CN106202717A - 一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法。模型主要由多个可能发生退化的多状态元件呈并联结构组成，以每个元件可用容量最大的状态作为系统的初始状态，可用容量随退化依次递减，所有元件的退化过程相互独立；系统在不同时间间隔进行处理，获得退化或者未退化后的系统可用容量，当系统中无可退化的元件或退化后不能满足系统需求则停止建立多状态树。通过计算系统多状态树中每条路径的可用概率，从而获得系统的风险概率。本发明对多状态退化系统的理论分析具有重要作用，对更好地分析及评估复杂多状态系统的风险提供了科学依据，可广泛应用于复杂工程多状态系统的实施。

Description

一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法

技术领域

本发明属于系统风险评估领域，特别是涉及了一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法。

背景技术

传统风险评估理论将系统定义在两个状态：正常工作、完全失效。基于两状态模型的风险评估理论虽然简便易行，但越来越不能满足实际复杂工程系统的分析需求。系统在运行过程中会受到多种不确定因素的作用，继而发生老化现象，即在“正常工作”和“完全失效”两种状态之间，还存在一系列中间状态，且系统可以在不完全正常工作或不完全失效状态下运行，为更好的评估复杂退化系统的可靠性，系统的多状态模型应运而生。

目前已有的两状态二叉树模型无法实现对多状态系统的精确评估，且需要已知元件在每个状态的概率值，对于无法获得元件精确概率值的多状态系统有其应用的局限性。

发明内容

本发明的目的是针对复杂多状态系统，提供了一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法。本发明可精确分析退化系统的可靠性，进一步完善多状态理论，对多状态系统的理论分析及工程应用具有重要作用，为解决复杂多状态系统的风险评估提供了一条行之有效的技术途径。

本发明采用的技术方案如下，如图1所示：

1)构建由多个多状态元件构成的多状态退化系统模型；

模型主要由N个多状态可能发生退化的元件呈并联结构组成，第i个元件C_i存在M_i个状态，第i个元件C_i在状态j的可用容量为1≤j≤M_i,1≤i≤N，模型以每个元件可用容量最大的状态作为系统的初始状态，每个元件退化均从第一个状态开始退化，可用容量随退化依次递减，所有元件的退化相互独立；

2)构建多状态树：系统在不同时间间隔Δt进行处理，获得退化或者未退化后的系统可用容量，作为多状态树的下一节点，直到系统发生退化后的可用容量不满足系统需求或无元件可发生退化，则停止多状态树的建立；

3)通过计算系统多状态树中每条路径的可用概率，采用以下公式进行计算获得系统的风险概率：

$Risk\left(T\right)=1-\underset{k}{\Σ}{\mathrm{Path}}_k\left(T\right)$

其中，T表示系统运行时间，Risk(T)表示系统的风险概率，Path_k(T)表示步骤2)所述多状态树中第k条路径的可用概率。

系统在足够小的每Δt时间间隔内仅有一个元件发生一次退化或者没有元件发生退化，一个元件的一次退化作为系统的一次退化，元件每发生一次退化均退化到下一状态。

所述步骤2)的每个间隔时间后将各个元件各自所处状态下的可用容量进行相加，从而获得每个间隔时间后的系统可用容量。

所述步骤2)第一个时间间隔Δt处理具体为：

若第一个时间间隔Δt内系统发生第一次退化，第b个元件由第一个状态的可用容量退化到第二个状态的可用容量1≤b≤N，则第一个时间间隔Δt后的系统可用容量SH₁为：

${\mathrm{SH}}_1=H_2^{C_b}+\underset{i=1,i\≠b}{\overset{N}{\Σ}}{H}_1^{C_i}$

其中，SH₁表示第一次系统退化后的系统可用容量，表示第i个元件处于第一个状态时的可用容量；表示第b个元件C_b处于第二个状态时的可用容量；

若第一个Δt时间间隔内系统未发生一次退化，则第一个时间间隔Δt后系统的可用容量SH₁为：

${\mathrm{SH}}_1=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{H}_1^{C_i}$

