CN106019288A - 基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法，利用了浅海接收信号通过消频散变换后在距离‑频散参数二维平面上出现声压聚焦的现象，只有当接收信号的传播距离参数等于目标声源距离时，各号简正波的声压幅度均达到最大值，由此可以估计出目标声源的距离参数。并且接收信号通过消频散变换后，前几阶模态在时域上明显地分离开来，可以准确地估计出各阶模态的能量，采用多模态能量匹配的方式，可以确定目标声源的深度。

Description

基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法

技术领域

本发明涉及一种浅海声源深度距离估计方法，特别是涉及一种利用简正波消频散变换的声源距离深度估计方法，适用于水平变化比较平稳的浅海海域，属于水声学和水声信号处理领域。

背景技术

本发明主要用于浅海声源深度距离估计。浅海环境中，由于水声环境非常复杂，声源定位一直是水声领域中的一个关键问题。针对浅海中传播的低频宽带信号而言，受海洋媒质的影响，会产生简正波的叠加与频散。水声信道的频散主要由波导特性决定，表现为简正波本征波数随频率的变化。虽然浅海信道的频散特性对信号的分析和处理增加了难度，但是信道的频散特性蕴含了关于海洋环境和信号的相关信息，通过分析频散波导中所接收到的水声信号，可以获得目标的距离深度等位置信息。

目前主要的定位方法有匹配场处理、基于波导不变量处理等方法。匹配场处理方法可以参见《An overview of matched field methods in ocean acoustics》，该文1993年发表于《IEEE Journal of Oceanic Engineering》第18期，起始页码为401。匹配场处理通过将声场传播模型计算的拷贝声场与实际接收的声场进行相关处理来实现水声目标的定位问题，它比较依赖于海洋环境参数和声场计算模型，计算量很大，且实际应用中往往会存在各种环境失配所带来的性能下降甚至是失效问题。波导不变量方法可以参见《水下目标被动测距的一种新方法:利用波导不变量提取目标距离信息》，该文2015年发表于《声学学报》第40期，起始页码为138。波导不变量方法利用的是浅海波导中声场在距离和频率二维平面上具有稳健性的干涉结构特征来进行处理，虽然波导不变量对于目标的测距有一定的效果，但是波导不变量对声源深度参数不敏感，不能有效地估计出声源的深度。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法。

技术方案

一种基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：估计浅海海区消频散变换参数和波导不变量：

步骤1a：在浅海理想波导中，一个深度为z_s的声源发射一个宽带脉冲信号，经过海洋波导传播后，在距离为r、深度为z_r的接收点处的声压场表达为：

式中ω是声波频率，M是总的传播模态数，ψ_m是第m阶模态的模态函数，k_rm(ω)是第m阶模态的水平波数；系数是一个常量，ρ(z_s)表示在声源深度处的海水密度值，S(ω)为发射信号的谱；由公式(1)可知，接收点处的声场是由各阶简正波模态的叠加所组成的，对于每一阶模态，定义如下的相速度为：

$v_m\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\ω}}{k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(2\right)$

步骤1b：用波导不变量统一各号简正波水平波数差的表达式为：

$k_{mn}\left(\mathrm{\ω}\right)=k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)-k_{rn}\left(\mathrm{\ω}\right)=(-{\mathrm{\γ}}_m+{\mathrm{\γ}}_n){\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}={\mathrm{\γ}}_{nm}{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}---\left(3\right)$

式中k_rm(ω)和k_rn(ω)分别是第m阶和第n阶的水平波数，k_mn(ω)是第m阶和第n阶模态的水平波数差，γ_m和γ_n为第m阶和第n阶频散参数，γ_nm为第m阶和第n阶频散参数差，是一个与简正波号数有关的常量，对于一个已知的浅海波导环境，在高频情况下，近似满足ω→∞,c₀为水中平均声速，结合上式，由分析可得

$k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γ}}_m{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}}{c_0}---\left(4\right)$

步骤1c：将公式(4)代入公式(2)可得：

$v_m\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\mathrm{\ωc}}_0}{\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γ}}_m{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}}---\left(5\right)$

