CN106054594A - 基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法，本发明考虑控制输入存在位置和速率饱和的情况下，设计一种基于观测器技术的自适应神经网络约束控制器，在设计过程中提出一种动态抗饱和补偿器用以实时调整参考设定值以确保控制输入不会进入饱和区域。首先针对一般仿射非线性系统利用反馈线性化方法进行模型变换，其次针对变换后的系统设计一个神经网络观测器和约束控制器，给出的一种动态抗饱和算法在线调整参考设定值使得控制器的输入一直运行在约束范围中。

Description

基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法

技术领域

本发明涉及高阶非线性系统控制方法领域，特别是涉及基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法。

背景技术

实际的控制系统都是非线性的，各种约束总是大量存在。当系统状态在相对较小的范围内变化时，一般可以用线性微分方程来描述，并用较为成熟的线性系统理论进行分析与设计。如果要考虑系统的大范围工作区域，而系统状态将受到约束限制时，运用线性系统理论就难以得到有效的解决[1]。

饱和问题是各类非线性系统中比较常见的。例如：电机由于物理上的限制只能达到有限转速，运算放大器的输出一般不超过其电源电压，数字计算机中的数据由于字长有限而可能出现溢出。饱和问题会对控制系统的设计带来很大的麻烦，常常使系统的工作性能退化，超调增大，调整时间延长。对控制对象本身不稳定的系统，甚至会导致闭环系统不稳定。

饱和问题不同于一般的非线性问题，它是基于对工作在线性条件下的系统在特殊条件下进入非线性区域的考虑，单纯地应用目前相对不成熟的非线性系统理论解决饱和问题代价太大，而且往往无法得到性能良好且全局稳定的系统。所以目前对于饱和问题，通常是在线性系统框架下进行适当地扩展，以便充分利用较成熟的线性系统理论找到解决饱和问题的方法。

一般地，在抗饱和控制的研究中，处理饱和的方法有两种：要么将发生饱和的系统重新拉回到线性区域；要么通过严谨地设计控制器，以避免饱和问题发生。实际系统中饱和问题的出现有时不是由于控制器设计引起，当参考轨迹设定不合理，正确的控制器设计也无法充分的避免饱和问题发生。所以，在控制器设计合理的情况下，如何通过抗饱和处理调整参考设定值，以确保控制输入不会进入饱和区域也是具有很大的研究意义。

发明内容

为了解决上述存在的问题，本发明提供一种基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法，本发明考虑控制输入存在位置和速率饱和的情况下，设计一种基于观测器技术的自适应神经网络约束控制器，在设计过程中提出一种动态抗饱和补偿器用以实时调整参考设定值以确保控制输入不会进入饱和区域。首先针对一般仿射非线性系统利用反馈线性化方法进行模型变换，其次针对变换后的系统设计一个神经网络观测器和约束控制器，给出的一种动态抗饱和算法在线调整参考设定值使得控制器的输入一直运行在约束范围中，为达此目的，本发明提供基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法，其特征在于：

步骤一将输入输出反馈线性化：

考虑模型未知但阶数已知的单输入-单输出仿射系统：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=f_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u\\ y=h_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\end{array}---\left(4.1\right);$

其中f₁，g₁和h₁在定义域上足够光滑，映射f₁：D→Rⁿ和g₁：D→Rⁿ称为D上的向量场，导数为：

$\stackrel{\·}{y}=\frac{\∂h_1}{\∂\stackrel{\‾}{x}}\[f_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u\]\stackrel{def}{=}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+L_{g_1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u---\left(4.2\right);$

其中：称为h₁关于f₁或沿f₁的Lie导数，这种表示方法类似于h₁沿系统轨迹的导数，当重复计算关于同一向量场或一新向量场的导数时，要用到以下表示：

$\begin{array}{c}{L}_{g_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=\frac{\∂\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\∂\stackrel{\‾}{x}}{g}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\\ L_{f_1}^2{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=L_{f_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=\frac{\∂\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\∂\stackrel{\‾}{x}}{f}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\\ L_{f_1}^k{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=L_{f_1}{L}_{f_1}^{k-1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=\frac{\∂\left(L_{f_1}^{k-1}{h}_1\right)}{\∂\stackrel{\‾}{x}}{f}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\\ L_{f_1}^0{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=h_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\end{array}---\left(4.3\right);$

如果则与u无关，如果继续计算y的二阶导数，记为y⁽²⁾，得：

$y^{\left(2\right)}=\frac{\∂\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\∂\stackrel{\‾}{x}}\[f_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u\]=L_{f_1}^2{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+L_{g_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u---\left(4.4\right);$

同样，如果则且与u无关，重复这一过程可看出，如果满足i＝1，2，…，ρ-1，则u不会出现在的方程中，但出现在y^(ρ)的方程中，带一个非零系数，即：

$y^{\left(\mathrm{\ρ}\right)}=L_{f_1}^{\mathrm{\ρ}}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+L_{g_1}{L}_{f_1}^{\mathrm{\ρ}-1}{h}_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u---\left(4.5\right);$

定义x＝[x₁，x₂，…，x_ρ]＝[y，y²，…y^ρ-1]，则方程(4.5)可以表示成如下状态方程形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_i=x_{i+1}\\ ...\\ {\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{\ρ}}=f\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+g\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\·u\left(t\right)\\ y=x_1\end{array}---\left(4.6\right);$

考虑控制输入存在如下约束：

$u_{\min }\≤u\≤u_{max},{\stackrel{\‾}{u}}_{\min }\≤\stackrel{\·}{u}\≤{\stackrel{\‾}{u}}_{\max }---\left(4.7\right);$

步骤二建立高阶神经网络模型：

设每一个神经元状态由下面微分方程描述：

其中λ_i是第i个神经元状态，a_i为常数，w_ij表示第j个输入与第i个神经元之间的连接权值，η_j是上述神经元的第j个输入，其既可以是外部输入，也可以是通过S函数，η_j＝S(λ_j)作用的神经元状态，这里S(·)表示S型非线性函数；

现以n个神经元和m个输入组成的高阶递归神经网络说明，神经元的状态由下面微分方程确定：

这里λ_i是第i个神经元状态，{I₁，I₂，…，I_L}是集合{1，2，…，m+n}中无秩序L子集，λi为实数，w_ik是可调神经网络权值，d_j(k)为非负整数，η是神经元输入向量，定义如下：