其中，表示第i个元件处于第一个状态时的可用容量。

在所述第一个时间间隔Δt，系统发生退化后，第二个时间间隔Δt处理具体为：

若第二个时间间隔Δt内系统发生第二次退化，第p个元件退化到下一状态，则第二个时间间隔Δt后的系统可用容量SH₂为：

${\mathrm{SH}}_2=\left\{\begin{array}{c}{H}_3^{C_p}+\underset{i=1,i\≠p}{\overset{N}{\Σ}}{H}_1^{C_i},p=b\\ H_2^{C_b}+H_2^{C_p}+\underset{i=1,i\≠b,p}{\overset{N}{\Σ}}{H}_1^{C_i},p\≠b\end{array}\right.$

其中，SH₂表示第二次系统退化后的系统可用容量，表示第b个元件C_b处于第二个状态时的可用容量，表示第p个元件C_p处于第二个状态时的可用容量，表示第p个元件C_p处于第三个状态时的可用容量；

若第二个时间间隔Δt内系统未发生退化，则第二个时间间隔Δt后的系统可用容量SH₂为：

${\mathrm{SH}}_2=H_2^{C_b}+\underset{i=1,i\≠b}{\overset{N}{\Σ}}{H}_1^{C_i}$

其中，SH₂表示第二次系统退化后的系统可用容量，表示第b个元件C_b处于第二个状态时的可用容量。

然后，第三次、第四次后续的时间间隔系统处理依次类推进行计算，系统中无可退化的元件或退化后不能满足系统需求则停止建立多状态树。

在所述第一个时间间隔Δt内系统未发生退化，第二个时间间隔Δt的处理具体为：直接获得第二个时间间隔Δt后系统的可用容量SH₂为：

${\mathrm{SH}}_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{H}_1^{C_i}$

其中，表示第i个元件处于第一个状态时的可用容量。

所述步骤3)中，元件最终的风险概率采用以下方式计算获得：

如对于一个仅发生了2次退化过程，且第一条路径为第一个元件连续发生2次退化过程的系统，采用以下公式计算获得第一个元件连续发生2次退化过程所在路径的可用概率：

${\mathrm{Path}}_1\left(T\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_1\right)f_{2-3}^{C_1}(t_2-t_1)R_{1-2}^{C_2}\left(T\right){\mathrm{BR}}_{1-2}^{C_N}\left(T\right){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

如对于一个仅发生2次退化过程，且第一次退化为第二个元件，第二次退化过程为第一个元件的系统，采用以下公式计算获得该条路径的可用概率：

${\mathrm{Path}}_{k^{\′}}\left(T\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_2\right)R_{2-3}^{C_1}(T-t_2)f_{1-2}^{C_2}\left(t_1\right)R_{2-3}^{C_2}(T-t_1)R_{1-2}^{C_3}\left(T\right){\mathrm{BR}}_{1-2}^{C_N}\left(T\right){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

如对于一个在系统运行时间内不发生任何退化过程的系统，采用以下公式计算获得该条路径的可用概率：

${\mathrm{Path}}_{k^{\′\′}}\left(T\right)=R_{1-2}^{C_1}\left(T\right){\mathrm{BR}}_{1-2}^{C_N}\left(T\right)$

其中，表示第i个元件C_i由状态j退化到状态(j+1)的概率密度函数，表示第i个元件C_i由状态j退化到状态(j+1)的可靠性随时间t变化的函数，可由相应的概率密度函数获得，T表示系统运行时间，0表示系统运行的初始时刻，t₁表示系统第一次发生退化的时刻，t₂表示系统第二次发生退化的时刻。

考虑到实际复杂系统的多状态特征，本发明方法首先构建由多个多状态元件构成的多状态退化系统模型，其次基于多状态树分别提出不同时间间隔情况下，系统可能发生的退化情况及其计算处理方式，形成建立系统层面的多状态树流程，最后计算获得多状态退化系统的风险概率。本发明对多状态退化系统的理论分析具有一定的指导意义，对更好地分析及评估复杂多状态系统的风险提供了科学依据。

本发明的有益效果：

本发明方法考虑系统及其元件的退化特性，基于多状态树的分析方法精确分析多状态退化系统的风险概率，进一步完善多状态理论，对多状态系统的理论分析及工程应用具有重要意义，为解决复杂多状态系统的风险评估提供了一条行之有效的技术途径，可广泛应用于多状态工程系统的实施。

