CN106446364A - 一种温度场‑热路直接耦合的电机热分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种温度场与热路直接耦合的电机热分析方法，对电机的部分部件采用有限元法进行建模，并对其它部件采用热路法进行建模。温度场和热路之间通过等效温度边界和等效对流边界联系起来。求解时将热路部分看成由一维有限元单元组成，两种连接的边界被看成是两种边界单元。最后将一维有限元单元和边界单元对应的单元刚度矩阵、单元载荷矩阵以及单元质量矩阵等分别叠加到整体刚度矩阵、整体载荷矩阵和整体质量矩阵中，并通过求解整体线性方程组的方法同时求出温度场和热路中的温度分布。该方法结合了有限元法和热路法在电机热分析中的优点，既可以保证足够的计算精度，又可以显著提高计算速度。

Description

一种温度场-热路直接耦合的电机热分析方法

技术领域

本发明涉及有限元热分析领域，尤其涉及一种温度场-热路直接耦合的电机热分析方法。

背景技术

随着能源危机的加剧，社会对高效率、低成本的电机需求持续增加。而准确的电机设计不仅需要进行电机电磁性能的计算，还需要准确计算电机工作时的温升以保证其安全运行。传统的电机温升计算主要是基于热路法，这种方法存在通常只能计算绕组的平均温升，且热路模型的建立和参数的校准需要结合实验。而随着有限元方法的出现和计算机技术的飞速发展，许多成熟的商用有限元软件平台不断发展壮大。CAE(computer aidedengineering，计算机辅助工程)技术已经成为不可或缺的工具。

但目前有的电机热分析仿真软件是完全基于热路的方法进行建模和计算的，而另一些温度场分析工具则完全基于有限元进行求解。单纯的热路法建模只能表示每个部件的平均温度，且对于具有复杂几何结构和不均匀热源分布的部件进行建模时存在误差。而传统的有限元建模方法无法模拟全封闭式电机内部的对流换热，如端部绕组与机壳之间的对流换热和定、转子之间的对流换热，且网格剖分的规模较大，计算时间长。

发明内容

发明目的：针对上述现有技术，提出一种温度场-热路直接耦合的电机有限元热分析方法，以综合两种方法的优点，给使用者提供更加快捷而精确的建模分析工具。

技术方案：一种温度场-热路直接耦合的电机热分析方法，包括如下步骤：

1)，对需要进行温升计算的电机进行分析，选定需要采用有限元法建模的区域和热路法建模的区域，以及连接两种区域的等效对流边界和等效温度边界；对有限元建模的区域进行几何建模、设定参数和网格剖分；对热路建模的区域根据经验公式建立热路模型，并计算每个热阻、热容和热源的数值；

2)，将每个热路模型中的单元转化成一维有限元单元；

3)，确定包含等效对流边界和等效温度边界的导热微分方程的弱解形式；

4)，构建等效对流边界对应的边界单元；

5)，构建等效温度边界对应的边界单元；

6)，将体单元、边界单元以和一维有限元单元的单元矩阵叠加到整体刚度矩阵、整体质量矩阵和整体载荷矩阵中去，求解整体方程组，同时得出热路区域和有限元区域的温度分布。

进一步的，所述步骤2)中，对于热路模型中的一个单元，设其热阻为R，热阻两端节点温度分别为T₁和T₂，两端节点连接的热熔为C₁和C₂，两端节点连接的集中热源为f₁和f₂，从其它节点或边界流入两端节点的总热流为Q₁和Q₂，根据能量守恒定律可得：

其中，表示热阻两端节点温度随时间的变化率；对比于有限元计算中单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元载荷矩阵的结构，[C]就是该热路单元所对应的一维有限元单元的单元质量矩阵，[R]为对应的单元刚度矩阵，{f}为对应的单元载荷矩阵；{Q}为对应从其它节点或边界流入两端节点的总热流矩阵。

进一步的，所述步骤3)中，包含等效对流边界和等效温度边界的偏微分方程弱解形式为：

其中，Ω为求解区域，对应为进行网格剖分的几何模型；c为材料密度和比热容的乘积，T为温度，t为时间，k为导热系数，δT为虚位移，为哈密顿算子；Г_hu为等效对流边界，h_u为Г_hu上的对流散热系数，T_u为Г_hu对应的环境温度，它等于热路区域中某个节点的温度；Γ_a为有限元区域上的普通对流边界，h_a为Γ_a上面的对流散热系数，T_a为Γ_a对应的环境温度；Γ为边界变量，q为热源密度；Г_Te为等效温度边界，n为外边界的单位法向量。

