CN106327440A - 含有非局域数据保真项的图像分解滤波方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于光学检测和光信息处理技术领域，为改进图像分解算法中的数据保真项，提高图像分解算法的性能，提升图像分解算法去噪性能。本发明采用的技术方案是，含有非局域数据保真项的图像分解滤波方法，根据非局域均值滤波模型、非局域全变分滤波模型、适应性正则非局域均值滤波模型，构造非局域数据保真项，并分别与TV‑Hilbert‑L²模型、TV‑G‑Shearlet模型结合，进行带有数据保真项的图像分解滤波。本发明主要应用于光学检测和光信息处理场合。

Description

含有非局域数据保真项的图像分解滤波方法

技术领域

本发明属于光学检测和光信息处理技术领域，涉及一种含有非局域数据保真项的变分图像分解滤波方法。

背景技术

在数字图像形成和传输过程中，会不可避免的引入噪声，这些噪声往往影响人们对图像的进一步处理，使得获取图像中的一些重要信息难度加大。因此，图像去噪是图像处理中的重要环节，对后续图像分析有着至关重要的影响[1]。对于一些光学测量方法，例如电子散斑干涉(ESPI)[2]和条纹投影轮廓测定法(FPP)[3]，图像去噪是一种基础的处理手段，直接影响光学测量方法的精度。理想的去噪算法应在最大程度去除噪声的同时能够最大限度的保持原来图像的重要信息，例如边缘和纹理等。变分图像分解算法具有优良的图像预处理性能，在有效去除噪声的同时能够保持图像丰富的纹理，因此得到研究人员的广泛关注。变分图像分解算法的基本思想为[4]：将一幅图像分解成多个部分，每个部分代表不同的信息，并且分别由适合的函数空间描述，通过在各个空间中范数的结合构造出能量泛函，最小化这些能量泛函得出最终的分解结果。通过保留算法分解出来的卡通部分和纹理部分可以有效地实现图像的去噪。

[1]任宏伟,ESPI相位提取中的关键技术及电路系统动态热变形实验研究[D].天津：天津大学。

[2]C.Tang,F.Zhang,H.Yan,and Z.Chen,Denoising in electronic specklepatterninterferometry fringes by the filtering method based on partialdifferentialequations.Opt.Commun.2006,260(1):91～96。

[3]S SGorthi,P Rastogi,Fringe projection techniques:whither we are？,Opt&Lasers in Eng,2010,48(2):133-140。

[4]J.F.Aujol and T.Chan,Combining geometrical and texturedinformation to perform image classification.J.Vis.Commun.Image R.2006,7:1004～1023。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在改进图像分解算法中的数据保真项，提高图像分解算法的性能，提升图像分解算法去噪性能。本发明采用的技术方案是，含有非局域数据保真项的图像分解滤波方法，根据非局域均值滤波模型、非局域全变分滤波模型、适应性正则非局域均值滤波模型，构造非局域数据保真项，并分别与TV-Hilbert-L²模型、TV-G-Shearlet模型结合，进行带有数据保真项的图像分解滤波：

①带有非局域数据保真项的TV-Hilbert-L²模型

将非局域数据保真项与TV-Hilbert-L²相结合，产生TV-Hilbert-L²-NLDF模型：

$\begin{array}{c}F(u,v,w,\mathrm{\ξ})=\arg \min \mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\mathrm{\μ}|\left|\tilde{v}\right|{|}_{\mathrm{\ξ}}^2+\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f-\tilde{u}-\tilde{v}-\tilde{w})}^2\\ f=u+v+w\end{array}---\left(9\right)$

其中，F()为能量泛函的极小值函数，f表示一幅图像，u，v和w分别代表卡通部分、纹理部分和噪声部分，λ、μ、δ均为权重参数，ω_i,j为非局域权重，ξ为频率场，||u||_TV为u的全变分范数，为关于频率ξ的自适应Hilbert范数，为w的L²范数；

