CN106339002A - 一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，步骤为：步骤1、建立太阳帆姿态运动学模型和姿态动力学模型；步骤2、在步骤1的基础上，基于滑模控制理论，构建太阳帆姿态控制器；步骤3、构建操纵律，使执行机构输出控制力矩，实现对太阳帆姿态控制器输出量的跟踪，并施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。本发明方法所设计的控制律原理简单，太阳帆姿态可快速机动至期望位置，且稳态误差较小。

Description

一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法

技术领域

本发明涉及航天器姿态控制领域，具体涉及一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法。

背景技术

太阳帆航天器通过巨大的帆面反射太阳光来获得轨道推进力。改变太阳帆姿态，调整太阳光反射角度可调节推进力的幅值与方向，继而改变航天器飞行轨道。因此，太阳帆的飞行任务依赖于其姿态调控。复杂的轨道任务对应多样的姿态机动，传统的自旋稳定无法满足姿态多变的要求。为服务太阳帆轨道转移和深空飞行任务，有必要研究高效精准的三轴姿态控制系统。

与传统航天器相比，太阳帆所受光压干扰力矩巨大，并且在轨运行期间，航天器面临诸多不确定因素，存在来自轨道耦合、行星引力、磁场等各方面的干扰，这些都要求姿态控制器具有较强的抗干扰能力。此外，基于质心/压心偏差设计的姿态执行机构，在工作过程中使得太阳帆转动惯量变化，这要求姿态控制器具有较好的鲁棒性。

滑动质量块-移动小帆执行机构可产生太阳帆三轴姿态控制所需力矩，且完全利用太阳光供能，结构较为简单，不影响太阳帆展开。然而，基于帆面转动原理设计的执行机构形式，转角解算都有一定的难度，因此有必要设计合理的操纵律求解小帆的转动角度。但是现有技术中尚无相关描述。

发明内容

本发明的目的在于提供一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，包括以下步骤：

步骤1、建立太阳帆姿态运动学模型和姿态动力学模型；

步骤2、在步骤1的基础上，基于滑模控制理论，构建太阳帆姿态控制器；

步骤3、构建操纵律，使执行机构输出控制力矩，实现对太阳帆姿态控制器输出量的跟踪，并施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)本发明方法所应用的航天器采用的滑动质量块-移动小帆执行机构完全利用太阳光能，无需携带化学能源，减轻了航天器质量，适合深空飞行任务；(2)本发明方法中的控制律原理简单，太阳帆姿态可快速机动至期望位置，且稳态误差较小；(3)本发明方法所设计的控制律可较好抑制巨大光压力矩干扰，且对太阳帆参数变化具有较好的鲁棒性；(4)本发明方法所设计的操纵律可快速解算滑块位置、伸缩杆长度和小帆转角，并实现对控制律的较好跟踪。

附图说明

图1是控制系统框图。

图2是本发明所采用太阳帆及执行机构示意图。

图3是姿态误差四元数仿真图。

图4是滑块位置仿真图，图(A)是滑块2-1位置，图(B)是滑块2-2位置，图(C)是滑块2-3位置，图(D)是滑块2-4位置。

图5是小帆角度仿真图。

具体实施方式

本发明针对太阳帆姿态控制中光压力矩干扰大和航天器参数变化的问题，基于滑模控制理论，提出一种具有较强抗干扰能力和鲁棒性的姿态控制方法；并采用一种新型的滑动质量块-移动小帆执行机构，设计合理有效的操纵律实现太阳帆三轴姿态控制。

结合图1，本发明的一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1、建立太阳帆姿态运动学模型和姿态动力学模型；所述太阳帆运动学模型为

$\stackrel{\·}{Q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{q}_4{I}_3+q^{\×}\\ -q^T\end{array}\right]\mathrm{\ω}$

太阳帆姿态动力学模型为：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+{\mathrm{\ω}}^{\×}\left(J\mathrm{\ω}\right)={\mathrm{\τ}}_c+{\mathrm{\τ}}_d,$

