CN106447591A - 结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统及方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统及方法，包括激光器、空间滤波器、透镜、第一分束镜和第一反射镜，第一分束镜下端设置第二反射镜，第一反射镜下端设置第二分束镜，第二反射镜和第二分束镜之间设置混沌随机相位掩膜，第二分束镜另一侧设置电荷耦合器件相机；密钥生成；图像加密；图像解密。本发明主要从光学系统上解决了加密图像为复数形式不便直接记录的问题，从恢复算法上解决了不能加密动态视频的问题，以及从密钥生成方法上解决了密钥管理和传输的问题。

Description

结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统及 方法

技术领域

本发明属于信息安全和光信息处理技术领域，尤其涉及一种结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统及方法。

背景技术

数字图像作为当前最流行的多媒体形式之一，在政治、经济、军事、教育等领域有着广泛的应用。在互联网技术高度发达的今天，如何保护数字图像免遭篡改、非法复制和传播具有重要的实际意义。对图像加密技术的研究已成为当前信息安全领域的热点之一。由于光学信息处理技术具有高处理速度、高并行度、能快速实现卷积和相关运算等优点，近年来，利用光学方法进行数字图像加密引起了人们的极大兴趣(见参考文献[1])。在光学图像加密技术中，最具有代表性的是Javidi等提出的基于光学4f系统的双随机相位编码方法(见参考文献[2])。该技术开辟了光学图像加密的新领域，基于该技术诞生了一大批光学加密新方法和新技术(见参考文献[3])。然而，大多数基于双随机相位编码方法的光学图像加密技术中，存在如下问题：1)加密后的图像为复数形式，不便于直接记录(见参考文献[4])系统的加密密钥为图像尺寸的混沌随机相位掩膜，因此，密钥管理和传输不便(见参考文献[5])不能加密动态视频(见参考文献[6])。

参考文献：

[1]O.Matoba,T.Nomura,E.Perez-Cabre,M.Millan,and B.Javidi,Opticaltechniques for information security,Proceedings of IEEE 2009,97:1128-1148

[2]P.Réfrégier and B.Javidi,Optical image encryption based on inputplane and Fourier plane random encoding,Opt.Lett.,1995,20:767-769

[3]S.Liu,C.Guo,and J.T.Sheridan,A review of optical image encryptiontechniques,Optics&Laser Technology,2014,57:327-342

[4]W.Chen,B.Javidi and X.Chen,Advances in optical security systems,Advances in Optics and Photonics,2014,6:120-155

[5]L.Sui,K.Duan and J.Liang,Double-image encryption based on discretemultiple-parameter fractional angular transform and two-coupled logisticmaps,Opt.Commun.,2015,343:140-149

[6]F.Mosso,M.Tebaldi,J.F.Barrera,N.Bolognini,and R.Torroba,Pureoptical dynamical color encryption,Opt.Express,2011,19:13779-13786

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术中的不足，提供一种结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统及方法，主要从光学系统上解决了加密图像为复数形式不便直接记录的问题，从恢复算法上解决了不能加密动态视频的问题，以及从密钥生成方法上解决了密钥管理和传输的问题。

本发明的目的可通过以下技术方案实现。

本发明的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统，包括沿水平光路依次设置的激光器、空间滤波器、透镜、第一分束镜和第一反射镜，所述第一分束镜下端设置有第二反射镜，所述第一反射镜下端设置有第二分束镜，所述第二反射镜和第二分束镜之间设置有混沌随机相位掩膜，所述第二分束镜另一侧设置有电荷耦合器件相机。

所述第一分束镜、第一反射镜和第二反射镜彼此间相互平行设置，所述第一反射镜、第二分束镜和第二反射镜彼此间相互平行设置。

所述第二反射镜、混沌随机相位掩膜、第二分束镜和电荷耦合器件相机沿同一条水平光路设置。

所述混沌随机相位掩膜由随机相位板构成。

本发明的目的还可通过以下技术方案实现。

本发明的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密方法，包括以下步骤：

(1)密钥生成：混沌随机相位掩模密钥由二维Henon混沌系统生成，所述二维Henon混沌系统的控制参数替代混沌随机相位掩模作为加密系统的主密钥，物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的辅助密钥；