进一步的，所述步骤4)中，根据能量守恒定律得到等效对流边界上有：

其中，Q_u为从热路区域和其它边界中流入等效对流边界Г_hu的总热流；采用有限元法对求解区域进行离散剖分时，若等效对流边界上的单元e上的温度T^(e)表示为：

其中，m为单元e包含的节点总数，T_j ^(e)为节点j的温度，N_j ^(e)为节点j对应的单元插值基函数；则在等效对流边界上的能量守恒表达式的离散化表达式为：

其中，S_e为单元e的面积，Г_e为单元e所在的区域，Q_u ^(e)为从单元e中流入的热流；根据修改离散化表达式和弱解形式中的左端第三项得到等效对流边界单元对应的单元刚度矩阵为：

其中，m+1对应于热路区域中代表Г_hu对应的环境温度的节点，矩阵元素a_i,j、b_i,j和c_i,j为：

c_(m+1),(m+1)＝h_u·S_e

节点i对应的单元插值基函数。

进一步的，所述步骤5)中，根据能量守恒定律得到等效温度边界上有：

其中，Q_e为从热路法建模的区域和其它边界中流入等效温度边界Г_Te的总热流；若包含不止一个节点在等效温度边界Г_Te上的体单元w上的温度T^(w)表示为：

其中，是体单元w中节点j的温度，为体单元w中节点j对应的单元插值基函数；体单元w中包含的总节点数为n，其中节点1到节点l不在等效温度边界Г_Te上，而节点l+1到节点n在等效温度边界Г_Te上，位于等效温度边界Г_Te上的所有节点的温度都是T_e；

对于体单元w来说，若假设根据弱解形式可得一个单元上平衡方程为：

其中，[C]^(w)、[K]^(w)和{f}^(w)分别为体单元的单元质量矩阵、单元刚度矩阵和单元载荷矩阵；{T}^(w)为每个节点温度组成的向量，{Q}^(w)表示从边界节点中流入的热流向量；Γ_w为体单元w在Г_Te上的面；

对于包含不止一个节点在等效温度边界Г_Te上的体单元w上，由于其上节点l+1到节点n的温度均等于T_e，上述单元矩阵被合并表示为：

{T}^(w)＝[T₁ ^(w) ... T_l ^(w) T_e]^T,

其中，Q_e ^(w)表示经由体单元w在等效温度边界Г_Te上的面流入的热流，它们的总和等于Q_e；在将体单元w的单元矩阵合并到整体矩阵的过程当中，等效温度边界上的所有节点与该边界在热路区域中对应的节点在整体矩阵中占有相同的位置。

有益效果：本方法对电机的部分部件采用有限元法进行建模，对电机的其它部件采用热路法进行建模。温度场和热路之间通过等效温度边界Г_Te和等效对流边界Г_hu联系起来。Г_Te与普通固定温度边界Г₀的区别在于，Г₀上的温度已知，而Г_Te的温度是未知的且等于热路中某节点的温度。同样Г_hu与普通对流边界Г_a的区别在于，Г_a上对应的环境温度已知，而Г_hu对应的环境温度是未知的且等于热路中某节点的温度。求解时将热路部分看成由一维有限元单元组成，两种连接的边界被看成是两种边界单元。最后将一维有限元单元和边界单元对应的单元刚度矩阵、单元载荷矩阵以及单元质量矩阵等分别叠加到整体刚度矩阵、整体载荷矩阵和整体质量矩阵中，并通过求解整体线性方程组的方法同时求出温度场和热路中的温度分布。采用这种方法进行电机热分析求解，可以将热路区域的求解问题和有限元区域的求解问题统一到一起为使用者提供更方便的平台。有限元法在模拟复杂几何结构和不均匀热源分布上面具有优势，而热路法在模拟电机内部的对流换热上更加方便，将两者结合起来可以得到更加准确、高效的电机热分析模型。

