CN106023314A - 一种基于回转轴方向映射的b样条母曲线拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，包括以下步骤：利用RANSAC算法结合Plucker坐标对回转轴进行估计；依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面，并依据平方距离最小化法作为度量拟合B样条母曲线以确定回转曲面的母曲线。本发明能够实现回转类零件沿其回转轴线方向的映射重建。

Description

一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法

技术领域

本发明涉及曲线拟合技术领域，特别是涉及一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法。

背景技术

线结构光三维轮廓点云经区域分割后划分为多个独立面片，无疑有助于针对独立面片逐个进行特征曲面重建，使得形状单一的点云面片可用单张特征曲面加以描述。特征曲面重建本质在于将点云区域分割所获得的特征曲面进行分类识别，针对不同的特征曲面采用不同的曲面拟合方法，用以分批实现各个特征曲面的拟合重建。循序渐进的特征曲面重建不仅有助于提高曲面重建的处理效率，而且能够较为客观地反映零件设计者的设计意图，特征曲面重建亦是实现回转类零件三维测量的实现过程和目标所在。

几何基元构成零件表面85％的三维形貌特征，其包括平面、球面、柱面和二次曲面等，然而零件形态复杂多样且不由单纯自由曲面构成。特定的特征曲面具有特定的微分几何属性，使得利用点云曲率信息划分特征曲面成为可能。对于特征曲面仅用自由曲面的方法拟合，势必消耗大量的计算机资源，且未必能最佳逼近重建特征曲面。若能在逆向工程中研究特征曲面识别方法，并针对不同的特征曲面采用不同的拟合方法，势必有助于简化点云数据处理过程，且使重构模型更能准确地重现原始模型。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，能够实现回转类零件沿其回转轴线方向的映射重建。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：提供一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，包括以下步骤：

(1)利用RANSAC算法结合Plucker坐标对回转轴进行估计；

(2)依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面，并依据平方距离最小化法作为度量拟合B样条母曲线以确定回转曲面的母曲线。

所述步骤(1)具体包括：

(11)建立一条直线的标准Plucker坐标，其中，所述直线的方向向量为单位向量，且所述直线的方向向量和矩向量相互正交；

(12)添加Plucker坐标的约束条件，所述约束条件为回转轴的方向向量和回转轴的矩向量相互正交，采用拉格朗日乘子法求解，引入拉格朗日乘子，得到目标函数；

(13)利用RANSAC估计算法以得到的目标函数来估计回转轴。

所述步骤(2)中依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面具体包括：以回转轴上一点p_r的坐标为原点，以回转轴的方向向量n_r和矩向量为坐标轴建立直角坐标系，将三维点云数据依据变换至平面上，其中，横坐标u表示点p至回转轴的距离，纵坐标v表示点p至回转轴的投影。

所述步骤(2)中依据平方距离最小化法在变换至平面的回转曲面数据点集中寻找一组B样条控制顶点使得目标函数取值最小，其中，为回转曲面数据点集至B样条曲线的平方距离，P(t_i)为B样条曲线，p_i为回转曲面数据点，M为点云数据数目，i为第i个点云数据，f_s为能量函数、λ为能量因子。

有益效果

由于采用了上述的技术方案，本发明与现有技术相比，具有以下的优点和积极效果：本发明利用RANSAC算法结合Plucker坐标优化拟合回转轴空间方程，依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面，并依据平方距离最小化法作为度量拟合B样条母曲线，从而能够实现回转类零件沿其回转轴线方向的映射重建。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

本发明的实施方式涉及一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，包括以下步骤：利用RANSAC算法结合Plucker坐标对回转轴进行估计；依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面，并依据平方距离最小化法作为度量拟合B样条母曲线以确定回转曲面的母曲线。具体如下：

(1)回转轴估计

三维坐标空间中的一条直线L可由直线上的一点p∈L和单位方向向量l来确定，直线L的矩向量为其与直线上点p的选取无关，且垂直于包含坐标原点和直线的平面。由单位方向向量l和矩向量构成的矢量称为直线L的标准Plucker坐标。

直线L的标准Plucker坐标满足两个特性：①||l||＝1；②其中第一个特征表示方向向量l是单位向量，第二个特性表示方向向量l和矩向量相互正交；反之，满足该两个特性的任意两个向量l和均对应三维空间中唯一一条有向直线L，其Plucker坐标对应为