图像的卡通部分，纹理部分和噪声通过数值优化算法得到；通过极小化上式，最终得出每一个部分ξ，u，v和w。

通过极小化公式(9)，最终得出每一个部分ξ，u，v和w，具体步骤是：

固定u,v和w,极小化频率场

$\mathrm{\ξ}=\arg \min \left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\widetilde{\mathrm{\ξ}}\right)\mathrm{\Ψ}v|{|}_{L^2}^2---\left(10\right)$

其中，Ψ为在局部傅里叶框架{Ψ_p,k}_p,k下对v的分解，p和k分别代表局域窗口的位置和该窗口的频域坐标，Γ(ξ)是由关于频率场ξ的加权系数构成的对角阵；

式(10)需要计算每一个小窗口内的主频率ξ(p)，近似为：

$\mathrm{\ξ}\left(p\right)={\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{\ξ}}\underset{k>\mathrm{\τ}/\left|{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{\ξ}}\right|}{max}|\mathrm{\Ψ}v\[p,k\]|---\left(11\right)$

其中k＞τ/|Δξ|限制频率足够大来提取频率中的纹理成分，τ为预先设定的值，

固定v,w和ξ,令y＝f-v-w和极小化u

$u=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(12\right)$

类似于式(8)，上式可以改写为：

$u=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{NL}-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(13\right)$

上式的解可以由prox_λJ(g)投影算子得出，其中λJ的最近邻操作满足λ＞0，J为参数，g为原始图像，g∈R^N投影算子定义为:

${\mathrm{prox}}_{\mathrm{\λ}J}\left(g\right)=\arg \min \frac{1}{2}\left|\right|g-\tilde{g}|{|}^2+\mathrm{\λ}J\left(\tilde{g}\right)---\left(14\right)$

固定u,w和ξ,令y′＝f-u-w，极小化v:

$v=\arg \min \mathrm{\μ}\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{\Ψ}\tilde{v}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j^{\′}-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(15\right)$

上式等价于:

$v=\arg min\mathrm{\μ}\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{\Ψ}\tilde{v}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{\′Nl}-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(16\right)$

其梯度为

(2μΨ*Γ(ξ)²Ψ+I)v＝y′^NL (17)

上式的解通过共轭梯度下降法得到；

固定u,v和ξ,令y″＝f-u-v极小化w

$w=\arg min\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j^{\′\′}-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(18\right)$

上式等价于:

$w=\arg min\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{\′\′NL}-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(19\right)$

其梯度方程为

w＝1/(2δ+1)×y″^NL (20)

②带有非局域数据保真项的TV-G-Shearlet模型

将非局域数据保真项和TV-G-Shearlet结合，产生TV-Hilbert-L²-NLDF模型：

$\begin{array}{c}F(u,v,w,\mathrm{\ξ})=\arg \min \mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\mathrm{\μ}|\left|\tilde{v}\right|{|}_G^2+\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{Shear}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f-\tilde{u}-\tilde{v}-\tilde{w})}^2\\ f=u+v+w\end{array}---\left(21\right)$

通过极小化上式，最终可以得出每个部分u,v和w：

固定u和v，w可以由最小化下式得出：

$w=\underset{\mathrm{\ω}\∈Shear\left(\mathrm{\Ω}\right),\left|\right|w|{|}_e\≤\mathrm{\δ}}{\arg \min }\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{Shear}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-u_j-v_j-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(22\right)$

固定u和w，v可以由最小化下式得出：

$v=\underset{v\∈G\left(\mathrm{\Ω}\right),\left|\right|v|{|}_G\≤\mathrm{\μ}}{\arg \min }\mathrm{\μ}\left|\right|\tilde{v}|{|}_G+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-u_j-w_j-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(23\right)$

固定v和w,u可以由最小化下式得出

$u=\underset{u\∈BV}{\arg \min }\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j-v_j-w_j-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(24\right)$

通过L²正交投影算子,可以分别得出方程(22),(23)和(24)的解：

w＝f^NL-u^NL-v^NL-Shear((f-u-v)^NL,δ) (25)