(2)图像加密：对二维Henon混沌系统设定一系列初值和控制参数，生成混沌随机相位掩模，将待加密图像贴在第1块混沌随机相位掩模的前侧，在物光波照射下，进行菲涅耳变换，携带图像信息的物光波在电荷耦合器件相机平面与参考光波进行干涉，形成全息图并被电荷耦合器件相机记录，全息图即是最终的加密图像；

(3)图像解密：通过约束优化问题求解得到的目标函数作为解密过程的输入图像，该输入图像被混沌随机相位掩模复共轭调制后进行逆菲涅耳变换，被第1块混沌随机相位掩模复共轭调制得到解密后的图像。

所述步骤(1)中二维Henon混沌系统表达式为：

其中，x_n、y_n为二维Henon混沌系统的输入值；x_n+1、y_n+1为二维Henon混沌系统的迭代输出值；控制参数α＝1.4，β＝0.3。

所述步骤(1)中混沌随机相位掩模密钥的生成过程：

给二维Henon混沌系统设定n组控制参数，即(x₁,y₁,α₁,β₁)……(x_n,y_n,α_n,β_n)，在这n组参数的控制下，二维Henon混沌系统分别迭代(M×N)/2次，输出n组和其中，和分别表示二维Henon混沌系统的迭代输出值，将X和Y整合成n个尺寸为M×N的二维矩阵，即n个Z＝{z_q,l|q＝1,2,…,M；l＝1,2,…,N}，其中，z_q,l表示二维矩阵的元素；q,l表示矩阵元素的位置，则得到n块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz_q,l)，……，C_n(x_n,y_n)＝exp(j2πz_q,l)，其中，(x₁,y₁)……(x_n,y_n)分别表示n块混沌随机相位掩膜所处位置的坐标，j表示虚数单位，π表示圆周率。

所述步骤(2)中图像加密的具体过程：

设待加密图像为U₀(x₀,y₀)，则经第1块混沌随机相位掩模调制及进行距离为m₁的菲涅耳变换后，其数学表达式为：

其中，表示距离为m₁的菲涅耳变换，(x₀,y₀)表示待加密图像所处位置的坐标，P₁(x₀,y₀)表示第1块混沌随机相位掩膜；

经n块混沌随机相位掩模的调制和多次菲涅耳变换后，在电荷耦合器件相机平面携带图像信息的物光波O₀为：

其中表示距离为m_n的菲涅耳变换，P_n(x_n-1,y_n-1)表示第n块混沌随机相位掩膜；

设参考光波R＝|R|exp(jkx_轴sinθ)，则物光波与参考光波在电荷耦合器件相机平面经干涉形成的全息图H为：其中，j表示虚数单位，k表示波数，θ表示参考光波与物光波的夹角，x_轴表示水平轴向距离，*表示共轭算符。

所述步骤(3)中图像解密的具体过程：

加密系统中约束优化算法求解的耗散方程为：

其中，ψ(O,O^*)为平滑函数，α为控制参数，O表示物光波，O^*表示物光波的复共轭，H表示全息图，R表示参考光波，*表示共轭算符；

上述耗散方程的梯度方程为：(α通常设为零)

由上述梯度方程得到的迭代形式的解为：

其中，t为时间步长，O⁽ⁿ⁾和O⁽ⁿ⁺¹⁾分别为迭代过程的输入值和输出值；

由上式可以得到复数形式的物光波O(x,y)，将该物光波作为输入图像，该输入图像经n块混沌随机相位掩模复共轭调制及进行n次逆菲涅耳变换后，最终得到解密后的图像：

与现有技术相比，本发明的技术方案所带来的有益效果是：

(1)本发明，加密系统中多块混沌随机相位掩模起主密钥作用，而多块混沌随机相位掩模密钥分别由不同参数控制的二维Henon混沌系统生成，二维Henon混沌系统的初值和控制参数作为加密系统的主密钥，物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的辅助密钥，由于主密钥和辅助密钥都是一些数字，因此，密钥管理和传输变得更为方便；

(2)本发明，将待加密图像紧贴在第1块混沌随机相位掩模的前侧，在物光波照射下，待加密图像经第1块混沌随机相位掩模调制后进行距离为m₁的菲涅耳变换，直至经第n块混沌随机相位掩模调制后进行距离为m_n的菲涅耳变换，在电荷耦合器件相机平面，经多次调制和多次菲涅耳变换后的携带图像信息的物光波与参考光波进行干涉，形成全息图并被电荷耦合器件相机记录，该全息图形式的图像即为加密后的图像，采用全息技术可以直接记录加密后的图像；

