CN105468841A - 应用改进的alp算法优化并串联系统维修的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用改进的近似线性规格(ALP)算法优化并串联系统维修的方法，本ALP算法用于求解可分解马尔可夫决策过程（FMDP）模型。该算法可以有效减少线性规划中的约束条件，提高算法的效率，从而扩大了FMDP模型的使用范围。从原本的应用于小规模系统维修优化问题扩展到中等规模系统维修优化问题。同时也为解决大规模系统的维修优化问题提供了参考。

Description

应用改进的ALP算法优化并串联系统维修的方法

技术领域

本发明涉及生产制造技术领域，具体涉及并串联生产制造系统的维修优化问题。

背景技术

并串联系统广泛的存在现实生产中，一个并串联系统由多个单元组成，要解决系统的维修问题需要考虑两个重要问题。一方面系统中的各个部件间存在依赖性，因此系统中的各单元的维修不能单独考虑；另一方面系统的维修资源是有限的，如何正确的分配有限的维修资源使系统收益最大化是并串联系统维修优化的另一问题。要解决以上两个问题，并串联系统需要一个基于系统状态的维修策略，而系统状态是各单元状态的组合。因此，含有多状态部件系统维修优化问题的难点之一就是系统的状态空间过大。

发明内容

发明目的：改进ALP算法减少规划算法中约束条件和变量数，扩大FMDP模型的使用范围。

技术方案：本发明应用于由N_s个子系统并联组成的生产系统，每个子系统包含两个单元，分别用上单元和下单元来区别。系统中所有单元随时间退化，其退化过程服从离散时间的马尔科夫链。子系统n中的上单元(下单元)有S_un(S_dn)种不同的状态，其中，状态1用于表示全新状态，状态S_un-2(S_dn-2)表示上单元(下单元)已经损坏，状态S_un-1(S_dn-1)表示上单元(下单元)处于预防维修，而状态S_un(S_dn)则表示上单元(下单元)处于故障维修。矩阵P_un(P_dn)是子系统n中上单元(下单元)的名义状态转移矩阵。当子系统n中上单元(下单元)的状态超过了门限ζ_un(ζ_dn)时，下单元(上单元)的状态转移矩阵将变成Q_dn(Q_un)。由此，本算法考虑了同一个子系统中的两个单元的随机依赖关系。矩阵γ_un(γ_dn)代表子系统n中上单元(下单元)的生产率，(γ_un)_i((γ_dn)_i)是状态i下的上单元(下单元)的生产率。子系统的生产率是上单元(下单元)生产率的最小值，而系统的生产率是所有子系统生产率的总和。单位系统生产率在每个单位时间内带来的利润是r_d。

维修组的数量为N_t，也就是说最多有N_t个单元同时维修。预防维修和故障维修的时间均满足几何分布。子系统n中，上单元(下单元)预防和故障维修在一个单位时间内成功的概率分别是P_p，un(P_p，dn)和P_c，un(P_c，dn)。经济依赖性从以下两个方面来介绍。

第一，同时维修子系统中的两个单元可以带来较低的生产损失。

第二，在子系统n处于维修状态时，每单位时间内有固定的耗损率为c_st，n。本设计将有限的维修资源最优分配，最大化单位时间内系统的平均收益。

本设计主要假设：

1.当单元处于维修时，生产率为0，同子系统中的另一个单元的退化过程停止。

2.本设计不考虑非完全维修，预防维修和故障维修可以更新单元的状态至最新状态。

3.一旦单元开始维修，将无法停止，直到该单元变为最新状态。

4.随机依赖和经济依赖只存在于同一个子系统的两个单元之间。

由于维修问题的复杂性，可采用基于MDP的维修决策法来获得在不同系统状态下的最优维修策略。系统的退化过程应该在MDP模型中描述。子系统中的单元存在随机依赖和济依赖，而且所有单元共享有限的维修资源。因此，单元的退化过程彼此相关，不能分开建模。系统状态可以表示为向量其中X_un(X_dn)是子系统n中上单元(下单元)的状态。系统的退化过程受系统维修措施的影响，其中A_un(A_dn)是子系统n中的上单元(下单元)的维修措施。MDP模型的贝尔曼方程可以被表示为：

