CN106055799A - 一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法，通过机动过程的规划、机动代价分析对比、稳定性分析和多脉冲方式的实现，并通过相关的仿真分析验证了该方法作为一种异面轨道机动方式的可行性和优势。本发明将悬浮轨道作为中间转移轨道，通过针对任务的合理设计，能够实现轨道面和相位角同步调整，大大降低发动机推力需求，并节约任务时间消耗，有益于未来空间大范围机动任务的实现，为大范围快速轨道机动任务提供技术支持。

Description

一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法

【技术领域】

本发明属于轨道力学领域，涉及一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法。

【背景技术】

在如今的航天领域，空间机动是空间操作的基础和核心使能技术,未来航天器必须具备快速、精确、自主和大范围的轨道机动能力,这是一切复杂航天任务的基本需要。因此,系统地研究轨道转移、交会、拦截及其轨道设计与优化问题是解决远程大范围快速空间机动与复杂任务的关键课题。目前工程实际中大多研究都局限于共面轨道之间机动的相位调整问题，然而为了更好地实现空间大范围机动，异面轨道间的快速机动问题也是丞待解决的。

目前，针对空间异面轨道间的机动转移问题，现有工程任务中大多采用在轨道面交点处施加一个机动脉冲或一小段连续推力来进行轨道面调整，之后再在轨道面内通过速度方向或反方向的速度脉冲实现相位调整的方式实现异面轨道机动任务。然而该方式具有一个致命缺陷，由于该机动方式属于脉冲式机动或通过转化得到的较短时间内的连续推力机动，因此该方式只适用于轨道面夹角很小的小范围轨道面调整问题，针对通常意义上的大范围异面轨道机动问题，该方式对飞行器发动机推力提出的能力需求过高，现有技术根本无法实现。另外，该方式由于轨道面和相位角分别独立调整，考虑调相轨道高度和调相脉冲等限制，调相阶段无法确保在单个轨道周期内完成，因此在一些情况下机动任务时间消耗上也可能远远超出任务指标需求。因此，本发明提出了一种利用悬浮轨道作为中间转移轨道的新型异面轨道机动方式，可以通过变轨点和机动过程的合理设计优化，实现轨道面和相位角同步调整，对发动机的推力需求大大降低，机动任务所需的时间消耗也显著缩短，可实现空间大范围异面机动任务。

【发明内容】

本发明的目的是针对空间异面轨道间快速机动的任务需求，提供一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法，该方法能够通过远低于传统脉冲式变轨的发动机推力需求和任务时间消耗，完成异面轨道间快速机动任务。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法，包括以下步骤：

步骤一、机动过程规划

飞行器在初始轨道上运动至机动起始点A开始施加持续法向力的作用，并沿着悬浮轨道运动至机动终止点B，然后撤去持续力，使得飞行器进入目标轨道实现轨道转移；

步骤二、机动代价分析

地球半径为r，初始轨道与目标轨道的轨道均为圆轨道，半径为R，轨道倾角为i，机动起始点距离初始轨道最北点的相位角为δ，悬浮轨道面与赤道面的夹角为ε，最终获得的悬浮轨道与初始轨道拼接点距离悬浮轨道最南点的相位角为η；

机动过程持续力施加时间t_dispalce的表达式为

$\begin{array}{c}{t}_{displaced}=\frac{1}{180}\arccos \left(\frac{tan(\frac{\mathrm{\π}}{2}-|\arctan \left(tan\mathrm{\δ}\sin i\right)|-\arctan (\frac{\sin i}{tan\mathrm{\δ}}\left)\right)}{\cos \mathrm{\δ}\·\cos i\sqrt{\frac{1}{(1-{\cos }^2\mathrm{\δ}\·{\cos }^{2}i)}}}\right)\·T_{initial}\\ \·\left\{\sqrt{1-(1-{\cos }^2\mathrm{\δ}\·{\cos }^{2}i)\·{\sin }^2\[\left|\arctan \left(\tan \mathrm{\δ}\sin i\right)\right|+\arctan \left(\frac{\sin i}{tan\mathrm{\δ}}\right)\]}\right\}\end{array}---\left(1\right)$

持续力F_thrust应始终垂直于地心引力方向，其大小为

F_thrust＝F_O tanΔi (2)

