CN106068032A - 主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法。本发明通过加入协作干扰器机发送干扰信号建立协作关系，协作干扰机利用理想信道估计方法估计得到的信道状态信息设计干扰信号，发挥干扰作用；发射源按理想信道估计条件下优化得到的最优功率分配比设计发射信号，经过存在估计误差的信道后系统达到的安全传输速率，比较该安全传输速率与理想信道估计条件下系统安全速率的差距，验证考虑主信道信道估计存在误差的重要性，提出更可靠，更实际的功率分配方案。

Description

主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功 率分配方法

技术领域

本发明属于信息技术安全领域，尤其涉及一种主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法。

背景技术

无线媒介的广播特性导致无线通信面临特别容易被窃听的安全威胁，给无线系统设计带来巨大挑战。在无线环境下实现安全可靠的通信已经成为一个关键问题。传统的安全问题是通过基于网络安全协议的上层加密技术解决的。这些方法在密钥分配和管理的过程依然存在漏洞。同时，随着计算机的计算能力不断增强，已有的安全加密算法面临被破解的风险。在此背景下，通过探索无线信道的唯一的物理性能，物理层安全可以支持高度安全的传输，并且被确定为加密技术的重要补充。首先，Wyner等人在1975年提出的wire-tap信道模型奠定了物理层安全传输的基础，证明了利用无线信道的物理特性可以实现保密消息的安全传输。当主通信信道(定义为发射源到合法接收者的信道)比窃听信道(定义为发射源到窃听者的信道)具有更高的可靠性的时候，合法接收者可以实现可靠解码，而窃听者无法进行可靠解码。在目前的研究中，通常利用信号处理技术改变主信道和窃听信道质量从而实现物理层安全传输。

在传输保密消息的过程中，常用的信号处理技术包括安全预编码(SecrecyPrecoding)和安全波束成形(Secrecy Beamforming)，主要的思想是沿着特定的空间维度发射有用信号，最大化主信道和窃听信道的信道质量差别，从而实现最大的安全容量(Secrecy Capacity)。例如《Outage Constrained Secrecy Rate Maximization UsingArtificial-Noise Aided Beamforming and Cooperative Jamming》研究了基于人工噪声辅助波束成形的协作干扰模型在中断概率约束下，最大化安全速率的优化问题。然而，目前的安全传输设计主要基于可以得到信道状态信息(Channel State Information,CSI)的理想信道估计的假设。然而在实际的应用中，该假设并不合理。

针对主信道是非理想信道估计的情况，考虑与实际信道存在误差的估计得到的信道设计的人工噪声向量会对合法接收者产生不可避免的影响，这会导致合法接收者的信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)降低。因此，在考虑主信道是非理想信道估计的情况下研究有用信号和人工噪声信号之间合理功率分配对系统实际安全性能有重要的影响。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法，通过加入协作干扰器机发送干扰信号建立协作关系，协作干扰机利用理想信道估计方法估计得到的信道状态信息设计干扰信号，发挥干扰作用；发射源按理想信道估计条件下优化得到的最优功率分配比设计发射信号，经过存在估计误差的信道后系统达到的安全传输速率，比较该安全传输速率与理想信道估计条件下系统安全速率的差距，验证考虑主信道信道估计存在误差的重要性，提出更可靠，更实际的功率分配方案。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法，它包括以下步骤：

S1：合法接收端同时向发射源发射端和协作干扰机发送导频序列，所述导频序列经过发射端到合法接收端的实际信道h_b'，同时经过协作干扰机到合法接收端的实际信道h_bc'；

S2：发射端接收所述导频序列并做非理想信道估计得到非理想信道h_b，即h_b＝h_b'+δ_b；协作干扰机接收导频序列并做理想信道估计得到理想信道h_bc，即h_bc＝h_bc'，记其中代表随机向量的协方差矩阵；

S3：发射端利用信道矩阵h_b设计发射信号s并发射，协作干扰机分别利用信道矩阵h_bc设计发射信号s_c并发射，发射信号s、s_c分别经过h_b'、h_bc'到达合法接收端，同时发射信号s、s_c分别经过窃听信道h_e、h_ec到达窃听端；

