CN106096304A - 一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法，包括以下步骤：S1，计算电力电缆中电路发生故障时的交流电阻R、环境温度t₀、导体温度T₁、绝缘层温度T_n‑3、缓冲带温度T_n‑2、铝护套温度T_n‑1和外护套温度T_n，根据交流电阻公式计算出交流电阻R，通过在线监测得到环境温度t₀，根据电缆暂态热路模型计算得到导体温度T₁、绝缘层温度T_n‑3、缓冲带温度T_n‑2、铝护套温度T_n‑1和外护套温度T_n，并记录上述数据；S2，根据记录的数据用迭代法计算出电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间的热阻R_n及热容C_n。本发明提供电网调度人员应急负荷下最大载流量，既可避免超出最大载流量的负荷对电缆造成损伤，又可避免不必要的抢修停电，这将有利于提高电缆线路的利用率。

Description

一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法

技术领域

本发明涉及一种计算暂态下电缆载流量对电缆内部导体温度影响的方法，尤其涉及一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法。

背景技术

当输电线路出现事故时，往往需要将原本电缆上的负载切换到其他电缆上，以维持用户的正常用电，但是过多的负载会造成较大的电流，增大电缆的负担，由于电缆本身的绝缘在超过一定温度后会发生热击穿，因此长时间进行过负载运行是不可行的；由于电网调度人员一般可以在两小时内将发生事故前的原本电缆的负载调度分配到电网的其他部分，因此对暂时过负载电缆在暂态下两小时内的温升情况进行预测便变得尤为重要。

目前对暂态载流量引起的两小时后电缆内部导体升温主要还是通过具体的实验数据进行观察，缺乏通用性，在实际应用中也较为繁琐。

发明内容

基于背景技术存在的技术问题，本发明提出了一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法。

本发明提出的一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法，包括以下步骤：

S1，计算电力电缆中电路发生故障时的交流电阻R、环境温度t₀、导体温度T₁、绝缘层温度T_n-3、缓冲带温度T_n-2、铝护套温度T_n-1和外护套温度T_n，根据交流电阻公式计算出交流电阻R，通过在线监测得到环境温度t₀，根据电缆暂态热路模型计算得到导体温度T₁、绝缘层温度T_n-3、缓冲带温度T_n-2、铝护套温度T_n-1和外护套温度T_n，并记录上述数据；

S2，根据记录的数据用迭代法计算出电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间的热阻R_n及热容C_n；

S3，通过应急负荷时间得到应急负荷载流量的计算公式，采用集中参数，根据热力学的能量守恒定律，得到计算方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\τ}}+\frac{1}{R_1}{t}_1-\frac{1}{R_1}{t}_2=P_1\\ -\frac{1}{R_1}{t}_1+C_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})t_2-\frac{1}{R_2}{t}_3=P_2\\ \mathrm{...}\\ -\frac{1}{R_{n-i-1}}{t}_{n-i-1}+C_{n-i}\frac{{\mathrm{dt}}_{n-i}}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_{n-i-1}}+\frac{1}{R_{n-i}})t_{n-i}-\frac{1}{R_{n-i}}{t}_{n-i+1}=P_{n-i}\\ \mathrm{...}\\ -\frac{1}{R_{n-1}}{t}_{n-1}+C_n\frac{{\mathrm{dt}}_n}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_{n-1}}+\frac{1}{R_n})t_n=P_n+\frac{1}{R_n}{t}_0\end{array}\right.$

上述方程组中，t₁为导体温度；t₂至t_n-3为绝缘层分层的各层温度；t_n-2为缓冲带温度；t_n-1为铝护套温度；t_n为外护套温度；R₁至R_n-4和C₁至C_n-4分别为绝缘层各分层的热阻和热容；R_n-3、C_n-3分别为缓冲带的热阻和热容；R_n-2、C_n-2分别为气隙层与铝护套加在一起的热阻和热容；R_n-1、C_n-1分别为外护套的热阻和热容；R_n、C_n分别为电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间土壤的热阻和热容。

本发明中，S3中方程组写成矩阵形式：

$\stackrel{\·}{t}=At+BP$

其中

t＝[t₁ t₂ t₃ … t_n]^T

$B=diag(C_1^{-1},C_2^{-1},C_3^{-1},...,C_n^{-1})$

P＝[P₁ P₂ P₃ … P_n+t₀/R_n]^T

由A矩阵的特点可知A矩阵可对角化，下面对热路方程进行解耦求解，

令

A＝HΛH^-1

其中

Λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,…,λ_n)