(3)本发明，当图像解密时，通过约束优化问题求解得到输入图像，该输入图像被第n块混沌随机相位掩模复共轭调制后进行距离为m_n的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为m_n-1的逆菲涅耳变换……，最后被第1块混沌随机相位掩模复共轭调制，就可以最终得到解密后的图像，使得加密系统可以加解密动态视频。

附图说明

图1为本发明提供的加密系统的光路图；

图2(a)为待加密的原图像；

图2(b)为本系统加密的图像；

图2(c)为所有密钥均正确时的解密图像；

图3(a)为用于生成第三块随机相位掩模的混沌参数x₃错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(b)为用于生成第三块随机相位掩模的混沌参数y₃错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(c)为用于生成第三块随机相位掩模的混沌参数α错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(d)为用于生成第三块随机相位掩模的混沌参数β错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(e)为物光波长λ错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(f)为菲涅耳衍射距离z₂错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(g)为菲涅耳衍射距离z₃错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图3(h)为菲涅耳衍射距离z₄错误，系统其它密钥均正确时的解密图像；

图4(a)为从含有1％高斯噪声的加密图中解密得到的图像；

图4(b)为从含有5％高斯噪声的加密图中解密得到的图像；

图4(c)为从含有10％高斯噪声的加密图中解密得到的图像；

图5(a-1)为待加密的视频的第18帧；

图5(a-2)为待加密的视频的第38帧；

图5(a-3)为待加密的视频的第58帧；

图5(a-4)为待加密的视频的第68帧；

图5(a-5)为待加密的视频的第128帧；

图5(a-6)为待加密的视频的第260帧；

图5(b-1)为视频第18帧的解密图像；

图5(b-2)为视频第38帧的解密图像；

图5(b-3)为视频第58帧的解密图像；

图5(b-4)为视频第68帧的解密图像；

图5(b-5)为视频第128帧的解密图像；

图5(b-6)为视频第260帧的解密图像。

附图标记:Laser:激光器；SF：空间滤波器；CL：透镜；BS₁：第一分束镜；BS₂：第二分束镜；M₁：第一反射镜；M₂：第二反射镜；P₁……P_n:第1块……第n块混沌随机相位掩膜；CCD：电荷耦合器件相机。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的描述。

基于光学4f系统的双随机相位编码技术，以及基于该技术而发展起来的一系列光学图像加密技术，大都存在以下问题，即加密图像通常为复数形式，不便于直接记录；加密系统中密钥为图像尺寸的混沌随机相位掩模，密钥不便管理和传输；不能加密动态视频。

针对上述问题本发明提供了一种结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统，如图1所示，包括沿水平光路依次设置的激光器Laser、空间滤波器SF、透镜CL、第一分束镜BS₁和第一反射镜M₁，所述第一分束镜BS₁下端设置有第二反射镜M₂，所述第一反射镜M₁下端设置有第二分束镜BS₂，所述第二反射镜M₂和第二分束镜BS₂之间设置有混沌随机相位掩膜(P₁……P_n)，所述第二分束镜BS₂另一侧设置有电荷耦合器件相机CCD。所述第一分束镜BS₁、第一反射镜M₁和第二反射镜M₂彼此间相互平行设置，所述第一反射镜M₁、第二分束镜BS₂和第二反射镜M₂彼此间相互平行设置。所述第二反射镜M₂、混沌随机相位掩膜(P₁……P_n)、第二分束镜BS₂和电荷耦合器件相机CCD沿同一条水平光路设置。所述混沌随机相位掩膜(P₁……P_n)由随机相位板构成，所述混沌随机相位掩膜可以设置为多个，且彼此间相互平行。

上述结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统的加密方法，包括密钥生成、图像加密和图像解密，下面就这三个部分的具体实施方式分别予以详细的描述。