S4：合法接收端接收信号为y_b并计算信干噪比，表示为γ_b(φ)，根据发射信号的设计原则可知简化表达式，合法接收端的接收信号表示为

$\begin{array}{c}{y}_b={\left({h_b}^{\′}\right)}^{H}s+{\left({h_{bc}}^{\′}\right)}^H{s}_c+n_b\\ ={(h_b-{\mathrm{\δ}}_b)}^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+n_b\end{array}$

其中，n_b,n_e～CN(0,1)分别代表噪声对合法接收端和窃听端的影响；发射端发射信号s中的人工噪声信号部分应对合法接收端没有任何影响，故满足：

$s=\sqrt{P_a\mathrm{\φ}}vx+\sqrt{\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}}{N}_{v}n$

其中，P_a表示发送端的发送功率约束；φ∈[0,1]表示P_a的功率分配比；x～CN(0,1)和分别表示高斯码本的数据信号和高斯噪声向量，并且是相互独立的；等式右边第一项表示信息轴方向的信号，其中第二项表示人工噪声向量，其中的列向量构成的零空间的标准正交基；

干扰机端发射信号s_c也应对合法接收机没有任何影响，即所以s_c表示为

$s_c=\sqrt{\frac{P_c}{N_c-1}}Wz$

其中P_c表示CJ的发送功率约束；W的列向量形成了的零空间的标准正交基；表示一个高斯噪声向量；

合法接收端的信干燥比SINR可以表示成

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}|{\mathrm{\δ}}_b^H{N}_v{|}^2}$

已知且的列向量构成的零空间的标准正交基，从而得到故

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}{\mathrm{\σ}}_2}$

由于系统只知道窃听信道的统计信息，窃听端的接收信号和信干噪比仍为理想信道估计条件下的结果，分别为：

$y_e=h_e^{H}s+h_{ec}^H{s}_c+n_e;$

${\mathrm{\γ}}_e\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}|h_e^{H}v{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}|h_e^H{N}_v{|}^2+\frac{P_c}{N_c-1}|\left|h_{ec}^{H}W\right|{|}^2};$

要实现安全中断容量最大化，该优化问题可以等价为一个功率分配问题，描述如下：

$\begin{array}{cc}\underset{0\≤\mathrm{\φ}\≤1}{\max }& R_s={\log }_2\left(\frac{1+\mathrm{\γ}\mathrm{\φ}}{1+\mathrm{\μ}}\right)\end{array}$

s.t.Pr(γ_e(φ)＞μ)＝ε,

0≤R_s≤C_b.

其中γ＝P_a||h_b||²，R_s表示安全传输速率，ε表示安全中断概率约束，C_b＝log₂(1+γ_b(φ))表示主信道的信道容量，表示和中断概率有关的阈值；

求解安全中断概率约束为：

$\ln \left(\frac{1}{\mathrm{\ϵ}}\right)=\frac{\mathrm{\ω}}{P_a}+ln\[1+(1-\mathrm{\φ})\mathrm{\ω}\]+3\ln (1+\frac{\mathrm{\ω}}{d})$

其中和由上式看出ω是一个关于φ的隐函数，且显然ω(φ)＞0，则功率分配问题的公式就表示成：

$R_s={\log }_2\left(\frac{1+{\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)}{1+\mathrm{\φ}\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\φ}\right)}\right);$

S5：计算理想信道估计条件下发射端发射功率的最优分配比φ*，以及该功率分配比时的最大安全传输速率R_s ^*；

S6：按理想信道估计条件下最优功率分配比φ*设计发送信号，并计算该发送信号经过与估计信道存在估计误差的实际信道时系统达到的安全传输速率R_s'，即将理想信道估计条件下的φ*代入公式步骤S4中的最后一个公式得到R_s'＝R_s(φ*)。