$V_{A_s}\left(X_s\right)=R(X_s,A_s)+\mathrm{\λ}{\Σ}_{x_s^{\′}}\mathrm{Pr}\left(X_s^{\′}\right|X_s,A_s)\·V\left(X_s^{\′}\right)$ 式1

其中常数λ是MDP的折合因子，表达式Pr(X′_s|X_s，A_s)是考虑了维修后，在系统当前状态为X_s时，下一个单位时间系统状态变为X′_s的概率。收益函数R(X_s，A_s)反应了系统状态X_s和维修措施A_s共同作用的结果。由于不同的子系统退化过程相互独立，系统的条件转移概率可以表示为：

$\mathrm{Pr}\left(X_s^{\′}\right|X_s,A_s)={\Π}_{n=1}^{N_s}\mathrm{Pr}(X_{un}^{\′},X_{dn}^{\′}|X_{un},X_{dn},A_{un},A_{dn})$

上述式子可以简化为：

Pr(X′_un，X′_dn|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

式2

＝Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)·Pr(X′_dn|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

由于上单元和下单元条件转移概率的计算相似，所以只给出上单元条件转移概率的推导，该公式分下述四种情况计算获得。

情况1：上单元处于工作状态，例如X_un＜S_un-2，X_dn＜S_dn-2，A_un＝0，andA_dn＝0，条件转换概率：

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

式3

＝I(X_dn＜ζ_dn)(P_n)x_unx′_un+I(X_dn≥ζ_dn)(Q_n)x_unX′_dn

式3中，函数I(·)是指标函数：

$I\left(A\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& Aistrue\\ 0& Aisfalse\end{array}\right.$

情况2：上单元处于停机但是不处于维修状态，例如(X_dn≥S_dn-2，A_un＝0)或者(A_un＝0，A_dn＝1)，条件转移概率：

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(X′_dn＝X_un)式4

情况三：上单元处于预防维修状态，例如，(X_un＜S_un-2，A_un＝1)或者X_un＝S_un-1，条件转移概率

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

式5

＝I(X′_un＝1)P_p，un+I(X′_un＝S_un-1)(1-P_p，un)

情况四：上单元处于故障维修状态，例如(X_un＝S_un-2，A_un＝1)orX_un＝S_un，条件转换概率

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(X′_un＝1)P_c，un+I(X′_un＝S_un)(1-P_c，un)式6

由于各子系统是并联的，单位时间内的系统收益可以表示为：

$R(X_s,A_s)={\Σ}_{n=1}^{N_s}{R}_n(X_n,A_n)$

其中，R_n(X_n，A_n)是子系统n在一个单位时间内的收益，既该子系统在单位时间内生产利润和维修消耗之差。

R_n(X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝R_pn(X_un，X_dn，A_un，A_dn)-C_mn(X_un，X_dn，A_un，A_dn)式7

生产利润计算公式如下：

R_pn(X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(A_un＝0andA_dn＝0)r_dmin((γ_un)x_un，(γ_dn)x_dn)式8

维修消耗计算公式如下：

C_min(X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(A_un≠0orA_dn≠0)c_st，n

+I(A_un＝1and(X_un＝S_un-2orX_un＝S_un))c_c，un

+I(A_un＝1andX_un≠S_un-2andX_un≠S_un)C_p，un

+I(A_dn＝1and(X_dn＝S_dn-2orX_dn＝S_dn))c_c，dn

+I(A_dn＝1andX_dn≠S_dn-2andX_dn≠S_dn)c_p，dn

传统的求解MDP的方式是通过值迭代或者线性规划完成的，这些方法只适用于较小的系统。对于大规模系统则可以将MDP简化为FMDP，本设计的FMDP模型是基于子系统的，可以表示为：

$V\left(X_s\right)=w_0+{\Σ}_{n=1}^{N_s}{\Σ}_{j=1}^{N_{b,n}}{w}_{n,j}{h}_{n,j}\left(X_n\right)$ 式9