步骤1d：通过比较模型计算出来的相速度曲线与由公式(5)计算出来的相速度曲线，并且利用下式寻优，估计出浅海海区频散参数和波导不变量；寻优代价函数为：

$({\widehat{\mathrm{\γ}}}_m,\widehat{\mathrm{\β}})=\min \left({\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_{\min }^m}^{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_{\max }^m}{\left(v_m^c\left(\mathrm{\ω}\right)-v_m^e\left(\mathrm{\ω},{\mathrm{\γ}}_m,\mathrm{\β}\right)\right)}^2\right),1\≤\mathrm{\β}\≤2,---\left(6\right)$

式中1≤β≤2表示浅海波导不变量的变化范围，为由Kraken模型计算相应频点的第m阶模态的相速度，为利用公式(6)计算出的第m阶模态的相速度，和分别表示计算时第m阶模态相速度的最小频率和最大频率；为代价函数最小的估计值；

步骤2：由估计出的频散参数和波导不变量定义消频散变换：

$P(r,z_r,r^{\′},{\mathrm{\γ}}^{\′})=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}P(\mathrm{\ω},r,z_r)e^{-i\left(\frac{\mathrm{\ω}}{c_0}\right)r^{\′}+{\mathrm{i\ω}}^{-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}}\left(\frac{{\mathrm{\γ}}^{\′}}{c_0}\right)}d\mathrm{\ω}---\left(7\right)$

式中{r′,γ′}为消频散变换的两个变换参数；将公式(1)中的P(ω,r,z_r)代入公式(7)并展开得：

$P(r,z_r,r^{\′},{\mathrm{\γ}}^{\′})=\frac{Q}{\sqrt{r}}\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\ψ}}_m\left(z_s\right){\mathrm{\ψ}}_m\left(z_r\right)\×\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}\frac{S\left(\mathrm{\ω}\right)}{\sqrt{k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)}}{e}^{i(\mathrm{\ω}/c_0)(r-r^{\′})+i({\mathrm{\ω}}^{-1/\widehat{\mathrm{\β}}}/c_0)({\mathrm{\γ}}^{\′}-r{\widehat{\mathrm{\γ}}}_m)}d\mathrm{\ω}---\left(8\right)$

步骤3：利用消频散变换对声源进行测距与定深：

步骤3a：对于声源的距离估计，由公式(8)可知，对于第m阶频散模态，只有当满足r′＝r、γ′＝rγ_m时，公式(8)的指数项部分被完全抵消，即变换后的接收信号在距离-频散参数二维平面上会出现声压聚焦的现象，模态的频散项被完全抵消时对应的距离即为声源的距离，由此确定出声源的距离参数；当准确地定出声源距离后，消频散变换时的频散参数域γ′与消频散变换的时域t的转换关系为：

$t=r^{\′}(\frac{1}{c_0}+(\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}\left)\frac{{\mathrm{\γ}}^{\′}{\mathrm{\ω}}_0^{-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}-1}}{c_0}\right)---\left(9\right)$

式中r′为估计出的声源距离，ω₀为发射信号的中心频率；

步骤3b：通过对分离开来的各阶模态的能量进行匹配的方法进行声源的深度估计：第m阶模态的能量按如下的公式进行计算：

$E_m={\∫}_{t_m^1}^{t_m^2}{y}^2\left(t\right)dt---\left(10\right)$

式中y(t)表示接收信号经过消频散变换后的时域波形，和分别表示接收信号经过消频散变换后在时域上第m阶模态的起始时刻与结束时刻；由此构造如下的代价函数：

$J\left(z\right)=-10{\log }_{10}(1-\underset{m}{\Σ}\frac{{(E_m^e-E_m^c)}^2}{M})---\left(11\right)$

式中为实际接收信号经过消频散变换后第m阶模态的能量，为拷贝信号经过消频散变换后提取出的第m阶模态的能量；通过公式(11)的代价函数，在声源深度范围内进行峰值搜索，确定出声源的深度。