令

t＝HY

原式变换为

$H\stackrel{\·}{Y}=AHY+BP$

等式两边左乘H^-1

$\stackrel{\·}{Y}=H^{-1}AHY+H^{-1}BP$

得

$\stackrel{\·}{Y}=\mathrm{\Λ}Y+H^{-1}BP$

其中

$\stackrel{\·}{Y}={\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\mathrm{dy}}_1}{d\mathrm{\τ}}& \frac{{\mathrm{dy}}_2}{d\mathrm{\τ}}& \frac{{\mathrm{dy}}_3}{d\mathrm{\τ}}& \mathrm{...}& \frac{{\mathrm{dy}}_n}{d\mathrm{\τ}}\end{array}\right]}^T$

且为表述方便，令

K＝H^-1BP＝[k₁ k₂ k₃ … k_n]^T

式子可以表示为方程组形式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dy}}_1}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_1{y}_1+k_1\\ \frac{{\mathrm{dy}}_2}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_2{y}_2+k_2\\ \frac{{\mathrm{dy}}_3}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_3{y}_3+k_3\\ .\\ .\\ .\\ \frac{{\mathrm{dy}}_n}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_n{y}_n+k_n\end{array}\right.$

初始条件：

$T_0={\mathrm{HY}}_0\⇔{\left[\begin{array}{ccccc}{T}_1& T_2& T_3& \mathrm{...}& T_n\end{array}\right]}^T=H{\left[\begin{array}{ccccc}{y}_{10}& y_{20}& y_{30}& \mathrm{...}& y_{n0}\end{array}\right]}^T$

解方程得到

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=(y_{10}+\frac{k_1}{{\mathrm{\λ}}_1})e^{{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\τ}}-\frac{k_1}{{\mathrm{\λ}}_1}\\ y_2=(y_{20}+\frac{k_2}{{\mathrm{\λ}}_2})e^{{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{\τ}}-\frac{k_2}{{\mathrm{\λ}}_2}\\ y_3=(y_{30}+\frac{k_3}{{\mathrm{\λ}}_3})e^{{\mathrm{\λ}}_3\mathrm{\τ}}-\frac{k_3}{{\mathrm{\λ}}_3}\\ .\\ .\\ .\\ y_n=(y_{n0}+\frac{k_n}{{\mathrm{\λ}}_n})e^{{\mathrm{\λ}}_n\mathrm{\τ}}-\frac{k_n}{{\mathrm{\λ}}_n}\end{array}\right.$

简化处理时可令P₂至P_n为零；

$\left\{\begin{array}{c}{t}_1=h_{11}{y}_1+h_{12}{y}_2+h_{13}{y}_3+\mathrm{...}+h_{1,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{1n}{y}_n\\ t_2=h_{21}{y}_1+h_{22}{y}_2+h_{23}{y}_3+\mathrm{...}+h_{2,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{2n}{y}_n\\ t_3=h_{31}{y}_1+h_{32}{y}_2+h_{33}{y}_3+\mathrm{...}+h_{3,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{3n}{y}_n\\ .\\ .\\ .\\ t_n=h_{n1}{y}_1+h_{n2}{y}_2+h_{n3}{y}_3+\mathrm{...}+h_{n,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{nn}{y}_n\end{array}\right.$ 解得

$t_1=P_1\·\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{h_{1i}{l}_{i1}(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_{1i}(\frac{l_{in}{t}_0(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i{R}_n}+y_{i0}{e}^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}})$

又

P＝I²R

可得到导体最终温度t₁关于载流量I和紧急负荷时间τ的表达式：

$t_1=I^{2}R\·\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{h_{1i}{l}_{i1}(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_{1i}(\frac{l_{in}{t}_0(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i{R}_n}+y_{i0}{e}^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}})$

根据运行要求可令t₁|_τ＝7200s＝90℃；

对上式载流量I进行分离变量，即得到规定经过紧急负荷时间τ后，导体温度不超过规定温度t₁的电缆最大载流量：

$I=\sqrt{\frac{t_1-\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_{1i}(\frac{l_{in}{t}_0(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i{R}_n}+y_{i0}{e}^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}})}{R\·\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{h_{1i}{l}_{i1}(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i}}}$

