CN106200553A - 随动与轮廓误差在线协同补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种随动与轮廓误差在线协同补偿方法属于精密高效智能化数控加工技术领域，涉及数控参数曲线插补加工过程中一种随动误差补偿方法及一种基于高精度轮廓误差矢量估计的轮廓误差补偿方法。该方法首先基于拉普拉斯变换和逆变换计算使系统理论输出值等于期望输出值时的随动误差补偿值；其次，提出参考点再生的一阶近似算法，用于高精度估计轮廓误差矢量；最后，依据轮廓误差矢量估计值，在引入补偿增益的基础上，实现轮廓误差实时补偿；本发明可同时提高数控进给系统单轴跟踪精度和多轴联动轮廓精度，可实现单轴运动随动误差的有效抑制，保证了数控系统单轴跟踪精度和多轴联动轮廓精度的同步提高。

Description

随动与轮廓误差在线协同补偿方法

技术领域

本发明属于精密高效智能化数控加工技术领域，涉及一种参数曲线插补加工过程中的随动与轮廓误差在线协同补偿方法。

背景技术

具有复杂几何特征的复杂曲面类零件在航空航天、国防汽车等领域具有广泛的应用，其加工精度和加工效率直接影响着相关领域高端装备的性能水平和批产进程，鉴于此，提高复杂曲面加工精度和效率具有重要意义。参数曲线直接插补技术相比于传统的直线、圆弧插补具有运动更加平滑等显著优势，故而得到了广泛应用。然而，在复杂曲面类零件的参数曲线插补数控加工中，由于数控系统伺服滞后和动态失匹等原因，会导致采用高进给速度加工时产生较大的单轴运动随动误差及多轴联动轮廓误差，难以满足复杂曲面类零件加工精度与加工效率的双重需求。因此，研究随动与轮廓误差的实时补偿方法，提高数控机床进给伺服系统轮廓跟踪精度，对实现复杂曲面类零件的精密高效加工、推动高端智能化数控装备的发展具有重大应用价值。

对现有技术文献总结发现，文献“Cubic Spline Trajectory Generation withAxis Jerk and Tracking Error Constraints”，Ke Zhang等，International Journal ofPrecision Engineering and Manufacturing，2013，14(7):1141-1146，该文献以进给轴随动误差为约束条件，生成C样条刀轨，将实际加工中单轴随动误差限制在预先设定的误差极限内。虽然该方法可以有效降低随动误差，但随动误差与轮廓误差并无直接关联关系，随动误差的降低并不能完全保证轮廓误差的降低。文献“Analysis and Design of IntegratedControl for Multi-Axis Motion Systems”，Yeh等，IEEE Transactions on ControlSystems Technology，2003，11(3):375-382，该文献提出一种基于可变增益的多轴交叉耦合控制器，基于轮廓误差实时估计值调整控制器增益，用于抑制轮廓误差。然而当各运动轴随动误差较大时，现有的轮廓误差估计方法难以保证其估计精度，影响轮廓控制效果，此外，由于交叉耦合控制器增益时变，系统的稳定性难以得到有效保障。

发明内容

本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种随动与轮廓误差在线协同补偿方法，该方法以实际输出与理论输入值相等为目标，基于拉普拉斯变换与逆变换计算随动误差补偿值，在随动误差补偿的基础上，基于参考点再生的一阶近似算法实时高精度估计轮廓误差，并对其进行补偿，实现数控进给伺服系统高精度轮廓跟踪。可实现单轴运动随动误差的有效抑制，保证了数控系统单轴跟踪精度和多轴联动轮廓精度的同步提高。

本发明的技术方案是一种随动与轮廓误差在线协同补偿方法，其特性在于，该方法基于拉普拉斯变换和逆变换计算随动误差补偿值，再基于参考点再生的一阶近似法计算轮廓误差估计值；最后，进行随动与轮廓误差的协同补偿；方法的具体步骤如下：

第一步计算随动误差补偿值

根据进给轴伺服控制系统的传递函数得到输出与输入间关系，进而，根据理想输出值计算拉普拉斯域下的输入信号补偿值，最后，基于拉普拉斯逆变换，得到时域下随动误差补偿值；“比例-比例积分”控制器控制的进给伺服系统传递函数为：