S7：比较R_s'与R_s ^*，得出结论。

本发明的有益效果是：本发明提供了一种主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法，充分考虑了Alice对主信道存在误差的估计会导致以估计信道设计的发送信号中人工噪声向量严重干扰Bob接收有效信号，从而降低系统安全传输速率的情况。Alice按理想信道估计条件下安全传输速率极大化得到的最优功率分配比设计发射信号，发射信号经过与估计信道存在估计误差的实际信道后系统达到的安全传输速率，比较该安全传输速率与理想信道估计条件下系统安全速率，验证考虑主信道估计误差的重要性，并找到一个设计成本低、安全效益高的发射功率分配方案。

附图说明

图1为理想信道估计条件下协作方案流程图。

图2为非理想信道估计条件下协作方案流程。

图3为理想信道估计条件下协作网络中的传输模型。

图4为协作网络中Alice到Bob间信道存在估计误差的传输模型。

图5为Alice到Bob间信道存在误差估计与完全理想信道估计模型的安全速率的比较图。

具体实施方式

下面结合附图进一步详细描述本发明的技术方案：

主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法，如图3所示，假设合法通信双方的发射源为Alice，合法接收者为Bob，窃听者为Eve，协作干扰机为CJ，将Alice与Bob之间的通信信道称为主信道，CJ与Bob之间的信道称为协作信道。

Alice结合非理想信道估计方法得到的主信道信息设计发送信号，在有用信号和人工噪声信号之间进行最优功率分配，同时CJ结合理想信道估计的协作信道信息设计干扰信号，Alice发送的人工噪声和CJ发射的干扰的作用都是在不影响Bob的接收的同时干扰Eve从而降低Eve端接收的信噪比，使系统安全速率达到最大，实现了无线网络中保密消息最有效的安全传输。

假设Alice和CJ分别有N_a、N_c条天线，而Bob和Eve仅有单根天线，设主信道用表示，CJ到Bob之间的信道用表示；假设Alice和CJ仅知道窃听节点Eve的信道统计信息，Alice和CJ到Eve的窃听信道分别表示为其中h_e和h_ec相互独立，均服从零均值循环对称复高斯分布。Alice向Bob发送一个数据流，为了阻止Eve窃听到有用信息，Alice的发送信号需要进行有用信号和人工噪声AN信号之间的功率分配，同时CJ发射干扰信号。

首先，考虑理想信道估计条件下的最优功率分配比及最大安全传输速率。如图1所示

Alice和CJ分别对主信道和协作信道都做理想信道估计得到估计信道信息，并以此设计发射信号，分别表示为和Bob和Eve的接收信号分别表示为

$y_b=h_b^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b---\left(1\right)$

$y_e=h_e^{H}s+h_{ec}^H{s}_c+n_e---\left(2\right)$

其中，n_b,n_e～CN(0,1)分别代表噪声对Bob和Eve的影响。Alice发射信号s中的人工噪声AN信号部分应对Bob没有任何影响，故满足：

$s=\sqrt{P_a\mathrm{\φ}}vx+\sqrt{\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}}{N}_{v}n---\left(3\right)$

其中，P_a表示发送端Alice的发送功率约束；φ∈[0,1]表示P_a的功率分配比；x～CN(0,1)和分别表示高斯码本的数据信号和高斯噪声向量，并且是相互独立的。等式右边第一项表示信息轴方向的信号，其中第二项表示人工噪声向量，其中的列向量构成的零空间的标准正交基。

CJ端发射信号s_c也应对Bob没有任何影响，即所以s_c表示为

$s_c=\sqrt{\frac{P_c}{N_c-1}}Wz---\left(4\right)$

其中P_c表示CJ的发送功率约束；W的列向量形成了的零空间的标准正交基；表示一个高斯噪声向量。

理想信道估计的条件下，Bob和Eve的信干燥比可以表示成

γ_b(φ)＝P_aφ||h_b||² (5)

${\mathrm{\γ}}_e\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}|h_e^{H}v{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}|h_e^H{N}_v{|}^2+\frac{P_c}{N_c-1}|\left|h_{ec}^{H}W\right|{|}^2}---\left(6\right)$

要实现安全中断容量最大化，该优化问题可以等价为一个功率分配问题，描述如下：

$\begin{array}{cc}\underset{0\≤\mathrm{\φ}\≤1}{\max }& R_s={\log }_2\left(\frac{1+\mathrm{\γ}\mathrm{\φ}}{1+\mathrm{\μ}}\right)\end{array}$

s.t.Pr(γ_e(φ)＞μ)＝ε, (7)

0≤R_s≤C_b.