在上两式中：

h_ij(1≤i,j≤n)为伴随矩阵H中的第i行，第j列元素；

l_ij(1≤i,j≤n)为系数矩阵L中的第i行，第j列元素；

λ_i(1≤i≤n)为对角矩阵Λ中的第i个对角元素；

y_i0(1≤i≤n)为初始条件列向量Y₀中的第i个对角元素；

R为电缆导线单位长度的交流电阻；

t₀为外部环境的外边界温度；

R_n、C_n分别为电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间土壤的热阻和热容。

本发明具有以下优点：

1、采用对电缆热路精细划分的模型，提高暂态温升计算的精确度。

2、能够得到在一定温度初始环境与给定应急负荷时间τ下，热路模型应急负荷最大载流量I关于电缆导体最高能够达到的温度t₁的解析解。

3、应急负荷最大载流量的计算过程中采用了对角化的方法，及解耦的思想，使计算机实现该运算过程时可采用避免积分算法的出现，从而提高了数值计算的精确度并缩短了运算时间。

4、提供电网调度人员应急负荷下最大载流量既可避免超出最大载流量的负荷对电缆造成损伤，又可避免不必要的抢修停电。这将有利于提高电缆线路的资产利用率。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步解说。

本发明提出的一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法，包括以下步骤：

S1，计算电力电缆中电路发生故障时的交流电阻R、环境温度t₀、导体温度T₁、绝缘层温度T_n-3、缓冲带温度T_n-2、铝护套温度T_n-1和外护套温度T_n，根据交流电阻公式计算出交流电阻R，通过在线监测得到环境温度t₀，根据电缆暂态热路模型计算得到导体温度T₁、绝缘层温度T_n-3、缓冲带温度T_n-2、铝护套温度T_n-1和外护套温度T_n，并记录上述数据；

S2，根据记录的数据用迭代法计算出电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间的热阻R_n及热容C_n；

S3，通过应急负荷时间得到应急负荷载流量的计算公式，采用集中参数，根据热力学的能量守恒定律，得到计算方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\τ}}+\frac{1}{R_1}{t}_1-\frac{1}{R_1}{t}_2=P_1\\ -\frac{1}{R_1}{t}_1+C_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})t_2-\frac{1}{R_2}{t}_3=P_2\\ \mathrm{...}\\ -\frac{1}{R_{n-i-1}}{t}_{n-i-1}+C_{n-i}\frac{{\mathrm{dt}}_{n-i}}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_{n-i-1}}+\frac{1}{R_{n-i}})t_{n-i}-\frac{1}{R_{n-i}}{t}_{n-i+1}=P_{n-i}\\ \mathrm{...}\\ -\frac{1}{R_{n-1}}{t}_{n-1}+C_n\frac{{\mathrm{dt}}_n}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_{n-1}}+\frac{1}{R_n})t_n=P_n+\frac{1}{R_n}{t}_0\end{array}\right.$

上述方程组中，t₁为导体温度；t₂至t_n-3为绝缘层分层的各层温度；t_n-2为缓冲带温度；t_n-1为铝护套温度；t_n为外护套温度；R₁至R_n-4和C₁至C_n-4分别为绝缘层各分层的热阻和热容；R_n-3、C_n-3分别为缓冲带的热阻和热容；R_n-2、C_n-2分别为气隙层与铝护套加在一起的热阻和热容；R_n-1、C_n-1分别为外护套的热阻和热容；R_n、C_n分别为电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间土壤的热阻和热容。

在具体实施时，S3中方程组写成矩阵形式：

$\stackrel{\·}{t}=At+BP$

其中

$\stackrel{\·}{t}={\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\τ}}& \frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\τ}}& \frac{{\mathrm{dt}}_3}{d\mathrm{\τ}}& \mathrm{...}& \frac{{\mathrm{dt}}_n}{d\mathrm{\τ}}\end{array}\right]}^T$

t＝[t₁ t₂ t₃ … t_n]^T

$B=diag(C_1^{-1},C_2^{-1},C_3^{-1},...,C_n^{-1})$

P＝[P₁ P₂ P₃ … P_n+t₀/R_n]^T

由A矩阵的特点可知A矩阵可对角化，下面对热路方程进行解耦求解，

令

A＝HΛH^-1

其中

Λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,…,λ_n)