附图说明

图1温度场-热路直接耦合模型示意图；

图2为某具有外转子结构的永磁电机温度场-热路耦合模型示意图；

图3为有限元区域计算温度分布。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

本实施例以具有外转子结构的永磁电机为例，对本方法进行进一步说明。考虑到不均匀分布的绕组交流铜耗，该电机的内定子部分采用有限元法进行建模，而外转子部分采用热路法进行建模，如附图2所示。在热路区域中，节点1表示环境温度，节点2表示端盖和铝壳温度，节点3表示转子硅钢片中间温度，节点4表示转子硅钢片平均温度，节点5表示永磁体平均温度，节点6表示气隙平均温度，节点7表示端部空气的平均温度，节点8表示轴端部的平均温度。R_caph表示端盖与外界环境之间的对流换热热阻，R_ALh表示铝壳与外界环境之间的对流换热热阻，R_ALRc表示铝壳与转子间的接触热阻，R_R1、R_R2和R_Rm表示转子硅钢片的等效热阻，R_PMRc为永磁体与转子的接触热阻，R_PM1为永磁体热阻，R_gaph为转子内表面与气隙之间的对流换热热阻，R_bear表示轴承热阻，R_Capairh表示端盖与端部空气之间的对流热阻。T₀表示外界环境温度，P_mec表示机械损耗，P_AL表示铝壳内涡流损耗，P_R表示转子铁耗，P_RM表示永磁体损耗。C_AL表示铝壳热容，C_cap表示端盖热容，C_R表示转子硅钢片热容，C_PM为永磁体热容。在有限元区域中，面1表示内定子的外表面，面2表示端部绕组的外表面，面3表示轴端部的外表面，面4表示有限元区域的两个侧面，面5表示绕组端部的表面和整个有限元区域的底面。其中，面1与热路区域中的节点6之间通过等效对流散热边界，表示内定子表面的环境温度为气隙的平均温度。面2表示端部绕组的外表面，它与节点7之间也是通过等效对流边界相连，表示绕组端部与端盖内部空气之间的对流换热。面3表示轴端部的外表面，它与节点8之间采用等效温度边界相连，表示面3上的所有温度都与节点8的温度相同。面4上采用旋转对称的约束条件，表示两个侧面上的温度分布相同。面5上施加绝热边界条件，表示模型的对称性。

温度场-热路直接耦合的电机热分析方法包括如下步骤：

1)，将附图2所示的电机内定子部分，包括绕组、绝缘、硅钢片和轴，在有限元软件中建立几何模型并制定材料参数信息。通过网格剖分程序对几何模型进行网格剖分得到有限元计算所需的网格和节点信息。本实施例中，有限元体单元的网格剖分以最常用的四面体单元来剖分，边界单元为三角形；但不限于该剖分方方法，有限元体单元的网格剖分还可采用六面体、三棱柱；边界单元也可为四边形或其它单元。根据热路计算的经验公式计算每个热阻、热容的参数。

2)，将每个热路模型中的单元转化成一维有限元单元。对于热路模型中的一个单元，设其热阻为R，热阻两端节点温度分别为T₁和T₂，两端节点连接的热熔为C₁和C₂，两端节点连接的集中热源为f₁和f₂，从其它节点或边界流入两端节点的总热流为Q₁和Q₂，根据能量守恒定律可得：

其中，表示热阻两端节点温度随时间的变化率；对比于有限元计算中单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元载荷矩阵的结构，[C]就是该热路单元所对应的一维有限元单元的单元质量矩阵，[R]为对应的单元刚度矩阵，{f}为对应的单元载荷矩阵；{Q}为对应从其它节点或边界流入两端节点的总热流矩阵。这样就可以将热路区域统一到有限元求解区域中一起求解。

根据步骤1)中得出的热阻和热容值，计算出所需添加的每个一维热路单元的信息，将其保存在规定好格式的文件中。同时根据上面计算各单元矩阵的公式，编写计算一维热路单元矩阵的子程序，以备有限元计算主程序时进行调用。

3)，确定包含等效对流边界和等效温度边界的导热微分方程的弱解形式为：

其中，Ω为求解区域，对应为进行网格剖分的几何模型；c为材料密度和比热容的乘积，T为温度，t为时间，k为导热系数，δT为虚位移，为哈密顿算子。Г_hu为等效对流边界，h_u为Г_hu上的对流散热系数，T_u为Г_hu对应的环境温度，它等于热路区域中某个节点的温度。Γ_a为有限元区域上的普通对流边界，h_a为Γ_a上面的对流散热系数，T_a为Γ_a对应的环境温度；Γ为边界变量，q为热源密度。Г_Te为等效温度边界，n为外边界的单位法向量。