其中γ＝P_a||h_b||²，R_s表示安全传输速率，ε表示安全中断概率约束，C_b＝log₂(1+γ_b(φ))表示主信道的信道容量，表示和中断概率有关的阈值。

求解安全中断概率约束为

$\ln \left(\frac{1}{\mathrm{\ϵ}}\right)=\frac{\mathrm{\ω}}{P_a}+ln\[1+(1-\mathrm{\φ})\mathrm{\ω}\]+3\ln (1+\frac{\mathrm{\ω}}{d})---\left(8\right)$

其中和由公式(8)可以看出ω是一个关于φ的隐函数，且显然ω(φ)＞0。则公式(7)就可以表示成

$R_s\left(\mathrm{\φ}\right)={\log }_2\left(\frac{1+\mathrm{\φ}\mathrm{\γ}}{1+\mathrm{\φ}\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\φ}\right)}\right)---\left(9\right)$

由于ω(φ)不能表示成闭型，用数值分析方法求解公式(9)的最优功率分配比φ*及最大安全传输速率R_s ^*。

本发明的具体流程如图2所示：

S1：Bob发送导频序列，导频序列分别经过实际主信道h_b'和实际协作信道h_bc'到达Alice和CJ。

S2：Alice接收导频序列并做非理想信道估计得到h_b，即h_b＝h_b'+δ_b；CJ接收导频序列并做理想信道估计得到h_bc，即h_bc＝h_bc'，其中 代表随机向量的协方差矩阵。

S3：Alice利用h_b设计发射信号s并发射，CJ利用h_bc设计发射信号s_c并发射，s、s_c分别经过实际信道h_b'、h_bc'到达Bob，同时s、s_c分别经过窃听信道h_e、h_ec到达Eve。

S4：Bob接收信号为y_b并计算SINR，表示为γ_b(φ)，根据发射信号的设计原则可知简化表达式，Bob的接收信号表示为

$\begin{array}{c}{y}_b={\left({h_b}^{\′}\right)}^{H}s+{\left({h_{bc}}^{\′}\right)}^H{s}_c+n_b\\ ={(h_b-{\mathrm{\δ}}_b)}^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+n_b\end{array}---\left(10\right)$

Bob的信干燥比SINR可以表示成

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}|{\mathrm{\δ}}_b^H{N}_v{|}^2}---\left(11\right)$

已知且的列向量构成的零空间的标准正交基，从而得到故

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}{\mathrm{\σ}}_2}---\left(12\right)$

由于，该系统只知道窃听信道的统计信息，Eve的接收信号和SINR均不变，仍为公式(2)和(6)。而安全中断概率约束只与窃听信道相关，故安全中断约束条件不变。因此，安全中断概率约束下的系统安全速率关于发射信号的功率分配比的关系表示为

$R_s={\log }_2\left(\frac{1+{\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)}{1+\mathrm{\φ}\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\φ}\right)}\right)---\left(13\right)$

S5：计算理想信道估计条件下Alice发射功率的最优分配比φ*，以及该功率分配比时的最大安全传输速率R_s ^*。

S6：按理想信道估计条件下最优功率分配比φ*设计发送信号，并计算该发送信号经过与估计信道存在估计误差的实际信道时系统达到的安全传输速率R_s'，即将理想信道估计条件下的φ*代入公式(13)得到R_s'＝R_s(φ*)。

S7：比较R_s'与R_s ^*，得出结论。

所述的步骤S2中考虑到的信道估计存在误差的情况，Alice接收导频序列并做非理想信道估计得到h_b，即h_b＝h_b'+δ_b；CJ接收导频序列并做理想信道估计得到h_bc，即h_bc＝h_bc'，其中 代表随机向量的协方差矩阵。