$G\left(s\right)=\frac{k_{pp}{k}_{vp}s+k_{pp}{k}_{vi}}{{\mathrm{Js}}^3+(B+k_{vp})s^2+(k_{vi}+k_{pp}{k}_{vp})s+k_{pp}{k}_{vi}}---\left(1\right)$

其中，k_pp为位置环比例增益，k_vp为速度环比例增益，k_vi为速度环积分增益，J为进给轴等效惯量，B为进给轴等效弹性阻尼；令a₀＝b₀＝k_ppk_vi，a₁＝k_ppk_vp，b₁＝k_vi+k_ppk_vp，b₂＝B+k_vp，b₃＝J，则公式(1)为：

$G\left(s\right)=\frac{a_{1}s+a_0}{b_3{s}^2+b_2{s}^2+b_{1}s+b_0}---\left(2\right)$

设系统的拉普拉斯域输出值为P(s)，输入值为R(s)，则有：

$\frac{P\left(s\right)}{R\left(s\right)}=G\left(s\right)---\left(3\right)$

设随动误差在拉普拉斯域的补偿值为ΔR(s)，当系统输出与理想输出值相等时，有：

$\frac{R\left(s\right)}{R\left(s\right)+\mathrm{\Δ}R\left(s\right)}=G\left(s\right)---\left(4\right)$

根据公式(4)及公式(2)，得到：

$\mathrm{\Δ}R\left(s\right)=\frac{\[b_3{s}^3+b_2{s}^2+(b_1-a_1)s\]R\left(s\right)}{a_{1}s+a_0}---\left(5\right)$

在每一个插补周期内，时域下参考输入值r(t)为：

r(t)＝r_p+v_pt,t∈[0,T] (6)

式中，r_p为当前插补点在该进给轴方向上的坐标值，v_p为该进给方向上的速度值，t表示时间，T为数控系统的插补周期；通过对公式(6)进行拉普拉斯变换，得拉普拉斯域的参考输入R(s)为：

$R\left(s\right)=\frac{r_p}{s}+\frac{v_p}{s^2}---\left(7\right)$

将公式(7)带入公式(5)得拉普拉斯域下随动误差补偿值为：

$\mathrm{\Δ}R\left(S\right)=\frac{b_3{r}_p{s}^3+(b_3{v}_p+b_2{r}_p)s^2+(b_2{v}_p+(b_1-a_1\left)r_p\right)s+(b_1-a_1)v_p}{a_1{s}^2+a_{0}s}---\left(8\right)$

为得到时域中各插补周期内的随动误差补偿值，需对公式(8)进行拉普拉斯逆变换，因此，将其进行部分分式展开得：

$\mathrm{\Δ}R\left(s\right)=\frac{b_3{r}_p}{a_1}s+\frac{b_3{v}_p}{a_1}+\frac{b_2{r}_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{r}_p}{a_1^2}+\frac{C_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}+\frac{C_2}{s}---\left(9\right)$

式中，C₁、C₂分别为：

$C_1=\frac{b_2{v}_p}{a_1}+\frac{(b_1-a_1)r_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{v}_p}{a_1^2}-\frac{a_0{b}_2{r}_p}{a_1^2}+\frac{a_0^2{b}_3{r}_p}{a_1^3}-\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}$

$C_2=\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}$

对公式(9)进行拉普拉斯逆变换可得：

$\mathrm{\Δ}r\left(t\right)=\frac{b_3{r}_p}{a_1}\frac{d}{dt}\mathrm{\δ}\left(t\right)+(\frac{b_3{v}_p}{a_1}+\frac{b_2{r}_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{r}_p}{a_1^2})\mathrm{\δ}\left(t\right)+C_1{e}^{-\frac{a_0}{a_1}t}+C_2---\left(10\right)$

式中，δ(t)为单位脉冲函数；在实际应用中，每一插补周期只需一个随动误差补偿值，因此，取t＝T时刻的Δr(t)值作为该插补周期内的随动误差补偿值Δ_t，计算为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_t=\[\frac{b_2{v}_p}{a_1}+\frac{(b_1-a_1)r_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{v}_p}{a_1^2}-\frac{a_0{b}_2{r}_p}{a_1^2}+\frac{a_0^2{b}_3{r}_p}{a_1^3}-\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}\]e^{-\frac{a_0}{a_1}T}\\ \frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}\end{array}---\left(11\right)$