令

t＝HY

原式变换为

$H\stackrel{\·}{Y}=AHY+BP$

等式两边左乘H^-1

$\stackrel{\·}{Y}=H^{-1}AHY+H^{-1}BP$

得

$\stackrel{\·}{Y}=\mathrm{\Λ}Y+H^{-1}BP$

其中

$\stackrel{\·}{Y}={\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\mathrm{dy}}_1}{d\mathrm{\τ}}& \frac{{\mathrm{dy}}_2}{d\mathrm{\τ}}& \frac{{\mathrm{dy}}_3}{d\mathrm{\τ}}& \mathrm{...}& \frac{{\mathrm{dy}}_n}{d\mathrm{\τ}}\end{array}\right]}^T$

且为表述方便，令

K＝H^-1BP＝[k₁ k₂ k₃ … k_n]^T

式子可以表示为方程组形式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dy}}_1}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_1{y}_1+k_1\\ \frac{{\mathrm{dy}}_2}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_2{y}_2+k_2\\ \frac{{\mathrm{dy}}_3}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_3{y}_3+k_3\\ .\\ .\\ .\\ \frac{{\mathrm{dy}}_n}{d\mathrm{\τ}}={\mathrm{\λ}}_n{y}_n+k_n\end{array}\right.$

初始条件：

$T_0={\mathrm{HY}}_0\⇔{\left[\begin{array}{ccccc}{T}_1& T_2& T_3& \mathrm{...}& T_n\end{array}\right]}^T=H{\left[\begin{array}{ccccc}{y}_{10}& y_{20}& y_{30}& \mathrm{...}& y_{n0}\end{array}\right]}^T$

解方程得到

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=(y_{10}+\frac{k_1}{{\mathrm{\λ}}_1})e^{{\mathrm{\λ}}_1\mathrm{\τ}}-\frac{k_1}{{\mathrm{\λ}}_1}\\ y_2=(y_{20}+\frac{k_2}{{\mathrm{\λ}}_2})e^{{\mathrm{\λ}}_2\mathrm{\τ}}-\frac{k_2}{{\mathrm{\λ}}_2}\\ y_3=(y_{30}+\frac{k_3}{{\mathrm{\λ}}_3})e^{{\mathrm{\λ}}_3\mathrm{\τ}}-\frac{k_3}{{\mathrm{\λ}}_3}\\ .\\ .\\ .\\ y_n=(y_{n0}+\frac{k_n}{{\mathrm{\λ}}_n})e^{{\mathrm{\λ}}_n\mathrm{\τ}}-\frac{k_n}{{\mathrm{\λ}}_n}\end{array}\right.$

简化处理时可令P₂至P_n为零；

$\left\{\begin{array}{c}{t}_1=h_{11}{y}_1+h_{12}{y}_2+h_{13}{y}_3+\mathrm{...}+h_{1,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{1n}{y}_n\\ t_2=h_{21}{y}_1+h_{22}{y}_2+h_{23}{y}_3+\mathrm{...}+h_{2,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{2n}{y}_n\\ t_3=h_{31}{y}_1+h_{32}{y}_2+h_{33}{y}_3+\mathrm{...}+h_{3,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{3n}{y}_n\\ .\\ .\\ .\\ t_n=h_{n1}{y}_1+h_{n2}{y}_2+h_{n3}{y}_3+\mathrm{...}+h_{n,n-i}{y}_{n-i}+\mathrm{...}+h_{nn}{y}_n\end{array}\right.$

解得

$t_1=P_1\·\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{h_{1i}{l}_{i1}(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_{1i}(\frac{l_{in}{t}_0(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i{R}_n}+y_{i0}{e}^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}})$

又

P＝I²R

可得到导体最终温度t₁关于载流量I和紧急负荷时间τ的表达式：

$t_1=I^{2}R\·\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{h_{1i}{l}_{i1}(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_{1i}(\frac{l_{in}{t}_0(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i{R}_n}+y_{i0}{e}^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}})$