η＝[η₁，…，η，η_n+1，…，η_n+m]^T＝[S(λ₁)，…，S(λ_n)，S(u₁)，…，S(u_m)]^T (4.10)；

这里υ＝[u₁，u₂，…，u_m]^T是神经网络外部输入向量，S(·)是单调递增可微S型函数，定义为：

$S\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{\mathrm{\α}}{1+e^{-\mathrm{\β}\mathrm{\λ}}}+\mathrm{\ϵ}---\left(4.11\right);$

其中α，β为正的实数，ε为小的实数，如α＝β＝1，ε＝0，式(4.11)表示logistic函数；α＝β＝2，ε＝-1时，则代表双曲正切函数；

在这里引入L维向量z，其定义为：

$z={\[z_1,z_2,...,z_L\]}^T={\[\underset{j\∈I_1}{\Π}{y}_j^{d_j\left(1\right)},...,\underset{j\∈I_L}{\Π}{y}_j^{d_j\left(L\right)}\]}^T---\left(4.12\right);$

于是高阶回归神经网络模型式(4.9)变换为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}}_i=-a_i{\mathrm{\λ}}_i+\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}{w}_{ik}{z}_k,i=1,...,n---\left(4.13\right);$

更进一步，定义可调参数向量W_i＝[w_i，1，…，w_i，L]，则(4.13)式变为；

${\stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}}_i=-a_i{\mathrm{\λ}}_i+W_i^{T}z,i=1,...,n---\left(4.14\right);$

这里{W_i：i＝1，2，…，n}为神经网络可调权值，系数{a_i：i＝1，2，…，n}表示网络基本结构参数，在网络训练期间固定不变，为了保证每一个神经元输入输出有界且稳定，取a_i为正数；

步骤三动力学模型辨识；

为了方便模型辨识，式(4.6)写成如下形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=Ax+B\left(f\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+g\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\·u\left(t\right)\right)\\ y=C^{T}x\end{array}---\left(4.15\right);$

其中：

$A_{\mathrm{\ρ}\×\mathrm{\ρ}}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{...}& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],B_{\mathrm{\ρ}\×1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 1\end{array}\right],C_{\mathrm{\ρ}\×1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\end{array}\right];$

针对式(4.15)，基于上节所述的RHONN，设计观测器如下；

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}=A\hat{x}+B\left(W^{1T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+W^{2T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)\·u\left(t\right)\right)+L\left(y-C^T\hat{x}\right)\\ \hat{y}=C^T\hat{x}\end{array}---\left(4.16\right);$

其中：为式(4.15)的观测值，L＝[l₁，l₂，…，l_ρ]^T为观测器增益，

定义观测和输出误差由式(4.16)和式(4.15)，可以得到观测误差的动态方程如下：

$\stackrel{\·}{\tilde{x}}=\stackrel{\‾}{A}\tilde{x}+B\[{\tilde{W}}^{1T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+{\mathrm{\ϵ}}_1+{\tilde{W}}^{2T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+{\mathrm{\ϵ}}_{2}u\]---\left(4.17\right);$

其中： 为最优的权值矩阵。ε_1，2为RHONN的函数估计误差，且满足有界条件|ε_1，2|≤∈_1，2；

定理4.1：针对式(4.15)所设计的RHONN观测器在权值满足如下(4.17)自适应调整法则的情况下可以保证观测误差一致最终有界(UUB)；

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{W}}^1=\tilde{y}{\mathrm{\Γ}}_{1}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-a_1{\mathrm{\Γ}}_1{W}^1\\ {\stackrel{\·}{W}}^2=\tilde{y}{\mathrm{\Γ}}_{2}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u-a_2{\mathrm{\Γ}}_2{W}^2\end{array}---\left(4.18\right);$

证明：我们考虑了Lyapunov函数；

对V₁求导可得；

${\stackrel{\·}{V}}_1={\tilde{x}}^T\left({\stackrel{\‾}{A}}^{T}P+P\stackrel{\‾}{A}\right)\tilde{x}+2{\tilde{x}}^{T}PB\left({\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_{2}u\right)+2\tilde{y}\[{\tilde{W}}^{1T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+{\tilde{W}}^{2T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u\]---\left(4.20\right);$

因为|ε_1，2|≤∈_1，2，|u|≤max{|u^min|，|u^max|}，因此可得其中；

利用Young不等式，可得；

考虑如下的类Riccati代数不等式；

${\stackrel{\‾}{A}}^{T}P+P\stackrel{\‾}{A}+P^2\≤-Q---\left(4.23\right);$

其中Q为正定矩阵。将式(4.22)代入式(4.20)可得；

将权值调整法则带入可得满足如下关系；

所以当状态估计误差；

或者权值估计误差；

时；

可以确保通过以上的分析，可以得到一致最终有界(UUB)；

步骤四无约束的输出反馈控制建模；

定义参考轨迹其中y^d为输出跟踪设定曲线，这里设计控制器如下；

$u=\frac{1}{W^{2T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}(-W^{1T}z(\stackrel{\‾}{x})+y^{\left(\mathrm{\ρ}\right)d}+K^T\hat{e})---\left(4.26\right);$

其中K＝[k₁，k₂，…，k_ρ]^T为控制器反馈增益，满足Hurwitz条件，将控制器(4.26)代入(4.16)可得闭环动态方程为；

$\stackrel{\·}{\hat{e}}=A_c\hat{e}-{\mathrm{KC}}^T\tilde{x}---\left(4.27\right);$

其中A_c＝A-BK^T，求方程(4.27)，可得；

$\hat{e}\left(t\right)={\exp }^{A_{c}t}\hat{e}\left(0\right)+{\∫}_0^t{\exp }^{A_c(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{KC}}^T\tilde{x}\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}---\left(4.28\right);$

由定理4.1得知，对(4.28)等式两端求绝对值，因此可得；

$\begin{array}{c}\left|\hat{e}\left(t\right)\right|\≤\left|{\exp }^{A_{c}t}\right|\left|e\left(0\right)\right|+{\∫}_0^t\left|{\exp }^{A_c\left(t-\mathrm{\τ}\right)}\right|d\mathrm{\τ}\left|{\mathrm{KC}}^T\right|\stackrel{\‾}{\tilde{x}}\\ \≤{\mathrm{mexp}}^{-at}\left|\hat{e}\left(0\right)\right|+\frac{m\left|{\mathrm{KC}}^T\right|}{\mathrm{\α}}{B}_1\end{array}---\left(4.29\right);$

