CN106093856A - 基于双迭代的运动辐射源定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于雷达信号处理领域，公开了一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，能够降低迭代求解过程中矩阵求逆的维数，降低了计算复杂度；包括：确定运动辐射源的位置和速度的代价函数；给定初始位置和初始速度在第l次迭代过程中，设运动辐射源的位置固定不变，则得到第l次迭代后运动辐射源的速度设第l次迭代后运动辐射源的速度固定不变，则得到第l次迭代后运动辐射源的位置重复迭代直到第l次迭代后运动辐射源的速度或者第l次迭代后运动辐射源的位置满足预设的收敛条件。

Description

基于双迭代的运动辐射源定位方法

技术领域

本发明涉及雷达信号处理技术领域，尤其涉及一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，适用于基于到达时间差和到达频率差的运动辐射源定位。

背景技术

在雷达、导航、监视和无线传输领域中，常常会遇到无源目标定位问题。对于静止运动辐射源定位问题，可以通过使用到达时间差的方法得到很好的解决。而基于到达时间差和到达频率差解决运动辐射源定位问题往往并不是那么容易，原因就在于在测量方程中的高度非线性关系。

为了解决这一问题，出现了许多巧妙的方法。Ho和Xu提出了著名的两级加权最小二乘方法。在低噪声条件下，辐射源位置和速度估计性能非常接近克拉美罗界。为了满足运动辐射源定位的情况，Wei等人对传统的多维标度分析法进行了改进。Yu等人提出了一种有效的约束加权最小二乘算法，这种算法既利用了著名的牛顿法迭代求解，也使用最小二乘法来确定初值，从而避免过早的收敛于局部最小值。

但是，这些方法忽略了二阶噪声干扰的问题，而这也造成辐射源位置和速度估计结果中一些无法预料的误差。

发明内容

针对以上现有技术存在的不足，本发明的目的在于提出一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，能够降低迭代求解过程中矩阵求逆的维数，降低了计算复杂度。

在本发明中，通过使用到达时间差和到达频率差的方法对运动辐射源进行双迭代求解。这种方法利用双迭代的思想交替求解，而不是对运动辐射源位置和速度进行同步估计，从而减少了计算复杂度。仿真结果证实了在上述所有算法中，该方法具有很好的性能。

为达到上述目的，本发明的实施例采用如下技术方案予以实现。

一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，所述方法包括如下步骤：

步骤1，分别设定M个运动接收站的位置和速度，并假定运动辐射源的位置和速度，选取一个运动接收站作为参考运动接收站，从而得到运动辐射源到其他M-1个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差，M为大于1的自然数；

步骤2，根据运动辐射源到其他M-1个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差，得到关于运动辐射源的位置和速度的代价函数；

步骤3，给定运动辐射源的初始位置和初始速度

步骤4，令迭代次数l＝1；

步骤5，在第l次迭代过程中，设第l-1次迭代后运动辐射源的位置固定不变，则根据运动辐射源的位置和速度的代价函数得到关于运动辐射源的速度的代价函数，对所述关于运动辐射源的速度的代价函数进行求解，得到第l次迭代后运动辐射源的速度

步骤6，设第l次迭代后运动辐射源的速度固定不变，则根据运动辐射源的位置和速度的代价函数得到关于运动辐射源的位置的代价函数，对所述关于运动辐射源的位置的代价函数进行求解，得到第l次迭代后运动辐射源的位置

步骤7，令迭代次数l加1，并依次重复执行步骤5和步骤6，直到第l次迭代后运动辐射源的速度或者第l次迭代后运动辐射源的位置满足预设的收敛条件；则将第l次迭代后运动辐射源的速度作为最终确定的运动辐射源的速度，将第l次迭代后运动辐射源的位置作为最终确定的运动辐射源的位置。

本发明相对于现有技术主要优点在于：第一，本发明的创新点在于对辐射源位置和速度进行交替求解；第二，本发明方法能够降低迭代求解过程中矩阵求逆的维数，降低了计算复杂度；第三，本发明能够在有效进行求解辐射源位置和速度的同时，利用了到达频率差测量方程中关于速度的线性性质，减少了算法计算量，节省了时间。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1本发明实施例提供的一种基于双迭代的运动辐射源定位方法流程示意图；

图2是各算法对辐射源位置估计随变化时的均方根误差；

图3是各算法对辐射源速度估计随变化时的均方根误差。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明实施例提供一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，参照图1，所述方法包括如下步骤：