附图说明

图1是本发明的多状态风险概率获取的流程图。

图2是系统在第一次时间间隔的多状态图。

图3是系统在第二次时间间隔的多状态构建图(以第一个时间间隔中第一个元件发生退化过程为例)。

图4是实施例系统退化过程的多状态构建图。

图5是实施例系统退化过程的风险概率计算结果示意图。

具体实施方式

本发明以下结合实施例及其附图作进一步说明如下。

本实施例中的系统包括2个多状态退化元件并以并联结构组成，元件各个状态的容量如表1所示，元件不同状态之间转移概率密度分布如表2所示，评估系统容量需求为7时的系统风险概率，本实施例最终形成系统层面的多状态树如图4所示。

表1元件不同退化状态的容量

元件/状态	1	2	3	4
					C1	5	4	2	0
C2	5	4	1	0

表2元件不同状态之间转移概率密度分布

本发明建立多状态树的步骤如下：

(1)系统主要由N个多状态可能发生退化的元件呈并联结构组成，第i个元件C_i存在M_i个状态，第i个元件C_i在状态j的可用容量为1≤j≤M_i,1≤i≤N，模型以每个元件可用容量最大的状态作为系统的初始状态，可用容量随退化依次递减，所有元件的退化相互独立。

系统在第一个时间间隔后的多状态树如图2所示，第一个时间间隔内任意元件均可能发生退化，且退化过程为某元件从第1个状态退化到第2个状态。图2中，第一条支路表示第一个元件C₁发生退化由可用容量为退化到第b条支路表示第b个元件由可用容量为退化到(1≤b≤N)，第(N+1)条支路表示没有元件发生退化过程。第一个时间间隔后系统可用容量变为：

其中，表示第一个时间间隔后的系统可用容量，表示第b个元件C_b处于第2个状态时的可用容量。

对于本发明的实施例，具体是构建由多个多状态元件构成的多状态退化系统模型，建立系统在第一个时间间隔的多状态树，从左到右依次为第一个分支、第二个分支、第三个分支。

在第一个时间间隔内，第一个分支表示第一个元件由初始状态发生一次退化，第二个分支表示第二个元件由初始状态发生一次退化，第三个分支表示在此时间间隔内无元件发生过程。并在多状态树中表示出第一个时间间隔后两个元件所处的状态以及系统的可用容量。

(2)第二个时间间隔的多状态树如图3所示(以第一个时间间隔中第一个元件发生退化过程为例，即图2中的第一条支路)，第二个时间间隔内任意元件均可能发生退化，且退化过程为元件C₁从第2个状态退化到第3个状态或元件C_i(2≤i≤N)从第1个状态退化到第2个状态。图3中，第一条支路表示第一个元件C₁发生退化由可用容量为退化到第b条支路表示第b个元件由可用容量为退化到(2≤b≤N)。第(N+1)条支路表示第二个时间间隔内没有元件发生退化过程。

在第一个时间间隔为第一个元件发生退化的情况下，第二个时间间隔后系统可用容量变为：

其中，表示第二次时间间隔后系统可用容量。

对于本发明的实施例，在第一个时间间隔的系统多状态树基础上，构建第二个时间间隔的多状态树。若在第一个时间间隔内第一个元件发生退化，则在第二个时间间隔内，可能发生的过程有三种情况：第一个元件由第二个状态退化到第三个状态、第二个元件由第一个状态退化到第二个状态、此时间间隔无元件发生退化。若在第一个时间间隔内第二个元件发生退化，则在第二个时间间隔内，可能发生的过程有三种情况：第一个元件由第一个状态退化到第二个状态、第二个元件由第二个状态退化到第三个状态、此时间间隔无元件发生退化。若第一个时间间隔内无退化过程发生，则不作处理。并在多状态树中表示出第二个时间间隔后两个元件所处的状态以及系统的可用容量。

(3)类似于系统发生第一次退化过程、第二次退化过程，系统发生第M次退化过程可通过迭代以上步骤的方法获得。如系统发生退化后的可用容量不满足系统需求，或已经无元件可发生退化，则停止多状态树的构建。