一、密钥生成

本发明提供的加密系统中，加密系统中多块混沌随机相位掩模起主密钥作用，而多块混沌随机相位掩模密钥分别由不同参数控制的二维Henon混沌系统生成。该二维Henon混沌系统的控制参数可以替代多块混沌随机相位掩模作为加密系统的主密钥。此外，物光波的波长和菲涅耳变换距离可以作为加密系统的辅助密钥。下面就如何使用二维Henon混沌系统生成多块混沌随机相位掩膜进行详细介绍。

加密系统中使用的二维混沌系统为二维Henon混沌，其离散形式的数学表达式为：

其中，x_n、y_n为二维Henon混沌系统的输入值；x_n+1、y_n+1为二维Henon混沌系统的迭代输出值；该二维Henon混沌系统的控制参数通长设置为α＝1.4，β＝0.3，当然，α和β取其他值时，该系统仍有混沌特性。

对于要生成的n个尺寸为M×N的混沌随机相位掩模，我们给二维Henon混沌系统设定n组控制参数，即(x₁,y₁,α₁,β₁)……(x_n,y_n,α_n,β_n)。在这n组参数的控制下，二维Henon混沌系统分别迭代(M×N)/2次，输出n组和其中，和分别表示二维Henon混沌系统的迭代输出值。将X和Y整合成n个尺寸为M×N的二维矩阵，即n个Z＝{z_q,l|q＝1,2,…,M；l＝1,2,…,N}，其中，z_q,l表示二维矩阵的元素；q,l表示矩阵元素的位置，则可以得到n块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz_q,l)，……，C_n(x_n,y_n)＝exp(j2πz_q,l)，其中，(x₁,y₁)……(x_n,y_n)分别表示n块混沌随机相位掩膜所处位置的坐标，j表示虚数单位，π表示圆周率。由于混沌随机相位掩膜是由二维Henon混沌系统的参数来控制的，因此，二维Henon混沌系统的参数作为加密系统的主密钥。由于主密钥和辅助密钥都是一些数字，因此，管理和传输这些数字将变得十分方便。

二、图像加密

在加密一幅特定的图像前，首先对二维Henon混沌系统设定一系列初值和控制参数，以生成多个混沌随机相位掩模；选择合适波长的光波作为物光波；设定多个合适的菲涅耳变换距离m₁,m₂,…,m_n。然后，将待加密图像紧贴在第1块混沌随机相位掩模P₁的前侧放置，在物光波的照射下，待加密图像经第1块混沌随机相位掩模P₁调制后进行距离为m₁的菲涅耳变换，然后经第2块混沌随机相位掩模P₂调制后进行距离为m₂的菲涅耳变换，再经第3块混沌随机相位掩模P₃调制后进行距离为m₃的菲涅耳变换……。在电荷耦合器件相机CCD平面，经多次调制和多次菲涅耳变换后的携带图像信息的物光波与参考光波进行干涉，形成全息图并被电荷耦合器件相机CCD记录，该全息图形式的图像即为加密后的图像。

设待加密图像为U₀(x₀,y₀)，则经第1块混沌随机相位掩模P₁调制及进行距离为m₁的菲涅耳变换后，其数学表达式为：

其中，表示距离为m₁的菲涅耳变换，(x₀,y₀)表示待加密图像所处位置的坐标，P₁(x₀,y₀)表示第1块混沌随机相位掩膜；

经n块混沌随机相位掩模的调制和多次菲涅耳变换后，在电荷耦合器件相机CCD平面携带图像信息的物光波O₀为：

其中表示距离为m_n的菲涅耳变换，P_n(x_n-1,y_n-1)表示第n块混沌随机相位掩膜；

假设参考光波R为：

R＝|R|exp(jkx_轴sinθ) (4)

其中，j表示虚数单位，k表示波数，θ表示参考光波与物光波的夹角，x_轴表示水平轴向距离。

则物光波与参考光波在电荷耦合器件相机CCD平面经干涉形成的全息图H为：

其中，*表示共轭算符。该全息图即是最终的加密图像。

三、图像解密

当从全息图形式的加密图像中解密原始图像时，通过约束优化问题求解得到的目标函数作为解密过程的输入图像，该输入图像被第n块混沌随机相位掩模P_n复共轭调制后进行距离为m_n的逆菲涅耳变换，然后再进行距离为m_n-1的逆菲涅耳变换……，最后被第1块混沌随机相位掩模P₁复共轭调制，就可以最终得到解密后的图像。