根据运行要求可令t₁|_τ＝7200s＝90℃；

对上式载流量I进行分离变量，即得到规定经过紧急负荷时间τ后，导体温度不超过规定温度t₁的电缆最大载流量：

$I=\sqrt{\frac{t_1-\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{h}_{1i}(\frac{l_{in}{t}_0(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i{R}_n}+y_{i0}{e}^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}})}{R\·\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{h_{1i}{l}_{i1}(e^{{\mathrm{\λ}}_i\mathrm{\τ}}-1)}{{\mathrm{\λ}}_i}}}$

在上两式中：

h_ij(1≤i,j≤n)为伴随矩阵H中的第i行，第j列元素；

l_ij(1≤i,j≤n)为系数矩阵L中的第i行，第j列元素；

λ_i(1≤i≤n)为对角矩阵Λ中的第i个对角元素；

y_i0(1≤i≤n)为初始条件列向量Y₀中的第i个对角元素；

R为电缆导线单位长度的交流电阻；

t₀为外部环境的外边界温度；

R_n、C_n分别为电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间土壤的热阻和热容。

本发明中，根据IEC60287标准计算电缆本体各部分及所敷设环境部分的热阻、热容，得到反映电缆及其周围土壤热学特性的A矩阵；求出该型电缆的交流电阻R；检测电缆敷设环境的温度t₀；给导体至电缆各层介质的温度赋初值T₁至T_n，赋初值的方法可根据电缆暂态热路模型用根据表皮温度实时计算该条件下电缆各层温度T₁至T_n；当输电线路出现事故时，电网调度人员一般可以在两小时内将发生事故前的原本电缆的负载调度分配到电网的其他部分，因此设定应急负荷时间τ为τ₀＝2h；根据中国关于电缆的国标，可以设定电缆导体最高能够达到的温度t₁为90℃；编辑程序计算电缆的应急负荷载流量，可以给出一个判据：代入导体各层的初始温度值T₁至T_n、环境温度稳定点的温度值t₀、给定的应急负荷时间τ₀及电缆导体最高能够达到的温度软件将计算出应急负荷最大载流量的值。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种电力电缆应急负荷载流量的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1，计算电力电缆中电路发生故障时的交流电阻R、环境温度t₀、导体温度T₁、绝缘层温度T_n-3、缓冲带温度T_n-2、铝护套温度T_n-1和外护套温度T_n，根据交流电阻公式计算出交流电阻R，通过在线监测得到环境温度t₀，根据电缆暂态热路模型计算得到导体温度T₁、绝缘层温度T_n-3、缓冲带温度T_n-2、铝护套温度T_n-1和外护套温度T_n，并记录上述数据；

S2，根据记录的数据用迭代法计算出电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间的热阻R_n及热容C_n；

S3，通过应急负荷时间得到应急负荷载流量的计算公式，采用集中参数，根据热力学的能量守恒定律，得到计算方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\τ}}+\frac{1}{R_1}{t}_1-\frac{1}{R_1}{t}_2=P_1\\ -\frac{1}{R_1}{t}_1+C_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})t_2-\frac{1}{R_2}{t}_3=P_2\\ ...\\ -\frac{1}{R_{n-i-1}}{t}_{n-i-1}+C_{n-i}\frac{{\mathrm{dt}}_{n-i}}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_{n-i-1}}+\frac{1}{R_{n-i}})t_{n-i}-\frac{1}{R_{n-i}}{t}_{n-i+1}=P_{n-i}\\ ...\\ -\frac{1}{R_{n-1}}{t}_{n-1}+C_n\frac{{\mathrm{dt}}_n}{d\mathrm{\τ}}+(\frac{1}{R_{n-1}}+\frac{1}{R_n})t_n=P_n+\frac{1}{R_n}{t}_0\end{array}\right.$

上述方程组中，t₁为导体温度；t₂至t_n-3为绝缘层分层的各层温度；t_n-2为缓冲带温度；t_n-1为铝护套温度；t_n为外护套温度；R₁至R_n-4和C₁至C_n-4分别为绝缘层各分层的热阻和热容；R_n-3、C_n-3分别为缓冲带的热阻和热容；R_n-2、C_n-2分别为气隙层与铝护套加在一起的热阻和热容；R_n-1、C_n-1分别为外护套的热阻和热容；R_n、C_n分别为电缆外护套外表面到土壤温度稳定点之间土壤的热阻和热容。