式9中h_n，j(X_n)是关于子系统n的第j个基函数，其取值由子系统n的状态决定，而与其他子系统无关。w_n，j是基函数h_n，j(X_n)的权重，而w₀是与状态无关的常数。子系统n一共有N_b，n个基函数。w₀和w_n，j(j＝1...N_b，n)的值是通过解FMDP模型得到的。

FMDP模型最重要的问题之一是基函数选择，多项式函数和指标函数是两种常用的基函数。子系统n的第k阶多项式基函数可表示为：

式10

其中n＝1，...，N_s，k_u≥0，k_d≥0，0＜k_u+k_d≤k，同样子系统n的第k阶指标基函数可以表示为：

式11

表达式11中n＝1，...，N_s，i_un＝1，...，S_un，i_dn＝1，...，S_dn，k_u＝0，1，k_d＝0，1，0＜k_u+k_d≤k。多项式基函数的个数与单元状态数无关，指标基函数的数目随单元状态数的增加而增加。然而指标基函数的运算效率更高。

在FMDP模型中，基函数的权重w₀和w_n，j(n＝1，2，...，N_S，j＝1，2，...，N_b，n)需要通过求解FMDP模型来确定的。近似线性规划(ALP)是求解FMDP模型的常用方法，相比于线性规划模型(见表1)，ALP(见表2)的变量数从|x|减少到在ALP算法的目标函数中，权重的系数可以通过下式求得：

式12

表达式12中α_n(X_n)是状态X_n的状态相关权重，满足表达式13的关系。

式13

本算法在求解的过程中采用均匀的状态相关权重。

表1线性规划公式

表2近线性规划公式

表2中，约束条件数是系统状态变量X_s和维修措施A_s的可能组合数。因此减少约束条件是ALP算法的一个重要步骤。改进的ALP算法减少约束的原理是将不同子系统的约束条件分解成不同的元素。首先表2中的约束条件可以写成表达式14：

$0\≥(\mathrm{\λ}-1)w_0+{\Σ}_{n=1}^{N_s}\{R_n(X_n,A_n)+{\Σ}_{j=1}^{N_{b,n}}{w}_{n,j}{b}_{n,j}(X_n,A_n)\}$ 式14

式14中b_n，j(X_n，A_n)＝λg_n，j(X_n，A_n)-h_n，j(X_n)，不等式右边的第二部分是N_s个表达式之和，其中关于子系统n的表达式如下：

$R_n(X_n,A_n)+{\Σ}_{j=1}^{N_{b,n}}{w}_{n,j}{b}_{n,j}(X_n,A_n)$ 式15

式15中，对于给定的维修措施A_n，其最大值可以表示为

不等式约束可以由下列不等式代替：

最终可以简化为：

式16

其中 ${\Σ}_{n=1}^{N_s}{N}_{t,n}\left(A_n\right)\≤N_t$

最后ALP的约束条件数量可以减少到同时增加了新变量由于一共有4种不同的子系统维修措施，所以线性规划的变量的数目变成该表达式与子系统数呈近似的线性关系，从而解决了传统MDP模型求解过程中系统状态数的限制。

附图说明

图1是系统的结构框架；

图2是基于二阶指标基函数的ALP算法所得的最佳数值函数的误差。

具体实施方式

本章具体介绍了改进的ALP算法求解FMDP模型的过程，并分析了该算法产生的误差和运算效率。数值计算通过MATLAB8.5在Inteli73770CPU和8G内存的台式电脑上运行。

以由两个子系统建立而成的系统为例，如图1，退化过程的名义状态转移矩阵如下所示：

$P_{u1}=\left[\begin{array}{cccc}0.9& 0.05& 0.03& 0.02\\ 0& 0.8& 0.15& 0.05\\ 0& 0& 0.7& 0.3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],P_{d1}=\left[\begin{array}{cccc}0.85& 0.08& 0.04& 0.03\\ 0& 0.75& 0.2& 0.05\\ 0& 0& 0.75& 0.25\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$P_{u2}=\left[\begin{array}{cccc}0.95& 0.03& 0.01& 0.01\\ 0& 0.85& 0.1& 0.05\\ 0& 0& 0.8& 0.2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],P_{d2}=\left[\begin{array}{cccc}0.92& 0.05& 0.02& 0.01\\ 0& 0.82& 0.1& 0.08\\ 0& 0& 0.72& 0.28\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