$v=P_{G_{\mathrm{\μ}}}{(f-u-w)}^{NL}---\left(26\right)$

$u={(f-v-w)}^{NL}-P_{G_{\mathrm{\λ}}}{(f-v-w)}^{NL}---\left(27\right)$

其中Shear表示阈值为δ的剪切波变换操作，其作用于(f-u-v)^NL；是一个L²正交投影操作，作用于集合G_μ＝{f∈G|||v||_G≤μ}；小波缩减阈值操作，作用于集合

G_λ＝{f∈G|||v||_G≤λ}。

本发明的特点及有益效果是：

由于本发明提出的改进方法，分别针对分解算法的卡通部分和纹理部分进行了性能提升，因此对这两个部分的视觉质量分别进行综合对比。选择含有标准偏差为σ＝40的高斯噪声的Barbara图和Zebra图作为测试图像，验证所提出的算法在去噪性能上的提高。

附图说明：

图1带有标准偏差为σ＝40的高斯噪声的Barbara图像经过和TV-Hilbert-L²-NLDF提取的卡通部分，图中，(a)TV-Hilbert-L²提取的卡通部分(b)TV-Hilbert-L²-NLDF提取的卡通部分

图2带有标准偏差为σ＝40的高斯噪声的Barbara图像经过TV-Hilbert-L²和TV-Hilbert-L²-NLDF提取的纹理部分。图中，(a)TV-Hilbert-L²提取的纹理部分(b)TV-Hilbert-L²-NLDF提取的纹理部分。

图3带有标准偏差为的高斯噪声的Barbara图经过TV-G-Shearlet和TV-G-Shearlet-NLDF提取的纹理部分，图中，(a)TV-G-Shearlet提取的纹理部分(b)TV-G-Shearlet-NLDF提取的纹理部分。

图4提取了原有图像具有的重要细节部分来进行对比。

图中，从左到右分别为(a)TV-Hilbert-L²，(b)TV-Hilbert-L²-NLDF，(c)nonlocalmeans filtering，(d)TV-G-Shearlet，(e)TV-G-Shearlet-NLDF，(f)Shearlettransformation。

图5本发明流程图。

具体实施方式

对于图像分解算法，数据保真项起到至关重要的作用，直接影响到了处理图像的失真程度。本发明改进了图像分解算法中的数据保真项，提出了非局域数据保真项以提高图像分解算法的性能，并将其运用到TV-Hilbert-L²模型和TV-G-Shearlet模型来构造新的全变分图像滤波模型，提升图像分解算法去噪性能。

(1)非局域均值滤波模型

对于图像中的每一个像素i∈Ω，通过非局域均值算法得出的近似值为：

$u_i^{NL}=\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}^{NL}{v}_j---\left(1\right)$

为非局域均值滤波求得i点的像素值。v_j为j点像素值。为权重。

上式等价于以下最小化方程的解：

其中权重的定义为：

${\mathrm{\ω}}_{i,j}^{NL}=\frac{1}{Z\left(i\right)}{e}^{-\frac{\left|\right|v\left(N_i\right)-v\left(N_j\right)|{|}_{2,a}^2}{h^2}}---\left(3\right)$

$Z\left(i\right)=\underset{j}{\Σ}{e}^{-\frac{\left|\right|v\left(N_i\right)-v\left(N_j\right)|{|}_{2,a}^2}{h^2}}---\left(4\right)$

其中函数的指数部分是任意两个像素i和j的欧几里德距离，用来决定相似度；a＞0表示高斯核的标准偏差；Z(i)是一个归一化因子，保证h决定了滤波等级。

局域滤波方法更多的侧重于光滑效果以及整体几何信息的重构，没有考虑图像中的一些边缘，细节或是纹理。因此，这些方法会将这些重要的细节或纹理当作噪声一样光滑掉。非局域均值滤波充分利用了图像的空间冗余(灰度级像素间具有密切联系)，认为图像中的窗口在同一幅图像中都有其相似的窗口。定义的权重是用来衡量相似像素的相似程度，按照各个相似像素占多少比例来得出最终的像素值，改善局域滤波方法存在的缺点。