本实施例由于在第二个时间间隔后，系统可用容量已不能满足系统需求，故不再进行多状态树的构建，由此得到系统层面的多状态树(图4)。

(4)由实施例系统层面的多状态树(图4)，可获得实施例的多状态树图中第一条路径的可用概率为：

${\mathrm{Path}}_1\left(T\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_1\right)f_{2-3}^{C_1}(t_2-t_1)R_{1-2}^{C_2}\left(T\right){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

第二条路径的可用概率为：

${\mathrm{Path}}_2\left(T\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_1\right)R_{2-3}^{C_1}(T-t_1)f_{1-2}^{C_2}\left(t_2\right)R_{2-3}^{C_2}(T-t_2){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

第三条路径的可用概率为：

${\mathrm{Path}}_3\left(T\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_1\right)R_{2-3}^{C_1}(T-t_1)R_{1-2}^{C_2}\left(T\right){\mathrm{dt}}_1$

第四条路径的可用概率为：

${\mathrm{Path}}_4\left(T\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_2\right)R_{2-3}^{C_1}(T-t_2)f_{1-2}^{C_2}\left(t_1\right)R_{2-3}^{C_2}(T-t_1){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

第五条路径的可用概率为：

${\mathrm{Path}}_5\left(T\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\∫}}{R}_{1-2}^{C_1}\left(T\right)f_{1-2}^{C_2}\left(t_1\right)R_{2-3}^{C_2}(T-t_1){\mathrm{dt}}_1$

第六条路径的可用概率为：

${\mathrm{Path}}_6\left(T\right)=R_{1-2}^{C_1}\left(T\right)R_{1-2}^{C_2}\left(T\right)$

由以上各条路径的可用概率，可得到系统的风险概率为

$Risk\left(T\right)=1-\underset{k=1}{\overset{6}{\Σ}}{\mathrm{Path}}_k\left(T\right)$

利用多状态树计算后，得到实施例系统的风险评估结果如图5所示，图中可看出系统的风险概率随系统运行时间的增加而增大。

最后应当说明的是，以上示例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述示例对本发明进行了说明，所属领域的普通技术人员应当理解；依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或同等替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者同等替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (7)

1.一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

1)构建由多个多状态元件构成的多状态退化系统模型；

模型主要由N个多状态可能发生退化的元件呈并联结构组成，第i个元件C_i存在M_i个状态，第i个元件C_i在状态j的可用容量为1≤j≤M_i,1≤i≤N，模型以每个元件可用容量最大的状态作为系统的初始状态，可用容量随退化依次递减，所有元件的退化相互独立；

2)构建多状态树：系统在不同时间间隔Δt进行处理，获得退化或者未退化后的系统可用容量，作为多状态树的下一节点，直到系统发生退化后的可用容量不满足系统需求或无元件可发生退化，则停止多状态树的建立；

3)通过计算系统多状态树中每条路径的可用概率，采用以下公式进行计算获得系统的风险概率：

$Risk\left(T\right)=1-\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Path}}_k\left(T\right)$

其中，T表示系统运行时间，Risk(T)表示系统的风险概率，Path_k(T)表示步骤2)所述多状态树中第k条路径的可用概率。

2.根据权利要求1所述的一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于：系统在足够小的每Δt时间间隔内仅有一个元件发生一次退化或者没有元件发生退化，一个元件的一次退化作为系统的一次退化，元件每发生一次退化均退化到下一状态。

3.根据权利要求1所述的一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于：所述步骤2)的每个间隔时间后将各个元件各自所处状态下的可用容量进行相加，从而获得每个间隔时间后的系统可用容量。

4.根据权利要求1或3所述的一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于：所述步骤2)第一个时间间隔Δt处理具体为：

若第一个时间间隔Δt内系统发生第一次退化，第b个元件由第一个状态的可用容量退化到第二个状态的可用容量1≤b≤N，则第一个时间间隔Δt后的系统可用容量SH₁为：

${\mathrm{SH}}_1=H_2^{C_b}+\underset{i=1,i\≠b}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_1^{C_i}$