步骤1，分别设定M个运动接收站的位置和速度，并假定运动辐射源的位置和速度，选取一个运动接收站作为参考运动接收站，从而得到运动辐射源到其他M-1个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差，M为大于1的自然数。

步骤1具体包括如下子步骤：

(1a)设定第i个运动接收站的位置s_i＝[x_i,y_i,z_i]^T、第i个运动接收站的速度其中，i＝1,2,...,M，T表示转置操作；假定运动辐射源的位置u＝[x,y,z]^T、运动辐射源的速度为其中，x_i,y_i,z_i表示第i个运动接收站在三维坐标系中的位置，表示第i个运动接收站在三维坐标系中的速度，x,y,z表示运动辐射源在三维坐标系中的位置，表示运动辐射源在三维坐标系中的速度；

(1b)选取第一个运动接收站s₁为参考运动接收站，则运动辐射源到第i个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差分别为：

${\tilde{t}}_{i1}=(r_i-r_1+n_{i1})/c---\left(1\right)$

${\widetilde{\stackrel{\·}{f}}}_{i1}=({\stackrel{\·}{r}}_i-{\stackrel{\·}{r}}_1+{\stackrel{\·}{n}}_{i1})/c---\left(2\right)$

其中，n_i1/c表示到达时间差噪声，表示到达频率差噪声，c表示信号传播速度，即光速3×10⁸m/s，r_i＝||u-s_i||₂表示运动辐射源到第i个运动接收站的距离，表示运动辐射源到第i个运动接收站的距离变化率，其中，i＝1,2,...,M，|| ||₂表示欧几里得范数。

步骤2，根据运动辐射源到其他M-1个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差，得到关于运动辐射源的位置和速度的代价函数。

步骤2具体包括如下子步骤：

(2a)将式(1)和式(2)写成如下矢量形式：

$\tilde{r}={\[{\tilde{r}}_{21},{\tilde{r}}_{31},...,{\tilde{r}}_{M1}\]}^T=Gr+n---\left(3\right)$

$\widetilde{\stackrel{\·}{r}}={\[{\widetilde{\stackrel{\·}{r}}}_{21},{\widetilde{\stackrel{\·}{r}}}_{31},\mathrm{...},{\widetilde{\stackrel{\·}{r}}}_{M1}\]}^T=G\stackrel{\·}{r}+\stackrel{\·}{n}---\left(4\right)$

其中，G＝[-1_M-1,I_M-1]，r＝[r₁,r₂,...,r_M]^T为运动辐射源到第i个运动接收站的距离的测量矢量，为运动辐射源到第i个运动接收站的距离变化率的测量矢量，1_M-1表示M-1行、元素全为1的列向量，I_M-1表示M-1维的单位矩阵，运动辐射源到参考运动接收站和其它运动接收站的距离差的噪声向量n满足均值为零协方差矩阵为Q_r的高斯分布，运动辐射源到参考运动接收站和其它运动接收站的距离变化率之差的噪声向量满足均值为零协方差矩阵为Q_f的高斯分布，且n和相互独立；

(2b)运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离差的测量矢量和距离变化率之差的测量矢量的联合概率密度函数为：

$p(\tilde{r},\widetilde{\stackrel{\·}{r}})=K\exp \{-\frac{1}{2}\[{(Gr-\tilde{r})}^T{Q_r}^{-1}(Gr-\tilde{r})+{(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})}^T{Q_f}^{-1}(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})\]\}---\left(5\right)$

其中，K为常数，最大似然估计是令似然函数最大化，也就是令代价函数最小化，即：

$\underset{\stackrel{\·}{u}}{min}J(u,\stackrel{\·}{u})=\underset{u,\stackrel{\·}{u}}{min}\[{(Gr-\tilde{r})}^T{W}_r(Gr-\tilde{r})+{(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})}^T{W}_f(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})\]---\left(6\right)$

其中，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离差的加权矩阵W_r＝Q_r ^-1，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离变化率之差的加权矩阵W_f＝Q_f ^-1。

步骤3，给定运动辐射源的初始位置和初始速度

步骤4，令迭代次数l＝1。

为了不失一般性，以第l次迭代为例。

步骤5，在第l次迭代过程中，设第l-1次迭代后运动辐射源的位置固定不变，则根据运动辐射源的位置和速度的代价函数得到关于运动辐射源的速度的代价函数，对所述关于运动辐射源的速度的代价函数进行求解，得到第l次迭代后运动辐射源的速度