其中m和α为满足不等式的正定常数；

上面的控制器的设计没有将控制输入存在的位置和速率饱和约束问题考虑进去，通过抗饱和策略调节参考设定值y^d，从而确保输出跟踪设定值保持在一个合理的范围里面，以保证控制量能一直维持在饱和范围里；

步骤五约束控制器的设计；

考虑输入约束式(4.7)，则式(4.26)变换为如下控制器；

$\begin{array}{c}{u}_c=\frac{1}{W^{2T}z\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}(-W^{1T}z(\stackrel{\‾}{x})+y^{\left(\mathrm{\ρ}\right)d}+K^T\hat{e}+\mathrm{\ζ})\\ u=Cons\left(u_c\right)\end{array}---\left(4.30\right);$

后面将设计ζ。约束函数Cons(.)的动力学方程表示如下：

$\stackrel{\·}{u}={\mathrm{Sat}}_r(\mathrm{\ω}\·({\mathrm{Sat}}_m\left(u_c\right)-u\left)\right)---\left(4.31\right);$

其中Sat_r(.)，Sat_m(.)函数定义如下：

${\mathrm{Sat}}_r\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }& a\&GreaterEqual;{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }\\ a& {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }<a<{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }& a\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }\end{array}\right.---\left(4.32\right);$

${\mathrm{Sat}}_m\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}{u}_{\max }& a\&GreaterEqual;u_{\max }\\ a& u_{\min }<a<u_{\max }\\ u_{\min }& a\&le;u_{\min }\end{array}\right.---\left(4.33\right);$

重新定义输出跟踪误差为：

其中：

(4.35)就是动态抗饱和补偿器，定义式(4.35)又可以写成如下表达式；

其中

$A_1=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -{\mathrm{\&kappa;}}_1& -{\mathrm{\&kappa;}}_2& -{\mathrm{\&kappa;}}_3& ...& -{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right]---\left(4.37\right);$

A₁表示为一个稳定的矩阵，即s^ρ+κ_ρs^ρ-1+…+κ₁满足严格的Hurwitz条件，设计由式(4.34)、式(4.35)和控制律(4.30)，可以得到如下：

其中；

$A_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -k_1& -k_2& -k_3& ...& -k_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ {\mathrm{\&kappa;}}_1& {\mathrm{\&kappa;}}_2& {\mathrm{\&kappa;}}_3& ...& {\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right]---\left(4.39\right);$

对式(4.36)和式(4.38)求解得到如下；

定义等式两边求绝对值后得：

其中：m_i和α_i为正值，满足约束闭环控制系统为跟踪误差信号为UUB。

备注4.1：严格来说，会出现倒数不存在的情况(即，是病态的或者奇异的)。因此，在本发明的研究中，引入代替控制律(4.30)中的其中o＞0的常数。

本发明在考虑控制输入存在位置和速率饱和的情况下，设计一种基于观测器技术的自适应神经网络约束控制器，在设计过程中提出一种动态抗饱和补偿器。其首先针对一般仿射非线性系统利用Lie导数进行模型变换，将系统变换成一个高阶非线性系统，其次针对该系统设计一个神经网络观测器和约束控制器，而所设计的自适应神经网络控制器不需要已知精确的动力学数学模型，且提出的一种动态抗饱和算法可以确保控制器的输入一直运行在约束范围中，并且对所提方法的闭环系统进行了相应的稳定性分析，最后通过将该方法应用于可变速风力发电机中，通过两种不同的仿真分析，均可以看出所提的方法实现了风力机风轮的速度跟踪控制，并达到了良好的控制性能和效果。理论和仿真均可以得出所提的方法是行之有效的。

附图说明

图1是本发明约束函数Cons(.)的结构框图；

图2是本发明所提约束控制方法的结构框图；

图3是本发明仿真实验可变速风力机原理图(左图)和电气系统(右图)；

图4是本发明仿真实验VSWT风轮转子输出响应和励磁电压的响应曲线(参考输出设定为正弦波)示意图；

图5是本发明仿真实验抗饱和补偿器的响应曲线(参考输出设定为正弦波)示意图；

图6是本发明仿真实验VSWT风轮转子输出响应和励磁电压的响应曲线(参考输出设定为阶跃信号示意图；

图7是本发明仿真实验抗饱和补偿器的响应曲线(参考输出设定为阶跃信号)；

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明提供一种基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法，本发明考虑控制输入存在位置和速率饱和的情况下，设计一种基于观测器技术的自适应神经网络约束控制器，在设计过程中提出一种动态抗饱和补偿器用以实时调整参考设定值以确保控制输入不会进入饱和区域。首先针对一般仿射非线性系统利用反馈线性化方法进行模型变换，其次针对变换后的系统设计一个神经网络观测器和约束控制器，给出的一种动态抗饱和算法在线调整参考设定值使得控制器的输入一直运行在约束范围中。

步骤一将输入输出反馈线性化：

考虑模型未知但阶数已知的单输入-单输出仿射系统：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}=f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\\ y=h_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}---\left(4.1\right);$

其中f₁，g₁和h₁在定义域上足够光滑，映射f₁：D→Rⁿ和g₁：D→Rⁿ称为D上的向量场，导数为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=\frac{\&part;h_1}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}\&lsqb;f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\&rsqb;\stackrel{def}{=}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+L_{g_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u---\left(4.2\right);$

其中：称为h₁关于f₁或沿f₁的Lie导数，这种表示方法类似于h₁沿系统轨迹的导数，当重复计算关于同一向量场或一新向量场的导数时，这种新表示法较为方便，例如，要用到以下表示：

$\begin{array}{c}{L}_{g_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{\&part;\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}{g}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\\ L_{f_1}^2{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=L_{f_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{\&part;\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}{f}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\\ L_{f_1}^k{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=L_{f_1}{L}_{f_1}^{k-1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{\&part;\left(L_{f_1}^{k-1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}{f}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\\ L_{f_1}^0{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=h_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}---\left(4.3\right);$

如果则与u无关，如果继续计算y的二阶导数，记为y⁽²⁾，得：

$y^{\left(2\right)}=\frac{\&part;\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}\&lsqb;f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\&rsqb;=L_{f_1}^2{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+L_{g_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u---\left(4.4\right);$

同样，如果则且与u无关，重复这一过程可看出，如果满足i＝1，2，…，ρ-1，则u不会出现在的方程中，但出现在y^(ρ)的方程中，带一个非零系数，即：

$y^{\left(\mathrm{\&rho;}\right)}=L_{f_1}^{\mathrm{\&rho;}}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+L_{g_1}{L}_{f_1}^{\mathrm{\&rho;}-1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u---\left(4.5\right);$