当单元状态超过了门限值ζ_u1＝ζ_d1＝ζ_u2＝ζ_d2＝3，则同子系统中另一个单元的退化过程会加速，状态转移矩阵可以改写为：

$Q_{u1}=\left[\begin{array}{cccc}0.7& 0.2& 0.08& 0.02\\ 0& 0.6& 0.3& 0.1\\ 0& 0& 0.5& 0.5\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],Q_{d1}=\left[\begin{array}{cccc}0.65& 0.2& 0.1& 0.05\\ 0& 0.55& 0.3& 0.15\\ 0& 0& 0.55& 0.45\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$Q_{u2}=\left[\begin{array}{cccc}0.75& 0.1& 0.08& 0.07\\ 0& 0.65& 0.2& 0.15\\ 0& 0& 0.6& 0.4\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],Q_{d2}=\left[\begin{array}{cccc}0.72& 0.2& 0.05& 0.03\\ 0& 0.62& 0.25& 0.13\\ 0& 0& 0.52& 0.48\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

不同状态下的各单元的生产率见表3。系统在单位生产率下的收益率是r_d＝4。两个子系统的固定维修费用率分别为c_st，1＝1和c_st，2＝2。预防维修费用率为c_p，u1＝1.6，c_p，d1＝1.8，c_p，u2＝1.2，和c_p，d2＝2，故障维修费用率为c_c，u1＝8，c_c，d1＝9，c_c，u2＝6，和c_c，d2＝10.单位时间内成功进行预防维修和故障维修的概率是P_p，u1＝0.8，P_p，d1＝0.9，P_p，u2＝0.8，P_p，d2＝0.7P_c，u1＝0.4，P_c，d1＝0.45，P_c，u2＝0.4，andP_c，d2＝0.35。MDP的折合因子是λ＝0.95。一共有两个维修组N_t＝2。因此，系统的状态数为1152，系统级维修策略数目为11。

表3不同状态下单元的生产率

在ALP算法中，数值函数是基函数的近似组合，因此选择ALP的基函数很重要。公式10和公式11中的多项式基函数和指标基函数同时被用于本例中。表4列出了不同的基函数对应的值函数的误差，其结果在表4中给出。结果显示，当基函数的个数在90左右，两种基函数有类似的误差。然而，指标基函数在ALP算法中更加高效，因此选择2阶指标基函数进行进一步的数值计算。

表4不同类型函数的基函数的数目和近似算术平均值

通过减少约束条件，最终共有215个线性规划变量和525个约束条。整个建模和计算ALP算法的过程共耗时1s。表5展示了一些系统状态的最佳维修。结果显示FMDP模型得出的是保守的维修策略，单元在状态2时建议预防维修。结果也表明在维修资源不充足的情况下，子系统2的维修较为优先。另外，表5中的最后两行展示了改变一个单元的状态会使整个系统有完全不同的维修策略。因此最佳维修策略结果非常复杂，FMDP是一个合适的建模方法。

表5政策函数的精确值迭代和FMDP产生的差异

当A_un(A_dn)＝1，子系统n中的上单元(下单元)应该被维修。

图2是FMDP的近似值函数和MDP的数值迭代的值函数的对比。从图中可以看出两种方法的结果很相似，均方误差(RMSE)是8.92。本数值实验也分析了ALP方法得到的维修策略的误差。ALP所得的近似策略和MDP值迭代所得的策略的差异在表6中给出，两种政策函数关于维修的建议相同的情况超过94％。两种政策函数给出相反维修建议的情况仅占0.44％。因此ALP算法获得的结果非常接近最佳值。利用ALP算法获得的平均收益是17.439088，只比最优值17.439626少了0.0031％。因此ALP算法在维修优化过程中的误差可以忽略。