步骤三、悬浮轨道稳定性分析

该系统的两个与距离相关参数的干扰方程如下

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}}^{\′}\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}^{\′}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_{11}& {\mathrm{\λ}}_{12}\\ {\mathrm{\λ}}_{21}& {\mathrm{\λ}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}^{\′}\\ {\mathrm{\η}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_{11}& {\mathrm{\λ}}_{12}\\ {\mathrm{\λ}}_{21}& {\mathrm{\λ}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3{\mathrm{\ω}}^2+{\mathrm{\ω}}_{*}^2\[1-3{\left(\frac{\mathrm{\ρ}}{r}\right)}^2\]& -3{\mathrm{\ω}}_{*}^2\[\frac{\mathrm{\ρ}z}{r^2}\]\\ -3{\mathrm{\ω}}_{*}^2\[\frac{\mathrm{\ρ}z}{r^2}\]& {\mathrm{\ω}}_{*}^2\[1-3{\left(\frac{z}{r}\right)}^2\]\end{array}\right]---\left(4\right)$

因此，则有变分方程的特征多项式为：

${\mathrm{\γ}}^4+{\mathrm{\γ}}^2({\mathrm{\λ}}_{11}+{\mathrm{\λ}}_{22})+({\mathrm{\λ}}_{11}{\mathrm{\λ}}_{22}-{\mathrm{\λ}}_{12}^2)=0---\left(5\right)$

上式被看成一个如下的四阶系统：

a₀γ⁴+a₁γ³+a₂γ²+a₃γ¹+a₄γ⁰＝0 (6)

根据劳斯稳定性判据可知，该系统具有如下稳定性条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_{11}+{\mathrm{\λ}}_{22}=-{\mathrm{\ω}}_{*}^2\[1-3{\[\frac{r}{\mathrm{\ρ}}\]}^2\]>0\\ {\mathrm{\λ}}_{11}{\mathrm{\λ}}_{22}-{\mathrm{\λ}}_{12}{\mathrm{\λ}}_{21}=-{\mathrm{\ω}}_{*}^4\[2-3{\[\frac{r}{\mathrm{\ρ}}\]}^2+9{\[\frac{z}{\mathrm{\ρ}}\]}^2\]>0\end{array}\right.---\left(7\right)$

简化求解得到稳定性条件为：

$\frac{z}{\mathrm{\&rho;}}<\sqrt{\frac{1}{6}}---\left(8\right)$

步骤四、多脉冲方式的实现

假定任务轨道的轨道倾角为i，半长轴为a，取整周期脉冲弧段个数为n时，以悬浮轨道与脉冲弧段节点高度相同的拼接方式为例，具体设计分析过程如下；

根据开普勒轨道相关理论可知，V₁与V₀通过三次坐标转化的转化关系为：

$\begin{array}{c}{V}_1=A_{z^{\&prime;}}(-\mathrm{\&alpha;}/2)\&CenterDot;A_{x^{\&prime;}}(-i)\&CenterDot;A_z(\mathrm{\&theta;}/2)\&CenterDot;V_0\\ =\left[\begin{array}{ccc}C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S(-i)\\ -S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S(-i)\\ S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S(-i)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C(-i)\end{array}\right]\&CenterDot;V_0\end{array}---\left(9\right)$

同理可知V₂与V₀三次坐标转化的坐标转化关系为：

$\begin{array}{c}{V}_2=A_{z^{\&prime;}}(\mathrm{\&alpha;}/2)\&CenterDot;A_x(-i)\&CenterDot;A_z(-\mathrm{\&theta;}/2)\&CenterDot;V_0\\ =\left[\begin{array}{ccc}C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})-S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})+S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-i)\\ -S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})-C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& -S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})+C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-i)\\ S(-i)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& -S(-i)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& C(-i)\end{array}\right]\&CenterDot;V_0\end{array}---\left(10\right)$

已知在卫星yOz平面内时，轨道速度V₀＝[V 00]^T，从而能够通过V₂与V₁矢量相减得到地球惯性系下在yOz平面内单次机动脉冲为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}V=V_2-V_1\\ =\left[\begin{array}{c}0\\ 2\&times;S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-2\&times;C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\\ -2\&times;S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\end{array}\right]\&CenterDot;V\end{array}---\left(11\right)$

第一次脉冲ΔV₁与ΔV之间也存在一个旋转矩阵A_z'(α/2)：

${\mathrm{\&Delta;V}}_1=\left[\begin{array}{ccc}cos(\mathrm{\&alpha;}/2)& -sin(\mathrm{\&alpha;}/2)& 0\\ sin(\mathrm{\&alpha;}/2)& cos(\mathrm{\&alpha;}/2)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}V---\left(12\right)$

递推得到之后每次的速度脉冲，只需将ΔV绕z'轴α即可，也就是再引入一个旋转矩阵A_z'(α)：

$A_{z^{\&prime;}}\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\left[\begin{array}{ccc}cos\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& -sin\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& 0\\ sin\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& cos\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&Delta;V}}_n=A_{z^{\&prime;}}{\left(\mathrm{\&alpha;}\right)}^{n-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;V}}_1---\left(13\right)$