(2)非局域全变分滤波模型

非局域全变分滤波模型定义为：

$u=\arg min\left|\right|u-g|{|}^2+\mathrm{\λ}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\sqrt{\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(u_i-u_j)}^2{\mathrm{\ω}}_{i,j}}---\left(5\right)$

该模型将纹理部分和光滑部分分开处理，实现了在充分保持纹理的同时有效地避免了阶梯效应，然而这个模型却未能解决稀少块效应。

(3)适应性正则非局域均值滤波模型

假定在某一个像素点i的非局域邻域内待观测项g_i＝f_i+ε_i，其中f_i和ε_i是两个独立的随机变量，f_i代表信号的浮动，满足均值为和标准偏差为ε_i代表噪声浮动，其已知的标准偏差为适应性正则非局域均值滤波模型表示为：

$u=\arg \min \left|\right|u|{|}_{TV}+\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\λ}}_i\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(g_j-u_i)}^2---\left(6\right)$

${\mathrm{\λ}}_i=\mathrm{\γ}\left(\frac{{\widehat{\mathrm{\σ}}}_i^{residual}}{{\mathrm{\σ}}_i^{noise}}\right)=\mathrm{\γ}{\left(\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}^2\right)}^{-1/2}---\left(7\right)$

其中ω_i,j为非局域权重，由式(7)定义，λ_i＞0为空间变化正则化参数，γ为常数。上式等价于：

$u=\arg min\left|\right|u|{|}_{TV}+\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\λ}}_i{(u_i-u_i^{NL})}^2---\left(8\right)$

该模型消除了非局域均值滤波的抖动效应和稀少块效应以及全变分最小化的阶梯效应。

(4)带有非局域数据保真项的图像分解算法

根据非局域均值滤波模型、非局域全变分滤波模型、适应性正则非局域均值滤波模型，构造非局域数据保真项，并分别与TV-Hilbert-L²模型、TV-G-Shearlet模型结合产生新的图像分解算法。

①带有非局域数据保真项的TV-Hilbert-L²模型

将非局域数据保真项与TV-Hilbert-L²相结合，产生TV-Hilbert-L²-NLDF模型：

$\begin{array}{c}F(u,v,w,\mathrm{\ξ})=\arg \min \mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\mathrm{\μ}|\left|\tilde{v}\right|{|}_{\mathrm{\ξ}}^2+\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f-\tilde{u}-\tilde{v}-\tilde{w})}^2\\ f=u+v+w\end{array}---\left(9\right)$

其中，F为能量泛函的极小值函数。f表示一幅图像，u，v和w分别代表卡通部分、纹理部分和噪声部分，λ、μ、δ均为权重参数，ω_i,j为非局域权重。ξ为频率场，||u||_TV为u的全变分范数，为关于频率ξ的自适应Hilbert范数，为w的L²范数；图像的卡通部分，纹理部分和噪声可以通过数值优化算法得到。通过极小化上式，最终可以得出每一个部分ξ，u，v和w：

固定u,v和w,极小化频率场

$\mathrm{\ξ}=\arg min\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\widetilde{\mathrm{\ξ}}\right)\mathrm{\Ψ}v|{|}_{L^2}^2---\left(10\right)$

其中，Ψ为在局部傅里叶框架{Ψ_p,k}_p,k下对v的分解，p和k分别代表局域窗口的位置和该窗口的频域坐标，Γ(ξ)是由关于频率场ξ的加权系数构成的对角阵；

式(10)需要计算每一个小窗口内的主频率ξ(p)，近似为：

$\mathrm{\ξ}\left(p\right)={\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{\ξ}}\underset{k>\mathrm{\τ}/\left|{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{\ξ}}\right|}{max}|\mathrm{\Ψ}v\[p,k\]|---\left(11\right)$