设当前插补周期内X、Y、Z进给轴的位置指令分别为r_x、r_y、r_z，X、Y、Z进给轴的速度指令分别为v_x、v_y、v_z，在X、Y、Z进给轴的随动误差补偿器C_t,x、C_t,y、C_t,z中，分别将各进给轴参数代入公式(11)代替r_p、v_p即可得到X、Y、Z进给轴随动误差补偿量Δ_t,x、Δ_t,y及Δ_t,z；

第二步计算轮廓误差估计值

在轮廓误差估计器E_c中，采用基于参考点再生的一阶近似轮廓误差估计算法，高精度估计轮廓误差矢量值；基于多重切向误差逆推法再生成距离理论垂足点较近的参考点，再计算实际刀位点到再生参考点处切线的距离，作为轮廓误差的估计值；

设待插补参数曲线的方程为C＝C(u)，其中u为曲线参数，当前理想刀位点对应的曲线参数值为u_r，实际刀位点为P，首先，令参考点再生过程循环次数为n(n＞1)，初始点参数u_a＝u_r，再生参考点参数u_b＝u_a，当循环次数不大于n时，执行下述循环过程：

1)更新初始点参数值：

u_a＝u_b (12)

2)基于切向误差逆推更新再生参考点参数值：

$u_b=u_a-\frac{\left(C\right(u_a)-P)\·C^{\′}\left(u_a\right)}{\left|\right|C^{\′}\left(u_a\right)|{|}^2}---\left(13\right)$

式中，C′(u_a)为参数方程C(u)对参数u的导失在u_a处的值，||·||表示欧几里得范数；

完成上述循环过程后，得到再生成的参考点C(u_b)，计算实际刀位点P到再生参考点处切线的距离，作为轮廓误差矢量的估计值其计算公式为：

$\widehat{\mathrm{\ϵ}}=C\left(u_b\right)-\frac{\left(C\right(u_b)-P)\·C^{\′}\left(u_b\right)}{\left|\right|C^{\′}\left(u_b\right)|{|}^2}-P---\left(14\right)$

第三步随动误差与轮廓误差协同补偿

为避免影响原级联闭环控制系统的稳定性，在位置指令信号进入位置环之前完成随动与轮廓误差的协同补偿；分别在X、Y、Z进给轴的随动误差补偿器C_t,x、C_t,y、C_t,z中，根据第一步方法计算得到的X、Y、Z进给轴随动误差补偿量Δ_t,x、Δ_t,y及Δ_t,z，计算X、Y、Z进给轴经随动误差补偿后的位置指令r_t,x、r_t,y及r_t,z:

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{t,x}=r_x+{\mathrm{\Δ}}_{t,x}\\ r_{t,y}=r_y+{\mathrm{\Δ}}_{t,y}\\ r_{t,z}=r_z+{\mathrm{\Δ}}_{t,z}\end{array}\right.---\left(15\right)$

根据第二步轮廓误差估计器E_c中计算获得的轮廓误差矢量估计值得到轮廓误差在X、Y、Z轴方向上的误差分量

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_x=\widehat{\mathrm{\ϵ}}\left(1\right)\\ {\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_y=\widehat{\mathrm{\ϵ}}\left(2\right)\\ {\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_z=\widehat{\mathrm{\ϵ}}\left(3\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

在轮廓误差补偿器C_c中，给定定轮廓误差补偿增益K_c，进而计算X、Y、Z方向上的轮廓误差补偿量Δ_c,x、Δ_c,y、Δ_c,z：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_{c,x}=K_c{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_x\\ {\mathrm{\Δ}}_{c,y}=K_c{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_y\\ {\mathrm{\Δ}}_{c,z}=K_c{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_z\end{array}\right.---\left(17\right)$

将轮廓误差补偿量与随动误差补偿后位置指令相加，得到X、Y、Z轴经随动与轮廓误差协同补偿后的位置指令r_com,x、r_com,y及r_com,z；根据公式(15)及(17)得r_com,x、r_com,y及r_com,z为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{com,x}=r_{t,x}+{\mathrm{\Δ}}_{c,x}=r_x+{\mathrm{\Δ}}_{t,x}+{\mathrm{\Δ}}_{c,x}\\ r_{com,y}=r_{t,y}+{\mathrm{\Δ}}_{c,y}=r_y+{\mathrm{\Δ}}_{t,y}+{\mathrm{\Δ}}_{c,y}\\ r_{com,z}=r_{t,z}+{\mathrm{\Δ}}_{c,z}=r_z+{\mathrm{\Δ}}_{t,z}+{\mathrm{\Δ}}_{c,z}\end{array}\right.---\left(18\right)$