其中Q＝[q₁ q₂ q₃ q₄]^T＝[q^T q₄]^T为姿态四元数，ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]为姿态角速度，ω^×表示矢量ω的斜对称矩阵，τ_d为干扰力矩，τ_c为执行机构输出的控制力矩，J＝diag(J_x，J_x，J_z)为太阳帆转动惯量，且

$\left\{\begin{array}{c}{J}_x=I_x+m_r(d_3^2+d_4^2)\\ J_y=I_y+m_r(d_1^2+d_2^2)\\ J_z=I_z+m_r(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2)\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{J}}_x=2m_r({\stackrel{\·}{d}}_3{d}_3+{\stackrel{\·}{d}}_4{d}_4)\\ {\stackrel{\·}{J}}_y=2m_r(d_1{\stackrel{\·}{d}}_1+d_2{\stackrel{\·}{d}}_2)\\ {\stackrel{\·}{J}}_z=2m_r(d_1{\stackrel{\·}{d}}_1+d_2{\stackrel{\·}{d}}_2+{\stackrel{\·}{d}}_3{d}_3+{\stackrel{\·}{d}}_4{d}_4)\end{array}\right.,$

m_r＝m(m_s+m)/m_t，m为单个滑块质量，m_s为帆面质量，m_t为航天器总质量，d₁、d₂、d₃、d₄分别为4个滑块的位置，I_x，I_y，I_z分别为忽略质心变化时J_x，J_y，J_z的标称值。

步骤2、在步骤1的基础上，基于滑模控制理论，构建太阳帆姿态控制器；构建太阳帆姿态控制器包括以下步骤：

步骤2-1、建立误差运动学和动力学模型，具体为：

误差运动学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_e=q_{d4}q-{q_d}^{\×}q-q_{d4}{q}_d\\ q_{e4}=q_d^{T}q+q_4{q}_{d4}\end{array}\right.,$

误差动力学模型为：

其中，为期望姿态四元数，误差四元数为ω_d为期望角速度，ω_e＝ω-ω_d为对应角速度误差；

步骤2-2、对控制律执行环境作出如下假设：

1)太阳帆转动惯量变化有界，即J＝J₀+ΔJ，||ΔJ||≤σ_J,σ_J≥0，J₀为标称值；

2)太阳帆转动惯量变化率有界，即

3)干扰力矩有界，即||τ_d||≤d,d≥0；

步骤2-3、构建太阳帆姿态控制器公式为：

$u_0=\mathrm{\ω}\×J_0\mathrm{\ω}+J_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{\mathrm{\λJ}}_0{\stackrel{\·}{q}}_e,$

u₁＝-ks-bsign(s)，

其中，ε为很小的正数，λ＞0为滑模面。

步骤3、构建操纵律，使执行机构输出控制力矩，实现对太阳帆姿态控制器输出量的跟踪，并施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。具体包括以下步骤：

步骤3-1、解算滑块位置、小帆转角和伸缩杆长度，使控制力矩实现对控制律u的跟踪，所述滑块的位置解算方程为

$d_1=\frac{u\left(3\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}},d_2=\frac{u\left(3\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}},d_3=\frac{-u\left(2\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}},d_4=\frac{-u\left(2\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}};$

小帆转角γ和伸缩杆长度l解算方法为：

令l＝l₀+Δl，移动小帆装置产生的滚动轴力矩为τ_p＝lf(γ)，f(γ)＝8P_sA_v cos²(α+γ)sinγ，设当γ＝γ^*时，|f(γ)|取最大值，则有|τ_p|＝|l||f(γ^*)|，按如下步骤解算：