其中k＞τ/|Δξ|限制频率足够大来提取频率中的纹理成分，τ为预先设定的值，

固定v,w和ξ,令y＝f-v-w和极小化u

$u=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(12\right)$

类似于式(8)，上式可以改写为：

$u=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{NL}-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(13\right)$

上式的解可以由prox_λJ(g)投影算子得出，其中λJ的最近邻操作满足λ＞0，J为参数。g为原始图像，g∈R^N投影算子可以定义为：

${\mathrm{prox}}_{\mathrm{\λ}J}\left(g\right)=\arg min\frac{1}{2}\left|\right|g-\tilde{g}|{|}^2+\mathrm{\λ}J\left(\tilde{g}\right)---\left(14\right)$

固定u,w和ξ,令y′＝f-u-w，极小化v:

$v=\arg min\mathrm{\μ}\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{\Ψ}\tilde{v}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j^{\′}-{\tilde{v}}_k)}^2---\left(15\right)$

上式等价于:

$v=\arg min\mathrm{\μ}\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{\Ψ}\tilde{v}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{\′Nl}-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(16\right)$

其梯度为

(2μΨ*Γ(ξ)²Ψ+I)v＝y′^NL (17)

上式的解可通过共轭梯度下降法得到。

固定u,v和ξ,令y″＝f-u-v极小化w

$w=\arg min\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j^{\′\′}-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(18\right)$

上式等价于:

$w=\arg min\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{\′\′NL}-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(19\right)$

其梯度方程为

w＝1/(2δ+1)×y″^NL (20)

②带有非局域数据保真项的TV-G-Shearlet模型

将非局域数据保真项和TV-G-Shearlet结合，产生TV-Hilbert-L²-NLDF模型：

$\begin{array}{c}F(u,v,w,\mathrm{\ξ})=\arg \min \mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\mathrm{\μ}|\left|\tilde{v}\right|{|}_G^2+\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{Shear}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f-\tilde{u}-\tilde{v}-\tilde{w})}^2\\ f=u+v+w\end{array}---\left(21\right)$

通过极小化上式，最终可以得出每个部分u,v和w：

固定u和v，w可以由最小化下式得出：

$w=\underset{\mathrm{\ω}\∈Shear\left(\mathrm{\Ω}\right),\left|\right|w|{|}_e\≤\mathrm{\δ}}{\arg \min }\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{Shear}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-u_j-v_j-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(22\right)$

固定u和w，v可以由最小化下式得出：

$v=\underset{v\∈G\left(\mathrm{\Ω}\right),\left|\right|v|{|}_G\≤\mathrm{\μ}}{\arg \min }\mathrm{\μ}\left|\right|\tilde{v}|{|}_G+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-u_j-w_j-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(23\right)$

固定v和w,u可以由最小化下式得出

$u=\underset{u\∈BV}{\mathrm{argmin}}\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-v_j-w_j-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(24\right)$

通过L²正交投影算子,可以分别得出方程(22),(23)和(24)的解：

w＝f^NL-u^NL-v^NL-Shear((f-u-v)^NL,δ) (25)

$v=P_{G_{\mathrm{\μ}}}{(f-u-w)}^{NL}---\left(26\right)$

$u={(f-v-w)}^{NL}-P_{G_{\mathrm{\λ}}}{(f-v-w)}^{NL}---\left(27\right)$

其中Shear表示阈值为δ的剪切波变换操作，其作用于(f-u-v)^NL；是一个L²正交投影操作，作用于集合G_μ＝{f∈G|||v||_G≤μ}；小波缩减阈值操作，作用于集合

G_λ＝{f∈G|||v||_G≤λ}。

图1(a)是由TV-Hilbert-L²算法提取的卡通部分，可以看出其中有非常明显的阶梯效应，在较光滑区域表现明显。而经过改进的模型提取的卡通部分(如图1(b)所示)则没有阶梯效应的影响，图像的整体结构也保持的较好。

