CN103903064A - 一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统及优化方法。所述系统包括维修策略切分模块、子系统策略缩减模块以及枚举法求最优值模块；维修策略切分模块用于将多状态系统维修策略切分成若干子系统维修策略，并且得到子系统维修策略的成本、稳态概率以及产率；子系统策略缩减模块用于比较若干子系统维修策略中的不同维修策略，并且切除其中的非最优策略；枚举法最优值模块用于使用枚举法求出子系统策略缩减模块输出结果的最优解以及与其对应的维修策略。所述方法通过随机排序法和线性规划法去除非最优策略得到最优策略。所述系统和方法不仅收敛速度快、维修效率高，而且可以保证求得的为最优解。

Description

一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统

技术领域

本发明涉及一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统及优化方法。

背景技术

目前，多状态的串并联系统广泛存在于实际生活中，例如由多个泵站构成的供水系统就是一个典型的多状态的串并联系统。每个泵站有几个并联的水泵，水泵有多个离散的工作等级对应于不同的退化状况，每个水泵的退化状况可以通过维修得以改善，而如今的主流维修策略优化方法都有如下问题：枚举法，虽然枚举法可以得到全局最优解，但是在上述系统中系统级的维修策略是每个部件的所有状态的组合（全新状态除外），所以备选维修策略的数目极其庞大。面对庞大的数据量，枚举法的效率极低。启发算法，策略优化过程中最常用的两种启发式算法是遗传算法和蚁群算法。遗传算法在处理策略空间较大的策略优化问题上具有一定的优势，但是同时存在收敛速度慢，所得最优解不一定是全局最优解等问题。

发明内容

发明目的：本发明的目的是针对现有技术的不足而提供一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统及优化方法，不仅收敛速度快、维修效率高，而且可以保证求得的为最优解。

技术方案：为了实现发明目的，本发明公开了一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统，所述系统包括维修策略切分模块、子系统策略缩减模块以及枚举法求最优值模块；维修策略切分模块用于将多状态系统维修策略切分成若干子系统维修策略，并且得到子系统维修策略的成本、稳态概率以及产率；子系统策略缩减模块用于比较若干子系统维修策略中的不同维修策略，并且切除其中的非最优策略；子系统策略缩减模块包括随机排序法去除模块、线性规划法去除模块以及子系统策略数量判断模块：首先随机排序法去除模块用于比较随机的两个子系统维修策略，并且去除其中维修策略的成本高且产率低的那个子系统维修策略；接着线性规划法去除模块用于作出两个子系统维修策略的收益差并且用线性规划法求出收益差最大值，若最大值小于零，则作被减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除，否则作减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除；最后子系统策略数量判断模块用于判断子系统策略数量是否缩减到阀值，若是则调用枚举法最优值模块，否则继续执行线性规划法去除模块；枚举法最优值模块用于使用枚举法求出子系统策略缩减模块输出结果的最优解以及与其对应的维修策略。

为了进一步完成发明目的，本发明公开了一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化方法，包括以下步骤：

（1）通过维修策略切分模块，将多状态系统维修策略切分成若干子系统维修策略，并且得到子系统维修策略的成本、稳态概率以及产率；

（2）通过子系统策略缩减模块比较步骤（1）中若干子系统维修策略中的不同维修策略，并且切除其中的非最优策略；

（3）枚举法最优值模块对步骤（2）中子系统策略缩减模块输出结果进行枚举法求解，最终得到最优解及其对应的维修策略。

作为优选，为了提升优化方法的收敛速度，所述方法的步骤（2）包括以下步骤：

（2.1）用随机排序法去除子系统维修策略中部分非最优策略，即将两个子系统维修策略进行比较，去除其中维修策略成本高且产率低的子系统维修策略；

（2.2）用线性规划法去除子系统维修策略中部分非最优策略，即作出两个子系统维修策略的收益差并且用线性规划法求出收益差最大值，若最大值小于零，则作被减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除，否则作减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除；

（2.3）判断子系统维修策略数量是否达到可以实施枚举法的阀值或者步骤（2.2）中的去除方法已经不再起缩减作用，若满足以上条件，则进入步骤（3），否则执行步骤（2.2）。

作为优选，为了进一步实现发明目的，所述步骤（2.2）包括以下步骤：

（2.2.1）设系统由N个子系统组成，把所有子系统看为两个分系统，第一分系统n为第n个子系统，第二分系统

为除第n个子系统外的其他子系统集合，设第二分系统

有

个可能的状态，为第二分系统

的维修策略，系统稳定后第二分系统处于第v个状态的概率为

第v个状态时的产率为

设第一分系统

有N_PRO,x个可能的状态，θ_n为第一分系统n的维修策略，系统稳定后第一分系统n处于第v个状态的概率为p_n,v(θ_n)，第v个状态时的产率为g_n,v；则此时使用维修策略