利用随动与轮廓误差协同补偿后位置指令r_com,x、r_com,y及r_com,z代替原始补偿前位置指令r_x、r_y及r_z分别作为X、Y、Z进给轴控制系统Gx、Gy及Gz的输入值，实现随动与轮廓误差在线协同补偿。

本发明的有益效果是：发明了以实际输出与理论输入值相等为目标的伺服控制系统随动误差补偿方法，可实现单轴运动随动误差的有效抑制；建立了基于参考点再生一阶近似的轮廓误差高精度估计模型，为轮廓误差高精度估计和补偿奠定了基础；发明了随动与轮廓误差在线协同补偿方法，保证了数控系统单轴跟踪精度和多轴联动轮廓精度的同步提高。

附图说明

图1—随动与轮廓误差补偿器示意图；其中，R表示参数曲线插补器，Gx为X进给轴控制系统，Gy为Y进给轴控制系统，Gz为Z进给轴进给控制系统，C_t,x为X进给轴随动误差补偿器，C_t,y为Y进给轴随动误差补偿器，C_t,z为Z进给轴随动误差补偿器，E_c为轮廓误差估计器，C_c表示轮廓误差补偿器，r_x为X进给轴位置指令，v_x为X进给轴速度指令，r_y为Y进给轴位置指令，v_y为Y进给轴速度指令，r_z为Z进给轴位置指令、v_z为Z进给轴速度指令，C(u)为参数曲线方程，u_r为当前理想刀位点处曲线参数，r_t,x为X进给轴经随动误差补偿后的位置指令，r_t,y为Y进给轴经随动误差补偿后的位置指令，r_t,z为Z进给轴经随动误差补偿后的位置指令，p_x、p_y、p_z分别为实际刀位点的X、Y、Z方向坐标， 分别为轮廓误差矢量估计值在X、Y、Z方向上的分量，K_c为轮廓误差补偿增益，Δ_c,x、Δ_c,y、Δ_c,z分别为X、Y、Z方向上的轮廓误差补偿量，r_com,x、r_com,y、r_com,z分别为X、Y、Z轴经随动与轮廓误差协同补偿后的位置指令值；

图2—曲线刀轨几何模型图；

图3—不采用本补偿方法得到的加工轮廓误差图；其中，X轴表示加工时间，单位为s，Y轴表示轮廓误差值，单位为mm；

图4—采用本补偿方法得到的加工轮廓误差图；其中，X轴表示加工时间，单位为s，Y轴表示轮廓误差值，单位为mm；

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

在参数曲线直接插补过程中，由于各进给轴伺服控制系统的滞后特性及动态性能不匹配等原因，会引起较大的单轴运动随动误差和多轴联动轮廓误差，为提高加工轮廓精度，发明一种随动与轮廓误差在线协同补偿方法。

附图1为随动与轮廓误差补偿器示意图，附图2为曲线刀轨几何模型图，以附图2所示非均匀有理B样条曲线刀轨轮廓为例，详细说明本发明具体实施过程，该曲线刀轨轮廓的非均匀有理B样条参数为：阶数：2；控制点：{(0,0,0)；(-8,-20,0)；(30,-5,-5)；(60,-20,0)；(47,0,0)；(60,20,0)；(30,5,-5)；(-8,20,0)；(0,0,0)}；权因子：{1,0.9,0.75,1.5,6,3.5,1.8,1.5,1}；节点向量：{0,0,0,0.15,0.3,0.45,0.6,0.75,0.85,1,1,1}。借助MATLAB/SIMULINK数值仿真平台，建立三轴数控机床进给伺服控制系统模型，各进给轴传递函数为

$G_x\left(s\right)=G_y\left(s\right)=G_z\left(s\right)=\frac{394.8s+78.96}{0.011s^3+11s^2+396.8s+78.96}---\left(19\right)$

这里，令a₀＝b₀＝78.96，a₁＝394.8，b₁＝396.8，b₂＝11，b₃＝0.011；根据二阶泰勒级数展开法，取插补周期T＝0.002s，对附图2所示的非均匀有理B样条刀轨轮廓进行参数曲线插补，并在每个插补周期内将插补点坐标、各方向速度、插补点参数以及曲线方程等信息输入到附图1所示的随动误差补偿器C_t,x、C_t,y、C_t,z和轮廓误差补偿器C_c中，实现随动与轮廓误差在线协同补偿；实施的具体步骤为：