对于描述纹理部分的Hilbert空间，其能够很好地描述局部的高度平行的纹理。从图2(a)中可以看出，Barbara的围巾和裤腿部分的模拟比较成功，而对于非平行部分则出现了一定程度的模糊，甚至有些部分没有提取出来；而在图2(b)中本发明提出的方法完整的保留了整幅图像的纹理部分。

剪切波变换处理后的图像会出现一些影响视觉效果的划痕，这个缺点将会出现在相应的图像分解算法中。由图3(a)可以看到这些划痕出现在整幅图像中，严重地影响了视觉效果；本发明提出的改进方法对于这个部分的改进能够很好地将这些划痕去掉，从而提高视觉质量。

图4提取了原有图像具有的重要细节部分来进行对比。这组图中的(a)为TV-Hilbert-L²处理后的结果，可以看出其中有较为明显的阶梯效应，纹理保持的也不是很明显；(b)为TV-Hilbert-L²-NLDF改进模型处理后的结果，看出其中没有阶梯效应，纹理保持良好；(c)为非局域均值滤波处理后的结果，纹理有一定程度的损失；(d)为TV-G-Shearlet处理后的结果，有明显的划痕，严重影响了视觉效果；(e)为TV-G-Shearlet-NLDF处理后的结果，很显然地避免了由剪切波变换带来的划痕；(f)为剪切波变换对图像的直接处理结果，同(d)一样，有明显的划痕。

Claims (2)

1.一种含有非局域数据保真项的图像分解滤波方法，其特征是，步骤如下：根据非局域均值滤波模型、非局域全变分滤波模型、适应性正则非局域均值滤波模型，构造非局域数据保真项，并分别与TV-Hilbert-L²模型、TV-G-Shearlet模型结合，进行带有数据保真项的图像分解滤波。

2.如权利要求1所述的含有非局域数据保真项的图像分解滤波方法，其特征是，具体步骤是，

①带有非局域数据保真项的TV-Hilbert-L²模型

将非局域数据保真项与TV-Hilbert-L²相结合，产生TV-Hilbert-L²-NLDF模型：

$F(u,v,w,\mathrm{\ξ})=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\mathrm{\μ}|\left|\tilde{v}\right|{|}_{\mathrm{\ξ}}^2+\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f-\tilde{u}-\tilde{v}-\tilde{w})}^2---\left(9\right)$

f＝u+v+w

其中，F()为能量泛函的极小值函数，f表示一幅图像，u，v和w分别代表卡通部分、纹理部分和噪声部分，λ、μ、δ均为权重参数，ω_i,j为非局域权重，ξ为频率场，||u||_TV为u的全变分范数，为关于频率ξ的自适应Hilbert范数，为w的L²范数；

图像的卡通部分，纹理部分和噪声通过数值优化算法得到；通过极小化上式，最终得出每一个部分ξ，u，v和w。

通过极小化公式(9)，最终得出每一个部分ξ，u，v和w，具体步骤是：

固定u,v和w,极小化频率场

$\mathrm{\ξ}=\arg min\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\widetilde{\mathrm{\ξ}}\right)\mathrm{\Ψ}v|{|}_{L^2}^2---\left(10\right)$

其中，Ψ为在局部傅里叶框架{Ψ_p,k}_p,k下对v的分解，p和k分别代表局域窗口的位置和该窗口的频域坐标，Γ(ξ)是由关于频率场ξ的加权系数构成的对角阵；

式(10)需要计算每一个小窗口内的主频率ξ(p)，近似为：

$\mathrm{\ξ}\left(p\right)={\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{\ξ}}\underset{k>\mathrm{\τ}/\left|{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{\ξ}}\right|}{\mathrm{argmax}}|\mathrm{\Ψ}v\[p,k\]|---\left(11\right)$

