CN106154825A - 一种带有时延的网络化控制系统的非脆弱h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种带有时延的网络化控制系统的非脆弱H∞控制方法，考虑NCSs中存在的网络诱导时延与控制器参数摄动问题，设计了一种加性非脆弱状态反馈控制器u(k)＝(K+ΔK)x(k‑d(k))，控制器增益参数表达式为：使得被控线性离散时不变系统在一定的参数摄动和时延条件下达到渐近稳定并满足设定的H_∞性能指标。

Description

一种带有时延的网络化控制系统的非脆弱H∞控制方法

技术领域：

本发明属于网络控制系统领域，特别涉及一种带有时延的网络化控制系统的非脆弱H∞控制方法。

背景技术：

通过网络形成的反馈控制系统统称为网络控制系统NCSs(networked controlsystems)。该类系统中，传感器与控制器以及控制器与执行器之间的数据传输都是通过网络实现的。在传统的控制系统中加入网络作为通信媒介，有限的网络带宽则不可避免的会出现资源竞争和网络拥塞等现象，进而导致数据传输的延迟，这种延迟称为网络时延^[2]。由于网络时延的存在，网络控制系统的控制输入得不到及时更新，不仅会降低系统的控制性能，甚至会影响系统的稳定性。

在实际的网络化控制系统中，往往存在一些不可预测的外界干扰，容易导致控制器的增益发生微小的摄动，保证系统在控制器增益摄动条件下的稳定性具有重要意义。因此，在进行系统分析与设计时，往往需要考虑控制器对其自身参数不确定的鲁棒性能，但已有的研究提供的控制方法未涉及控制器参数摄动情况。本发明综合考虑NCSs中存在的网络诱导时延与控制器参数摄动问题，设计了一种非脆弱控制器，使得被控系统在一定的参数摄动和时延条件下达到渐近稳定并满足设定的H_∞性能指标。

发明内容：

为了解决上述问题，本发明提供了带有时延的网络化控制系统的非脆弱H∞控制方法。

本发明所采用的技术方案其主要实现步骤如下：

(1)针对线性离散时不变系统

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax\left(k\right)+B_{2}u\left(k\right)+B_{1}w\left(k\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中x(k)∈Rⁿ、u(k)∈R^m、w(k)∈R^p、z(k)∈R^q分别表示系统状态、控制输入、外部扰动输入和被控输出，A∈R^n*n、B₂∈R^n*m、B₁∈R^n*p、C∈R^q*n、D∈R^q*p为对应适当维数的系数矩阵，矩阵B₂满足列满秩；

(2)数据在网络中传输产生的时延为d(k)，控制器端的状态为x(k)＝x(k-d(k))，其中0＜d(k)≤d_max，d_max为输入时延d(k)的上界；

(3)设计加性非脆弱状态反馈控制器

u(k)＝(K+ΔK)x(k-d(k))

K∈R^m×n为控制器增益矩阵，ΔK∈R^m×n为控制器的增益摄动，具体形式为：

ΔK＝HF(k)E，F(k)F^T(k)≤I

其中H∈R^m×m和E∈R^m×n是具有特定维数的常数矩阵，反映增益摄动的强弱，

F(k)∈R^m×m为不确定加性时变扰动矩阵；

(4)矩阵B₂列满秩，由

${\mathrm{UB}}_{2}V=\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]B_{2}V=\left[\begin{array}{c}{B}_{21}\\ 0\end{array}\right]$

求出两个正交矩阵U∈R^n×n和V∈R^m×m，其中U₁∈R^m×n，U₂∈R^(n-m)×n，B₂₁＝diag{b₁,b₂,...,b_m}，b_i(i＝1,2,...,m)是B₂的非零奇异值；

(5)矩阵B₂列满秩，给定对称正定矩阵P，由可求出P₁₁，其中P∈R^n×n，P₁₁∈R^m×m，P₂₂∈R^(n-m)×(n-m)；

存在非奇异矩阵P₁∈R^m×m，使得矩阵等式B₂P₁＝PB₂成立，可求出矩阵P₁＝(V^T)^-1B₂₁ ^{- 1}P₁₁B₂₁V^T；

(6)给定的常数γ，标量ε＞0，使得线性矩阵不等式成立

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&Theta;}}_{22}& {\mathrm{\&Theta;}}_{23}& {\mathrm{\&Theta;}}_{24}& {\mathrm{\&Theta;}}_{25}\\ *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0& 0\\ *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0\\ *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I\end{array}\right]<0$