第一步计算随动误差补偿值：根据公式(11)，在X轴随动误差补偿器C_t,x中将a₀、a₁、b₀、b₁、b₂、b₃的值代入，利用r_x、v_x代替r_p、v_p得到X轴随动误差补偿值Δ_t,x，同理在Y轴随动误差补偿器C_t,y中利用r_y、v_y代替r_p、v_p得到Y轴随动误差补偿值Δ_t,y，在Z轴随动误差补偿器C_t,z中利用r_z、v_z代替r_p、v_p得到Z轴随动误差补偿值Δ_t,z:

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_{t,x}=(0.0025v_x-0.0005r_x)e^{-0.0004}+0.0253v_x\\ {\mathrm{\Δ}}_{t,y}=(0.0025v_y-0.0005r_y)e^{-0.0004}+0.0253v_y\\ {\mathrm{\Δ}}_{t,z}=(0.0025v_z-0.0005r_z)e^{-0.0004}+0.0253v_z\end{array}\right.---\left(20\right)$

第二步计算轮廓误差估计值：在轮廓误差估计器E_c中，根据发明内容第二步中所提的方法，利用公式(14)，实时估计轮廓误差矢量

第三步随动误差与轮廓误差协同补偿：在各进给轴随动误差补偿器中，根据公式(15)得到随动误差补偿后各进给轴位置指令r_t,x、r_t,y及r_t,z；在轮廓误差补偿器C_c中，利用公式(16)得到轮廓误差矢量估计值在各进给方向上的误差分量给定轮廓误差补偿增益K_c＝10，利用公式(17)计算X、Y、Z方向上轮廓误差补偿量Δ_c,x、Δ_c,y、Δ_c,z，进而利用公式(18)得到X、Y、Z轴经随动与轮廓误差补偿后的位置指令r_com,x、r_com,y及r_com,z，利用该补偿后位置指令分别作为各进给轴控制系统Gx、Gy及Gz的输入，控制各进给轴运动，实现随动与轮廓误差补偿。

在每个插补周期内执行上述步骤，即可实现整条刀轨上的随动与轮廓误差在线协同补偿。附图3为不采用本补偿方法得到的加工轮廓误差图，从附图3中可见轮廓误差最大值为0.422mm，计算得轮廓误差平均值为0.0568mm；附图4为采用本补偿方法得到的加工轮廓误差图，从附图4可见最大误差为0.0014mm，平均误差为0.00022mm；由此可见，本发明随动与轮廓误差在线协同补偿方法可显著降低数控机床的加工轮廓误差，具有优越的轮廓误差抑制效果。

本发明面向参数曲线插补实际加工中易产生较大的随动与轮廓误差、进而影响复杂曲面类零件的加工精度和加工效率问题，发明了随动与轮廓误差在线协同补偿方法，对数控机床进给伺服系统轮廓跟踪精度的提高以及高端装备中复杂曲面类零件的精密高效加工具有重大意义。

Claims (1)

1.一种随动与轮廓误差在线协同补偿方法，其特性在于，该方法基于拉普拉斯变换和逆变换计算随动误差补偿值，再基于参考点再生的一阶近似法计算轮廓误差估计值；最后，进行随动与轮廓误差的协同补偿；方法的具体步骤如下：

第一步计算随动误差补偿值

根据进给轴伺服控制系统的传递函数得到输出与输入间关系，进而，根据理想输出值计算拉普拉斯域下的输入信号补偿值，最后，基于拉普拉斯逆变换，得到时域下随动误差补偿值；“比例-比例积分”控制器控制的进给伺服系统传递函数为：

$G\left(s\right)=\frac{k_{pp}{k}_{vp}s+k_{pp}{k}_{vi}}{{\mathrm{Js}}^3+(B+k_{vp})s^2+(k_{vi}+k_{pp}{k}_{vp})s+k_{pp}{k}_{vi}}---\left(1\right)$

其中，k_pp为位置环比例增益，k_vp为速度环比例增益，k_vi为速度环积分增益，J为进给轴等效惯量，B为进给轴等效弹性阻尼；令a₀＝b₀＝k_ppk_vi，a₁＝k_ppk_vp，b₁＝k_vi+k_ppk_vp，b₂＝B+k_vp，b₃＝J，则公式(1)为：

