CN111859654B - 一种电-热-力耦合的v型热执行器的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电‑热‑力耦合的V型梁热执行器分析方法，包括如下步骤：根据V型热执行器结构建立传热网络，对于网路中的每一分支建立一维温度分布函数；根据传热网络中节点的温度以及流入流出的热量，建立节点方程；确定V形热执行器热效应的边界条件，并将其与节点方程联立求解，得到各个传热网络分支的温度分布；根据各个分支的温度分布，计算得到各个分支上的热应力；根据计算得到的热应力，建立力与位移的节点方程，从而求解得到各个节点上的力与位移。本发明不但在较快的计算速度下获得了高精度，而且可以有效地完成复杂V型热执行器驱动结构的温度分布分析以及节点位移分析。

Description

一种电-热-力耦合的V型热执行器的分析方法

技术领域

本发明属于微电子机械系统(MEMS)计算机模拟领域，具体涉及一种考虑结构内温度梯度的电-热-力耦合的V型梁热执行器模型。

背景技术

V型梁热执行器是一种被广泛使用的MEMS热执行器。其能够在较小的驱动电压下提供较大的面内直线位移以及力，并且其单层结构也使得制造工艺较为简单。随着各类MEMS系统日益复杂，对于V形热执行器的行为模型也提出了更高的要求。为了输出位移与力，V型梁热执行器通常与被驱动结构有着机械连接，这为热执行器产生的热量提供了散热途径。由于与被驱动结构间的距离不同，并联的V形梁之间可能出现温度差异，并进而影响执行器结构的应力与形变。现有的解析模型并不能对这种被驱动结构引发的温度梯度进行精确的分析，而有限元方法等数值方法又不具备较高的计算效率。

另外，现有解析模型对于核心结构V型梁以外的其它连接结构，往往采取刚体近似，及忽略只考虑V型梁的形变而忽略其它结构的形变。但是对于较为复杂的MEMS结构，其它连接结构的热膨胀也会对整体的应力与形变产生显著的影响。这些效应尚未获得详尽的分析。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，提供一种考虑结构内温度梯度的电-热-力耦合的V型梁热执行器模型，采用该方法可以精确、快速地得到V形热执行器驱动的复杂MEMS结构的温度分布、应力与形变关键参数。

技术方案：一种电-热-力耦合的V型热执行器的分析方法，包括如下步骤：

S1：将V形热执行器整体结构划分为一组相互连接的微梁组成的传热网络，对于网络中的每一分支，即每一段微梁，建立一维温度分布函数；

S2：根据步骤S1建立的传热网络中节点的温度以及流入流出的热量，建立节点方程；

S3：确定V形热执行器热效应的边界条件，将其与步骤S2得到的节点方程联立求解，得到各个传热网络分支的温度分布；

S4：根据步骤S3得到的各个分支的温度分布，计算得到各个分支上的热应力；

S5：根据步骤S4计算得到的热应力，建立力与位移的节点方程，从而求解得到各个节点上的力与位移。

进一步的，所述步骤S1中的传热网络分支的温度分布函数满足以下偏微分方程：

其中，k为材料导热系数，ρ为材料电阻率，A、p与l分别为分支截面面积、截面周长以及长度，T_a为环境温度，h为环境对流换热系数，V为驱动电压，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数；此方程有通解：

其中，指数参数c₁及c₂为未知系数。

进一步的，所述步骤S2中的节点方程基于以下原则建立：各相连分支的温度分布函数在同一节点处取值相同，且该节点净流入热量为0；其中，从任意一分支流入节点的热量Q表示为：

其中，k为材料导热系数，A为分支截面面积，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数，x_node为节点坐标。

进一步的，所述步骤S3中的边界条件包括：锚区边界条件、自由端边界条件以及驱动结构边界条件。

进一步的，锚区边界条件适用于通过锚区固定于衬底上的边界，认为衬底温度始终保持在环境温度T_a，因此边界条件为：

T(x_a)＝T_a(4)

其中，x_a为锚区坐标，T(x_a)为坐标为x_a的边界的温度。

进一步的，自由端边界条件适用于未连接任何其它结构的边界，则在此自由端处流入的热量应为0，即：

其中，x_f为自由端坐标。

进一步的，驱动结构边界条件适用于连接有驱动结构的边界，驱动结构的热行为用其热阻R_d描述，即边界温度相对于衬底温度T_a的差与流入热量的比值，则边界条件为：

其中，k为材料导热系数，A为分支截面面积，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数；x_d为连接驱动结构的节点坐标，则T(x_d)即为该节点处的温度；驱动结构的热阻R_d通过建立等效热流电路计算，对于一段具有均匀截面的微结构，其热阻由一串传导电阻R_k以及一并联对流热阻R_air组成，它们分别通过下式计算：

其中，A、p与l分别为分支截面面积、截面周长以及长度，此处分支即为驱动结构。

进一步的，所述步骤S4中的热应力σ通过下式计算：

其中，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数，T_a为环境温度，l为分支长度，E以及CTE分别为材料杨氏模量以及热膨胀系数。