有益效果

本发明提出一种基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法，有益效果体现在：本发明首先通过利用波导不变量和消频散参数定义的模态相速度和由kraken模型计算模态相速度进行对比寻优估计出海域的波导不变量和各阶消频散参数，通过将波导不变量作为未知参数，能够提高消频散变换精度。然后通过定义消频散变换，浅海接收信号通过消频散变换后在距离-频散参数二维平面上出现声压聚焦的现象，只有当接收信号的传播距离参数等于目标声源距离时，各号简正波的声压幅度均达到最大值，由此可以估计出目标声源的距离参数，通过这种方法对距离进行估计非常的简单可靠。并且接收信号通过消频散变换后，前几阶模态在时域上明显地分离开来，可以准确地估计出各阶模态的能量，采用多模态能量匹配的方式，可以确定目标声源的深度。本发明方法充分利用消频散变换的信息，实现测距的同时对声源进行定位。本发明的核心思想是对海域波导不变量和消频散参数的估计，进而利用估计的参数定义消频散变换，并由此对声源距离深度进行估计。浅海水声环境非常复杂，声源定位一直是水声领域中的一个关键问题，所以本方法通过消频散变换实现了对浅海宽带声源的深度距离估计，实现简单有效，对近海作战奠定了坚实的基础。

附图说明

图1是本发明方法所使用的浅海典型Pekeris波导环境模型。

图2是本发明方法中利用公式(5)计算出的相速度和由kraken模型计算的相速度对比图。

图3是本发明方法在图1 Pekeris波导环境下声源深度25m、接收深度36m、接收距离15km处接收到的低频宽带脉冲信号的时域波形(a)和时频图(b)。

图4是本发明方法接收到的信号经过消频散变换后的距离-频散参数二维平面图。

图5是本发明方法消频散变换后接收信号的时域波形(a)和时频图(b)。

图6是本发明方法目标声源深度估计变化曲线。

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

为了充分利用模态频散曲线消频散变换后的信息，实现对声源深度距离估计，一种利用距离-频散参数二维平面聚焦测距与匹配模态能量定深的目标声源定位方法，用于实现对浅海海域声源距离深度估计。该发明方法利用了浅海接收信号通过消频散变换后在距离-频散参数二维平面上出现声压聚焦的现象，只有当接收信号的传播距离参数等于目标声源距离时，各号简正波的声压幅度均达到最大值，由此可以估计出目标声源的距离参数。并且接收信号通过消频散变换后，前几阶模态在时域上明显地分离开来，可以准确地估计出各阶模态的能量，采用多模态能量匹配的方式，可以确定目标声源的深度。

(1)参照图1，Pekeris波导是一个具有两层分层结构的海洋波导，它与实际的海洋环境比较接近。其中，水深H＝40m，海水的声速和密度分别为c₁＝1500m/s、ρ₁＝1.0g/cm³，海底的声速和密度分别为c₂＝1800m/s、ρ₂＝1.7g/cm³，声源深度为25m，接收深度和接收距离分别为36m和15km。

(2)参照图1、图2和表1，在图1所示的Pekeris波导环境下，通过公式(6)估计出相应的波导不变量估计时利用最小二乘法进行估计。前4阶模态的频散参数以及利用估计值计算出的相速度均方根误差如下表1所示。由于波导不变量是一个与模态数无关的物理量，所以消频散变换时利用的波导不变量估计值为前4阶模态估计出的波导不变量的均值。由表1可知，由模型计算的相速度和由公式(5)计算出的相速度的均方根误差非常小，量级在10^-2，说明通过公式(6)估计出的频散参数值和波导不变量值比较准确。具体做法为：

①在浅海理想波导中，一个深度为z_s＝25m的声源发射一个宽带脉冲信号，求解时，脉冲宽度设置为200Hz-300Hz，中心频率250Hz。，经过海洋波导传播后，在距离为r＝15km、深度为z_r＝36m的接收点处的声压场可以表达为：

式中ω是声波频率，M是总的传播模态数，ψ_m是第m阶模态的模态函数，k_rm(ω)是第m阶模态的水平波数。系数是一个常量，ρ(z_s)表示在声源深度处的海水密度值，S(ω)为发射信号的谱。由公式(1)可知，接收点处的声场是由各阶简正波模态的叠加所组成的。对于每一阶模态，可以定义如下的相速度为：