步骤3-1-1、令Δl＝0；

步骤3-1-2、判断|τ_p|＝|l₀||f(γ^*)|是否大于|u(3)|，如果大于则执行步骤3-1-3，否则执行步骤3-1-4；

步骤3-1-3、对小帆转角γ采用如下操纵律求解：

其中

步骤3-1-4、令Δl＝Δl+0.1，之后执行步骤3-1-2；

步骤3-2、构建执行机构动力学模型，所述执行机构为滑动质量块-移动小帆，动力学模型为：

${\mathrm{\τ}}_c=\left[\begin{array}{c}-4l_1{P}_s{A}_v{\cos }^2(\mathrm{\α}+{\mathrm{\γ}}_1){\mathrm{sin\γ}}_1-4l_2{P}_s{A}_v{\cos }^2(\mathrm{\α}+{\mathrm{\γ}}_2){\mathrm{sin\γ}}_2\\ -m/m_t(d_3+d_4)P_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}\\ m/m_t(d_1+d_2)P_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}\end{array}\right]$

其中，τ_c为执行机构输出的控制力矩，P_s为太阳光压常数，α为太阳帆姿态角，A为帆面面积，A_v为单块小帆的面积；

步骤3-3、将执行机构输出的控制力矩τ_c，施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。

下面进行更详细的描述。

结合图1，本发明分为太阳帆姿态运动学与动力学模型建立、姿态控制器构建和执行机构操纵律构建3个步骤。

结合图2，本发明采用方形太阳帆结构，并应用一种新型滑动质量块-移动小帆执行机构，包括支撑杆1、滑块2、小帆3、支撑架4和伸缩杆6，其中伸缩杆6的数量为4根，该4根伸缩杆6的一端均固连在支撑架4上，该4根伸缩杆6位于同一平面并呈“十字”型设置，每根伸缩杆6的另一端均与小帆3相固连，支撑架4的顶端设置航天器负载5，支撑架4的底端设置航天器帆面7；

所述航天器帆面7由4根支撑杆1沿对角线支撑，该4根支撑杆1位于同一平面并呈“十字”型设置，每根支撑杆1上均设置一个可沿其滑动的滑块2。

所述滑块2包含4个子滑块，分别是滑块2-1、滑块2-2、滑块2-3和滑块2-4。

针对此太阳帆构型设计姿态控制系统的具体步骤如下：

步骤1、建立太阳帆姿态运动学模型和姿态动力学模型，具体如下：

采用四元数描述太阳帆姿态，可得太阳帆姿态运动学方程：

$\stackrel{\·}{Q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{q}_4{I}_3+q^{\×}\\ -q^T\end{array}\right]\mathrm{\ω}---\left(1\right)$

其中Q＝[q₁ q₂ q₃ q₄]^T＝[q^T q₄]^T为姿态四元数，ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]为姿态角速度。

太阳帆姿态机动缓慢，且本发明采用沿对角线支撑的方形帆，因此可忽略帆面形变影响，将其姿态运动学模型简化如下：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+{\mathrm{\ω}}^{\×}\left(J\mathrm{\ω}\right)={\mathrm{\τ}}_c+{\mathrm{\τ}}_d,---\left(2\right)$

其中为太阳帆转动惯量，ω^×表示矢量ω的斜对称矩阵，τ_d为干扰力矩，τ_c为执行机构输出的控制力矩。

4个滑块2沿安装于太阳帆对角线的支撑杆1滑动，对太阳帆转动惯量J＝diag(J_x，J_x，J_z)的产生如下影响：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_x=I_x+m_r(d_3^2+d_4^2)\\ J_y=I_y+m_r(d_1^2+d_2^2)\\ J_z=I_z+m_r(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2)\end{array}\right.,---\left(3\right)$

其中m_r＝m(m_s+m)/m_t，m为单个滑块质量，m_s为帆面质量，m_t为航天器总质量，d₁、d₂、d₃、d₄分别为滑块2-1、滑块2-2、滑块2-3和滑块2-4的位置，I_x，I_y，I_z分别为忽略质心变化时J_x，J_y，J_z的标称值。