表6MDP的值迭代和FMDP求解的策略函数的差异

子系统和维修组的数量是决定维修优化问题规模的重要参数。系统状态空间随单元的数量成指数增长，维修策略数随维修组数而增长。表7给出了不同数量的子系统和维修组下，采用线性规划、传统ALP和改进的ALP算法中，规划变量数和约束数。其中，线性规划随着子系统数目和维修组数目迅速增加。在只有三个子系统和一个维修组的情况下，线性规划模型有16384个变量和34816个约束条件。而传统ALP算法的变量和约束条件数相对较少。当系统有12个单元和3个维修组时，用ALP算法仍然可以在310s内求解FMDP模型。表7还显示，在三种求解方法中改进的ALP算法拥有最少的变量和约束条件数目。当系统由7个子系统和3个维修组组成时，ALP算法包含了17431个变量和72157个约束条件，而改进的ALP算法只有365个变量和1037个约束条件。表8中是ALP算法的运行时间。其中，改进的ALP算法对所有的例子都是最高效的。例如，对一个有24个4状态单元和4个维修组的系统，改进的ALP算法有625个变量和13923个约束条件，求解时间在53s左右。

表7系统参数的大小对三种不同的线性规划的影响

表8不同系统参数下改进的ALP算法和ALP算法的的运作时间

“-”表示ALP的数太大，超出了MATLAB的最大限制

以上结合附图对本发明的实施方式做出详细说明，但本发明不局限于所描述的实施方式。对本领域的普通技术人员而言，在本发明的原理和技术思想的范围内，对这些实施方式进行多种变化、修改、替换和变形仍落入本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种应用改进的ALP算法优化并串联系统维修的方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1，建立MDP模型的贝尔曼方程：

$V_{A_s}\left(X_s\right)=R(X_s,A_s)+{\mathrm{\λ\Σ}}_{X_s^{\′}}\mathrm{Pr}\left(X_s^{\′}\right|X_s,A_s)\·V\left(X_s^{\′}\right)$ 式1

其中常数λ是MDP的折合因子，表达式Pr(X′_s|X_s，A_s)是考虑了维修后，在系统当前状态为X_s时，下一个单位时间系统状态变为X′_s的概率，收益函数R(X_s，A_s)反应了系统状态X_s和维修措施A_s共同作用的结果；

步骤2，由于不同的子系统退化过程相互独立，系统的条件转移概率表示为：

$\mathrm{Pr}\left(X_s^{\′}\right|X_s,A_s)={\mathrm{\Π}}_{n=1}^{N_s}\mathrm{Pr}(X_{un}^{\′},X_{dn}^{\′}|X_{un},X_{dn},A_{un},A_{dn})$

进一步简化为：

Pr(X′_un，X′_dn|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

式2

＝Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)·Pr(X′_dn|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

步骤3，由于上单元和下单元条件转移概率的计算相似，所以只给出上单元条件转移概率的推导，该公式分下述四种情况计算获得：

情况1：上单元处于工作状态，例如X_un＜S_un-2，X_dn＜S_dn-2，A_un＝0，andA_dn＝0，条件转换概率：

$\begin{array}{c}\mathrm{Pr}\left(X_{un}^{\&prime;}\right|X_{un},X_{dn},A_{un},A_{dn})\\ =I(X_{dn}<{\mathrm{\&zeta;}}_{dn}){\left(P_n\right)}_{X_{un}{X}_{un}^{\&prime;}}+I(X_{dn}\&GreaterEqual;{\mathrm{\&zeta;}}_{dn}){\left(Q_n\right)}_{X_{un}{X}_{un}^{\&prime;}}\end{array}$ 式3

式3中，函数I(·)是指标函数：

$I\left(A\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& Aistrue\\ 0& Aisfalse\end{array}\right.$

情况2：上单元处于停机但是不处于维修状态，例如(X_dn≥S_dn-2，A_un＝0)或者(A_un＝0，A_dn＝1)，条件转移概率：

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(X′_un＝X_un)式4

情况3：上单元处于预防维修状态，例如，(X_un＜S_un-2，A_un＝1)或者X_un＝S_un-1，条件转移概率

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)