其中k＞τ/|Δ_ξ|限制频率足够大来提取频率中的纹理成分，τ为预先设定的值，

固定v,w和ξ,令y＝f-v-w和极小化u

$u=\arg \min \mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(12\right)$

类似于式(8)，上式可以改写为：

$u=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{NL}-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(13\right)$

上式的解可以由prox_λJ(g)投影算子得出，其中λJ的最近邻操作满足λ＞0，J为参数，g为原始图像，g∈R^N投影算子定义为:

${\mathrm{prox}}_{\mathrm{\λ}J}\left(g\right)=\arg \min \frac{1}{2}\left|\right|g-\tilde{g}|{|}^2+\mathrm{\λ}J\left(\tilde{g}\right)---\left(14\right)$

固定u,w和ξ,令y′＝f-u-w，极小化v:

$v=\arg \min \mathrm{\μ}\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{\Ψ}\tilde{v}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{\left(y_j^{\′}-{\tilde{v}}_i\right)}^2---\left(15\right)$

上式等价于:

$v=\arg \min \mathrm{\μ}\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\mathrm{\Ψ}\tilde{v}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{\′Nl}-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(16\right)$

其梯度为

(2μΨ^*Γ(ξ)²Ψ+I)v＝y′^NL (17)

上式的解通过共轭梯度下降法得到；

固定u,v和ξ,令y″＝f-u-v极小化w

$w=\arg min\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(y_j^{\′\′}-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(18\right)$

上式等价于:

$w=\arg \min \mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{L^2}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{(y_i^{\′\′NL}-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(19\right)$

其梯度方程为

w＝1/(2δ+1)×y″^NL (20)

②带有非局域数据保真项的TV-G-Shearlet模型

将非局域数据保真项和TV-G-Shearlet结合，产生TV-Hilbert-L²-NLDF模型：

$\begin{array}{c}F(u,v,w)=\arg min\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\mathrm{\μ}|\left|\tilde{v}\right|{|}_G^2+\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{Shear}^2+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f-\tilde{u}-\tilde{v}-\tilde{w})}^2\\ f=u+v+w\end{array}---\left(21\right)$

通过极小化上式，最终可以得出每个部分u,v和w：

固定u和v，w可以由最小化下式得出：

$w=\underset{\mathrm{\ω}\∈Shear\left(\mathrm{\Ω}\right),\left|\right|w|{|}_E\≤\mathrm{\δ}}{\arg min}\mathrm{\δ}\left|\right|\tilde{w}|{|}_{Shear}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-u_j-v_j-{\tilde{w}}_i)}^2---\left(22\right)$

固定u和w，v可以由最小化下式得出：

$v=\underset{v\∈G\left(\mathrm{\Ω}\right),\left|\right|v|{|}_G\≤\mathrm{\μ}}{\arg \min }\mathrm{\μ}\left|\right|\tilde{v}|{|}_G+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-u_j-w_j-{\tilde{v}}_i)}^2---\left(23\right)$

固定v和w,u可以由最小化下式得出

$u=\underset{u\∈BV}{\mathrm{argmin}}\mathrm{\λ}\left|\right|\tilde{u}|{|}_{TV}+\frac{1}{2}\underset{i\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}\underset{j\∈\mathrm{\Ω}}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{i,j}{(f_j-v_j-w_j-{\tilde{u}}_i)}^2---\left(24\right)$

通过L²正交投影算子,可以分别得出方程(22),(23)和(24)的解：

w＝f^NL-u^NL-v^NL-Shear((f-u-v)^NL,δ) (25)

$v=P_{G_{\mathrm{\μ}}}{(f-u-w)}^{NL}---\left(26\right)$

$u={(f-v-w)}^{NL}-P_{G_{\mathrm{\λ}}}{(f-v-w)}^{NL}---\left(27\right)$

其中Shear表示阈值为δ的剪切波变换操作，其作用于(f-u-v)^NL；是一个L²正交投影操作，作用于集合G_μ＝{f∈G|||v_G≤μ}；小波缩减阈值操作，作用于集合G_λ＝{f∈G|||v||_G≤λ}。