定义x＝[x₁，x₂，…，x_ρ]＝[y，y²，…，y^ρ-1]，则方程(4.5)可以表示成如下状态方程形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i=x_{i+1}\\ ...\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&rho;}}=f\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\&CenterDot;u\left(t\right)\\ y=x_1\end{array}---\left(4.6\right);$

考虑控制输入存在如下约束：

步骤二建立高阶神经网络模型：

理论上已经证明，即使只有一个隐层的神经网络，只要该层神经元数目足够多，则在紧致集上它可以一致渐近逼近任意连续非线性函数，因此，将神经网络用于动力学系统的辨识、建模已成为一种行之有效的方法和手段。

递归神经网络是具有反馈的动态网络，其显著特征是神经元连接存在反馈方式，即一层的输出通过连接权回送到同一层或前一层输入。这一点有别于前馈神经网络——其结构是分层的，它的信息是依次向上传递的，第一层单元与第二层所有单元相连，第二层又与其上一层所有单元相连，依此法则，直至输出层。而在回归网络中，它总是将其以前的输出循环返回到输入，所以其输出不但取决于当前的输入，而且还取决于以前的输出。这种网络通过存贮内部状态使其具备映射动态特征的能力，能更直接生动反映系统动态特性，从而使系统具有适应时变特性的能力，代表了神经网络发展方向。

下面以一种简单网络结构为例建立高阶回归神经网络模型。

设每一个神经元状态由下面微分方程描述：

其中λ_i是第i个神经元状态，a_i为常数，w_ij表示第j个输入与第i个神经元之间的连接权值，η_j是上述神经元的第j个输入。它既可以是外部输入，也可以是通过S函数，如η_j＝S(λ_j)作用的神经元状态，这里S(.)表示S型非线性函数。

针对式(4.8)表示的神经网络模型的动态行为和稳定特性，Hopfield和许多学者进行过深入细致研究。研究结果表明：该模型在诸如联想记忆等应用方面取得了较好的结果，但同时由于其结构简单而暴露出相应的局限性。

在二阶回归神经网络模型中，神经元总的输入不仅是η_j的线性组合，同时也可为两两乘积如η_jη_k的组合。而且按此方式扩展，输入中可以包括三个相乘如η_jη_kη_i或者四个甚至更多个相乘的高阶连接，于是就形成了高阶回归神经网络(RHONN-Recurrent High-Order Neural Networks)。

现以n个神经元和m个输入组成的高阶递归神经网络为例加以说明，神经元的状态由下面微分方程确定：

这里λ_i是第i个神经元状态，{I₁，I₂，…，I_L}是集合{1，2，…，m+n}中无秩序L子集，λi为实数，w_ik是可调神经网络权值，d_j(k)为非负整数，η是神经元输入向量，定义如下：

η＝[η₁，…，η_n，η_n+1，…，η_n+m]^T＝[S(λ₁)，…，S(λ_n)，S(u₁)，…，S(u_m)]^T (4.10)；

这里υ＝[u₁，u₂，…，u_m]^T是神经网络外部输入向量。S(·)是单调递增可微S型函数，定义为：

$S\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{1+e^{-\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&lambda;}}}+\mathrm{\&epsiv;}---\left(4.11\right);$

其中α，β为正的实数，ε为小的实数。如α＝β＝1，ε＝0，式(4.11)表示logistic函数；α＝β＝2，ε＝-1时，则代表双曲正切函数，这些S型激活函数是神经网络应用中最常用的函数。

在这里引入L维向量z，其定义为：

$z={\&lsqb;z_1,z_2,...,z_L\&rsqb;}^T={\&lsqb;\underset{j\&Element;I_1}{\&Pi;}{y}_j^{d_j\left(1\right)},...,\underset{j\&Element;I_1}{\&Pi;}{y}_j^{d_j\left(L\right)}\&rsqb;}^T---\left(4.12\right);$

于是高阶回归神经网络模型式(4.9)变换为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_i=-a_i{\mathrm{\&lambda;}}_i+\underset{k=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{w}_{ik}{z}_k,i=1,...,n---\left(4.13\right);$

更进一步，定义可调参数向量W_i＝[w_i，1，…，w_i，L]，则(4.13)式变为

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_i=-a_i{\mathrm{\&lambda;}}_i+W_i^{T}z,i=1,...,n---\left(4.14\right);$

这里{W_i：i＝1，2，…，n}为神经网络可调权值，系数{a_i：i＝1，2，…，n}表示网络基本结构参数。在网络训练期间固定不变，为了保证每一个神经元输入输出有界且稳定，取a_i为正数。

步骤三动力学模型辨识；

为了方便模型辨识，式(4.6)写成如下形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+B\left(f\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\&CenterDot;u\left(t\right)\right)\\ y=C^{T}x\end{array}---\left(4.15\right);$

其中：

$A_{\mathrm{\&rho;}\&times;\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{...}& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],B_{\mathrm{\&rho;}\&times;1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right],C_{\mathrm{\&rho;}\&times;1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 0\end{array}\right];$

针对式(4.15)，基于上节所述的RHONN，设计观测器如下；

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A\hat{x}+B\left(W^{1T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+W^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\&CenterDot;u\left(t\right)\right)+L\left(y-C^T\hat{x}\right)\\ \hat{y}=C^T\hat{x}\end{array}---\left(4.16\right);$

其中：为式(4.15)的观测值，L＝[l₁，l₂，…，l_ρ]^T为观测器增益，

定义观测和输出误差由式(4.16)和式(4.15)，可以得到观测误差的动态方程如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}=\stackrel{\&OverBar;}{A}\tilde{x}+B\&lsqb;{\tilde{W}}^{1T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+{\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\tilde{W}}^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}u\&rsqb;---\left(4.17\right);$

其中： 为最优的权值矩阵。ε_1，2为RHONN的函数估计误差，且满足有界条件|ε_1，2|≤∈_1，2。

定理4.1：针对式(4.15)所设计的RHONN观测器在权值满足如下(4.17)自适应调整法则的情况下可以保证观测误差一致最终有界(UUB)。

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{W}}^1=\tilde{y}{\mathrm{\&Gamma;}}_{1}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)-a_1{\mathrm{\&Gamma;}}_1{W}^1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{W}}^2=\tilde{y}{\mathrm{\&Gamma;}}_{2}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u-a_2{\mathrm{\&Gamma;}}_2{W}^2\end{array}---\left(4.18\right);$