式5

＝I(X′_un＝1)P_p，un+I(X′_un＝S_un-1)(1-P_p，un)

情况4：上单元处于故障维修状态，例如(X_un＝S_un-2，A_un＝1)orX_un＝S_un，条件转换概率

Pr(X′_un|X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(X′_un＝1)P_c，un+I(X′_un＝S_un)(1-P_c，un)式6

由于各子系统是并联的，单位时间内的系统收益表示为：

$R(X_s,A_s)={\mathrm{\&Sigma;}}_{n=1}^{N_s}{R}_n(X_n,A_n)$

其中，R_n(X_n，A_n)是子系统n在一个单位时间内的收益，既该子系统在单位时间内生产利润和维修消耗之差：

R_n(X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝R_Pn(X_un，X_dn，A_un，A_dn)-C_mn(X_un，X_dn，A_un，A_dn)式7

生产利润计算公式如下：

$R_{pn}\left(X_{un},X_{dn},A_{un},A_{dn}\right)=I\left(A_{un}=0and{A}_{dn}=0\right)r_d\min ({\left({\mathrm{\&gamma;}}_{un}\right)}_{X_{un}},{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{dn}\right)}_{X_{dn}})$ 式8

维修消耗计算公式如下：

C_mn(X_un，X_dn，A_un，A_dn)＝I(A_un≠0orA_dn≠0)c_st，n

+I(A_un＝1and(X_un＝S_un-2orX_un＝S_un))c_c，un

+I(A_un＝1andX_un≠S_un-2andX_un≠S_un)c_p，un

+I(A_dn＝1and(X_dn＝S_dn-2orX_dn＝S_dn))c_c，dn

+I(A_dn＝1andX_dn≠S_dn-2andX_dn≠S_dn)c_p，dn

步骤4，将MDP模型简化为基于子系统的FMDP模型：

$V\left(X_s\right)=w_0+{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=1}^{N_s}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^{N_{b,n}}{w}_{n,j}{h}_{n,j}\left(X_n\right)$ 式9

式9中h_n，j(X_n)是关于子系统n的第j个基函数，其取值由子系统n的状态决定，而与其他子系统无关；w_n，j是基函数h_n，j(X_n)的权重，而w₀是与状态无关的常数；子系统n一共有N_b，n个基函数；w₀和w_n，j(j＝1...N_b，n)的值通过解FMDP模型得到；

FMDP模型子系统n的第k阶多项式基函数可表示为：

式10

其中n＝1，...，N_s，k_u≥0，k_d≥0，0＜k_u+k_d≥k；

子系统n的第k阶指标基函数表示为：

式11

表达式11中n＝1，...，N_s，i_un＝1，...，S_un，i_dn＝1，...，S_dn，k_u＝0，1，k_d＝0，1，0＜k_u+k_d≤k；

步骤5，通过近似线性规划求解FMDP模型来确定基函数的权重w₀和w_n，j，n＝1，2，...，N_S，j＝1，2，...，N_b，n，权重的系数通过下式求得：

式12

表达式12中α_n(X_n)是状态X_n的状态相关权重，满足表达式13的关系；

式13

本算法在求解的过程中采用均匀的状态相关权重，将约束条件写成表达式14：

式14

式14中b_n，j(X_n，A_n)＝λg_n，j(X_n，A_n)-h_n，j(X_n)，不等式右边的第二部分是N_s个表达式之和，其中关于子系统n的表达式如下：

式15

式15中，对于给定的维修措施A_n，其最大值表示为

不等式约束由下列不等式代替：

最终简化为：

式16

其中 ${\mathrm{\&Sigma;}}_{n=1}^{N_s}{N}_{t,n}\left(A_n\right)\&le;N_t$

最后ALP的约束条件数量减少到同时增加了新变量由于一共有4种不同的子系统维修措施，所以线性规划的变量的数目变成 $(1+4N_s+{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=1}^{N_s}{N}_{b,n}).$