为θ_n和θ′_n时系统级产率的表达式为

$\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n,{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})=\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\·\underset{j}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{n,j}\left({\mathrm{\θ}}_n\right)\·\min \{g_{\stackrel{\‾}{n},v}{g}_{n,j}\left\}\right))-({\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n\right)+{\stackrel{\‾}{C}}_{M,\stackrel{\‾}{n}}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

$\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n^{\′},{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})=\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{\stackrel{\‾}{n},\mathrm{v\ν}}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\·\underset{j}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{n,j}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)\·\min \{g_{\stackrel{\‾}{n},v},g_{n,j}\left\}\right))-({\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)+{\stackrel{\‾}{C}}_{M,\stackrel{\‾}{n}}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

其中，

和

分别为子系统在θ_n和θ′_n时的维修成本；

对以上两式做差，得到两个子系统维修策略的收益差函数

$\begin{array}{c}R({\mathrm{\θ}}_n,{\mathrm{\θ}}_n^{\′})=[\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n,{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})-\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n^{\′},{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})]=\\ {\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)-{\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n\right)+\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\·\underset{j}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{n,j}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)\·\min \{g_{\stackrel{\‾}{n},v},g_{n,j}\left\}\right))\end{array}$

（2.2.2）步骤（2.2.1）中两个子系统维修策略的收益差函数当θ_n和θ′_n确定时，唯一变量为

使用线性规划法求出R(θ_n,θ′_n)的最大值和最小值。

作为优选，为了更进一步实现发明目的，所述步骤（2.2.2）包括以下步骤：

（2.2.2.1）计算第二分系统

中每个子系统的产率分布边界

其中i=1,2,…,N;j=1,2,…,N_PRO,i；

所述的获得包括以下步骤：

（a）计算该部件在各维修策略下的累积概率分布；

（b）提取部件各状态在不同策略下对应的最小（大）累积概率，组成一个新的累积概率分布；

（c）用步骤（b）中所得的累积概率分布求其对应的概率分布，所得概率分布就是

（2.2.2.2）求得第二分系统

的产率部分边界

分别为

$p_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\max \right)}=\underset{v_1=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{n-1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n-1}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v_{n+1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n+1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{N=1}}{\overset{N_{\mathrm{PRO},N}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{1,v_1}^{\left(\max \right)}...p_{n-1,v_{n-1}}^{\left(\max \right)}{p}_{n+1,v_{n+1}}^{\left(\max \right)}...p_{N,v_N}^{\left(\max \right)}\left(g_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

$p_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\min \right)}=\underset{v_1=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{n-1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n-1}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v_{n+1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n+1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{N=1}}{\overset{N_{\mathrm{PRO},N}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{1,v_1}^{\left(\min \right)}...p_{n-1,v_{n-1}}^{\left(\min \right)}{p}_{n+1,v_{n+1}}^{\left(\min \right)}...p_{N,v_N}^{\left(\min \right)}\left(g_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

其中，

$g_{\stackrel{\‾}{n}}=\left(\min (g_{1,v_1}...,g_{n-1,v_{n-1}},g_{n+1,v_{n+1}}...g_{N,v_N})\right)$

（2.2.2.3）通过步骤（2.2.2.2）求出产率分布边界，

应该满足以下条件

${\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\≥{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\max \right)}\∀v=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}$

${\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\≥{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\min \right)}\∀v=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}$

$\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}\left(p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\right)=1$

和条件

$0\≤p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\≤1,v=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{PRO},n}$