根据导热微分方程的弱解形式，采用有限源程序自动生成系统(FEPG)生成一般的求解稳态热传导问题偏微分方程主程序，在这步生成程序的过程中不考虑两种特殊的边界条件。

4)，构建等效对流边界对应的边界单元。根据能量守恒定律得到等效对流边界上有：

其中，Q_u为从热路区域和其它边界中流入等效对流边界Г_hu的总热流；采用有限元法对求解区域进行离散剖分时，若等效对流边界上的单元e上的温度T^(e)表示为：

其中，m为单元e包含的节点总数，T_j ^(e)为节点j的温度，N_j ^(e)为节点j对应的单元插值基函数；则在等效对流边界上的能量守恒表达式的离散化表达式为：

其中，S_e为单元e的面积，Г_e为单元e所在的区域，Q_u ^(e)为从单元e中流入的热流；根据修改离散化表达式和弱解形式中的左端第三项得到等效对流边界单元对应的单元刚度矩阵为：

其中，m+1对应于热路区域中代表Г_hu对应的环境温度的节点，矩阵元素a_i,j、b_i,j和c_i,j为：

c_(m+1),(m+1)＝h_u·S_e

节点i对应的单元插值基函数。

根据上面的计算等效对流散热边界的单元刚度矩阵的方法，编制相关的子程序，并将在主程序中调用这样的子程序来计算每个等效对流边界上的单元矩阵并叠加到整体矩阵中去。

5)，构建等效温度边界对应的边界单元。根据能量守恒定律得到等效温度边界上有：

其中，Q_e为从热路法建模的区域和其它边界中流入等效温度边界Г_Te的总热流；若包含不止一个节点在等效温度边界Г_Te上的体单元w上的温度T^(w)表示为：

其中，是体单元w中节点j的温度，为体单元w中节点j对应的单元插值基函数；体单元w中包含的总节点数为n，其中节点1到节点l不在等效温度边界Г_Te上，而节点l+1到节点n在等效温度边界Г_Te上，位于等效温度边界Г_Te上的所有节点的温度都是T_e；

对于体单元w来说，若假设根据弱解形式可得一个单元上平衡方程为：

其中，[C]^(w)、[K]^(w)和{f}^(w)分别为体单元的单元质量矩阵、单元刚度矩阵和单元载荷矩阵；{T}^(w)为每个节点温度组成的向量，{Q}^(w)表示从边界节点中流入的热流向量；Γ_w为体单元w在Г_Te上的面；

对于包含不止一个节点在等效温度边界Г_Te上的体单元w上，由于其上节点l+1到节点n的温度均等于T_e，上述单元矩阵被合并表示为：

{T}^(w)＝[T₁ ^(w) ... T_l ^(w) T_e]^T,

其中，Q_e ^(w)表示经由体单元w在等效温度边界Г_Te上的面流入的热流，它们的总和等于Q_e；在将体单元w的单元矩阵合并到整体矩阵的过程当中，等效温度边界上的所有节点与该边界在热路区域中对应的节点在整体矩阵中占有相同的位置。

对于这部分的编程处理，不需要编写相应的子程序，但需要修改主程序使其能将这些包含不止一个节点在Г_Te上的体单元w上的单元矩阵按照上述描述进行合并。

6)，将体单元、边界单元以和一维有限元单元的单元矩阵叠加到整体刚度矩阵、整体质量矩阵和整体载荷矩阵中去，求解整体方程组，同时得出热路区域和有限元区域的温度分布。即在步骤3)中生成的计算程序框架的基础上修改主程序，使其能调用计算热路单元矩阵、对流单元矩阵的子程序，并能对包含不止一个节点在Г_Te上的体单元进行合并。最终调试运行主程序，可同时计算出有限元区域和热路区域的温度分布，计算得到的有限元区域温度分布如附图3所示。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种温度场-热路直接耦合的电机热分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)，对需要进行温升计算的电机进行分析，选定需要采用有限元法建模的区域和热路法建模的区域，以及连接两种区域的等效对流边界和等效温度边界；对有限元建模的区域进行几何建模、设定参数和网格剖分；对热路建模的区域根据经验公式建立热路模型，并计算每个热阻、热容和热源的数值；