证明：我们考虑了Lyapunov函数；

对V₁求导可得；

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\tilde{x}}^T\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{T}P+P\stackrel{\&OverBar;}{A}\right)\tilde{x}+2{\tilde{x}}^{T}PB\left({\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}u\right)+2\tilde{y}\&lsqb;{\tilde{W}}^{1T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+W^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\&rsqb;---\left(4.20\right);$

因为|ε_1，2|≤∈_1，2，|u|≤max{|u^min|，|u^max|}，因此可得其中；

利用Young不等式，可得；

考虑如下的类Riccati代数不等式；

${\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{T}P+P\stackrel{\&OverBar;}{A}+P^2\&le;-Q---\left(4.23\right);$

其中Q为正定矩阵。将式(4.22)代入式(4.20)可得；

将权值调整法则带入可得满足如下关系；

所以当状态估计误差；

或者权值估计误差；

时；

可以确保通过以上的分析，可以得到一致最终有界(UUB)。

步骤四无约束的输出反馈控制建模；

定义参考轨迹其中y^d为输出跟踪设定曲线。这里设计控制器如下；

$u=\frac{1}{W^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)}(-W^{1T}z(\stackrel{\&OverBar;}{x})+y^{\left(\mathrm{\&rho;}\right)d}+K^T\hat{e})---\left(4.26\right);$

其中K＝[k₁，k₂，…，k_ρ]^T为控制器反馈增益，满足Hurwitz条件。将控制器(4.26)代入(4.16)可得闭环动态方程为；

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{e}}=A_c\hat{e}-{\mathrm{KC}}^T\tilde{x}---\left(4.27\right);$

其中A_c＝A-BK^T，求方程(4.27)，可得；

$\hat{e}\left(t\right)={\exp }^{A_{c}t}\hat{e}\left(0\right)+{\&Integral;}_0^t{\exp }^{A_c(t-\mathrm{\&tau;})}{\mathrm{KC}}^T\tilde{x}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(4.28\right);$

由定理4.1得知，对(4.28)等式两端求绝对值，因此可得；

$\begin{array}{c}\left|\hat{e}\left(t\right)\right|\&le;\left|{\exp }^{A_{c}t}\right|\left|e\left(0\right)\right|+{\&Integral;}_0^t\left|{\exp }^{A_c\left(t-\mathrm{\&tau;}\right)}\right|d\mathrm{\&tau;}\left|{\mathrm{KC}}^T\right|\stackrel{\&OverBar;}{\tilde{x}}\\ \&le;{\mathrm{mexp}}^{-at}\left|\hat{e}\left(0\right)\right|+\frac{m\left|{\mathrm{KC}}^T\right|}{\mathrm{\&alpha;}}{B}_1\end{array}---\left(4.29\right);$

其中m和α为满足不等式的正定常数。

上面的控制器的设计没有将控制输入存在的位置和速率饱和约束问题考虑进去。既于此，本文作者提出一种动态抗饱和方法，通过抗饱和策略调节参考设定值y^d，从而确保输出跟踪设定值保持在一个合理的范围里面，以保证控制量能一直维持在饱和范围里。

步骤五约束控制器的设计；

考虑输入约束式(4.7)，则式(4.26)变换为如下控制器；

$\begin{array}{c}{u}_c=\frac{1}{W^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)}(-W^{1T}z(\stackrel{\&OverBar;}{x})+y^{\left(\mathrm{\&rho;}\right)d}+K^T\hat{e}+\mathrm{\&zeta;})\\ u=Cons\left(u_c\right)\end{array}---\left(4.30\right);$

后面将设计ζ。约束函数Cons(.)的框图结构如图1所示。

同样约束函数Cons(.)的动力学方程表示如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{u}={\mathrm{Sat}}_r(\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;({\mathrm{Sat}}_m\left(u_c\right)-u\left)\right)---\left(4.31\right);$

其中Sat_r(·)，Sat_m(·)函数定义如下：

${\mathrm{Sat}}_r\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }& a\&GreaterEqual;{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }\\ a& {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }<a<{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }& a\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }\end{array}\right.---\left(4.32\right);$

${\mathrm{Sat}}_m\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}{u}_{\max }& a\&GreaterEqual;u_{\max }\\ a& u_{\min }<a<u_{\max }\\ u_{\min }& a\&le;u_{\min }\end{array}\right.---\left(4.33\right);$

重新定义输出跟踪误差为：

其中：

(4.35)就是动态抗饱和补偿器，定义式(4.35)又可以写成如下表达式；

其中

$A_1=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -{\mathrm{\&kappa;}}_1& -{\mathrm{\&kappa;}}_2& -{\mathrm{\&kappa;}}_3& ...& -{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right]---\left(4.37\right);$

A₁表示为一个稳定的矩阵，即满足严格的Hurwitz条件。如果我们设计由式(4.34)、式(4.35)和控制律(4.30)，可以得到如下：

其中；

$A_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -k_1& -k_2& -k_3& ...& -k_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ {\mathrm{\&kappa;}}_1& {\mathrm{\&kappa;}}_2& {\mathrm{\&kappa;}}_3& ...& {\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right]---\left(4.39\right);$

对式(4.36)和式(4.38)求解得到如下；

定义等式两边求绝对值后得：

其中：m_i和α_i为正值，满足i＝1，2。因此，可以得到，约束闭环控制系统为跟踪误差信号为UUB。为了方便表达总体设计流程，给出如下设计框图。结构框图如图2所示。

备注4.1：严格来说，会出现倒数不存在的情况(即，是病态的或者奇异的)。因此，在本发明的研究中，引入代替控制律(4.30)中的其中o＞0的常数。

本发明控制方法仿真验证如下：

1)建立风力发电机系统模型如下：

本章仿真考虑可变速风力机(Variable speed wind turbine，VSWT)，VSWT发电系统的基本组成包括风轮机、增速箱和发电机，其原理图如图3所示。其中：J_r为风轮机转子惯性，K_r为风轮机转子阻尼系数，B_r为风轮机转子刚度。

发电机的转矩的动力学方程表示为：

$J_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_g=T_{hs}-K_g{\mathrm{\&omega;}}_g-B_g{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&omega;}}_g\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}-T_g---\left(4.45\right);$

其中：J_g为发电机的转子惯性，K_g为发电机的转子阻尼系数，B_g为发电机的转子刚度。定义齿轮箱齿轮比为n_g，则齿轮箱的转矩传输和转速之间存在如下的关系：

$n_g=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_g}{{\mathrm{\&omega;}}_r}=\frac{T_{ls}}{T_{hs}}---\left(4.46\right);$