步骤5具体包括如下子步骤：

(5a)设第l-1次迭代后运动辐射源的位置固定不变，由式(6)整理可得：

$\underset{\stackrel{\·}{u}}{min}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{J}(u,\stackrel{\·}{u})=\underset{\stackrel{\·}{u}}{min}{(G\mathrm{\ρ}\stackrel{\·}{u}-Gc-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})}^T{W}_f(G\mathrm{\ρ}\stackrel{\·}{u}-Gc-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})---\left(7\right)$

其中，ρ_a,b表示由b到a的单位矢量，ρ_a,b＝(a-b)/||a-b||₂，令c为M维的列向量；

(5b)将代价函数转化为关于速度的二次方程式令对求导，并令其结果等于零，从而得到：

${\widehat{\stackrel{\·}{u}}}^l={\left({\mathrm{\ρ}}^T{G}^T{W}_{f}G\mathrm{\ρ}\right)}^{-1}{\mathrm{\ρ}}^T{G}^T{W}_f(Gc+\widetilde{\stackrel{\·}{r}})---\left(8\right).$

步骤6，设第l次迭代后运动辐射源的速度固定不变，则根据运动辐射源的位置和速度的代价函数得到关于运动辐射源的位置的代价函数，对所述关于运动辐射源的位置的代价函数进行求解，得到第l次迭代后运动辐射源的位置

步骤6具体包括如下子步骤：

(6a)设第l次迭代后运动辐射源的速度固定不变，从而得到：

$\underset{u}{min}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{J}(u,\stackrel{\·}{u})=\underset{u}{min}{\left(\begin{array}{c}g\left(u\right)\\ f\left(u\right)\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}{W}_r& O_{M-1}\\ O_{M-1}& W_f\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}g\left(u\right)\\ f\left(u\right)\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中，O_M-1表示M-1维的零矩阵，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离差的加权矩阵运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离变化率之差的加权矩阵

可以看出，式(9)关于辐射源位置u是非线性的，因此我们采用高斯牛顿法求解u。

(6b)采用如下递归过程来求得第l次迭代后运动辐射源的位置：

u^k+1＝u^k+λ^kd^k,k＝0,1,... (10)

令迭代步长下降方向J_r表示g(u)在u^k处的雅克比矩阵，J_r＝Gρ^k，J_f表示f(u)在u^k处的雅克比矩阵，J_f＝Gβ^k，ρ^k表示β^k表示设δ为允许误差，δ>0，本实施例中设δ为10^-6。令u^k＝u^k+1，重复式(10)直至式(9)的代价函数关于u的梯度范数小于或者等于δ，从而得到第l次迭代后运动辐射源的位置

步骤7，令迭代次数l加1，并依次重复执行步骤5和步骤6，直到第l次迭代后运动辐射源的速度或者第l次迭代后运动辐射源的位置满足预设的收敛条件；则将第l次迭代后运动辐射源的速度作为最终确定的运动辐射源的速度，将第l次迭代后运动辐射源的位置作为最终确定的运动辐射源的位置。

步骤7中，根据双迭代算法，得到第l次迭代后的和设定收敛条件为：

或

其中，ε为允许误差，本发明中，ε设为10^-6。当不满足所述收敛条件时，将令l增加1，返回步骤2；当满足所述收敛条件时，迭代停止，此时第l次迭代的和就是所要求的运动辐射源的位置和速度。

下面通过仿真实验对本发明效果做进一步验证。

(一)实验条件：将本发明方法与约束加权最小二乘法、多维标度分析法、两级加权最小二乘法及克拉美罗界作仿真测试比较。

(二)实验内容：假定有五个接收站，它们的位置和速度如表1所示，测量矢量的协方差矩阵测量矢量的协方差矩阵Q_f＝0.1Q_r，其中，为计算误差，并设定式(10)中的迭代步长初始值λ⁰为1。位置和速度估计性能由均方根误差来衡量，其计算方程定义为

其中，表示第n次p的估计值，本发明中，p为辐射源位置u或者辐射源速度仿真次数n设为5000次。我们设定辐射源位置u＝[2800,3250,2750]^T，辐射源速度来衡量本发明算法性能，仿真结果如图2和图3所示。图1是各算法随的增加对辐射源位置估计的均方根误差示意图，单位为m，图2是各算法随的增加对辐射源速度估计的均方根误差示意图，单位为m/s。