2)，将每个热路模型中的单元转化成一维有限元单元；

3)，确定包含等效对流边界和等效温度边界的导热微分方程的弱解形式；

4)，构建等效对流边界对应的边界单元；

5)，构建等效温度边界对应的边界单元；

6)，将体单元、边界单元以和一维有限元单元的单元矩阵叠加到整体刚度矩阵、整体质量矩阵和整体载荷矩阵中去，求解整体方程组，同时得出热路区域和有限元区域的温度分布。

2.根据权利要求1所述的温度场-热路直接耦合的电机有限元热分析方法，其特征在于：所述步骤2)中，对于热路模型中的一个单元，设其热阻为R，热阻两端节点温度分别为T₁和T₂，两端节点连接的热熔为C₁和C₂，两端节点连接的集中热源为f₁和f₂，从其它节点或边界流入两端节点的总热流为Q₁和Q₂，根据能量守恒定律可得：

$\[C\]\·\left\{\frac{dT}{dt}\right\}+\[R\]\·\left\{T\right\}=\left\{f\right\}+\left\{Q\right\}$

$\begin{array}{cc}\[C\]=\left[\begin{array}{cc}{C}_1& 0\\ 0& C_2\end{array}\right],\[R\]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{R}& -\frac{1}{R}\\ -\frac{1}{R}& \frac{1}{R}\end{array}\right],\left\{\frac{dT}{dt}\right\}=\left[\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dT}}_1}{dt}\\ \frac{{\mathrm{dT}}_2}{dt}\end{array}\right]& \left\{T\right\}=\left[\begin{array}{c}{T}_1\\ T_2\end{array}\right],\left\{f\right\}=\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\end{array}\right],\left\{Q\right\}=\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right]\end{array}$

其中，表示热阻两端节点温度随时间的变化率；对比于有限元计算中单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元载荷矩阵的结构，[C]就是该热路单元所对应的一维有限元单元的单元质量矩阵，[R]为对应的单元刚度矩阵，{f}为对应的单元载荷矩阵；{Q}为对应从其它节点或边界流入两端节点的总热流矩阵。

3.根据权利要求1所述的温度场-热路直接耦合的电机有限元热分析方法，其特征在于：所述步骤3)中，包含等效对流边界和等效温度边界的偏微分方程弱解形式为：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}c\frac{\∂T}{\∂t}\mathrm{\δ}T\·d\mathrm{\Ω}+\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}\left(k\▿T\right)\·\left(\▿\mathrm{\δ}T\right)\·d\mathrm{\Ω}+\underset{{\mathrm{\Γ}}_{hu}}{\∫}{h}_u\left(T-T_u\right)\·\mathrm{\δ}T\·d\mathrm{\Γ}+\underset{{\mathrm{\Γ}}_a}{\∫}{h}_a\·T\·\mathrm{\δ}T\·d\mathrm{\Γ}\\ =\underset{{\mathrm{\Γ}}_a}{\∫}{h}_a\·T_a\·\mathrm{\δ}T\·d\mathrm{\Γ}+\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}q\·\mathrm{\δ}T\·d\mathrm{\Ω}+\underset{{\mathrm{\Γ}}_{Te}}{\∫}\left(k\frac{\∂T}{\∂n}\right)\·\mathrm{\δ}T\·d\mathrm{\Γ}\end{array}$

其中，Ω为求解区域，对应为进行网格剖分的几何模型；c为材料密度和比热容的乘积，T为温度，t为时间，k为导热系数，δT为虚位移，为哈密顿算子；Г_hu为等效对流边界，h_u为Г_hu上的对流散热系数，T_u为Г_hu对应的环境温度，它等于热路区域中某个节点的温度；Γ_a为有限元区域上的普通对流边界，h_a为Γ_a上面的对流散热系数，T_a为Γ_a对应的环境温度；Γ为边界变量，q为热源密度；Г_Te为等效温度边界，n为外边界的单位法向量。

4.根据权利要求3所述温度场-热路直接耦合的电机有限元热分析方法，其特征在于：所述步骤4)中，根据能量守恒定律得到等效对流边界上有：

$\underset{{\mathrm{\Γ}}_{hu}}{\∫}{h}_u\·(T_u-T)\·d\mathrm{\Γ}=Q_u$

其中，Q_u为从热路区域和其它边界中流入等效对流边界Г_hu的总热流；采用有限元法对求解区域进行离散剖分时，若等效对流边界上的单元e上的温度T^(e)表示为：

$T^{\left(e\right)}=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{T}_j^{\left(e\right)}\·N_j^{\left(e\right)}$