由(4.44)-(4.46)，且J_t≠0，可以得到如下式子：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_r=\frac{1}{J_t}(T_a-K_t{\mathrm{\&omega;}}_r-B_t{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&omega;}}_r(\mathrm{\&tau;})k\mathrm{\&tau;}-T_g)---\left(4.47\right);$

其中T_g＝n_gT_em，T_a和T_em表示为如下；

$T_a=K_{\mathrm{\&omega;}}\&CenterDot;w_r^2,T_{em}=K_{\mathrm{\&phi;}}\&CenterDot;c\left(I_f\right)---\left(4.48\right);$

其中K_ω是取决于空气密度因素，转子的半径，风速和俯仰角的风速功率传递参数。c(I_f)是发电机中电流和产生电磁转矩之间的非线性关系。发电机的励磁回路电气原理图

如图3中右图所示，其回路动态描述为

${\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_f=-\frac{R_r}{L}{I}_f+\frac{1}{L}{u}_f---\left(4.49\right);$

其中，R_f，L为发电机励磁回路的电阻和电感，I_f和u_f表示发电机励磁电流和励磁电压。由式(4.44)-(4.49)因此可以得到VSWT动力学方程如下；

其中表示风轮机转动角度。定义y＝ω_r，u＝u_f，

$f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\left[\begin{array}{c}f({\mathrm{\&omega;}}_r,{\mathrm{\&theta;}}_r,I_f)\\ -\frac{R_f}{L}{I}_f\end{array}\right],g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{L}{u}_f\end{array}\right]---\left(4.51\right);$

2)仿真验证；

2组不同的仿真结果表明所提出的约束控制算法的有效性。在仿真中，选取对应系统参数，如R_f＝0.02Ω，L＝0.001H，J_t＝24490，B_t＝52，K_t＝52，K_ω＝3，n_g＝30，K_φ＝1.7，c(I_f)＝1000I_f。风轮机的转子转速参考信号ω_d＝y^d选取如下两种情况，第一个为正弦信号，即；

y^d(t)＝ω_d(t)＝2+sin(0.5t) (4.52)；

第二种情况采取阶跃响应跟踪，其设定值如下所示；

$y^d\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_d\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& \mathrm{\&upsi;}<{\mathrm{\&upsi;}}_c\\ X_m\left(1+\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&upsi;}\left(k\right)-s_1\right)}{2d_1}\right)\right),& {\mathrm{\&upsi;}}_c\&le;\mathrm{\&upsi;}<{\mathrm{\&upsi;}}_r\\ X_m,& {\mathrm{\&upsi;}}_r\&le;\mathrm{\&upsi;}<{\mathrm{\&upsi;}}_t\\ X_m\left(1+\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&upsi;}\left(k\right)-s_2\right)}{2d_2}\right)\right),& {\mathrm{\&upsi;}}_t\&le;\mathrm{\&upsi;}<{\mathrm{\&upsi;}}_s\\ 0,& \mathrm{\&upsi;}>{\mathrm{\&upsi;}}_s\end{array}\right.---\left(4.53\right);$

其中，

$\begin{array}{c}{s}_1=\frac{{\mathrm{\&upsi;}}_c+{\mathrm{\&upsi;}}_r}{2},s_2=\frac{{\mathrm{\&upsi;}}_r+{\mathrm{\&upsi;}}_t}{2},d_1=\frac{{\mathrm{\&upsi;}}_r-{\mathrm{\&upsi;}}_c}{2},\\ d_2=\frac{{\mathrm{\&upsi;}}_r-{\mathrm{\&upsi;}}_t}{2},{\mathrm{\&upsi;}}_s=21.3m/\sec ,X_m=4.1rad/\sec .\end{array}---\left(4.54\right);$

式(4.53)中切入风速υ_c＝4.3m/sec，额定风速υ_r＝7.7m/sec，截止或收叶风速υ_t＝17.9m/sec。约定控制输入约束条件为：

$-0.008\&le;u_f\&le;0.008,-0.005\&le;{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_f\&le;0.005---\left(4.55\right);$

神经网络的基函数的节点数为10。设计神经网络观测器的参数为L＝[1000，2000]^T，Γ₁＝diag[10⁴]，Γ₂＝diag[10³]，a₁＝a₂＝0.001，控制器反馈增益K＝[5000，5000]^T。动态抗饱和补偿器(4.35)的参数选取为κ₁＝κ₂＝500。状态初始值选取为ω_r(0)＝1，I_f(0)＝0。

仿真结果1(正弦参考轨迹)如图4到5所示。图4为表示输出设定值ω_d，实际风轮转子速度ω_r响应和发电机励磁电压u_f响应以及变化率(控制输入)。图5给出了抗饱和补偿器(4.35)的响应曲线。从响应曲线可以看出，跟踪误差收敛到非常小的值并确保控制输入一直保持在一个约束范围之内，由此可以看出所提的方法是具有良好的输出跟踪性能和有效的。

仿真结果2(阶跃参考轨迹)如图6和图7所示。图6表示参考设定值为阶跃值下的实际风轮转子速度ω_r响应和发电机励磁电压u_f响应以及变化率(控制输入)。图7给出在仿真2中抗饱和补偿器(4.35)的响应曲线。从响应曲线图6和图7可以看出，系统在此情况下同样具有良好的输出跟踪性能。两个不同的参考轨迹情况下均表明本章所提的方法是行之有效的。

本发明在考虑控制输入存在位置和速率饱和的情况下，设计一种基于观测器技术的自适应神经网络约束控制器，在设计过程中提出一种动态抗饱和补偿器。其首先针对一般仿射非线性系统利用Lie导数进行模型变换，将系统变换成一个高阶非线性系统，其次针对该系统设计一个神经网络观测器和约束控制器，而所设计的自适应神经网络控制器不需要已知精确的动力学数学模型，且提出的一种动态抗饱和算法可以确保控制器的输入一直运行在约束范围中，并且对所提方法的闭环系统进行了相应的稳定性分析，最后通过将该方法应用于可变速风力发电机中，通过两种不同的仿真分析，均可以看出所提的方法实现了风力机风轮的速度跟踪控制，并达到了良好的控制性能和效果。理论和仿真均可以得出所提的方法是行之有效的。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (1)

1.基于控制输入饱和的无模型自适应控制方法，其特征在于：

步骤一将输入输出反馈线性化：

考虑模型未知但阶数已知的单输入-单输出仿射系统：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}=f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\\ y=h_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}---\left(4.1\right);$