对传统单脉冲式机动、理想连续推力式机动和实际的多脉冲式机动三种方式的机动任务中累积速度脉冲情况进行分析对比：

首先，通过一次坐标转化可知初始开普勒轨道的法向量应为

$N_1=A_{x^{\&prime;}}(-i)\&CenterDot;{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& r\end{array}\right]}^T=r\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}0\\ -\sin (-i)\\ \cos (-i)\end{array}\right]---\left(14\right)$

当升交点赤经调整量为β时，目标开普勒轨道与初始开普勒轨道之间存在一个旋转矩阵A_z'(β)，进而得到目标开普勒轨道的法向量为：

$N_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)& -\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)& 0\\ \sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&CenterDot;N_1=r\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)\&CenterDot;\sin (-i)\\ -\cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)\&CenterDot;\sin (-i)\\ \sin (-i)\end{array}\right]---\left(15\right)$

求两轨道面夹角γ为：

$\mathrm{\&gamma;}=acos\left(\frac{{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_1\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_2}{\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_1\right|\&CenterDot;\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_2\right|}\right)=acos\left(cos\right(\mathrm{\&beta;})\&CenterDot;sin{\left(-i\right)}^2+sin(-i)\&CenterDot;cos(-i\left)\right)---\left(16\right)$

累计速度脉冲为：

${\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-impulse}=2V\&CenterDot;sin\left(\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2}\right)---\left(17\right)$

连续推力式悬浮轨道机动累积速度脉冲与升交点赤经β成正比关系：

${\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-dispalced}=\frac{F_{dispalced}}{m}\&CenterDot;\frac{T_{dsiaplced}}{2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&beta;}}{180}=\frac{V^2\&CenterDot;\tan \left(i\right)\&CenterDot;T_t\&CenterDot;a_2\&CenterDot;\mathrm{\&beta;}}{360\&CenterDot;a^2}---\left(18\right)$

脉冲调宽的悬浮轨道式机动累计速度脉冲为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;V}}_{PWM}=\left|\mathrm{\&Delta;}V\right|=V\sqrt{{\&lsqb;2\&times;S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-2\&times;C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\&rsqb;}^2+{\&lsqb;-2\&times;S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\&rsqb;}^2}\\ {\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-PWM}={\mathrm{\&Delta;V}}_{PWM}\&CenterDot;\frac{n\&CenterDot;\mathrm{\&beta;}}{360}\end{array}---\left(19\right).$

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明通过机动过程的规划、机动代价分析对比、稳定性分析和多脉冲方式的实现，并通过相关的仿真分析验证了该方法作为一种异面轨道机动方式的可行性和优势。本发明将悬浮轨道作为中间转移轨道，通过针对任务的合理设计，能够实现轨道面和相位角同步调整，大大降低发动机推力需求，并节约任务时间消耗，有益于未来空间大范围机动任务的实现，为大范围快速轨道机动任务提供技术支持。

【附图说明】

图1为悬浮轨道基本原理示意图；

图2为悬浮轨道基本原理示意图；

图3为悬浮轨道法向力持续时间分析示意图；

图4为悬浮轨道机动受力分析示意图；

图5为悬浮轨道机动时间消耗分析示意图；

图6为悬浮轨道机动推力需求分析示意图；

图7为悬浮轨道机动燃料消耗分析示意图；

图8为悬浮轨道稳定性分析示意图；

图9为悬浮轨道稳定域示意图；

图10为悬浮轨道多脉冲实现方式原理图；

图11为36脉冲式三轴速度脉冲序列图；

图12为36脉冲式的轨道示意图。

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

参见图1-图12，本发明利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法，包括以下步骤：

步骤一、机动过程规划

本专利提出利用悬浮轨道在异面轨道快速机动中作为过渡轨道的应用，悬浮轨道(displaced轨道)通常是定义为在二体假设下，通过外力作用，使得轨道平面不通过地球(或其他中心引力体)球心的一种非开普勒轨道，如图1所示。这里通过将初始轨道，目标轨道与悬浮轨道进行拼接实现在持续法向力作用下完成基于悬浮轨道的异面轨道转移策略。其主要过程是在初始轨道机动起始点开始通过施加一个力的作用，将飞行器机动到一个特定的转移悬浮轨道；接着飞行器在一个大小恒定不变的持续力作用下沿着悬浮轨道飞行直到机动终止点处撤去该持续力，使飞行器转移到目标轨道上。其中初始轨道和目标轨道都是开普勒轨道。其具体过程如图2所示，其中A为机动起始点，B为机动终止点，飞行器在初始轨道上运动至A点开始施加持续法向力的作用，并沿着悬浮轨道运动至B点，然后撤去持续力，使得飞行器进入目标轨道实现轨道转移。