对式(3)对时间微分得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{J}}_x=2m_r({\stackrel{\·}{d}}_3{d}_3+{\stackrel{\·}{d}}_4{d}_4)\\ {\stackrel{\·}{J}}_y=2m_r(d_1{\stackrel{\·}{d}}_1+d_2{\stackrel{\·}{d}}_2)\\ {\stackrel{\·}{J}}_z=2m_r(d_1{\stackrel{\·}{d}}_1+d_2{\stackrel{\·}{d}}_2+{\stackrel{\·}{d}}_3{d}_3+{\stackrel{\·}{d}}_4{d}_4)\end{array}\right..---\left(4\right)$

步骤2、在步骤1的基础上，基于滑模控制理论，构建太阳帆姿态控制器，分为以下步骤：

步骤2-1、建立误差运动学和动力学模型，具体为：

设期望姿态四元数为误差四元数为对应的误差运动学方程为

$\left\{\begin{array}{c}{q}_e=q_{d4}q-{q_d}^{\×}q-q_{d4}{q}_d\\ q_{e4}=q_d^{T}q+q_4{q}_{d4}\end{array}\right.---\left(4\right)$

设期望角速度为ω_d，对应角速度误差为ω_e＝ω-ω_d，将式(2)带入得

$J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-\mathrm{\ω}\×J\mathrm{\ω}+{\mathrm{\τ}}_c+{\mathrm{\τ}}_d-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d---\left(6\right)$

步骤2-2、对控制律执行环境作出如下假设：

1)太阳帆转动惯量变化有界，即J＝J₀+ΔJ，||ΔJ||≤σ_J,σ_J≥0，J₀为标称值；

2)太阳帆转动惯量变化率有界，即

3)干扰力矩有界，即||τ_d||≤d,d≥0；

步骤2-3、构建太阳帆姿态控制器u，公式为：

$u_0=\mathrm{\ω}\×J_0\mathrm{\ω}+J_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{\mathrm{\λJ}}_0{\stackrel{\·}{q}}_e,$

u₁＝-ks-bsign(s)，

其中，ε为很小的正数，λ＞0，为滑模面。

步骤3、构建操纵律，使执行机构输出控制力矩，实现对太阳帆姿态控制器输出量的跟踪，并施加于太阳帆姿态模型上，包括以下步骤：

步骤3-1、解算滑块位置、小帆转角和伸缩杆长度，使控制力矩实现对控制律u的跟踪，所述滑块的位置解算方程为

$d_3=\frac{-u\left(2\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}},d_4=\frac{-u\left(2\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}},d_1=\frac{u\left(3\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}},d_2=\frac{u\left(3\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_s{\mathrm{Acos}}^2\mathrm{\α}};$

小帆转角γ和伸缩杆长度l解算方法为：

令l＝l₀+Δl，移动小帆装置产生的滚动轴力矩为τ_p＝lf(γ)，f(γ)＝8P_sA_v cos²(α+γ)sinγ，设当γ＝γ*时，|f(γ)|取最大值，则有|τ_p|＝|l||f(γ^*)|，按如下步骤解算：

步骤3-1-1、令Δl＝0；

步骤3-1-2、判断|τ_p|＝|l₀||f(γ^*)|是否大于|u(3)|，如果大于则执行步骤3-1-3，否则执行步骤3-1-4；

步骤3-1-3、对小帆转角γ采用如下操纵律求解：

其中

步骤3-1-4、令Δl＝Δl+0.1，之后执行步骤3-1-2；

步骤3-2、构建执行机构动力学模型，所述执行机构为滑动质量块-移动小帆，动力学模型为：

${\mathrm{\τ}}_c=\left[\begin{array}{c}-8l{P}_s{A}_{v}co{s}^2(\mathrm{\α}+\mathrm{\γ})sin\mathrm{\γ}\\ -m/m_t(d_3+d_4)P_{s}Aco{s}^2\mathrm{\α}\\ m/m_t(d_1+d_2)P_{s}A{\cos }^2\mathrm{\α}\end{array}\right]$

