0{|}^2+|R{|}^2+R*O_0+O_0^{*}R,---\left(9\right)$

其中，H表示全息图，*表示共轭算符，该全息图即是最终的加密图像。

5.如权利要求2所述的结合混合混沌和单帧数字全息技术的图像加密系统，其特征是，(3)图像解密部分：

耗散方程为：

$C(O,O^{*})=\frac{1}{2}\left|\right|H-\left(\right|O{|}^2+|R{|}^2+R^{*}O+O^{*}R)|{|}^2+\mathrm{\α}\mathrm{\ψ}(O,O^{*})---\left(10\right)$

其中，ψ(O,O^*)为平滑函数，α为控制参数，O,O^*分别表示物光波和物光波的复共轭，上式的梯度方程为：

${\▿}_{O^{*}}C(O,O^{*})=-\[H-\left(|O{|}^2+|R{|}^2+R^{*}O+O^{*}R\right)\](O+R)+\mathrm{\α}{\▿}_{O^{*}}\mathrm{\ψ}(O,O^{*})---\left(11\right)$

由梯度方程得到的迭代形式的解为：

$\begin{array}{c}{O}^{(n+1)}=O^{\left(n\right)}-t{\[{\▿}_{O^{*}}C\]}_{O=O^{\left(n\right)}}\\ =O^{\left(n\right)}+t\[H-\left(|O^{\left(n\right)}{|}^2+|R{|}^2+R^{*}{O}^{\left(n\right)}+O^{\left(n\right)*}R\right)\](O^{\left(n\right)}+R)\end{array}---\left(12\right)$

其中，t为时间步长，O⁽ⁿ⁾和O⁽ⁿ⁺¹⁾分别为迭代过程的输入值和输出值，(11)式中的α通常设为零；

由上式可以得到复数形式的物光波O(x,y)，将该物光波作为输入图像，该输入图像被第二块混沌随机相位掩模的复共轭调制后进行距离为z2的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为z1的逆菲涅耳变换，最后再被第一块混沌随机相位掩模的复共轭调制，最终就可以得到解密后的图像：

其中，IFR_Z表示距离为Z的逆菲涅耳变换。