$v_m\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\ω}}{k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(2\right)$

②G.A.Grachev曾给出用波导不变量统一各号简正波水平波数差的表达式为：

$k_{mn}\left(\mathrm{\ω}\right)=k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)-k_{rn}\left(\mathrm{\ω}\right)=(-{\mathrm{\γ}}_m+{\mathrm{\γ}}_n){\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}={\mathrm{\γ}}_{nm}{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}---\left(3\right)$

式中k_rm(ω)和k_rn(ω)分别是第m阶和第n阶的水平波数，k_mn(ω)是第m阶和第n阶模态的水平波数差，γ_m和γ_n为第m阶和第n阶频散参数，γ_nm为第m阶和第n阶频散参数差，是一个与简正波号数有关的常量。对于一个已知的浅海波导环境，在高频情况下，近似满足ω→∞,c₀＝1500m/s为水中平均声速。结合上式，由分析可得

$k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γ}}_m{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}}{c_0}---\left(4\right)$

③将公式(4)代入公式(2)可得

$v_m\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\mathrm{\ωc}}_0}{\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γ}}_m{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}}---\left(5\right)$

④通过比较模型计算出来的相速度曲线与由公式(5)计算出来的相速度曲线，并且利用下式寻优，估计出浅海海区频散参数和波导不变量。寻优代价函数为：

$({\widehat{\mathrm{\γ}}}_m,\widehat{\mathrm{\β}})=\min \left({\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_{\min }^m}^{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_{\max }^m}{\left(v_m^c\left(\mathrm{\ω}\right)-v_m^e\left(\mathrm{\ω},{\mathrm{\γ}}_m,\mathrm{\β}\right)\right)}^2\right),1\≤\mathrm{\β}\≤2,---\left(6\right)$

式中1≤β≤2表示浅海波导不变量的变化范围，为由Kraken模型计算相应频点的第m阶模态的相速度，为利用公式(6)计算出的第m阶模态的相速度，和分别表示计算时第m阶模态相速度的最小频率和最大频率。计算时，只计算前4阶模态即可，即m＝1、2、3、4。为代价函数最小的估计值；取值为前m阶的估计值的平均值，取的是各阶估计值。如表1所示。

表1频散参数和波导不变量估计结果

(3)参照图3，由估计出的频散参数和波导不变量定义消频散变换。具体做法为：

本发明方法定义的消频散变换为：

$P(r,z_r,r^{\′},{\mathrm{\γ}}^{\′})=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}P(\mathrm{\ω},r,z_r)e^{-i\left(\frac{\mathrm{\ω}}{c_0}\right)r^{\′}+{\mathrm{i\ω}}^{-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}}\left(\frac{{\mathrm{\γ}}^{\′}}{c_0}\right)}d\mathrm{\ω}---\left(7\right)$

式中{r′,γ′}为消频散变换的两个变换参数。将公式(1)中的P(ω,r,z_r)代入公式(7)并展开得：

$P(r,z_r,r^{\′},{\mathrm{\γ}}^{\′})=\frac{Q}{\sqrt{r}}\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\ψ}}_m\left(z_s\right){\mathrm{\ψ}}_m\left(z_r\right)\×\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}\frac{S\left(\mathrm{\ω}\right)}{\sqrt{k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)}}{e}^{i(\mathrm{\ω}/c_0)(r-r^{\′})+i({\mathrm{\ω}}^{-1/\widehat{\mathrm{\β}}}/c_0)({\mathrm{\γ}}^{\′}-r{\widehat{\mathrm{\γ}}}_m)}d\mathrm{\ω}---\left(8\right)$

(4)参照图4、图5、图6，利用消频散变换对声源进行测距与定深。具体做法为：

①对于声源的距离估计，由公式(8)可知，对于第m阶频散模态，只有当满足r′＝r、γ′＝rγ_m时，公式(8)的指数项部分被完全抵消，即变换后的接收信号在距离-频散参数二维平面上会出现声压聚焦的现象，模态的频散项被完全抵消时对应的距离即为声源的距离，由此可以确定出声源的距离参数。即图4中横虚线所示的距离15km即为声源所在的距离。当准确地定出声源距离后，消频散变换时的频散参数域与消频散变换的时域信号的转换关系为：