其中：

$\&Pi;=\left[\begin{array}{cccc}{A}^{T}PA-P& A^T{\mathrm{PB}}_{2}K& 0& A^T{\mathrm{PB}}_1\\ *& 0& 0& K^T{B_2}^T{P}^T{B}_1\\ *& *& -P& 0\\ *& *& *& {B_1}^T{\mathrm{PB}}_1-{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right],$

Θ₁₁＝[0 PB₂K 0 0 0]，Θ₂₂＝[0 0 0 H^TB₂ ^TPB₁ 0 0]^T，

Θ₂₃＝Θ₂₅＝[0 E 0 0 0 0]，Θ₂₄＝[H^TB₂ ^TPA 0 0 0 0 H^TB₂ ^TP]^T；

由于PB₂＝B₂P₁，将上述式子中的PB₂用B₂P₁替代，并令N＝P₁K，在MATLAB中

通过LMI工具箱求解线性矩阵不等式求出N，则控制器增益参数表达式为：

K＝P₁ ^-1N＝VB₂₁ ^-1P₁₁ ^-1B₂₁V^TN (2)

(7)构成闭环离散控制系统

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax\left(k\right)+B_2(K+\mathrm{\&Delta;}K)x(k-d\left(k\right))+B_{1}w\left(k\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.$

对给定的正常数γ，闭环系统具有以下性质：

1)系统是渐近稳定的；

2)从外部扰动w(k)到被调输出z(k)的传递函数矩阵G_wz(k)的H_∞范数不超过给定的常数γ，即在零初始条件x(k)＝0下，有

$\left|\right|z\left(k\right)|{|}_2\&le;\mathrm{\&gamma;}|\left|w\left(k\right)\right|{|}_2,\&ForAll;w\&Element;L_2\&lsqb;0,\mathrm{\&infin;})$

闭环系统具有H_∞性能γ，此不等式反映了系统对外部扰动的抑制能力，γ越小表明系统的性能越好。

本发明的有益效果：在一定的时变时延与控制器参数摄动作用下，本发明设计的非脆弱H_∞控制器能使闭环系统达到渐近稳定并满足预设的H_∞性能指标

附图说明：

图1为带有时延的网络化控制系统的非脆弱H∞控制框图。

具体实施方式：

本发明考虑了网络诱导时延对网络控制系统的影响，设计状态反馈控制器，使得在一定的网络诱导时延和控制器参数摄动的条件下，被控系统能够达到渐近稳定并满足预设的H_∞性能指标γ。

以下结合一个线性离散时不变系统控制例子来说明发明的有效性。

考虑如式(1)所描述的网络控制系统，其参数如下：

$A=\left[\begin{array}{ccc}0.85& 0& 0.01\\ 0.96& 0& 0\\ 0& 0& 1.11\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{ccc}0.1& 0& 0\\ 0& 0.1& 0\\ 0.1& 0& 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{ccc}0.1& 0& 0\\ 0& 0.1& 0\\ 0& 0& 0.1\end{array}\right],$

D＝0.5，H＝0.5，

系统参数矩阵A的特征值为{0,0.85,1.}1，1可知系统(1)是不稳定的，假设扰动为w(k)＝[sin(k^2)/k cos(k^2)/k 0]，初始状态为时延d(k)满足0＜d(k)≤3。根据公式(2)中控制器增益的表达式，利用LMI工具箱直接求解得到

$K=\left[\begin{array}{ccc}-3.4399& -1.2932& -0.1945\\ -3.8515& -1.4870& -0.1657\\ -0.2503& -0.1948& -6.3194\end{array}\right]$

被控系统能够达到渐近稳定，H_∞性能指标γ＝3.5730。

以上是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何的简单修改、等同变化与修饰，均属于发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种带有时延的网络化控制系统的非脆弱H∞控制方法，其特征在于，其主要实现步骤如下：

(1)针对线性离散时不变系统

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax\left(k\right)+B_{2}u\left(k\right)+B_{1}w\left(k\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.$