$G\left(s\right)=\frac{a_{1}s+a_0}{b_3{s}^2+b_2{s}^2+b_{1}s+b_0}---\left(2\right)$

设系统的拉普拉斯域输出值为P(s)，输入值为R(s)，则有：

$\frac{P\left(s\right)}{R\left(s\right)}=G\left(s\right)---\left(3\right)$

设随动误差在拉普拉斯域的补偿值为ΔR(s)，当系统输出与理想输出值相等时，有：

$\frac{R\left(s\right)}{R\left(s\right)+\mathrm{\Δ}R\left(s\right)}=G\left(s\right)---\left(4\right)$

根据公式(4)及公式(2)，得到：

$\mathrm{\Δ}R\left(s\right)=\frac{\[b_3{s}^3+b_2{s}^2+(b_1-a_1)s\]R\left(s\right)}{a_{1}s+a_0}---\left(5\right)$

在每一个插补周期内，时域下参考输入值r(t)为：

r(t)＝r_p+v_pt,t∈[0,T] (6)

式中，r_p为当前插补点在该进给轴方向上的坐标值，v_p为该进给方向上的速度值，t表示时间，T为数控系统的插补周期；通过对公式(6)进行拉普拉斯变换，得拉普拉斯域的参考输入R(s)为：

$R\left(s\right)=\frac{r_p}{s}+\frac{v_p}{s^2}---\left(7\right)$

将公式(7)带入公式(5)得拉普拉斯域下随动误差补偿值为：

$\mathrm{\Δ}R\left(s\right)=\frac{b_3{r}_p{s}^3+(b_3{v}_p+b_2{r}_p)s^2+(b_2{v}_p+(b_1-a_1\left)r_p\right)s+(b_1-a_1)v_p}{a_1{s}^2+a_{0}s}---\left(8\right)$

为得到时域中各插补周期内的随动误差补偿值，需对公式(8)进行拉普拉斯逆变换，因此，将其进行部分分式展开得：

$\mathrm{\Δ}R\left(s\right)=\frac{b_3{r}_p}{a_1}s+\frac{b_3{v}_p}{a_1}+\frac{b_2{r}_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{r}_p}{a_1^2}+\frac{C_1}{s+\frac{a_0}{a_1}}+\frac{C_2}{s}---\left(9\right)$

式中，C₁、C₂分别为：

$C_1=\frac{b_2{v}_p}{a_1}+\frac{(b_1-a_1)r_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{v}_p}{a_1^2}-\frac{a_0{b}_2{r}_p}{a_1^2}+\frac{a_0^2{b}_3{r}_p}{a_1^3}-\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}$

$C_2=\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}$

对公式(9)进行拉普拉斯逆变换可得：

$\mathrm{\Δ}r\left(t\right)=\frac{b_3{r}_p}{a_1}\frac{d}{dt}\mathrm{\δ}\left(t\right)+\left(\frac{b_3{v}_p}{a_1}+\frac{b_2{r}_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{r}_p}{a_1^2}\right)\mathrm{\δ}\left(t\right)+C_1{e}^{-\frac{a_0}{a_1}t}+C_2---\left(10\right)$

式中，δ(t)为单位脉冲函数；在实际应用中，每一插补周期只需一个随动误差补偿值，因此，取t＝T时刻的Δr(t)值作为该插补周期内的随动误差补偿值Δ_t，计算为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_t=\[\frac{b_2{v}_p}{a_1}+\frac{(b_1-a_1)r_p}{a_1}-\frac{a_0{b}_3{v}_p}{a_1^2}-\frac{a_0{b}_2{r}_p}{a_1^2}+\frac{a_0^2{b}_3{r}_p}{a_1^3}-\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}\]e^{-\frac{a_0}{a_1}T}\\ +\frac{(b_1-a_1)v_p}{a_0}\end{array}---\left(11\right)$

设当前插补周期内X、Y、Z进给轴的位置指令分别为r_x、r_y、r_z，X、Y、Z进给轴的速度指令分别为v_x、v_y、v_z，在X、Y、Z进给轴的随动误差补偿器C_t,x、C_t,y、C_t,z中，分别将各进给轴参数代入公式(11)代替r_p、v_p即可得到X、Y、Z进给轴随动误差补偿量Δ_t,x、Δ_t,y及Δ_t,z；