其中，m为单元e包含的节点总数，为节点j的温度，为节点j对应的单元插值基函数；则在等效对流边界上的能量守恒表达式的离散化表达式为：

$\underset{{\mathrm{\Γ}}_{hu}}{\Σ}\[h_u\·T_u\·S_e-\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(T_j^{\left(e\right)}\·\underset{{\mathrm{\Γ}}_e}{\∫}{h}_u\·N_j^{\left(e\right)}\·d\mathrm{\Γ}\right))=\underset{{\mathrm{\Γ}}_{hu}}{\Σ}{Q}_u^{\left(e\right)}=Q_u$

其中，S_e为单元e的面积，Г_e为单元e所在的区域，Q_u ^(e)为从单元e中流入的热流；根据修改离散化表达式和弱解形式中的左端第三项得到等效对流边界单元对应的单元刚度矩阵为：

${\[N\]}_{{\mathrm{\Γ}}_{hu}}^{\left(e\right)}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& ...& a_{1,m}& b_{1,(m+1)}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& ...& a_{2,m}& b_{2,(m+1)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{m,1}& a_{m,2}& ...& a_{m,m}& b_{m,(m+1)}\\ b_{(m+1),1}& b_{(m+1),2}& ...& b_{(m+1),m}& c_{(m+1),(m+1)}\end{array}\right]$

其中，m+1对应于热路区域中代表Г_hu对应的环境温度的节点，矩阵元素a_i,j、b_i,j和c_i,j为：

$a_{i,j}=\underset{{\mathrm{\Γ}}_e}{\∫}{h}_u\·N_i^{\left(e\right)}\·N_j^{\left(e\right)}\·d\mathrm{\Γ}$

$b_{i,(m+1)}=b_{(m+1),i}=-\underset{{\mathrm{\Γ}}_e}{\∫}{h}_u\·N_i^{\left(e\right)}\·d\mathrm{\Γ}$

c_(m+1),(m+1)＝h_u·S_e

节点i对应的单元插值基函数。

5.根据权利要求3或4所述温度场-热路直接耦合的电机有限元热分析方法，其特征在于：所述步骤5)中，根据能量守恒定律得到等效温度边界上有：

$\underset{{\mathrm{\Γ}}_{Te}}{\∫}(k\·\frac{\∂T}{\∂n})\·d\mathrm{\Γ}=Q_e$

其中，Q_e为从热路法建模的区域和其它边界中流入等效温度边界Г_Te的总热流；若包含不止一个节点在等效温度边界Г_Te上的体单元w上的温度T^(w)表示为：

$T^{\left(w\right)}=\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{T}_j^{\left(w\right)}\·N_j^{\left(w\right)}=\underset{j=1}{\overset{l}{\Σ}}{T}_j^{\left(w\right)}\·N_j^{\left(w\right)}+T_e\·\underset{j=l+1}{\overset{n}{\Σ}}{N}_j^{\left(w\right)}$

其中，是体单元w中节点j的温度，为体单元w中节点j对应的单元插值基函数；体单元w中包含的总节点数为n，其中节点1到节点l不在等效温度边界Г_Te上，而节点l+1到节点n在等效温度边界Г_Te上，位于等效温度边界Г_Te上的所有节点的温度都是T_e；

对于体单元w来说，若假设根据弱解形式可得一个单元上平衡方程为：

${\[C\]}^{\left(w\right)}\·\frac{d}{dt}{\left\{T\right\}}^{\left(w\right)}+{\[K\]}^{\left(w\right)}\·{\left\{T\right\}}^{\left(w\right)}={\left\{f\right\}}^{\left(w\right)}+{\left\{Q\right\}}^{\left(w\right)}$