其中，SH₁表示第一次系统退化后的系统可用容量，表示第i个元件处于第一个状态时的可用容量；表示第b个元件C_b处于第二个状态时的可用容量；

若第一个Δt时间间隔内系统未发生一次退化，则第一个时间间隔Δt后系统的可用容量SH₁为：

${\mathrm{SH}}_1=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_1^{C_i}$

其中，表示第i个元件处于第一个状态时的可用容量。

5.根据权利要求4所述的一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于：在所述第一个时间间隔Δt，系统发生退化后，第二个时间间隔Δt处理具体为：

若第二个时间间隔Δt内系统发生第二次退化，第p个元件退化到下一状态，则第二个时间间隔Δt后的系统可用容量SH₂为：

${\mathrm{SH}}_2=\left\{\begin{array}{c}{H}_3^{C_p}+\underset{i=1,j\≠p}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_1^{C_i},p=b\\ H_2^{C_b}+H_2^{C_p}+\underset{i=1,i\≠b,p}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_1^{C_i},p\≠b\end{array}\right.$

其中，SH₂表示第二次系统退化后的系统可用容量，表示第b个元件C_b处于第二个状态时的可用容量，表示第p个元件C_p处于第二个状态时的可用容量，表示第p个元件C_p处于第三个状态时的可用容量；

若第二个时间间隔Δt内系统未发生退化，则第二个时间间隔Δt后的系统可用容量SH₂为：

${\mathrm{SH}}_2=H_2^{C_b}+\underset{i=1,i\≠b}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_1^{C_i}$

其中，SH₂表示第二次系统退化后的系统可用容量，表示第b个元件C_b处于第二个状态时的可用容量。

然后，第三次、第四次后续的时间间隔系统处理依次类推进行计算，系统中无可退化的元件或退化后不能满足系统需求则停止建立多状态树。

6.根据权利要求1所述的一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于：在所述第一个时间间隔Δt内系统未发生退化，第二个时间间隔Δt的处理具体为：直接获得第二个时间间隔Δt后系统的可用容量SH₂为：

${\mathrm{SH}}_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_1^{C_i}$

其中，表示第i个元件处于第一个状态时的可用容量。

7.根据权利要求1所述的一种基于多状态树的退化系统风险概率计算方法，其特征在于：所述步骤3)中，元件最终的风险概率采用以下方式计算获得：

如对于一个仅发生了2次退化过程，且第一条路径为第一个元件连续发生2次退化过程的系统，采用以下公式计算获得第一个元件连续发生2次退化过程所在路径的可用概率：

${\mathrm{Path}}_1\left(T\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_1\right)f_{2-3}^{C_1}(t_2-t_1)R_{1-2}^{C_2}\left(T\right)B{R}_{1-2}^{C_N}\left(T\right){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

如对于一个仅发生2次退化过程，且第一次退化为第二个元件，第二次退化过程为第一个元件的系统，采用以下公式计算获得该条路径的可用概率：

${\mathrm{Path}}_{k^{\′}}\left(T\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}\underset{t_1}{\overset{T}{\∫}}{f}_{1-2}^{C_1}\left(t_2\right)R_{2-3}^{C_1}(T-t_2)f_{1-2}^{C_2}\left(t_1\right)R_{2-3}^{C_2}(T-t_1)R_{1-2}^{C_3}\left(T\right)B{R}_{1-2}^{C_N}\left(T\right){\mathrm{dt}}_1{\mathrm{dt}}_2$

如对于一个在系统运行时间内不发生任何退化过程的系统，采用以下公式计算获得该条路径的可用概率：

${\mathrm{Path}}_{k^{\′\′}}\left(T\right)=R_{1-2}^{C_1}\left(T\right)B{R}_{1-2}^{C_N}\left(T\right)$

其中，表示第i个元件C_i由状态j退化到状态(j+1)的概率密度函数，表示第i个元件C_i由状态j退化到状态(j+1)的可靠性随时间t变化的函数，由相应的概率密度函数获得，T表示系统运行时间，0表示系统运行的初始时刻，t₁表示系统第一次发生退化的时刻，t₂表示系统第二次发生退化的时刻。