步骤二、机动代价分析

地球半径为r，初始轨道与目标轨道的轨道均为圆轨道，半径为R，轨道倾角为i，机动起始点距离初始轨道最北点的相位角为δ，悬浮轨道面与赤道面的夹角为ε，最终获得的悬浮轨道与初始轨道拼接点距离悬浮轨道最南点的相位角为η。

通过图3分析可得到机动过程持续力施加时间t_dispalce的表达式为

$\begin{array}{c}{t}_{displaced}=\frac{1}{180}\arccos \left(\frac{tan(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-|\arctan \left(tan\mathrm{\&delta;}\sin i\right)|-\arctan (\frac{\sin i}{tan\mathrm{\&delta;}}\left)\right)}{\cos \mathrm{\&delta;}\&CenterDot;\cos i\sqrt{\frac{1}{(1-{\cos }^2\mathrm{\&delta;}\&CenterDot;{\cos }^{2}i)}}}\right)\&CenterDot;T_{initial}\\ \&CenterDot;\left\{\sqrt{1-(1-{\cos }^2\mathrm{\&delta;}\&CenterDot;{\cos }^{2}i)\&CenterDot;{\sin }^2\&lsqb;\left|\arctan \left(\tan \mathrm{\&delta;}\sin i\right)\right|+\arctan \left(\frac{\sin i}{tan\mathrm{\&delta;}}\right)\&rsqb;}\right\}\end{array}---\left(1\right)$

分析图4可得持续力F_thrust应始终垂直于地心引力方向，其大小为

F_thrust＝F_O tanΔi (2)

选取半长轴为6878km的初始轨道作为某航天器的初始轨道进行仿真验证，其处于轨道倾角和升交点赤经可任意选择的圆轨道，目标轨道与初始轨道升交点赤经相差180°，其余参数均相同，通过在初始轨道与目标轨道的交点处施加速度脉冲和通过悬浮轨道机动策略两种方式实现初始轨道到目标轨道的异面轨道机动，并对比分析相关机动代价，仿真参数如表1所示。

表1悬浮轨道仿真初始参数设置表

根据图5分析两种机动方式的机动时间消耗可知，基于悬浮轨道的机动方式所需机动时间消耗仅在千秒级，通常小于半个轨道周期，而传统脉冲式由于异面机动与共面调相分开进行，且当相位差过大时，需要多个轨道周期完成调相过程，因此时间消耗成倍提升甚至达到几万秒，这样的时间跨度在天基系统的快速打击任务中显然是不允许的。

根据图6分析两种机动方式的推力需求可以看出，由于悬浮轨道式异面机动策略采用一种连续推力式的机动方式，因此其对发动机推力的需求远小于脉冲式，一般情况仅需百牛级的推力就可实现小范围的异面轨道机动；然而，传统的脉冲式机动，在很小范围的异面机动时仍需要接近万牛的推力才可实现，这是同种案例下悬浮轨道式机动的100倍左右，如此大的推力在现在工程实际中根本无法提供，因此，在推力需求方面，新的悬浮轨道式机动策略仍然具有很明显的优势。

根据图7分析两种机动方式的燃料消耗可以发现，悬浮轨道式机动策略通常情况下在燃耗方面稍劣于脉冲式，但在燃耗的量级上并无明显差距，同时，针对天基系统快速打击这类对快速性需求很高的任务来说，利用少量的燃耗增加换取明显的时间减少是十分值得的，况且，通常情况下发动机推力越小，其比冲越大，因此考虑工程实际中比冲的区别，新型悬浮轨道式机动策略具备很好的应用前景。

步骤三、悬浮轨道稳定性分析

考虑到将这种机动方式用于工程实际中的可行性，我们还需对该类轨道的稳定性进行证明，也就是执行该类轨道任务过程中的抗干扰能力，只有轨道本身具有较强的稳定性，我们才能认为该类轨道具有工程实际应用价值和研究意义。

该系统的两个与距离相关参数的干扰方程如下

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}^{\&prime;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}^{\&prime;}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{21}& {\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&eta;}}^{\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{21}& {\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3{\mathrm{\&omega;}}^2+{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;1-3{\left(\frac{\mathrm{\&rho;}}{r}\right)}^2\&rsqb;& -3{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;\frac{\mathrm{\&rho;}z}{r^2}\&rsqb;\\ -3{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;\frac{\mathrm{\&rho;}z}{r^2}\&rsqb;& {\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;1-3{\left(\frac{z}{r}\right)}^2\&rsqb;\end{array}\right]---\left(4\right)$