加密系统中约束优化算法求解的耗散方程为：

其中，ψ(O,O^*)为平滑函数，α为控制参数，O表示物光波，O^*表示物光波的复共轭，H表示全息图，R表示参考光波，*表示共轭算符。

上式(6)的梯度方程为：(α通常设为零)

由上述梯度方程得到的迭代形式的解为：

其中，t为时间步长，O⁽ⁿ⁾和O⁽ⁿ⁺¹⁾分别为迭代过程的输入值和输出值。

由上式可以得到复数形式的物光波O(x,y)，将该物光波作为输入图像，该输入图像经n块混沌随机相位掩模复共轭调制及进行n次逆菲涅耳变换后，最终得到解密后的图像：

采用本发明的加密系统对一幅图像(如图2(a)所示)进行加密后，得到的加密图像如图2(b)所示。由图2(b)可以看出，原始图像的任何信息都被隐藏。当所有密钥均正确时，解密出的图像如图2(c)所示。由图2(c)可以看出，原始图像可以较好的被还原。说明采用本系统对彩色图像的加密和解密是成功的。此外，当某一个密钥错误而其他密钥正确时，解密结果如图3(a)-3(h)所示。由此可见，本系统的安全性是可以得到保证的。图4(a)-4(c)为加密图含有1％、5％和10％的高斯噪声情况下的解密图像。由此可见，即便加密图像在一定程度上被噪声污染，我们仍然能够解密出一定质量的原始图像。图5(a-1)-5(b-6)展示了加密系统加密视频的结果，由此可见，当系统用于视频加密时也能取得较为满意的结果。

Claims (9)

1.结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统，其特征在于，包括沿水平光路依次设置的激光器、空间滤波器、透镜、第一分束镜和第一反射镜，所述第一分束镜下端设置有第二反射镜，所述第一反射镜下端设置有第二分束镜，所述第二反射镜和第二分束镜之间设置有混沌随机相位掩膜，所述第二分束镜另一侧设置有电荷耦合器件相机。

2.根据权利要求1所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统，其特征在于，所述第一分束镜、第一反射镜和第二反射镜彼此间相互平行设置，所述第一反射镜、第二分束镜和第二反射镜彼此间相互平行设置。

3.根据权利要求1所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统，其特征在于，所述第二反射镜、混沌随机相位掩膜、第二分束镜和电荷耦合器件相机沿同一条水平光路设置。

4.根据权利要求1所述的结合二维混.沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统，其特征在于，所述混沌随机相位掩膜由随机相位板构成。

5.基于上述权利要求1至4所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密系统的加密方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)密钥生成：混沌随机相位掩模密钥由二维Henon混沌系统生成，所述二维Henon混沌系统的控制参数替代混沌随机相位掩模作为加密系统的主密钥，物光波的波长和菲涅耳变换距离作为加密系统的辅助密钥；

(2)图像加密：对二维Henon混沌系统设定一系列初值和控制参数，生成混沌随机相位掩模，将待加密图像贴在第1块混沌随机相位掩模的前侧，在物光波照射下，进行菲涅耳变换，携带图像信息的物光波在电荷耦合器件相机平面与参考光波进行干涉，形成全息图并被电荷耦合器件相机记录，全息图即是最终的加密图像；

(3)图像解密：通过约束优化问题求解得到的目标函数作为解密过程的输入图像，该输入图像被混沌随机相位掩模复共轭调制后进行逆菲涅耳变换，被第1块混沌随机相位掩模复共轭调制得到解密后的图像。

6.根据权利要求5所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密方法，其特征在于，所述步骤(1)中二维Henon混沌系统表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=1-{\mathrm{\αx}}_n^2+y_n\\ y_{n+1}={\mathrm{\βx}}_n\end{array}\right.$

其中，x_n、y_n为二维Henon混沌系统的输入值；x_n+1、y_n+1为二维Henon混沌系统的迭代输出值；控制参数α＝1.4，β＝0.3。

7.根据权利要求6所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密方法，其特征在于，所述步骤(1)中混沌随机相位掩模密钥的生成过程：