所述的步骤S4中考虑到发射信号经过的实际合法信道与设计信号是使用的估计信道存在估计误差，则Bob的接收信号有变。Bob接收信号为y_b并计算SINR，表示为γ_b(φ)，根据发射信号的设计原则可知简化表达式，Bob的接收信号表示为

$\begin{array}{c}{y}_b={\left({h_b}^{\′}\right)}^{H}s+{\left({h_{bc}}^{\′}\right)}^H{s}_c+n_b\\ ={(h_b-{\mathrm{\δ}}_b)}^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+n_b\end{array}---\left(10\right)$

Bob的信干燥比SINR可以表示成

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}|{\mathrm{\δ}}_b^H{N}_v{|}^2}---\left(11\right)$

已知且的列向量构成的零空间的标准正交基，从而得到故

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}{\mathrm{\σ}}_2}---\left(12\right)$

由于，该系统只知道窃听信道的统计信息，Eve的接收信号和SINR均不变，仍为公式(2)和(6)。而安全中断概率约束只与窃听信道相关，故安全中断约束条件不变。因此，安全中断概率约束下的系统安全速率关于发射信号的功率分配比的关系表示为

$R_s={\log }_2\left(\frac{1+{\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)}{1+\mathrm{\φ}\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\φ}\right)}\right)---\left(13\right)$

设定天线参数Na＝2，Nc＝4，ε＝0.1，||h_b||²＝1，采取的估计误差为σ＝0.1，并分别考虑P_c＝0dB和P_c＝10dB两种情况。通过MATLAB仿真找到找到最优解并对比作图，如图5所示，图中呈现的是不同条件下，系统安全速率与发射源Alice的总发射功率之间的关系，可以明显看出信道h_b存在估计误差对系统的安全速率的影响在Alice发射功率较低时几乎没有影响。当发射功率逐渐增大超过5dB后差别越来越大，在理想信道估计的条件下系统的安全速率随发射功率的增加而增大；而在非理想信道估计的条件下系统的安全速率随发射功率的增加先增大后减小，由此可以得到一个安全速率的最大值。分析具体数据可知：

(1)当CJ端的发射功率为10dB时，系统的安全速率随Alice端发射功率的变化呈现出明显的先增大后减小的变化，当发射源的发射功率为11dB时，安全速率达到最大约为1.366bpcu(比特/频道使用)。

(2)当CJ端的发射功率为0dB时，系统的安全速率随Alice端发射功率的变化不明显，当发射源的发射功率为14dB时，安全速率达到最大约为0.288bpcu(比特/频道使用)。

本发明充分考虑了Alice对主信道存在误差的估计会导致以估计信道设计的发送信号中人工噪声向量严重干扰Bob接收有效信号，从而降低系统安全传输速率的情况。Alice按理想信道估计条件下安全传输速率极大化得到的最优功率分配比设计发射信号，发射信号经过与估计信道存在估计误差的实际信道后系统达到的安全传输速率，比较该安全传输速率与理想信道估计条件下系统安全速率，验证考虑主信道估计误差的重要性，并找到一个更经济、更贴近现实环境下协作网络中保密消息的安全传输方案。

Claims (1)

1.主信道非理想信道估计条件下基于人工噪声的协作网络中功率分配方法，其特征在于：它包括以下步骤：

S1：合法接收端同时向发射源发射端和协作干扰机发送导频序列，所述导频序列经过发射端到合法接收端的实际信道h_b'，同时经过协作干扰机到合法接收端的实际信道h_bc'；

S2：发射端接收所述导频序列并做非理想信道估计得到非理想信道h_b，即h_b＝h_b'+δ_b；协作干扰机接收导频序列并做理想信道估计得到理想信道h_bc，即h_bc＝h_bc'，记其中代表随机向量的协方差矩阵；

S3：发射端利用信道矩阵h_b设计发射信号s并发射，协作干扰机分别利用信道矩阵h_bc设计发射信号s_c并发射，发射信号s、s_c分别经过h_b'、h_bc'到达合法接收端，同时发射信号s、s_c分别经过窃听信道h_e、h_ec到达窃听端；