因此，则有变分方程的特征多项式为

${\mathrm{\&gamma;}}^4+{\mathrm{\&gamma;}}^2({\mathrm{\&lambda;}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_{22})+({\mathrm{\&lambda;}}_{11}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-{\mathrm{\&lambda;}}_{12}^2)=0---\left(5\right)$

上式可被看成一个如下的四阶系统

a₀γ⁴+a₁γ³+a₂γ²+a₃γ¹+a₄γ⁰＝0 (6)

根据劳斯稳定性判据可知因此该系统具有如下稳定性条件

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_{22}=-{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;1-3{\&lsqb;\frac{r}{\mathrm{\&rho;}}\&rsqb;}^2\&rsqb;>0\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{11}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-{\mathrm{\&lambda;}}_{12}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}=-{\mathrm{\&omega;}}_{*}^4\&lsqb;2-3{\&lsqb;\frac{r}{\mathrm{\&rho;}}\&rsqb;}^2+9{\&lsqb;\frac{z}{\mathrm{\&rho;}}\&rsqb;}^2\&rsqb;>0\end{array}\right.---\left(7\right)$

简化求解可得稳定性条件为

$\frac{z}{\mathrm{\&rho;}}<\sqrt{\frac{1}{6}}---\left(8\right)$

进而对该轨道的稳定性加以验证，如图8和图9所示，是稳定性区域示意图，该类轨道具备的特性，由图可以看出随着ρ的减小和z的增大，其所需的连续推力量级也在增加，在黑线所示的稳定边界以下的区域内，该类悬浮轨道均处于稳定域内，这时，在任务的执行过程中，即使控制力上出现一个小的偏差，轨道依然稳定于原轨道附近，反之若在不稳定域内的轨道遇到偏差则会立刻发散。因此，稳定域内的悬浮轨道都可以作为快速机动的任务轨道。

步骤四、多脉冲方式的实现

考虑到通常情况下工程实际中发动机无法持续工作过长时间，因此需要对理想情况下的悬浮轨道通过多脉冲方式实现。这里通过多段开普勒轨道弧段拼接的方式，实现与理想悬浮轨道等效的中间转移轨道设计。

悬浮轨道的多脉冲实现方式原理是，飞行器沿开普勒轨道自由飞行，当运动到节点P'时，通过一个微小的速度脉冲，使飞行器进入下一个弧段的开普勒轨道中继续自由漂移，以此递推，直至飞行器进入任务需求的目标轨道，假定任务轨道的轨道倾角为i，半长轴为a，取整周期脉冲弧段个数为n时，以悬浮轨道与脉冲弧段节点高度相同的拼接方式为例，具体设计分析过程如下。

根据开普勒轨道相关理论可知V1与V0通过三次坐标转化的转化关系为

$\begin{array}{c}{V}_1=A_{z^{\&prime;}}(-\mathrm{\&alpha;}/2)\&CenterDot;A_{x^{\&prime;}}(-i)\&CenterDot;A_z(\mathrm{\&theta;}/2)\&CenterDot;V_0\\ =\left[\begin{array}{ccc}C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S(-i)\\ -S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})C(-i)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2})S(-i)\\ S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S(-i)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C(-i)\end{array}\right]\&CenterDot;V_0\end{array}---\left(9\right)$

同理可知V2与V0三次坐标转化的坐标转化关系为

$\begin{array}{c}{V}_2=A_{z^{\&prime;}}(\mathrm{\&alpha;}/2)\&CenterDot;A_x(-i)\&CenterDot;A_z(-\mathrm{\&theta;}/2)\&CenterDot;V_0\\ =\left[\begin{array}{ccc}C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})-S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})+S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-i)\\ -S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})-C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& -S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})+C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S(-i)\\ S(-i)S(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& -S(-i)C(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2})& C(-i)\end{array}\right]\&CenterDot;V_0\end{array}---\left(10\right)$

已知在卫星yOz平面内时，轨道速度V₀＝[V 00]^T，从而我们可以通过V2与V1矢量相减得到地球惯性系下在yOz平面内单次机动脉冲为

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}V=V_2-V_1\\ =\left[\begin{array}{c}0\\ 2\&times;S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-2\&times;C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\\ -2\&times;S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\end{array}\right]\&CenterDot;V\end{array}---\left(11\right)$