表1：五个接收站的位置和速度

(三)结果分析

图1所示辐射源位置估计的均方根误差中，在小于-17.2dB的条件下，四种算法均可以达到克拉美罗界。当大于-17.2dB时，两级加权最小二乘法最先偏离克拉美罗界，性能最差，本发明算法仿真性能要优于其余三种算法。图2所示辐射源速度估计的均方根误差中，在大于-14.3dB的条件下，本发明算法要优于其余三种算法，两级加权最小二乘法性能最差。总的来说，本发明算法通过交替迭代求解准确有效的得到运动辐射源的位置和速度，仿真结果证实了本发明方法性能要优于当前其余的定位方法。综上所述，仿真实验验证了本发明的正确性，有效性和可靠性。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (6)

1.一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤1，分别设定M个运动接收站的位置和速度，并假定运动辐射源的位置和速度，选取一个运动接收站作为参考运动接收站，从而得到运动辐射源到其他M-1个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差，M为大于1的自然数；

步骤2，根据运动辐射源到其他M-1个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差，得到关于运动辐射源的位置和速度的代价函数；

步骤3，给定运动辐射源的初始位置和初始速度

步骤4，令迭代次数l＝1；

步骤5，在第l次迭代过程中，设第l-1次迭代后运动辐射源的位置固定不变，则根据运动辐射源的位置和速度的代价函数得到关于运动辐射源的速度的代价函数，对所述关于运动辐射源的速度的代价函数进行求解，得到第l次迭代后运动辐射源的速度

步骤6，设第l次迭代后运动辐射源的速度固定不变，则根据运动辐射源的位置和速度的代价函数得到关于运动辐射源的位置的代价函数，对所述关于运动辐射源的位置的代价函数进行求解，得到第l次迭代后运动辐射源的位置

步骤7，令迭代次数l加1，并依次重复执行步骤5和步骤6，直到第l次迭代后运动辐射源的速度或者第l次迭代后运动辐射源的位置满足预设的收敛条件；则将第l次迭代后运动辐射源的速度作为最终确定的运动辐射源的速度，将第l次迭代后运动辐射源的位置作为最终确定的运动辐射源的位置。

2.根据权利要求1所述的一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，其特征在于，步骤1具体包括如下子步骤：

(1a)设定第i个运动接收站的位置s_i＝[x_i，y_i，z_i]^T、第i个运动接收站的速度其中，i＝1，2，...，M，T表示转置操作；假定运动辐射源的位置u＝[x，y，z]^T、运动辐射源的速度为其中，x_i，y_i，z_i表示第i个运动接收站在三维坐标系中的位置，表示第i个运动接收站在三维坐标系中的速度，x，y，z表示运动辐射源在三维坐标系中的位置，表示运动辐射源在三维坐标系中的速度；

(1b)选取第一个运动接收站s₁为参考运动接收站，则运动辐射源到第i个运动接收站相对于参考运动接收站的到达时间差和到达频率差分别为：

${\tilde{t}}_{i1}=(r_i-r_1+n_{i1})/c---\left(1\right)$

${\widetilde{\stackrel{\·}{f}}}_{i1}=({\stackrel{\·}{r}}_i-{\stackrel{\·}{r}}_1+{\stackrel{\·}{n}}_{i1})/c---\left(2\right)$

其中，n_i1/c表示到达时间差噪声，表示到达频率差噪声，c表示信号传播速度，即光速3×10⁸m/s，r_i＝||u-s_i||₂表示运动辐射源到第i个运动接收站的距离，表示运动辐射源到第i个运动接收站的距离变化率，其中，i＝1，2，...，M，||| |₂表示欧几里得范数。

3.根据权利要求2所述的一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，其特征在于，步骤2具体包括如下子步骤：

(2a)将式(1)和式(2)写成如下矢量形式：

$\tilde{r}={\[{\tilde{r}}_{21},{\tilde{r}}_{31},...,{\tilde{r}}_{M1}\]}^T=Gr+n---\left(3\right)$

$\widetilde{\stackrel{\·}{r}}={\[{\widetilde{\stackrel{\·}{r}}}_{21},{\widetilde{\stackrel{\·}{r}}}_{31},\mathrm{...},{\widetilde{\stackrel{\·}{r}}}_{M1}\]}^T=G\stackrel{\·}{r}+\stackrel{\·}{n}---\left(4\right)$