其中，τ_c为执行机构输出的控制力矩，P_s为太阳光压常数，α为太阳帆姿态角，A为帆面7的面积，A_v为小帆3的面积；

步骤3-3、将执行机构输出的控制力矩τ_c，施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。

下面结合实施例对本发明做进一步详细的描述：

实施例

太阳帆航天器参数为J＝diag([6000 3000 3000])，A＝1200m²，m＝2kg，m_s＝151kg，m_t＝157kg，A_v＝2m²。滑块滑动距离限幅d_max＝20m，伸缩杆长度限幅l_max＝20m，l₀＝10m。太阳光压常数P_s＝4.653×10^-6N/m²。

初始姿态四元数Q₀＝[0.3827 0 0 0.9239]^T，期望姿态四元数Q_d＝[0.3696 -0.2391 -0.0990 0.8924]。光压干扰力矩τ_d＝[0.0669 1 1]^T mNm。

控制器参数为：λ＝0.01，k₀＝0.3，b＝0.08，ε＝0.001，δ_J根据转动变量变化自适应选取。

结合图3，太阳帆姿态角机动至目标位置的时间小于1.2h，机动时间较快，且误差趋向于0，稳态误差极小；所提控制器在存在光压力矩干扰和转动惯量变化的情况下，有效实现了太阳帆三轴姿态控制，其抗干扰能力和鲁棒性较好。

结合图4，滑块2-1、滑块2-2、滑块2-3和滑块2-4位移均未超出限幅，解算较快，且响应曲线超调较小；

结合图5，小帆3转角解算较快，响应曲线柔和，且最大转动角度未超出限幅；此外，本例中Δl为0，仅小帆3转动便提供所需控制力矩。

Claims (4)

1.一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1、建立太阳帆姿态运动学模型和姿态动力学模型；

步骤2、在步骤1的基础上，基于滑模控制理论，构建太阳帆姿态控制器；

步骤3、构建操纵律，使执行机构输出控制力矩，实现对太阳帆姿态控制器输出量的跟踪，并施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。

2.根据权利要求1所述的太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，其特征在于，步骤1中太阳帆运动学模型为

$\stackrel{\·}{Q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{q}_4{I}_3+q^{\×}\\ -q^T\end{array}\right]\mathrm{\ω}$

太阳帆姿态动力学模型为：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+{\mathrm{\ω}}^{\×}\left(J\mathrm{\ω}\right)={\mathrm{\τ}}_c+{\mathrm{\τ}}_d,$

其中Q＝[q₁ q₂ q₃ q₄]^T＝[q^T q₄]^T为姿态四元数，ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]为姿态角速度，ω^×表示矢量ω的斜对称矩阵，τ_d为干扰力矩，τ_c为执行机构输出的控制力矩，J＝diag(J_x，J_x，J_z)为太阳帆转动惯量，且

$\left\{\begin{array}{c}{J}_x=I_x+m_r(d_3^2+d_4^2)\\ J_y=I_y+m_r(d_1^2+d_2^2)\\ J_z=I_z+m_r(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2)\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{J}}_x=2m_r({\stackrel{\·}{d}}_3{d}_3+{\stackrel{\·}{d}}_4{d}_4)\\ {\stackrel{\·}{J}}_y=2m_r(d_1{\stackrel{\·}{d}}_1+d_2{\stackrel{\·}{d}}_2)\\ {\stackrel{\·}{J}}_z=2m_r(d_1{\stackrel{\·}{d}}_1+d_2{\stackrel{\·}{d}}_2+{\stackrel{\·}{d}}_3{d}_3+{\stackrel{\·}{d}}_4{d}_4)\end{array}\right.,$

m_r＝m(m_s+m)/m_t，m为单个滑块质量，m_s为帆面质量，m_t为航天器总质量，d₁、d₂、d₃、d₄分别为4个滑块的位置，I_x，I_y，I_z分别为忽略质心变化时J_x，J_y，J_z的标称值。