进一步的，所述步骤S5中的力与位移方程表示为矩阵方程形式：

Mx＝c (9)

其中，系数矩阵M，待求参数向量x以及常数向量c分别为：

其中，V形梁弹簧常数无量纲参数/>E为材料杨氏模量，L、A_V、w_V、θ分别为V型梁的长、截面积、宽度与倾斜角度；s_i与A_si分别为第i段连接结构的长度与截面积，i取1,2,3…n；K_drive为驱动结构的弹簧常数；U_i与F_i分别为第i个节点处的位移与拉力，i取1,2,3…n；/>与/>分别为第i段V型梁与连接结构的热应力；/>与/>分别为V型梁与连接结构上的残余应力。

有益效果：本发明提出的电-热-力耦合的V型梁热执行器分析方法，主要创造性点为：

一、通过建立传热网络实现了对带有复杂驱动结构的V型梁热执行器温度分布的分析。

二、考虑了V型梁连接结构的热膨胀，从而能对结构各个节点的位移与力进行求解，实现电-热-力耦合的分析。

本发明不同于已有的方法，考虑了并联的V型梁之间的温度差异。本发明通过构建传热网络，建立了线性的网络节点方程组，并且通过等效热流电路分析被驱动结构对热执行器温度分布的影响，从而较为高效地求解出V型梁热执行器的温度分布。

本发明把各个连接结构的应变也纳入考量，这些结构一方面会发生热膨胀，另一方面也会因其它结构，如V型梁的力的作用，发生显著的形变。本发明通过在节点处建立力与位移方程，分析了V型梁以及这些结构的形变。

本发明与现有技术相比，不但在较快的计算速度下获得了高精度，而且可以有效地完成复杂V型梁热执行器驱动结构的温度分布分析以及节点位移分析，从而填补了目前在复杂结构电-热-力耦合分析方面的缺失，这对于V型梁热执行器驱动的MEMS器件的设计、开发和应用都具有非常重要的意义。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2是将典型V型梁热执行器划分为传热网络的示意图；

图3是节点间热流动的示意图；

图4是实施例的一种典型的被驱动结构及其等效热流电路，(a)为被驱动结构示意图，(b)为结构的等效热流电路。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，本实施例利用电-热-力耦合的V型梁热执行器模型对典型的MEMS结构进行建模，其具体的步骤如下：

1)将V形热执行器结构划分为一组相互连接的微梁组成的传热网络，如图2所示。图中，分别为第i对V形梁和第i段连接梁的温度分布函数，i取1,2,3…n-1,n。θ为V型梁的倾斜角度。

网络中每一分支，即每一段微梁的热量流动都可以近似认为是一维的，因此每一分支的一维温度分布满足以下方程：

其中，k为材料导热系数，ρ为材料电阻率，A、p与l分别为分支截面面积、截面周长以及长度，T_a为环境温度，h为环境对流换热系数，V为驱动电压，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数。此方程有通解：

其中，指数参数c₁及c₂为未知系数。

2)分析该传热网络中的热流情况，如图3，节点的温度以及流入流出的热量应满足以下原则：各相连分支的温度分布函数在同一节点处取值相同，且该节点净流入热量为0。其中，从任意一分支流入节点的热量可表示为：

T(x)为该分支的含有未知系数的温度分布函数，x_node为节点坐标。图3中，s_i为第i段连接结构的长度。

因此，对第i个节点可以建立方程：

其中，A_si和x_si分别为第i段连接梁的截面积以及在该梁坐标系下的节点坐标，A_V和x_Vi分别为V形梁的截面积以及在其坐标系下的节点坐标，则分别为通过不同分支温度分布函数计算得到的节点温度。

3)确定V形热执行器热效应的边界条件。其边界条件主要分为锚区边界条件、自由端边界条件以及驱动结构边界条件。

锚区边界条件适用于通过锚区固定于衬底上的边界。一般认为衬底温度始终保持在环境温度T_a，则边界条件为：

T(x_a)＝T_a (5)

其中，x_a为锚区坐标，T(x_a)为坐标为x_a的边界的温度。

自由端边界条件适用于未连接任何其它结构的边界，则在此处流入的热量应为0，即：

其中，x_f为自由端坐标。

驱动结构边界条件适用于连接有驱动结构的边界。驱动结构的热行为通常可用其热阻R_d描述，即边界温度相对于衬底温度T_a的差与流入热量的比值，则边界条件为：

其中，x_d为连接驱动结构的节点坐标，则T(x_d)即为该节点处的温度。驱动结构的热阻R_d可以通过建立类似于电路的等效热流电路计算。对于一段具有均匀截面的微结构，其热阻由一串传导电阻R_k以及一并联对流热阻R_air组成，它们分别可通过下式计算：

其中，A、p与l分别为该结构截面面积、截面周长以及长度。

一种典型的被驱动结构及其等效热流电路在图4中被给出。该结构由六根两端固定的热沉梁相连组成，每一段微梁可按图4(a)中所示，命名为h_i和s_i，i取1,2,3…,6。图4(b)所示的等效热流电路中的等效热阻及/>下标表示热阻类型(传导热阻或对流热阻)，上标即对应于图4(a)中各微梁的命名，它们的值均可通过式(8)计算。