若直线和相交，则其Plucker坐标满足由于回转曲面每点p的法矢n均穿过其回转轴，则法矢n的Plucker坐标与回转轴的Plucker坐标均满足下式，

$f(n,\stackrel{\‾}{n})=A{\stackrel{\‾}{n}}_x+B{\stackrel{\‾}{n}}_y+C{\stackrel{\‾}{n}}_z+{\mathrm{Dn}}_x+{\mathrm{En}}_y+{\mathrm{Fn}}_z=0---\left(1\right)$

其中，n＝(n_x,n_y,n_z)表示回转曲面上任意点的法向量，n_x、n_y和n_z分别表示法向量n在x、y和z方向上的分量，表示回转曲面上任意点的矩向量，和分别表示矩向量在x、y和z方向上的分量，n_r＝(A,B,C)表示回转轴的方向向量，表示回转轴的矩向量，A～F表示回转轴的方向向量和矩向量的待拟合参数。

添加Plucker坐标的约束条件采用拉格朗日乘子法求解，引入拉格朗日乘子λ，因而目标函数转化为，

$J=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\Σ}}\left|\right|n_{\mathrm{\γ}}\·{\stackrel{\‾}{n}}_i+{\stackrel{\‾}{n}}_{\mathrm{\γ}}\·n_i+\mathrm{\λ}(n_{\mathrm{\γ}}\·{\stackrel{\‾}{n}}_{\mathrm{\γ}})|{|}^2---\left(2\right)$

其中，M为点云数据数目，n_i和分别为第i个点云数据的方向向量和矩向量。

利用RANSAC估计算法来估计回转轴，用以提高估计算法的鲁棒性能，具体算法如下：

目标：依据随机采样一致获取最优内点数目，利用Plucker坐标全局优化拟合回转轴

优点：提高检测算法鲁棒性能，剔除样本数据中的野值，全局优化拟合回转轴线

由回转轴的Plucker坐标可知，其方向向量n_r＝(A,B,C)，矩向量进而可以求解其轴上一点坐标p_r，

$p_r=\frac{n_r\×{\stackrel{\‾}{n}}_r}{|n_r{|}^2}---\left(3\right)$

依据两条直线的Plucker坐标间的几何关系估计回转轴方程，将三维面片数据沿着回转轴线方向映射至二维平面之上，回转轴线基本位于回转类模型轴心位置，且所映射的数据点基本相互重合。

(2)母曲线拟合

在回转轴确定之后，建立以坐标p_r为原点，向量n_r和为坐标轴的平面直角坐标系下，将三维点云数据依据下列的公式变换至平面上，

$\left\{\begin{array}{c}u=\left|\right|(p-p_r)\left|\right|\×n_r\left|\right|\\ v=(p-p_r)\·n_r\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，横坐标u表示点p至回转轴的距离，纵坐标v表示点p至回转轴的投影，且点p沿最小主曲率方向t_min上的点在该平面坐标系中理论上对应着同一点。此时，将三维空间回转曲面的拟合问题转化为二维空间母曲线的拟合问题，在此利用B样条曲线拟合用以确定回转曲面的母曲线。

B样条曲线使得控制多边形顶点数与曲线的阶次无关，并可以进行局部修改，使得曲线更接近于控制多边形，其数学描述如下，

$P\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}{B}_{i,k}\left(t\right)P_i---\left(5\right)$

其中，P_i为控制顶点，k为B样条曲线阶次，n为控制顶点数目，B_i,k(t)为B样条基函数，t∈[0,1]，B_i,k(t)的表达式如下，

$\{\begin{array}{c}{B}_{i,0}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& \begin{array}{cc}if& t_i\≤t\≤t_{i+1}\end{array}\\ 0& otherwise\end{array}\right.\\ B_{i,k}\left(t\right)=\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}{B}_{i,k-1}\left(t\right)+\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}{B}_{i+1,k-1}\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

且基函数间满足下式，

$\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}{B}_{i,k}\left(t\right)=1---\left(7\right)$

依次用直线段连接相邻的两个控制点P_i和P_i+1，得到的多边形称为控制多边形。若控制顶点是均匀分布的，则B样条曲线称为均匀B样条曲线。

对于变换至平面的回转曲面数据点集希望寻找一条能够正确反映原始数据点云形状和走向的B样条拟合曲线P(t)，称该B样条拟合曲线为目标曲线，进而将其转化为最优化目标曲线求解问题，即寻找一组B样条控制顶点使得目标函数取值最小，