如图10所示，第一次脉冲ΔV₁与ΔV之间也存在一个旋转矩阵A_z'(α/2)

${\mathrm{\&Delta;V}}_1=\left[\begin{array}{ccc}cos(\mathrm{\&alpha;}/2)& -sin(\mathrm{\&alpha;}/2)& 0\\ sin(\mathrm{\&alpha;}/2)& cos(\mathrm{\&alpha;}/2)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}V---\left(12\right)$

递推可得之后每次的速度脉冲，只需将ΔV绕z'轴α即可，也就是再引入一个旋转矩阵A_z'(α)。

$A_{z^{\&prime;}}\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\left[\begin{array}{ccc}cos\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& -sin\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& 0\\ sin\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& cos\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&Delta;V}}_n=A_{z^{\&prime;}}{\left(\mathrm{\&alpha;}\right)}^{n-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;V}}_1---\left(13\right)$

通常在航天器任务设计分析中，我们用累积速度脉冲来代表任务中燃料消耗情况，这里对传统单脉冲式机动，理想连续推力式机动和实际的多脉冲式机动三种方式的机动任务中累积速度脉冲情况进行分析对比。

首先，通过一次坐标转化可知初始开普勒轨道的法向量应为

$N_1=A_{x^{\&prime;}}(-i)\&CenterDot;{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& r\end{array}\right]}^T=r\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}0\\ -\sin (-i)\\ \cos (-i)\end{array}\right]---\left(14\right)$

当升交点赤经调整量为β时，目标开普勒轨道与初始开普勒轨道之间存在一个旋转矩阵A_z'(β)，进而可知目标开普勒轨道的法向量为

$N_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)& -\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)& 0\\ \sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&CenterDot;N_1=r\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)\&CenterDot;\sin (-i)\\ -\cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)\&CenterDot;\sin (-i)\\ \sin (-i)\end{array}\right]---\left(15\right)$

可求两轨道面夹角γ为

$\mathrm{\&gamma;}=acos\left(\frac{{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_1\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_2}{\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_1\right|\&CenterDot;\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_2\right|}\right)=acos\left(cos\right(\mathrm{\&beta;})\&CenterDot;sin{\left(-i\right)}^2+sin(-i)\&CenterDot;cos(-i\left)\right)---\left(16\right)$

而传统脉冲式只与轨道面夹角有关，因此累计速度脉冲为

${\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-impulse}=2V\&CenterDot;sin\left(\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2}\right)---\left(17\right)$

连续推力式悬浮轨道机动累积速度脉冲与升交点赤经β成正比关系

${\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-dispalced}=\frac{F_{dispalced}}{m}\&CenterDot;\frac{T_{dsiaplced}}{2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&beta;}}{180}=\frac{V^2\&CenterDot;\tan \left(i\right)\&CenterDot;T_t\&CenterDot;a_2\&CenterDot;\mathrm{\&beta;}}{360\&CenterDot;a^2}---\left(18\right)$

脉冲调宽的悬浮轨道式机动累计速度脉冲为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;V}}_{PWM}=\left|\mathrm{\&Delta;}V\right|=V\sqrt{{\&lsqb;2\&times;S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-2\&times;C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\&rsqb;}^2+{\&lsqb;-2\&times;S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\&rsqb;}^2}\\ {\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-PWM}={\mathrm{\&Delta;V}}_{PWM}\&CenterDot;\frac{n\&CenterDot;\mathrm{\&beta;}}{360}\end{array}---\left(19\right)$

假定任务轨道半长轴6678km，轨道倾角为2°，整周期脉冲弧段个数为12，36，90个时，传统单脉冲式机动，理想连续推力式机动和实际的多脉冲式机动三种方式的相关机动参数如表3所示。

表2三种机动方式多案例仿真结果对比表

取轨道倾角为2°，整周期脉冲弧段个数为36的仿真案例为例，在一整个周期内的各次脉冲在地球惯性系下三个方向的速度脉冲分量和地球惯性系下轨道如图11和图12所示，可以看出z轴的速度脉冲为常值，而x方向和y方向的速度脉冲符合正余弦变化关系，这与之前的分析结果一致。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种利用悬浮轨道实现异面轨道快速机动方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、机动过程规划

飞行器在初始轨道上运动至机动起始点A开始施加持续法向力的作用，并沿着悬浮轨道运动至机动终止点B，然后撤去持续力，使得飞行器进入目标轨道实现轨道转移；

步骤二、机动代价分析

地球半径为r，初始轨道与目标轨道的轨道均为圆轨道，半径为R，轨道倾角为i，机动起始点距离初始轨道最北点的相位角为δ，悬浮轨道面与赤道面的夹角为ε，最终获得的悬浮轨道与初始轨道拼接点距离悬浮轨道最南点的相位角为η；