${\[C\]}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_{1,1}^{\left(w\right)}& ...& c_{1,l}^{\left(w\right)}& ...& c_{1,n}^{\left(w\right)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ c_{l,1}^{\left(w\right)}& ...& c_{l,l}^{\left(w\right)}& ...& c_{l,n}^{\left(w\right)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ c_{n,1}^{\left(w\right)}& ...& c_{n,l}^{\left(w\right)}& ...& c_{n,n}^{\left(w\right)}\end{array}\right],{\[K\]}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_{1,1}^{\left(w\right)}& ...& k_{1,l}^{\left(w\right)}& ...& k_{1,n}^{\left(w\right)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ k_{l,1}^{\left(w\right)}& ...& k_{l,l}^{\left(w\right)}& ...& k_{l,n}^{\left(w\right)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ k_{n,1}^{\left(w\right)}& ...& k_{n,l}^{\left(w\right)}& ...& k_{n,n}^{\left(w\right)}\end{array}\right],{\left\{f\right\}}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{c}{f}_1^{\left(w\right)}\\ ...\\ f_l^{\left(w\right)}\\ ...\\ f_n^{\left(w\right)}\end{array}\right],{\left\{T\right\}}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{c}{T}_1^{\left(w\right)}\\ ...\\ T_l^{\left(w\right)}\\ ...\\ T_n^{\left(w\right)}\end{array}\right],$

${\left\{Q\right\}}^{\left(w\right)}={\left[\begin{array}{ccccc}0& ...& \underset{{\mathrm{\Γ}}_w}{\∫}{N}_{l+1}^{\left(w\right)}k\frac{\∂T}{\∂n}d\mathrm{\Γ}& ...& \underset{{\mathrm{\Γ}}_w}{\∫}{N}_n^{\left(w\right)}k\frac{\∂T}{\∂n}d\mathrm{\Γ}\end{array}\right]}^T$

其中，[C]^(w)、[K]^(w)和{f}^(w)分别为体单元的单元质量矩阵、单元刚度矩阵和单元载荷矩阵；{T}^(w)为每个节点温度组成的向量，{Q}^(w)表示从边界节点中流入的热流向量；Γ_w为体单元w在Г_Te上的面；

对于包含不止一个节点在等效温度边界Г_Te上的体单元w上，由于其上节点l+1到节点n的温度均等于T_e，上述单元矩阵被合并表示为：

${\[C\]}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{1,1}^{\left(w\right)}& ...& c_{1,l}^{\left(w\right)}& \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{1,j}^{\left(w\right)}\\ ...& ...& ...& ...\\ c_{l,1}^{\left(w\right)}& ...& c_{l,l}^{\left(w\right)}& \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{l,j}^{\left(w\right)}\\ \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,1}^{\left(w\right)}& ...& \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{j,l}^{\left(w\right)}& \underset{i=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{i,j}^{\left(w\right)}\end{array}\right],{\[K\]}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{k}_{1,1}^{\left(w\right)}& ...& k_{1,l}^{\left(w\right)}& \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{1,j}^{\left(w\right)}\\ ...& ...& ...& ...\\ k_{l,1}^{\left(w\right)}& ...& k_{l,l}^{\left(w\right)}& \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{l,j}^{\left(w\right)}\\ \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{j,1}^{\left(w\right)}& ...& \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{j,l}^{\left(w\right)}& \underset{i=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{i,j}^{\left(w\right)}\end{array}\right],{\left\{f\right\}}^{\left(w\right)}=\left[\begin{array}{c}{f}_1^{\left(w\right)}\\ ...\\ f_l^{\left(w\right)}\\ \underset{j=l+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j^{\left(w\right)}\end{array}\right],$

{T}^(w)＝[T₁ ^(w) ... T_l ^(w) T_e]^T,

${\left\{Q\right\}}^{\left(w\right)}={\left[\begin{array}{cccc}0& ...& 0& \underset{{\mathrm{\Γ}}_w}{\∫}\underset{j=l+1}{\overset{n}{\Σ}}{N}_j^{\left(w\right)}k\frac{\∂T}{\∂n}d\mathrm{\Γ}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& ...& 0& \underset{{\mathrm{\Γ}}_w}{\∫}k\frac{\∂T}{\∂n}d\mathrm{\Γ}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& ...& 0& Q_e^{\left(w\right)}\end{array}\right]}^T$

其中，Q_e ^(w)表示经由体单元w在等效温度边界Г_Te上的面流入的热流，它们的总和等于Q_e；在将体单元w的单元矩阵合并到整体矩阵的过程当中，等效温度边界上的所有节点与该边界在热路区域中对应的节点在整体矩阵中占有相同的位置。