$t=r^{\′}(\frac{1}{c_0}+(\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}\left)\frac{{\mathrm{\γ}}^{\′}{\mathrm{\ω}}_0^{-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}-1}}{c_0}\right)---\left(9\right)$

式中r′为估计出的声源距离15km，ω₀＝250Hz为发射信号的中心频率。将接收信号进行消频散变换后利用公式(9)得到消频散变换后的时域信号和时频图如图5所示。

②对于声源深度的估计，由于接收信号的不同模态具有不同的能量，能量的变化反应了模态形状函数随深度的变化。通过上述的消频散变换，各阶模态的能量已经完全分离开来，本方法通过对分离开来的各阶模态的能量进行匹配的方法进行声源的深度估计。第m阶模态的能量按如下的公式进行计算：

$E_m={\∫}_{t_m^1}^{t_m^2}{y}^2\left(t\right)dt---\left(10\right)$

式中y(t)表示接收信号经过消频散变换后的时域波形，即频散-距离参数二维平面中当r′＝r时，频散参数变化时对应的剖面幅值。和分别表示接收信号经过消频散变换后在时域上第m阶模态的起始时刻与结束时刻，所述的起始时刻为y(t)的绝对值大于5，结束时刻为y(t)的绝对值大于5。由此构造如下的代价函数：

$J\left(z\right)=-10{\log }_{10}(1-\underset{m}{\Σ}\frac{{(E_m^e-E_m^c)}^2}{M})---\left(11\right)$

式中为实际接收信号经过消频散变换后第m阶模态的能量，为拷贝信号经过消频散变换后提取出的第m阶模态的能量。通过公式(11)的代价函数，在声源深度范围内进行峰值搜索，可确定出声源的深度。本文通过公式(10)和(11)匹配消频散变换后的能量分布，得到如图6所示的深度估计结果。由图6可知，在仿真条件下，目标声源深度估计曲线在25m的比较尖锐，深度的估计结果比较准确。

Claims (1)

1.一种基于简正波模态消频散变换的声源距离深度估计方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：估计浅海海区消频散变换参数和波导不变量：

步骤1a：在浅海理想波导中，一个深度为z_s的声源发射一个宽带脉冲信号，经过海洋波导传播后，在距离为r、深度为z_r的接收点处的声压场表达为：

式中ω是声波频率，M是总的传播模态数，ψ_m是第m阶模态的模态函数，k_rm(ω)是第m阶模态的水平波数；系数是一个常量，ρ(z_s)表示在声源深度处的海水密度值，S(ω)为发射信号的谱；由公式(1)可知，接收点处的声场是由各阶简正波模态的叠加所组成的，对于每一阶模态，定义如下的相速度为：

$v_m\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\ω}}{k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(2\right)$

步骤1b：用波导不变量统一各号简正波水平波数差的表达式为：

$k_{mn}\left(\mathrm{\ω}\right)=k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)-k_m\left(\mathrm{\ω}\right)=(-{\mathrm{\γ}}_m+{\mathrm{\γ}}_n){\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}={\mathrm{\γ}}_{nm}{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}---\left(3\right)$

式中k_rm(ω)和k_rn(ω)分别是第m阶和第n阶的水平波数，k_mn(ω)是第m阶和第n阶模态的水平波数差，γ_m和γ_n为第m阶和第n阶频散参数，γ_nm为第m阶和第n阶频散参数差，是一个与简正波号数有关的常量，对于一个已知的浅海波导环境，在高频情况下，近似满足ω→∞,c₀为水中平均声速，结合上式，由分析可得

$k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γ}}_m{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}}{c_0}---\left(4\right)$

步骤1c：将公式(4)代入公式(2)可得：

$v_m\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\mathrm{\ωc}}_0}{\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γ}}_m{\mathrm{\ω}}^{-\frac{1}{\mathrm{\β}}}}---\left(5\right)$