S4：合法接收端接收信号为y_b并计算信干噪比，表示为γ_b(φ)，根据发射信号的设计原则可知简化表达式，合法接收端的接收信号表示为

$\begin{array}{c}{y}_b={\left({h_b}^{\′}\right)}^{H}s+{\left({h_{bc}}^{\′}\right)}^H{s}_c+n_b\\ ={(h_b-{\mathrm{\δ}}_b)}^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+h_{bc}^H{s}_c+n_b\\ =h_b^{H}s-{\mathrm{\δ}}_b^{H}s+n_b\end{array}$

其中，n_b,n_e～CN(0,1)分别代表噪声对合法接收端和窃听端的影响；发射端发射信号s中的人工噪声信号部分应对合法接收端没有任何影响，故满足：

$s=\sqrt{P_a\mathrm{\φ}}vx+\sqrt{\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}}{N}_{v}n$

其中，P_a表示发送端的发送功率约束；φ∈[0,1]表示P_a的功率分配比；x～CN(0,1)和分别表示高斯码本的数据信号和高斯噪声向量，并且是相互独立的；等式右边第一项表示信息轴方向的信号，其中第二项表示人工噪声向量，其中的列向量构成的零空间的标准正交基；

干扰机端发射信号s_c也应对合法接收机没有任何影响，即所以s_c表示为

$s_c=\sqrt{\frac{P_c}{N_c-1}}Wz$

其中P_c表示CJ的发送功率约束；W的列向量形成了的零空间的标准正交基；表示一个高斯噪声向量；

合法接收端的信干燥比SINR可以表示成

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}{\left|{\mathrm{\δ}}_b^H{N}_v\right|}^2}$

已知且的列向量构成的零空间的标准正交基，从而得到故

${\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}\left|\right|h_b|{|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}{\mathrm{\σ}}_2}$

由于系统只知道窃听信道的统计信息，窃听端的接收信号和信干噪比仍为理想信道估计条件下的结果，分别为：

$y_e=h_e^{H}s+h_{ec}^H{s}_c+n_e;$

${\mathrm{\γ}}_e\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{P_a\mathrm{\φ}{\left|h_e^{H}v\right|}^2}{1+\frac{P_a(1-\mathrm{\φ})}{N_a-1}{\left|h_e^H{N}_v\right|}^2+\frac{P_c}{N_c-1}\left|\right|h_{ec}^{H}W|{|}^2};$

要实现安全中断容量最大化，该优化问题可以等价为一个功率分配问题，描述如下：

$\begin{array}{cc}\underset{0\≤\mathrm{\φ}\≤1}{max}& R_s={\log }_2\left(\frac{1+\mathrm{\γ}\mathrm{\φ}}{1+\mathrm{\μ}}\right)\end{array}$

s.t.Pr(γ_e(φ)＞μ)＝ε,

0≤R_s≤C_b.

其中γ＝P_a||h_b||²，R_s表示安全传输速率，ε表示安全中断概率约束，C_b＝log₂(1+γ_b(φ))表示主信道的信道容量，表示和中断概率有关的阈值；

求解安全中断概率约束为：

$ln\left(\frac{1}{\mathrm{\ϵ}}\right)=\frac{\mathrm{\ω}}{P_a}+ln\[1+(1-\mathrm{\φ})\mathrm{\ω}\]+3ln(1+\frac{\mathrm{\ω}}{d})$

其中和由上式看出ω是一个关于φ的隐函数，且显然ω(φ)＞0，则功率分配问题的公式就表示成：

$R_s={\log }_2\left(\frac{1+{\mathrm{\γ}}_b\left(\mathrm{\φ}\right)}{1+\mathrm{\φ}\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\φ}\right)}\right);$

S5：计算理想信道估计条件下发射端发射功率的最优分配比φ*，以及该功率分配比时的最大安全传输速率R_s ^*；

S6：按理想信道估计条件下最优功率分配比φ*设计发送信号，并计算该发送信号经过与估计信道存在估计误差的实际信道时系统达到的安全传输速率R_s'，即将理想信道估计条件下的φ*代入公式步骤S4中的最后一个公式得到R_s'＝R_s(φ*)。

S7：比较R_s'与R_s ^*，得出结论。