其中x(k)∈Rⁿ、u(k)∈R^m、w(k)∈R^p、z(k)∈R^q分别表示系统状态、控制输入、外部扰动输入和被控输出，A∈R^n*n、B₂∈R^n*m、B₁∈R^n*p、C∈R^q*n、D∈R^q*p为对应适当维数的系数矩阵，矩阵B₂满足列满秩；

(2)数据在网络中传输产生的时延为d(k)，控制器端的状态为x(k)＝x(k-d(k))，其中0＜d(k)≤d_max，d_max为输入时延d(k)的上界；

(3)设计加性非脆弱状态反馈控制器

u(k)＝(K+ΔK)x(k-d(k))

K∈R^m×n为控制器增益矩阵，ΔK∈R^m×n为控制器的增益摄动，具体形式为：

ΔK＝HF(k)E，F(k)F^T(k)≤I

其中H∈R^m×m和E∈R^m×n是具有特定维数的常数矩阵，反映增益摄动的强弱，F(k)∈R^m×m为不确定加性时变扰动矩阵；

(4)矩阵B₂列满秩，由

${\mathrm{UB}}_{2}V=\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]B_{2}V=\left[\begin{array}{c}{B}_{21}\\ 0\end{array}\right]$

求出两个正交矩阵U∈R^n×n和V∈R^m×m，其中U₁∈R^m×n，U₂∈R^(n-m)×n，B₂₁＝diag{b₁,b₂,...,b_m}，b_i(i＝1,2,...,m)是B₂的非零奇异值；

(5)矩阵B₂列满秩，给定对称正定矩阵P，由可求出P₁₁，其中P∈R^n×n，P₁₁∈R^m×m，P₂₂∈R^(n-m)×(n-m)；

存在非奇异矩阵P₁∈R^m×m，使得矩阵等式B₂P₁＝PB₂成立，可求出矩阵P₁＝(V^T)^-1B₂₁ ^{- 1}P₁₁B₂₁V^T；

(6)给定的常数γ，标量ε＞0，使得线性矩阵不等式成立

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Xi;}}_{22}& {\mathrm{\&Theta;}}_{22}& {\mathrm{\&Theta;}}_{22}& {\mathrm{\&Theta;}}_{24}& {\mathrm{\&Theta;}}_{25}\\ *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0& 0\\ *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0& 0\\ *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I& 0\\ *& *& *& *& -\mathrm{\&epsiv;}I\end{array}\right]<0$

其中：

$\&Pi;=\left[\begin{array}{cccc}{A}^{T}PA-P& A^T{\mathrm{PB}}_{2}K& 0& A^T{\mathrm{PB}}_1\\ *& 0& 0& K^T{B_2}^T{P}^T{B}_1\\ *& *& -P& 0\\ *& *& *& {B_1}^T{\mathrm{PB}}_1-{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right],$

Θ₁₁＝[0 PB₂K 0 0 0]，Θ₂₂＝[0 0 0 H^TB₂ ^TPB₁ 0 0]^T，

Θ₂₃＝Θ₂₅＝[0 E 0 0 0 0]，Θ₂₄＝[H^TB₂ ^TPA 0 0 0 0 H^TB₂ ^TP]^T；

由于PB₂＝B₂P₁，将上述式子中的PB₂用B₂P₁替代，并令N＝P₁K，在MATLAB中通过LMI工具箱求解线性矩阵不等式，求出N，则控制器增益参数表达式为：

K＝P₁ ^-1N＝VB₂₁ ^-1P₁₁ ^-1B₂₁V^TN；

(7)构成闭环离散控制系统

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax\left(k\right)+B_2(K+\mathrm{\&Delta;}K)x(k-d\left(k\right))+B_{1}w\left(k\right)\\ z\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Dw\left(k\right)\end{array}\right.$

对给定的正常数γ，闭环系统具有以下性质：

1)系统是渐近稳定的；

2)从外部扰动w(k)到被调输出z(k)的传递函数矩阵G_wz(k)的H_∞范数不超过给定的常数γ，即在零初始条件x(k)＝0下，有

$\left|\right|z\left(k\right)|{|}_2\&le;\mathrm{\&gamma;}|\left|w\left(k\right)\right|{|}_2,\&ForAll;w\&Element;L_2\&lsqb;0,\mathrm{\&infin;})$

闭环系统具有H_∞性能γ，此不等式反映了系统对外部扰动的抑制能力，γ越小表明系统的性能越好。