第二步计算轮廓误差估计值

在轮廓误差估计器E_c中，采用基于参考点再生的一阶近似轮廓误差估计算法，高精度估计轮廓误差矢量值；基于多重切向误差逆推法再生成距离理论垂足点较近的参考点，再计算实际刀位点到再生参考点处切线的距离，作为轮廓误差的估计值；

设待插补参数曲线的方程为C＝C(u)，其中u为曲线参数，当前理想刀位点对应的曲线参数值为u_r，实际刀位点为P，首先，令参考点再生过程循环次数为n(n＞1)，初始点参数u_a＝u_r，再生参考点参数u_b＝u_a，当循环次数不大于n时，执行下述循环过程：

1)更新初始点参数值：

u_a＝u_b (12)

2)基于切向误差逆推更新再生参考点参数值：

$u_b=u_a-\frac{\left(C\right(u_a)-P)\·C^{\′}\left(u_a\right)}{\left|\right|C^{\′}\left(u_a\right)|{|}^2}---\left(13\right)$

式中，C′(u_a)为参数方程C(u)对参数u的导失在u_a处的值，||·||表示欧几里得范数；

完成上述循环过程后，得到再生成的参考点C(u_b)，计算实际刀位点P到再生参考点处切线的距离，作为轮廓误差矢量的估计值其计算公式为：

$\widehat{\mathrm{\ϵ}}=C\left(u_b\right)-\frac{\left(C\right(u_b)-P)\·C^{\′}\left(u_b\right)}{\left|\right|C^{\′}\left(u_b\right)|{|}^2}-P---\left(14\right)$

第三步随动误差与轮廓误差协同补偿

为避免影响原级联闭环控制系统的稳定性，在位置指令信号进入位置环之前完成随动与轮廓误差的协同补偿；分别在X、Y、Z进给轴的随动误差补偿器C_t,x、C_t,y、C_t,z中，根据第一步方法计算得到的X、Y、Z进给轴随动误差补偿量Δ_t,x、Δ_t,y及Δ_t,z，计算X、Y、Z进给轴经随动误差补偿后的位置指令r_t,x、r_t,y及r_t,z:

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{t,x}=r_x+{\mathrm{\Δ}}_{t,x}\\ r_{t,y}=r_y+{\mathrm{\Δ}}_{t,y}\\ r_{t,z}=r_z+{\mathrm{\Δ}}_{t,z}\end{array}\right.---\left(15\right)$

根据第二步轮廓误差估计器E_c中计算获得的轮廓误差矢量估计值得到轮廓误差在X、Y、Z轴方向上的误差分量

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_x=\widehat{\mathrm{\ϵ}}\left(1\right)\\ {\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_y=\widehat{\mathrm{\ϵ}}\left(2\right)\\ {\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_z=\widehat{\mathrm{\ϵ}}\left(3\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

在轮廓误差补偿器C_c中，给定定轮廓误差补偿增益K_c，进而计算X、Y、Z方向上的轮廓误差补偿量Δ_c,x、Δ_c,y、Δ_c,z：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_{c,x}=K_c{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_x\\ {\mathrm{\Δ}}_{c,y}=K_c{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_y\\ {\mathrm{\Δ}}_{c,z}=K_c{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}_z\end{array}\right.---\left(17\right)$

将轮廓误差补偿量与随动误差补偿后位置指令相加，得到X、Y、Z轴经随动与轮廓误差协同补偿后的位置指令r_com,x、r_com,y及r_com,z；根据公式(15)及(17)得r_com,x、r_com,y及r_com,z为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{com,x}=r_{t,x}+{\mathrm{\Δ}}_{c,x}=r_x+{\mathrm{\Δ}}_{t,x}+{\mathrm{\Δ}}_{c,x}\\ r_{com,y}=r_{t,y}+{\mathrm{\Δ}}_{c,y}=r_y+{\mathrm{\Δ}}_{t,y}+{\mathrm{\Δ}}_{c,y}\\ r_{com,z}=r_{t,z}+{\mathrm{\Δ}}_{c,z}=r_z+{\mathrm{\Δ}}_{t,z}+{\mathrm{\Δ}}_{c,z}\end{array}\right.---\left(18\right)$

利用随动与轮廓误差协同补偿后位置指令r_com,x、r_com,y及r_com,z代替原始补偿前位置指令r_x、r_y及r_z分别作为X、Y、Z进给轴控制系统Gx、Gy及Gz的输入值，实现随动与轮廓误差在线协同补偿。