机动过程持续力施加时间t_dispalce的表达式为

$\begin{array}{c}{t}_{displaced}=\frac{1}{180}\arccos \left(\frac{\tan \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\left|\arctan \left(\tan \mathrm{\&delta;}\sin i\right)\right|-\arctan \left(\frac{\sin i}{\tan \mathrm{\&delta;}}\right)\right)}{\cos \mathrm{\&delta;}\&CenterDot;\cos i\sqrt{\frac{1}{\left(1-{\cos }^2\mathrm{\&delta;}\&CenterDot;{\cos }^{2}i\right)}}}\right)\&CenterDot;T_{initial}\\ \&CenterDot;\left\{\sqrt{1-\left(1-{\cos }^2\mathrm{\&delta;}\&CenterDot;{\cos }^{2}i\right)\&CenterDot;{\sin }^2\&lsqb;\left|\arctan \left(\tan \mathrm{\&delta;}\sin i\right)\right|+\arctan \left(\frac{\sin i}{\tan \mathrm{\&delta;}}\right)\&rsqb;}\right\}\end{array}---\left(1\right)$

持续力F_thrust应始终垂直于地心引力方向，其大小为

F_thrust＝F_O tanΔi (2)

步骤三、悬浮轨道稳定性分析

该系统的两个与距离相关参数的干扰方程如下

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}^{\&prime;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}^{\&prime;}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{21}& {\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&eta;}}^{\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{21}& {\mathrm{\&lambda;}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3{\mathrm{\&omega;}}^2+{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;1-3{\left(\frac{\mathrm{\&rho;}}{r}\right)}^2\&rsqb;& -3{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;\frac{\mathrm{\&rho;}z}{r^2}\&rsqb;\\ -3{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;\frac{\mathrm{\&rho;}z}{r^2}\&rsqb;& {\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;1-3{\left(\frac{z}{r}\right)}^2\&rsqb;\end{array}\right]---\left(4\right)$

因此，则有变分方程的特征多项式为：

${\mathrm{\&gamma;}}^4+{\mathrm{\&gamma;}}^2({\mathrm{\&lambda;}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_{22})+({\mathrm{\&lambda;}}_{11}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-{\mathrm{\&lambda;}}_{12}^2)=0---\left(5\right)$

上式被看成一个如下的四阶系统：

a₀γ⁴+a₁γ³+a₂γ²+a₃γ¹+a₄γ⁰＝0 (6)

根据劳斯稳定性判据可知，该系统具有如下稳定性条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_{22}=-{\mathrm{\&omega;}}_{*}^2\&lsqb;1-3{\&lsqb;\frac{r}{\mathrm{\&rho;}}\&rsqb;}^2\&rsqb;>0\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{11}{\mathrm{\&lambda;}}_{22}-{\mathrm{\&lambda;}}_{12}{\mathrm{\&lambda;}}_{21}=-{\mathrm{\&omega;}}_{*}^4\&lsqb;2-3{\&lsqb;\frac{r}{\mathrm{\&rho;}}\&rsqb;}^2+9{\&lsqb;\frac{z}{\mathrm{\&rho;}}\&rsqb;}^2\&rsqb;>0\end{array}\right.---\left(7\right)$

简化求解得到稳定性条件为：

$\frac{z}{\mathrm{\&rho;}}<\sqrt{\frac{1}{6}}---\left(8\right)$

步骤四、多脉冲方式的实现

假定任务轨道的轨道倾角为i，半长轴为a，取整周期脉冲弧段个数为n时，以悬浮轨道与脉冲弧段节点高度相同的拼接方式为例，具体设计分析过程如下；

根据开普勒轨道相关理论可知，V₁与V₀通过三次坐标转化的转化关系为：

$\begin{array}{c}{V}_1=A_{z^{\&prime;}}\left(-\mathrm{\&alpha;}/2\right)\&CenterDot;A_{x^{\&prime;}}\left(-i\right)\&CenterDot;A_z\left(\mathrm{\&theta;}/2\right)\&CenterDot;V_0\\ =\left[\begin{array}{ccc}C\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-S\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+S\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& S\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(-i\right)\\ -S\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-C\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+C\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C\left(-\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(-i\right)\\ S\left(-i\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S\left(-i\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C\left(-i\right)\end{array}\right]\&CenterDot;V_0\end{array}---\left(9\right)$