求得产率的最大值及最小值。

有益效果：本发明与现有技术相比，不仅收敛速度快、维修效率高，而且可以保证求得的为最优解。

附图说明

图1为本发明优化方法的流程图；

图2为实施例所用的系统结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如图1所示，首先为系统模型预处理，即在策略优化之前所做的数据处理，用来得到子系统级的维修策略以及每种策略对应的子系统级维修成本、稳态概率和产率，包括以下几个步奏：确定系统的特性参数,包括：每个部件的状态转移矩阵、部件的维修成本、超出规定阈值后部件的维修率、不同状态下每个部件的产率；根据转移矩阵和维修率，计算每个部件在对应的每个可能策略下，处于每个可能状态的稳态概率，并合理储存；列出每个子系统可能的维修策略，并合理存储；不同的维修策略、部件的产率、部件的稳态概率、部件的维修率计算出所有维修策略下子系统级的维修成本、子系统级的产率、不同产率对应的稳态概率，并合理存储。接着是用随机排序法去除子系统的部分非最优策略，即对每个子系统进行以下操作：假设第n个子系统存在两个策略θ_n和θ′_n，若采用θ_n时第n个子系统的维修成本高于采取θ′_n时第n个子系统的维修成本，并且采用θ_n时第n个子系统的产率较低，则θ_n为非最优策略，应去除。然后用线性规划法去除子系统的部分非最优策略在随机排序法缩减后的基础上对每个子系统进行以下操作：求取出该子系统以外的子系统合并后的产率分布边界；根据公式整理线性规划目标函数的系数矩阵，整理线性规划的约束条件，用线性规划函数求最值，若满足条件——收益差的最大值小于零，则作被减数的子系统维修策略为非最优策略，若最小值大于零，则作减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除。将非最优策略做上标记，待检测完毕统一去除。此时判断子系统策略是否已缩减到足够小，若已经足够小则进入最后一步，否则再次执行线性规划法去除子系统的部分非最优策略。最后用枚举法求最优策略，对缩减后的每个子系统的维修策略进行组合，得到系统级的维修策略，此时系统级的维修策略总数较小，计算每个系统级维修策略对应的收益，并找出最大者就是最优维修策略。

下面结合实施例对本发明作更进一步的说明。

如图2所示，本实验中六个子系统的维修策略数分别为27、4、27、9、256、8。系统级的维修策略数为27×4×27×9×256×8=53747712个。而本次实施例使用的计算机计算一次系统收益的时间约为0.047s。

使用枚举法运算时间应不低于0.047×53747712=2.5261e+006s，约为700小时；

使用启发式算法，本次实施例以蚁群算法为例，获得的系统级最优维修策略为θ^*=[4,4,3,2,3,3,3,3,3,3,4,5,4,4,3,3,3]，对应的系统收益为运算时间为500.5s。

本发明的实验结果如表1所示：

表1

使用本发明提出的优化方法，相性规划法执行两次，可达到最佳优化效果。系统级最优维修策略为θ*=[4,4,3,2,3,3,3,3,3,3,4,5,4,4,3,3,3]，对应的系统收益为

总运算时间为13.141s。综上所示，枚举法因运算时间过长不具有可操作性；启发算法与本发明所提出的算法相比虽然优化效果是一致的，但是运算时间相差较大分别为500.5s和13.141s。本发明提出的算法将优化效率提高了38倍。

Claims (5)

1.一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化系统，其特征在于，包括维修策略切分模块、子系统策略缩减模块以及枚举法求最优值模块；

维修策略切分模块用于将多状态系统维修策略切分成若干子系统维修策略，并且得到子系统维修策略的成本、稳态概率以及产率；

子系统策略缩减模块用于比较若干子系统维修策略中的不同维修策略，并且切除其中的非最优策略；子系统策略缩减模块包括随机排序法去除模块、线性规划法去除模块以及子系统策略数量判断模块：首先随机排序法去除模块用于比较随机的两个子系统维修策略，并且去除其中维修策略的成本高且产率低的那个子系统维修策略；接着线性规划法去除模块用于作出两个子系统维修策略的收益差并且用线性规划法求出收益差最大值，若最大值小于零，则作被减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除，否则作减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除；最后子系统策略数量判断模块用于判断子系统策略数量是否缩减到阀值，若是则调用枚举法最优值模块，否则继续执行线性规划法去除模块；

枚举法最优值模块用于使用枚举法求出子系统策略缩减模块输出结果的最优解以及与其对应的维修策略。

2.使用权利要求1所述优化系统的一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

（1）通过维修策略切分模块，将多状态系统维修策略切分成若干子系统维修策略，并且得到子系统维修策略的成本、稳态概率以及产率；

（2）通过子系统策略缩减模块比较步骤（1）中若干子系统维修策略中的不同维修策略，并且切除其中的非最优策略；

（3）枚举法最优值模块对步骤（2）中子系统策略缩减模块输出结果进行枚举法求解，最终得到最优解及其对应的维修策略。

3.如权利要求2所述的一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化方法，其特征在于，步骤（2）包括以下步骤：

（2.1）用随机排序法去除子系统维修策略中部分非最优策略，即将两个子系统维修策略进行比较，去除其中维修策略成本高且产率低的子系统维修策略；

（2.2）用线性规划法去除子系统维修策略中部分非最优策略，即作出两个子系统维修策略的收益差并且用线性规划法求出收益差最大值，若最大值小于零，则作被减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除，否则作减数的子系统维修策略为非最优策略并将其去除；

（2.3）判断子系统维修策略数量是否达到可以实施枚举法的阀值或者步骤（2.2）中的去除方法已经不再起缩减作用，若满足以上条件，则进入步骤（3），否则执行步骤（2.2）。

4.如权利要求3所述的一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化方法，其特征在于，步骤（2.2）包括以下步骤：