其中f₁，g₁和h₁在定义域上足够光滑，映射f₁：D→Rⁿ和g₁：D→Rⁿ称为D上的向量场，导数为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=\frac{\&part;h_1}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}\&lsqb;f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\&rsqb;\stackrel{def}{=}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+L_{g_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u---\left(4.2\right);$

其中：称为h₁关于f₁或沿f₁的Lie导数，这种表示方法类似于h₁沿系统轨迹的导数，当重复计算关于同一向量场或一新向量场的导数时，要用到以下表示：

$\begin{array}{c}{L}_{g_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{\&part;\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}{g}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\\ L_{f_1}^2{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=L_{f_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{\&part;\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}{f}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\\ L_{f_1}^k{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=L_{f_1}{L}_{f_1}^{k-1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{\&part;\left(L_{f_1}^{k-1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}{f}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\\ L_{f_1}^0{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=h_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}---\left(4.3\right);$

如果则与u无关，如果继续计算y的二阶导数，记为y⁽²⁾，得：

$y^{\left(2\right)}=\frac{\&part;\left(L_{f_1}{h}_1\right)}{\&part;\stackrel{\&OverBar;}{x}}\&lsqb;f_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\&rsqb;=L_{f_1}^2{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+L_{g_1}{L}_{f_1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u---\left(4.4\right);$

同样，如果则且与u无关，重复这一过程可看出，如果满足 则u不会出现在的方程中，但出现在y^(ρ)的方程中，带一个非零系数，即：

$y^{\left(\mathrm{\&rho;}\right)}=L_{f_1}^{\mathrm{\&rho;}}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+L_{g_1}{L}_{f_1}^{\mathrm{\&rho;}-1}{h}_1\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u---\left(4.5\right);$

定义x＝[x₁，x₂，…，x_ρ]＝[y，y²，…，y^ρ-1]，则方程(4.5)可以表示成如下状态方程形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i=x_{i+1}\\ \mathrm{...}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&rho;}}=f\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g\left(x\right)\&CenterDot;u\left(t\right)\\ y=x_1\end{array}---\left(4.6\right);$

考虑控制输入存在如下约束：

u_min≤u≤u_max，

步骤二建立高阶神经网络模型：

设每一个神经元状态由下面微分方程描述：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_i=a_i{\mathrm{\&lambda;}}_i+\underset{j}{\&Sigma;}{w}_{ij}{\mathrm{\&eta;}}_j---\left(4.8\right);$

其中λ_i是第i个神经元状态，a_i为常数，w_ij表示第j个输入与第i个神经元之间的连接权值，η_j是上述神经元的第j个输入，其既可以是外部输入，也可以是通过S函数，η_j＝S(λ_j)作用的神经元状态，这里S(·)表示S型非线性函数；

现以n个神经元和m个输入组成的高阶递归神经网络说明，神经元的状态由下面微分方程确定：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_i=-a_i{\mathrm{\&lambda;}}_i+\underset{k=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{w}_{ik}\underset{j\&Element;I_k}{\&Pi;}{\mathrm{\&eta;}}_j^{d_j\left(k\right)}---\left(4.9\right);$

这里λ_i是第i个神经元状态，{I₁，I₂，…，I_L}是集合{1，2，…，m+n}中无秩序L子集，λ_i为实系数，w_ik是可调神经网络权值，d_j(k)为非负整数，η是神经元输入向量，定义如下：

η＝[η₁，…，η_n，η_n+1，…，η_n+m]^T＝[S(λ₁)，…，S(λ_n)，S(u₁)，…，S(u_m)]^T (4.10)；

这里υ＝[u₁，u₂，…，u_m]^T是神经网络外部输入向量，S(·)是单调递增可微S型函数，定义为：

$S\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{1+e^{-\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&lambda;}}}+\mathrm{\&epsiv;}---\left(4.11\right);$

其中α，β为正的实数，ε为小的实数，如α＝β＝1，ε＝0，式(4.11)表示logistic函数；α＝β＝2，ε＝-1时，则代表双曲正切函数；

在这里引入L维向量z，其定义为：

$z={\&lsqb;z_1,z_2,\mathrm{...},z_L\&rsqb;}^T={\&lsqb;\underset{j\&Element;I_1}{\&Pi;}{y}_j^{d_j\left(1\right)},\mathrm{...},\underset{j\&Element;I_L}{\&Pi;}{y}_j^{d_j\left(L\right)}\&rsqb;}^T---\left(4.12\right);$

于是高阶回归神经网络模型式(4.9)变换为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_i=-a_i{\mathrm{\&lambda;}}_i+\underset{k=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{w}_{ik}{z}_k,i=1,\mathrm{...},n---\left(4.13\right);$

更进一步，定义可调参数向量W_i＝[w_i，1，…，w_i，L]，则(4.13)式变为；

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_i=-a_i{\mathrm{\&lambda;}}_i+W_i^{T}z,i=1,\mathrm{...},n---\left(4.14\right);$

这里{W_i：i＝1，2，…，n}为神经网络可调权值，系数{a_i：i＝1，2，…，n}表示网络基本结构参数，在网络训练期间固定不变，为了保证每一个神经元输入输出有界且稳定，取a_i为正数；

步骤三动力学模型辨识；

为了方便模型辨识，式(4.6)写成如下形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+B\left(f\right(\stackrel{\&OverBar;}{x})+g(\stackrel{\&OverBar;}{x})\&CenterDot;u(t\left)\right)\\ y=C^{T}x\end{array}---\left(4.15\right);$

其中：

$A_{p\&times;p}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],B_{\mathrm{\&rho;}\&times;1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right],C_{\mathrm{\&rho;}\&times;1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 0\end{array}\right];$

针对式(4.15)，基于上节所述的RHONN，设计观测器如下；

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A\hat{x}+B\left(W^{1T}z\right(\stackrel{\&OverBar;}{x})+W^{2T}z(\stackrel{\&OverBar;}{x})\&CenterDot;u(t\left)\right)+L(y-C^T\hat{x})\\ \hat{y}=C^T\hat{x}\end{array}---\left(4.16\right);$

其中：为式(4.15)的观测值，L＝[l₁，l₂，…，l_ρ]^T为观测器增益，

定义观测和输出误差由式(4.16)和式(4.15)，可以得到观测误差的动态方程如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}=\stackrel{\&OverBar;}{A}\tilde{x}+B\&lsqb;{\tilde{W}}^{1T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+{\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\tilde{W}}^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}u\&rsqb;---\left(4.17\right);$