将V形热执行器热效应的边界条件与2)得到的节点方程联立求解，得到各个传热网络分支的温度分布。

4)根据求解得到的各个分支的温度分布函数，各分支的热应力σ可通过下式计算：

其中，E以及CTE分别为材料杨氏模量以及热膨胀系数。

5)根据4)计算得到的热应力，建立力与位移的节点方程，从而求解得到各个节点上的力与位移。力与位移方程表示为矩阵方程形式：

Mx＝c (10)

其中，系数矩阵M，待求参数向量x以及常数向量c分别为：

其中，V形梁弹簧常数无量纲参数/>L、A_V、w_V、θ分别为V型梁的长、截面积、宽度与倾斜角度；K_drive为驱动结构的弹簧常数；s_i与A_si分别为第i段连接结构的长度与截面积，i取1,2,3…n；U_i与F_i分别为第i个节点处的位移与拉力，i取1,2,3…n；/>与/>分别为第i段V型梁与连接结构的热应力；/>与/>分别为V型梁与连接结构上的残余应力。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种电-热-力耦合的V型热执行器的分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：将V形热执行器整体结构划分为一组相互连接的微梁组成的传热网络，对于网络中的每一分支，即每一段微梁，建立一维温度分布函数；

S2：根据步骤S1建立的传热网络中节点的温度以及流入流出的热量，建立节点方程；

S3：确定V形热执行器热效应的边界条件，将其与步骤S2得到的节点方程联立求解，得到各个传热网络分支的温度分布；

S4：根据步骤S3得到的各个分支的温度分布，计算得到各个分支上的热应力；

S5：根据步骤S4计算得到的热应力，建立力与位移的节点方程，从而求解得到各个节点上的力与位移；

所述步骤S1中的传热网络分支的温度分布函数满足以下偏微分方程：

其中，k为材料导热系数，ρ为材料电阻率，A、p与l分别为分支截面面积、截面周长以及长度，T_a为环境温度，h为环境对流换热系数，V为驱动电压，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数；此方程有通解：

其中，指数参数c₁及c₂为未知系数；

所述步骤S2中的节点方程基于以下原则建立：各相连分支的温度分布函数在同一节点处取值相同，且该节点净流入热量为0；其中，从任意一分支流入节点的热量Q表示为：

其中，k为材料导热系数，A为分支截面面积，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数，x_node为节点坐标；

所述步骤S4中的热应力σ通过下式计算：

其中，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数，T_a为环境温度，l为分支长度，E以及CTE分别为材料杨氏模量以及热膨胀系数；

所述步骤S5中的力与位移方程表示为矩阵方程形式：

Mx＝c (9)

其中，系数矩阵M，待求参数向量x以及常数向量c分别为：

其中，V形梁弹簧常数无量纲参数/>E为材料杨氏模量，L、A_V、w_V、θ分别为V型梁的长、截面积、宽度与倾斜角度；s_i与A_si分别为第i段连接结构的长度与截面积，i取1,2,3…n；K_drive为驱动结构的弹簧常数；U_i与F_i分别为第i个节点处的位移与拉力，i取1,2,3…n；/>与/>分别为第i段V型梁与连接结构的热应力；/>与/>分别为V型梁与连接结构上的残余应力。

2.根据权利要求1所述的一种电-热-力耦合的V型热执行器分析方法，其特征在于：所述步骤S3中的边界条件包括：锚区边界条件、自由端边界条件以及驱动结构边界条件。

3.根据权利要求2所述的一种电-热-力耦合的V形热执行器分析方法，其特征在于：锚区边界条件适用于通过锚区固定于衬底上的边界，认为衬底温度始终保持在环境温度T_a，因此边界条件为：

T(x_a)＝T_a (4)

其中，x_a为锚区坐标，T(x_a)为坐标为x_a的边界的温度。

4.根据权利要求2所述的一种电-热-力耦合的V型热执行器分析方法，其特征在于：自由端边界条件适用于未连接任何其它结构的边界，则在此自由端处流入的热量应为0，即：

其中，x_f为自由端坐标。

5.根据权利要求2所述的一种电-热-力耦合的V型热执行器分析方法，其特征在于：驱动结构边界条件适用于连接有驱动结构的边界，驱动结构的热行为用其热阻R_d描述，即边界温度相对于衬底温度T_a的差与流入热量的比值，则边界条件为：

其中，k为材料导热系数，A为分支截面面积，T(x)为分支含有未知系数的温度分布函数；x_d为连接驱动结构的节点坐标，则T(x_d)即为该节点处的温度；驱动结构的热阻R_d通过建立等效热流电路计算，对于一段具有均匀截面的微结构，其热阻由一串传导电阻R_k以及一并联对流热阻R_air组成，它们分别通过下式计算：

其中，A、p与l分别为分支截面面积、截面周长以及长度，此处分支即为驱动结构。