（2.2.1）设系统由N个子系统组成，把所有子系统看为两个分系统，第一分系统n为第n个子系统，第二分系统

为除第n个子系统外的其他子系统集合，设第二分系统有

个可能的状态，为第二分系统

的维修策略，系统稳定后第二分系统

处于第v个状态的概率为

第v个状态时的产率为

设第一分系统有N_PRO,n个可能的状态，θ_n为第一分系统n的维修策略，系统稳定后第一分系统n处于第v个状态的概率为p_n,υ(θ_n)，第v个状态时的产率为g_n,υ；则此时使用维修策略

为θ_n和θ′_n时系统级产率的表达式为

$\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n,{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})=\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\·\underset{j}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{n,j}\left({\mathrm{\θ}}_n\right)\·\min \{g_{\stackrel{\‾}{n},v}{g}_{n,j}\left\}\right))-({\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n\right)+{\stackrel{\‾}{C}}_{M,\stackrel{\‾}{n}}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

$\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n^{\′},{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})=\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{\stackrel{\‾}{n},\mathrm{v\ν}}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\·\underset{j}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{n,j}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)\·\min \{g_{\stackrel{\‾}{n},v},g_{n,j}\left\}\right))-({\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)+{\stackrel{\‾}{C}}_{M,\stackrel{\‾}{n}}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

其中，

和

分别为子系统在θ_n和θ′_n时的维修成本；

对以上两式做差，得到两个子系统维修策略的收益差函数

$\begin{array}{c}R({\mathrm{\θ}}_n,{\mathrm{\θ}}_n^{\′})=[\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n,{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})-\stackrel{\‾}{C}({\mathrm{\θ}}_n^{\′},{\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}})]=\\ {\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)-{\stackrel{\‾}{C}}_{M,n}\left({\mathrm{\θ}}_n\right)+\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\·\underset{j}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{n,j}\left({\mathrm{\θ}}_n^{\′}\right)\·\min \{g_{\stackrel{\‾}{n},v},g_{n,j}\left\}\right))\end{array}$

（2.2.2）步骤（2.2.1）中两个子系统维修策略的收益差函数当θ_n和θ′_n确定时，唯一变量为

使用线性规划法求出R(θ_n,θ′_n)的最大值和最小值。

5.如权利要求3所述的一种用于基于空间缩减多状态系统维修策略的优化方法，其特征在于，步骤（2.2.2）包括以下步骤：

（2.2.2.1）计算第二分系统

中每个子系统的产率分布边界其中i=1,2,…,N;j=1,2,…,N_PRO,i；

所述的获得包括以下步骤：

（a）计算该部件在各维修策略下的累积概率分布；

（b）提取部件各状态在不同策略下对应的最小（大）累积概率，组成一个新的累积概率分布；

（c）用步骤（b）中所得的累积概率分布求其对应的概率分布，所得概率分布就是

（2.2.2.2）求得第二分系统n的产率部分边界

分别为

$p_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\max \right)}=\underset{v_1=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{n-1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n-1}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v_{n+1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n+1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{N=1}}{\overset{N_{\mathrm{PRO},N}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{1,v_1}^{\left(\max \right)}...p_{n-1,v_{n-1}}^{\left(\max \right)}{p}_{n+1,v_{n+1}}^{\left(\max \right)}...p_{N,v_N}^{\left(\max \right)}\left(g_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

$p_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\min \right)}=\underset{v_1=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{n-1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n-1}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v_{n+1}=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n+1}}{\mathrm{\Σ}}}...\underset{v_{N=1}}{\overset{N_{\mathrm{PRO},N}}{\mathrm{\Σ}}}(p_{1,v_1}^{\left(\min \right)}...p_{n-1,v_{n-1}}^{\left(\min \right)}{p}_{n+1,v_{n+1}}^{\left(\min \right)}...p_{N,v_N}^{\left(\min \right)}\left(g_{\stackrel{\‾}{n}}\right))$

其中，

$g_{\stackrel{\‾}{n}}=\left(\min (g_{1,v_1}...,g_{n-1,v_{n-1}},g_{n+1,v_{n+1}}...g_{N,v_N})\right)$

（2.2.2.3）通过步骤（2.2.2.2）求出产率分布边界，

应该满足以下条件

${\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\≥{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\max \right)}\∀v=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}$

${\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\≥{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^v{p}_{\stackrel{\‾}{n},j}^{\left(\min \right)}\∀v=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{PRO},\stackrel{\‾}{n}}$

$\underset{v=1}{\overset{N_{\mathrm{PRO},n}}{\mathrm{\Σ}}}\left(p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\right)=1$

和条件

$0\≤p_{\stackrel{\‾}{n},v}\left({\mathrm{\θ}}_{\stackrel{\‾}{n}}\right)\≤1,v=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{PRO},n}$

求得产率的最大值及最小值。

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