其中，G＝[-1_M-1，I_M-1]，r＝[r₁，r₂，...，r_M]^T为运动辐射源到第i个运动接收站的距离的测量矢量，为运动辐射源到第i个运动接收站的距离变化率的测量矢量，1_M-1表示M-1行、元素全为1的列向量，I_M-1表示M-1维的单位矩阵，运动辐射源到参考运动接收站和其它运动接收站的距离差的噪声向量n满足均值为零、协方差矩阵为Q_r的高斯分布，运动辐射源到参考运动接收站和其它运动接收站的距离变化率之差的噪声向量满足均值为零、协方差矩阵为Q_f的高斯分布，且n和相互独立；

(2b)运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离差的测量矢量和距离变化率之差的测量矢量的联合概率密度函数为：

$p(\tilde{r},\widetilde{\stackrel{\·}{r}})=K\exp \{-\frac{1}{2}\[{(Gr-\tilde{r})}^T{Q_r}^{-1}(Gr-\tilde{r})+{(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})}^T{Q_f}^{-1}(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})\]\}---\left(5\right)$

其中，K为常数，最大似然估计是令似然函数最大化，也就是令代价函数最小化，即：

$\underset{\stackrel{\·}{u}}{min}J(u,\stackrel{\·}{u})=\underset{u,\stackrel{\·}{u}}{min}\[{(Gr-\tilde{r})}^T{W}_r(Gr-\tilde{r})+{(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})}^T{W}_f(G\widetilde{\stackrel{\·}{r}}-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})\]---\left(6\right)$

其中，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离差的加权矩阵W_r＝Q_r ^-1，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离变化率之差的加权矩阵W_f＝Q_f ^-1。

4.根据权利要求3所述的一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，其特征在于，步骤5具体包括如下子步骤：

(5a)设第l-1次迭代后运动辐射源的位置固定不变，由式(6)可得：

$\underset{\stackrel{\·}{u}}{min}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{J}(u,\stackrel{\·}{u})=\underset{\stackrel{\·}{u}}{min}{(G\mathrm{\ρ}\stackrel{\·}{u}-Gc-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})}^T{W}_f(G\mathrm{\ρ}\stackrel{\·}{u}-Gc-\widetilde{\stackrel{\·}{r}})---\left(7\right)$

其中，ρ_a，b表示由b到a的单位矢量，ρ_a，b＝(a-b)/||a-b||₂，令c为M维的列向量；

(5b)将代价函数转化为关于速度的二次方程式令对求导，并令其结果等于零，从而得到：

${\widehat{\stackrel{\·}{u}}}^l={\left({\mathrm{\ρ}}^T{G}^T{W}_{f}G\mathrm{\ρ}\right)}^{-1}{\mathrm{\ρ}}^T{G}^T{W}_f(Gc+\widetilde{\stackrel{\·}{r}})---\left(8\right).$

5.根据权利要求1所述的一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，其特征在于，步骤6具体包括如下子步骤：

(6a)设第l次迭代后运动辐射源的速度固定不变，从而得到：

$\underset{u}{min}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{J}(u,\stackrel{\·}{u})=\underset{u}{min}{\left(\begin{array}{c}g\left(u\right)\\ f\left(u\right)\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}{W}_r& O_{M-1}\\ O_{M-1}& W_f\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}g\left(u\right)\\ f\left(u\right)\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中，O_M-1表示M-1维的零矩阵，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离差的加权矩阵W_r＝Q_r ^-1，运动辐射源到参考运动接收站和第i个运动接收站的距离变化率之差的加权矩阵W_f＝Q_f ^-1；

(6b)采用如下递归过程来求得第l次迭代后运动辐射源的位置：

u^k+1＝u^k+λ^kd^k,k＝0,1,... (10)

令迭代步长下降方向J_r＝Gρ^k表示g(u)在u^k处的雅克比矩阵，J_f＝Gβ^k表示f(u)在u^k处的雅克比矩阵，ρ^k表示β^k表示设δ为允许误差，δ>0，令u^k＝u^k+1，重复式(10)直至式(9)的代价函数关于u的梯度范数小于或者等于δ，从而得到第l次迭代后运动辐射源的位置

6.根据权利要求1所述的一种基于双迭代的运动辐射源定位方法，其特征在于，步骤7中，预设的收敛条件为：

或

其中，ε为允许误差，ε设为10^-6。