$J=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{M}{\Σ}}\left|\right|P\left(t_i\right)-p_i|{|}^2+{\mathrm{\λf}}_s---\left(8\right)$

其中，第一项为数据点集至B样条曲线的平方距离，M为点云数据数目，i为第i个点云数据，第二项为控制曲线光顺性的能量函数f_s及相应的能量因子λ，其中能量函数f_s定义如下，

$f_s=\mathrm{\α}{\∫}_0^1\left|\right|P^{\′}\left(t\right)|{|}^{2}dt+(1-\mathrm{\α}){\∫}_0^1\left|\right|P^{\′\′}\left(t\right)|{|}^{2}dt---\left(9\right)$

其中，，α为权值，α∈(0,1)，P′(t)和P″(t)表示P(t)的一阶和二阶微分。

B样条拟合的关键在于求解曲线外一点至曲线上的平方距离，其直接影响到算法迭代次数以及收敛结果，可采用B样条曲线平方距离最小化逼近方法，该算法定义的点至B样条曲线的平方距离度量函数如下，

$e_{SD,i}=\left|\right|P\left(t_i\right)-p_i|{|}^2=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{d}{d-\mathrm{\&rho;}}{\&lsqb;{\left(P\left(t_i\right)-p_i\right)}^T{t}_i\&rsqb;}^2+{\&lsqb;{\left(P\left(t_i\right)-p_i\right)}^T{n}_i\&rsqb;}^2& if& d<0\\ {\&lsqb;{\left(P\left(t_i\right)-p_i\right)}^T{n}_i\&rsqb;}^2& if& 0\&le;d<\mathrm{\&rho;}\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，d为数据点到垂足点的距离，ρ为垂足点处曲率，t_i和n_i分别为数据点处的切向量和法向量。

利用平方距离最小化为度量的B样条曲线拟合回转类模型映射曲线相比于其映射数据更能平滑有效的描述回转类模型母曲线。

采用本发明在回转曲面重建实验中，依据本实施方式估计回转曲面的回转轴，并将点云数据围绕回转轴进行投影，从而对投影后的点云数据进行B样条曲线拟合，继而获取回转曲面的母曲线用以重建回转曲面，采用本方法时理想模型围绕回转轴投影的点云数据分布相对密集，只有台阶轴模型围绕回转轴投影的点云数据分布相对分散，但其B样条曲线拟合结果仍能较好描述原始模型。

Claims (4)

1.一种基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)利用RANSAC算法结合Plucker坐标对回转轴进行估计；

(2)依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面，并依据平方距离最小化法作为度量拟合B样条母曲线以确定回转曲面的母曲线。

2.根据权利要求1所述的基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，其特征在于，

所述步骤(1)具体包括：

(11)建立一条直线的标准Plucker坐标，其中，所述直线的方向向量为单位向量，且所述直线的方向向量和矩向量相互正交；

(12)添加Plucker坐标的约束条件，所述约束条件为回转轴的方向向量和回转轴的矩向量相互正交，采用拉格朗日乘子法求解，引入拉格朗日乘子，得到目标函数；

(13)利用RANSAC估计算法以得到的目标函数来估计回转轴。

3.根据权利要求1所述的基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，其特征在于，所述步骤(2)中依赖回转轴线方向将三维轮廓点云映射至二维平面具体包括：以回转轴上一点p_r的坐标为原点，以回转轴的方向向量n_r和矩向量为坐标轴建立直角坐标系，将三维点云数据依据变换至平面上，其中，横坐标u表示点p至回转轴的距离，纵坐标v表示点p至回转轴的投影。

4.根据权利要求3所述的基于回转轴方向映射的B样条母曲线拟合方法，其特征在于，所述步骤(2)中依据平方距离最小化法在变换至平面的回转曲面数据点集中寻找一组B样条控制顶点使得目标函数取值最小，其中，为回转曲面数据点集至B样条曲线的平方距离，P(t_i)为B样条曲线，p_i为回转曲面数据点，M为点云数据数目，i为第i个点云数据，f_s为能量函数、λ为能量因子。