给二维Henon混沌系统设定n组控制参数，即(x₁,y₁,α1,β₁)……(x_n,y_n,α_n,β_n)，在这n组参数的控制下，二维Henon混沌系统分别迭代(M×N)/2次，输出n组和其中，和分别表示二维Henon混沌系统的迭代输出值，将X和Y整合成n个尺寸为M×N的二维矩阵，即n个Z＝{z_q,l|q＝1,2,…,M；l＝1,2,…,N}，其中，z_q,l表示二维矩阵的元素；q,l表示矩阵元素的位置，则得到n块混沌随机相位掩膜，其数学表达式分别为C₁(x₁,y₁)＝exp(j2πz_q,l)，……，C_n(x_n,y_n)＝exp(j2πz_q,l)，其中，(x₁,y₁)……(x_n,y_n)分别表示n块混沌随机相位掩膜所处位置的坐标，j表示虚数单位，π表示圆周率。

8.根据权利要求5所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密方法，其特征在于，所述步骤(2)中图像加密的具体过程：

设待加密图像为U₀(x₀,y₀)，则经第1块混沌随机相位掩模调制及进行距离为m₁的菲涅耳变换后，其数学表达式为：

$U_1(x_1,y_1)={\mathrm{FST}}_{\mathrm{\λ},z_1}\[U_0(x_0,y_0)P_1(x_0,y_0)\]$

其中，表示距离为m₁的菲涅耳变换，(x₀,y₀)表示待加密图像所处位置的坐标，P₁(x₀,y₀)表示第1块混沌随机相位掩膜；

经n块混沌随机相位掩模的调制和多次菲涅耳变换后，在电荷耦合器件相机平面携带图像信息的物光波O₀为：

$\begin{array}{c}{O}_0=U_n(x_n,y_n)={\mathrm{FST}}_{\mathrm{\λ},z_n}\[{\mathrm{FST}}_{\mathrm{\λ},z_{n-1}}\[\mathrm{...}{\mathrm{FSR}}_{\mathrm{\λ},z_1}\[U_0(x_0,y_0)\\ \×P_1(x_0,y_0)\]\mathrm{...}{P}_{n-1}(x_{n-2},y_{n-2})\]P_n(x_{n-1},y_{n-1})\]\end{array}$

其中，表示距离为m_n的菲涅耳变换，P_n(x_n-1,y_n-1)表示第n块混沌随机相位掩膜；

设参考光波R＝|R|exp(jkx_轴sinθ)，则物光波与参考光波在电荷耦合器件相机平面经干涉形成的全息图H为：其中，j表示虚数单位，k表示波数，θ表示参考光波与物光波的夹角，x_轴表示水平轴向距离，*表示共轭算符。

9.根据权利要求5所述的结合二维混沌和约束优化算法的级联菲涅耳全息加密方法，其特征在于，所述步骤(3)中图像解密的具体过程：

加密系统中约束优化算法求解的耗散方程为：

$C(O,O^{*})=\frac{1}{2}\left|\right|H-({\left|O\right|}^2+{\left|R\right|}^2+R^{*}O+O^{*}R)|{|}^2+\mathrm{\α}\mathrm{\ψ}(O,O^{*})$

其中，ψ(O,O^*)为平滑函数，α为控制参数，O表示物光波，O^*表示物光波的复共轭，H表示全息图，R表示参考光波，*表示共轭算符；

上述耗散方程的梯度方程为：(α通常设为零)

${\▿}_{O^{*}}C(O,O^{*})=-\[H-({\left|O\right|}^2+{\left|R\right|}^2+R^{*}O+O^{*}R)\](O+R)+\mathrm{\α}{\▿}_{O^{*}}\mathrm{\ψ}(O,O^{*})$

由上述梯度方程得到的迭代形式的解为：

$O^{(n+1)}=O^{\left(n\right)}-t{\[{\▿}_{O^{*}}C\]}_{O=O^{\left(n\right)}}=O^{\left(n\right)}+t\[H-({\left|O^{\left(n\right)}\right|}^2+{\left|R\right|}^2+R^{*}{O}^{\left(n\right)}+O^{\left(n\right)*}R)\](O^{\left(n\right)}+R)$

其中，t为时间步长，O⁽ⁿ⁾和O⁽ⁿ⁺¹⁾分别为迭代过程的输入值和输出值；

由上式得到复数形式的物光波O(x,y)，将该物光波作为输入图像，该输入图像经n块混沌随机相位掩模复共轭调制及进行n次逆菲涅耳变换后，最终得到解密后的图像：