步骤1d：通过比较模型计算出来的相速度曲线与由公式(5)计算出来的相速度曲线，并且利用下式寻优，估计出浅海海区频散参数和波导不变量；寻优代价函数为：

$({\widehat{\mathrm{\γ}}}_m,\widehat{\mathrm{\β}})=\min \left({\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_{\min }^m}^{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_{\max }^m}\right(v_m^c\left(\mathrm{\ω}\right)-v_m^e{\left(\mathrm{\ω},{\mathrm{\γ}}_m,\mathrm{\β}\right)}^2),1\≤\mathrm{\β}\≤2,---\left(6\right)$

式中1≤β≤2表示浅海波导不变量的变化范围，为由Kraken模型计算相应频点的第m阶模态的相速度，为利用公式(6)计算出的第m阶模态的相速度，和分别表示计算时第m阶模态相速度的最小频率和最大频率；为代价函数最小的估计值；

步骤2：由估计出的频散参数和波导不变量定义消频散变换：

$P(r,z_r,r^{\′},{\mathrm{\γ}}^{\′})=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}P(\mathrm{\ω},r,z_r)e^{-i\left(\frac{\mathrm{\ω}}{c_0}\right)r^{\′}+{\mathrm{i\ω}}^{-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}}\left(\frac{{\mathrm{\γ}}^{\′}}{c_0}\right)}d\mathrm{\ω}---\left(7\right)$

式中{r′,γ′}为消频散变换的两个变换参数；将公式(1)中的P(ω,r,z_r)代入公式(7)并展开得：

$P(r,z_r,r^{\′},{\mathrm{\γ}}^{\′})=\frac{Q}{\sqrt{r}}\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\ψ}}_m\left(z_s\right){\mathrm{\ψ}}_m\left(z_r\right)\×\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}\frac{S\left(\mathrm{\ω}\right)}{\sqrt{k_{rm}\left(\mathrm{\ω}\right)}}{e}^{i(\mathrm{\ω}/c_0)(r-r^{\′})+i({\mathrm{\ω}}^{-1/\widehat{\mathrm{\β}}}/c_0)({\mathrm{\γ}}^{\′}-r{\widehat{\mathrm{\γ}}}_m)}d\mathrm{\ω}---\left(8\right)$

步骤3：利用消频散变换对声源进行测距与定深：

步骤3a：对于声源的距离估计，由公式(8)可知，对于第m阶频散模态，只有当满足r′＝r、γ′＝rγ_m时，公式(8)的指数项部分被完全抵消，即变换后的接收信号在距离-频散参数二维平面上会出现声压聚焦的现象，模态的频散项被完全抵消时对应的距离即为声源的距离，由此确定出声源的距离参数；当准确地定出声源距离后，消频散变换时的频散参数域γ′与消频散变换的时域t的转换关系为：

$t=r^{\′}(\frac{1}{c_0}+(\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}\left)\frac{{\mathrm{\γ}}^{\′}{\mathrm{\ω}}_0^{-\frac{1}{\widehat{\mathrm{\β}}}-1}}{c_0}\right)---\left(9\right)$

式中r′为估计出的声源距离，ω₀为发射信号的中心频率；

步骤3b：通过对分离开来的各阶模态的能量进行匹配的方法进行声源的深度估计：第m阶模态的能量按如下的公式进行计算：

$E_m={\∫}_{t_m^1}^{t_m^2}{y}^2\left(t\right)dt---\left(10\right)$ 式中y(t)表示接收信号经过消频散变换后的时域波形，和分别表示接收信号经过消频散变换后在时域上第m阶模态的起始时刻与结束时刻；由此构造如下的代价函数：

$J\left(z\right)=-10{\log }_{10}(1-\underset{m}{\Σ}\frac{{(E_m^e-E_m^c)}^2}{M})---\left(11\right)$

式中为实际接收信号经过消频散变换后第m阶模态的能量，为拷贝信号经过消频散变换后提取出的第m阶模态的能量；通过公式(11)的代价函数，在声源深度范围内进行峰值搜索，确定出声源的深度。