其中： 为最优的权值矩阵。ε_1，2为RHONN的函数估计误差，且满足有界条件|ε_1，2|≤∈_1，2；

定理4.1：针对式(4.15)所设计的RHONN观测器在权值满足如下(4.17)自适应调整法则的情况下可以保证观测误差一致最终有界(UUB)；

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{W}}^1=\tilde{y}{\mathrm{\&Gamma;}}_{1}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u-a_1{\mathrm{\&Gamma;}}_1{W}^1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{W}}^2=\tilde{y}{\mathrm{\&Gamma;}}_{2}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u-a_2{\mathrm{\&Gamma;}}_2{W}^2\end{array}---\left(4.18\right);$

证明：我们考虑了Lyapunov函数；

对V₁求导可得；

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\tilde{x}}^T({\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{T}P+P\stackrel{\&OverBar;}{A})\tilde{x}+2{\tilde{x}}^{T}PB({\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2}u)+2\tilde{y}\&lsqb;{\tilde{W}}^{1T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+{\tilde{W}}^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)u\&rsqb;---\left(4.20\right);$

因为|ε_1，2|≤∈_1，2，|u|≤max{|u^min|，|u^max|}，因此可得B(ε₁+ε₂u)≤Υ，其中；

Υ＝∈₁+∈₂·max{|u^min|，|u^max|} (4.21)；

利用Young不等式，可得；

考虑如下的类Riccati代数不等式；

${\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{T}P+P\stackrel{\&OverBar;}{A}+P^2\&le;-Q---\left(4.23\right);$

其中Q为正定矩阵。将式(4.22)代入式(4.20)可得；

将权值调整法则带入可得满足如下关系；

所以当状态估计误差；

或者权值估计误差；

时；

可以确保通过以上的分析，可以得到一致最终有界(UUB)；

步骤四无约束的输出反馈控制建模；

定义参考轨迹其中y^d为输出跟踪设定曲线，这里设计控制器如下；

$u=\frac{1}{W^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)}(-W^{1T}z(\stackrel{\&OverBar;}{x})+y^{\left(\mathrm{\&rho;}\right)d}+K^T\hat{e})---\left(4.26\right);$

其中K＝[k₁，k₂，…，k_ρ]^T为控制器反馈增益，满足Hurwitz条件，将控制器(4.26)代入(4.16)可得闭环动态方程为；

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{e}}=A_c\hat{e}-{\mathrm{KC}}^T\tilde{x}---\left(4.27\right);$

其中A_c＝A-BK^T，求方程(4.27)，可得；

$\hat{e}\left(t\right)={\exp }^{A_{c}t}\hat{e}\left(0\right)+{\&Integral;}_0^t{\exp }^{A_c(t-\mathrm{\&tau;})}{\mathrm{KC}}^T\tilde{x}\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(4.28\right);$

由定理4.1得知，对(4.28)等式两端求绝对值，因此可得；

$\begin{array}{c}\left|\hat{e}\left(t\right)\right|\&le;\left|{\exp }^{A_{c}t}\right|\left|e\left(0\right)\right|+{\&Integral;}_0^t\left|{\exp }^{A_c(t-\mathrm{\&tau;})}\right|d\mathrm{\&tau;}\left|{\mathrm{KC}}^T\right|\stackrel{\&OverBar;}{\tilde{x}}\\ \&le;{\mathrm{mexp}}^{-at}\left|\hat{e}\left(0\right)\right|+\frac{m\left|{\mathrm{KC}}^T\right|}{\mathrm{\&alpha;}}{B}_1\end{array}---\left(4.29\right);$

其中m和α为满足不等式的正定常数；

上面的控制器的设计没有将控制输入存在的位置和速率饱和约束问题考虑进去，通过抗饱和策略调节参考设定值y^d，从而确保输出跟踪设定值保持在一个合理的范围里面，以保证控制量能一直维持在饱和范围里；

步骤五约束控制器的设计；

考虑输入约束式(4.7)，则式(4.26)变换为如下控制器；

$\begin{array}{c}{u}_c=\frac{1}{W^{2T}z\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)}(-W^{1T}z(\stackrel{\&OverBar;}{x})+y^{\left(\mathrm{\&rho;}\right)d}+K^T\hat{e}+\mathrm{\&zeta;})\\ u=Cons\left(u_c\right)\end{array}---\left(4.30\right);$

后面将设计ζ。约束函数Cons(.)的动力学方程表示如下：

$\stackrel{.}{u}={\mathrm{Sat}}_r(\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;({\mathrm{Sat}}_m\left(u_c\right)-u)---\left(4.31\right);$

其中Sat_r(·)，Sat_m(·)函数定义如下：

${\mathrm{Sat}}_r\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }& a\&GreaterEqual;{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }\\ a& {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }<a<{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\max }\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }& a\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_{\min }\end{array}\right.---\left(4.32\right);$

${\mathrm{Sat}}_m\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}{u}_{\max }& a\&GreaterEqual;u_{\max }\\ a& u_{\min }<a<u_{\max }\\ u_{\min }& a\&le;u_{\min }\end{array}\right.---\left(4.33\right);$

重新定义输出跟踪误差为：

其中：

(4.35)就是动态抗饱和补偿器，定义式(4.35)又可以写成如下表达式；

其中

$A_1=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -{\mathrm{\&kappa;}}_1& -{\mathrm{\&kappa;}}_2& -{\mathrm{\&kappa;}}_3& ...& -{\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right]---\left(4.37\right);$

A₁表示为一个稳定的矩阵，即s^ρ+κ_ρs^ρ-1+…+κ₁满足严格的Hurwitz条件，设计由式(4.34)、式(4.35)和控制律(4.30)，可以得到如下：

其中；

$A_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -k_1& -k_2& -k_3& ...& -k_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & & & ...& \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ {\mathrm{\&kappa;}}_1& {\mathrm{\&kappa;}}_2& {\mathrm{\&kappa;}}_3& ...& {\mathrm{\&kappa;}}_{\mathrm{\&rho;}}\end{array}\right]---\left(4.39\right);$

对式(4.36)和式(4.38)求解得到如下；

定义等式两边求绝对值后得：

其中：m_i和α_i为正值，满足，约束闭环控制系统为跟踪误差信号为UUB。

备注4.1：严格来说，会出现倒数不存在的情况(即，是病态的或者奇异的)。因此，在本发明的研究中，引入代替控制律(4.30)中的其中o＞0的常数。