3.根据权利要求1所述的太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，其特征在于，步骤2构建太阳帆姿态控制器包括以下步骤：

步骤2-1、建立误差运动学和动力学模型，具体为：

误差运动学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_e=q_{d4}q-{q_d}^{\×}q-q_{d4}{q}_d\\ q_{e4}=q_d^{T}q+q_4{q}_{d4}\end{array}\right.,$

误差动力学模型为：

其中，为期望姿态四元数，误差四元数为ω_d为期望角速度，ω_e＝ω-ω_d为对应角速度误差；

步骤2-2、对控制律执行环境作出如下假设：

1)太阳帆转动惯量变化有界，即J＝J₀+ΔJ，||ΔJ||≤σ_J,σ_J≥0，J₀为标称值；

2)太阳帆转动惯量变化率有界，即

3)干扰力矩有界，即||τ_d||≤d,d≥0；

步骤2-3、构建太阳帆姿态控制器公式为：

$u_0=\mathrm{\ω}\×J_0\mathrm{\ω}+J_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{\mathrm{\λJ}}_0{\stackrel{\·}{q}}_e,$

u₁＝-ks-bsign(s)，

其中，ε为很小的正数，λ＞0为滑模面。

4.根据权利要求1所述的一种太阳帆航天器三轴姿态控制及实现方法，其特征在于，步骤3中构建操纵律，使执行机构输出控制力矩，实现对太阳帆姿态控制器输出量的跟踪，并施加于太阳帆姿态模型上，具体包括以下步骤：

步骤3-1、解算滑块位置、小帆转角和伸缩杆长度，使控制力矩实现对控制律u的跟踪，所述滑块的位置解算方程为

$d_1=\frac{u\left(3\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_{s}A{\cos }^2\mathrm{\α}},d_2=\frac{u\left(3\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_{s}A{\cos }^2\mathrm{\α}},d_3=\frac{-u\left(2\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_{s}A{\cos }^2\mathrm{\α}},d_4=\frac{-u\left(2\right)m_t}{2{\mathrm{mP}}_{s}A{\cos }^2\mathrm{\α}};$

小帆转角γ和伸缩杆长度l解算方法为：

令l＝l₀+Δl，移动小帆装置产生的滚动轴力矩为τ_p＝lf(γ)，f(γ)＝8P_sA_vcos²(α+γ)sinγ，设当γ＝γ^*时，|f(γ)|取最大值，则有|τ_p|＝|l||f(γ^*)|，按如下步骤解算：

步骤3-1-1、令Δl＝0；

步骤3-1-2、判断|τ_p|＝|l₀||f(γ^*)|是否大于|u(3)|，如果大于则执行步骤3-1-3，否则执行步骤3-1-4；

步骤3-1-3、对小帆转角γ采用如下操纵律求解：

其中

步骤3-1-4、令Δl＝Δl+0.1，之后执行步骤3-1-2；

步骤3-2、构建执行机构动力学模型，所述执行机构为滑动质量块-移动小帆，动力学模型为：

${\mathrm{\τ}}_c=\left[\begin{array}{c}-4l_1{P}_s{A}_{v}co{s}^2(\mathrm{\α}+{\mathrm{\γ}}_1)sin{\mathrm{\γ}}_1-4l_2{P}_s{A}_{v}co{s}^2(\mathrm{\α}+{\mathrm{\γ}}_2)sin{\mathrm{\γ}}_2\\ -m/m_t(d_3+d_4)P_{s}A{\cos }^2\mathrm{\α}\\ m/m_t(d_1+d_2)P_{s}Aco{s}^2\mathrm{\α}\end{array}\right]$

其中，τ_c为执行机构输出的控制力矩，P_s为太阳光压常数，α为太阳帆姿态角，A为帆面面积，A_v为单块小帆的面积；

步骤3-3、将执行机构输出的控制力矩τ_c，施加于太阳帆姿态模型上，完成姿态控制。