同理可知V₂与V₀三次坐标转化的坐标转化关系为：

$\begin{array}{c}{V}_2=A_{z^{\&prime;}}\left(\mathrm{\&alpha;}/2\right)\&CenterDot;A_x\left(-i\right)\&CenterDot;A_z\left(-\mathrm{\&theta;}/2\right)\&CenterDot;V_0\\ =\left[\begin{array}{ccc}C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)S\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)C\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(-i\right)\\ -S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)S\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)+C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)C\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)S\left(-i\right)\\ S\left(-i\right)S\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& -S\left(-i\right)C\left(-\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)& C\left(-i\right)\end{array}\right]\&CenterDot;V_0\end{array}---\left(10\right)$

已知在卫星yOz平面内时，轨道速度V₀＝[V 0 0]^T，从而能够通过V₂与V₁矢量相减得到地球惯性系下在yOz平面内单次机动脉冲为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}V=V_2-V_1\\ =\left[\begin{array}{c}0\\ 2\&times;S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-2\&times;C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\\ -2\&times;S(-i)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\end{array}\right]\&CenterDot;V\end{array}---\left(11\right)$

第一次脉冲ΔV₁与ΔV之间也存在一个旋转矩阵A_z'(α/2)：

${\mathrm{\&Delta;V}}_1=\left[\begin{array}{ccc}cos(\mathrm{\&alpha;}/2)& -sin(\mathrm{\&alpha;}/2)& 0\\ sin(\mathrm{\&alpha;}/2)& cos(\mathrm{\&alpha;}/2)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}V---\left(12\right)$

递推得到之后每次的速度脉冲，只需将ΔV绕z'轴α即可，也就是再引入一个旋转矩阵A_z'(α)：

$A_{z^{\&prime;}}\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\left[\begin{array}{ccc}cos\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& -sin\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& 0\\ sin\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& cos\left(\mathrm{\&alpha;}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&Delta;V}}_n=A_{z^{\&prime;}}{\left(\mathrm{\&alpha;}\right)}^{n-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;V}}_1---\left(13\right)$

对传统单脉冲式机动、理想连续推力式机动和实际的多脉冲式机动三种方式的机动任务中累积速度脉冲情况进行分析对比：

首先，通过一次坐标转化可知初始开普勒轨道的法向量应为

$N_1=A_{x^{\&prime;}}(-i)\&CenterDot;{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& r\end{array}\right]}^T=r\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}0\\ -\sin (-i)\\ \cos (-i)\end{array}\right]---\left(14\right)$

当升交点赤经调整量为β时，目标开普勒轨道与初始开普勒轨道之间存在一个旋转矩阵A_z'(β)，进而得到目标开普勒轨道的法向量为：

$N_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)& -\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)& 0\\ \sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&CenterDot;N_1=r\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)\&CenterDot;\sin \left(-i\right)\\ -\cos \left(\mathrm{\&beta;}\right)\&CenterDot;\sin \left(-i\right)\\ \sin \left(-i\right)\end{array}\right]---\left(15\right)$

求两轨道面夹角γ为：

$\mathrm{\&gamma;}=acos\left(\frac{{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_1\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_2}{\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_1\right|\&CenterDot;\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}_2\right|}\right)=acos\left(cos\right(\mathrm{\&beta;})\&CenterDot;\sin {\left(-i\right)}^2+sin(-i)\&CenterDot;cos(-i\left)\right)---\left(16\right)$

累计速度脉冲为：

${\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-impulse}=2V\&CenterDot;sin\left(\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2}\right)---\left(17\right)$

连续推力式悬浮轨道机动累积速度脉冲与升交点赤经β成正比关系：

${\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-dispalced}=\frac{F_{dispalced}}{m}\&CenterDot;\frac{T_{dsiaplced}}{2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&beta;}}{180}=\frac{V^2\&CenterDot;\tan \left(i\right)\&CenterDot;T_t\&CenterDot;a_2\&CenterDot;\mathrm{\&beta;}}{360\&CenterDot;a^2}---\left(18\right)$

脉冲调宽的悬浮轨道式机动累计速度脉冲为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;V}}_{PWM}=\left|\mathrm{\&Delta;}V\right|=V\sqrt{{\&lsqb;2\&times;S\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)-2\&times;C\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}}{2}\right)C\left(-i\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\&rsqb;}^2+{\&lsqb;-2\&times;S\left(-i\right)S\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)\&rsqb;}^2}\\ {\mathrm{\&Delta;V}}_{sum-PWM}={\mathrm{\&Delta;V}}_{PWM}\&CenterDot;\frac{n\&CenterDot;\mathrm{\&beta;}}{360}\end{array}---\left(19\right).$