CN105975746B - 基于pso类算法的mimo雷达方阵布阵优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，包括以下步骤：步骤1，对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量来表示；步骤2，对步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式来确立与方向图的一一对应关系。由方向图可以求解其对应的峰值旁瓣电平PSL，从而将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，建立对应的二进制优化问题；步骤3，对步骤2获得的二进制优化问题(目标是降低PSL)采用PSO类算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，由此可以得出对应的最优PSL方向图。本发明通过PSO类算法能够有效降低MIMO雷达PSL，从而实现MIMO雷达方阵的优化设计。

Description

基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，特别是一种基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法。

背景技术

2008年，Yarovoy研究小组于微波会议上发表了《基于近场成像的超宽带天线阵列PSO算法布阵优化设计》一文。文中为了实现近场成像给出了两种特殊的MIMO超宽带阵列，并运用PSO算法进行优化设计使得可以在足够的横向距离分辨力和合适的主旁瓣电平比之间得到一个权衡。研究的仿真结果显示通过对适应度函数适当的优化，可在不同场景得到合适的非均匀线阵结构且达到了期望的权衡目标。

国内，2013年，中南大学信息科学与工程学院的施荣华，朱炫滋研究小组给出了将粒子群与遗传算法相混合的MIMO雷达线阵优化设计，该小组提出了一种改进的自适应操作，将加入自适应操作的遗传算法与粒子群算法进行混合，在混合过程中完成了2次信息传递：GA的初始种群由PSO中最优个体产生；经过遗传操作后再由PSO更新所有个体的速度、位置。从仿真结果看，该算法能够有效解决非线性、全局寻优问题，无论是收敛速度还是算法稳定性，以及寻优能力均有明显的改进。

同年，电子科技大学电子工程学院的张伟研究小组发现传统的MIMO稀疏布阵虽然可以获得最大的连续虚拟孔径，但在机载应用中却无法进行规则的稀疏布阵，于是他们采用模拟退火算法以MIMO接收端的虚拟收发联合波束为优化对象，对MIMO雷达的稀疏阵列进行了布阵优化。仿真结果证明通过该方法可以在保持主瓣不展宽的情况下获得更好的旁瓣水平。

但是现有技术中，没有将PSO算法与DE算法应用于MIMO雷达布阵的优化，因此旁瓣电平较高，且目前研究仅针对一维线阵进行优化，没有探究二维线阵优化的工作。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，以获得更低的旁瓣电平，从而提高雷达性能。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，步骤如下：

步骤1，对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示；

步骤2，将步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式，确立该二进制向量与MIMO雷达方向图的一一对应关系，并求解MIMO雷达方向图对应的峰值旁瓣电平PSL，将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题；

步骤3，对步骤2建立的二进制优化问题采用PSO类算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，最终得到最优PSL方向图。

进一步地，步骤1所述对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示，具体步骤如下：

步骤1.1，设正方形边长L为：L＝aλ，a为常数，λ为雷达工作波长；MIMO雷达的发射阵元数目N_t和接收阵元数目N_r满足：N_t＝N_r＝N，N为正整数；

步骤1.2，阵元的间距满足大于或者等于0.5λ，将正方形按0.5λ的间距离散化为个端点，即8a个端点；

步骤1.3，阵元离散化位置应遵循以下规则：发射、接收阵列中，正方形的四个端点处都放置阵元，其他的N-4个阵元需要放置在剩余的8a-4个端点上，用表示MIMO雷达发射阵列拓扑结构，来表示MIMO雷达接收阵列拓扑结构，即：

其中，b_tk,b_rk∈{0,1}，1表示第k个端点放置阵元，0表示第k个端点不放置阵元，k＝1,2,3…8a；

步骤1.4，方阵的离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示如下：

b_tk,b_rk∈{0,1}

b_t1＝b_t2a+1＝b_t4a+1＝b_t6a+1＝b_r1＝b_r2a+1＝b_r4a+1＝b_r6a+1＝1

进一步地，步骤2所述将步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式，确立该二进制向量与MIMO雷达方向图的一一对应关系，并求解MIMO雷达方向图对应的峰值旁瓣电平PSL，将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题，具体步骤如下：

步骤2.1，二维MIMO雷达方向图的公式为：

其中，λ表示为雷达工作波长，θ表示入射波方向的仰角，表示入射波方向的方位角，N_t和N_r分别为MIMO雷达的发射阵列与接收阵列的阵元数量，为发射阵列的阵元位置，为接收阵列的阵元位置，为入射波的入射方向单位矢量；

步骤2.2，将带约束条件的二进制向量代入步骤2.1的MIMO雷达方向图公式来确立表示拓扑结构的二进制向量与方向图的一一对应关系；

步骤2.3，由步骤2.2求解峰值旁瓣电平将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题如下：

b_tk,b_rk∈{0,1}

b_t1＝b_t2a+1＝b_t4a+1＝b_t6a+1＝b_r1＝b_r2a+1＝b_r4a+1＝b_r6a+1＝1

进一步地，步骤3所述对步骤2建立的二进制优化问题采用PSO类算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，最终得到最优PSL方向图，具体步骤如下：

步骤3.1，为解决雷达布阵问题，需求解变量为0或1的二进制优化问题：

subjectto x_q∈{0,1},for 1≤q≤Q

其中，目标函数f₀(x₁,x₂,...,x_Q)是Q个实数变量x₁,x₂,...,x_Q的函数，并且每个变量x_q只能取值0或1，q＝1,2,…,Q；

步骤3.2，给定种群规模和最大迭代次数后，初始化种群中第m个粒子的位置向量对于BinPSO，x_mq为第m个粒子在Q维空间中每个维度上的位置坐标，中的元素只能取0或者1，通过产生随机的0、1整数来初始化粒子的位置向量；

步骤3.3，对于BinPSO，速度、位置更新公式为：

其中，w为惯性系数，c₁是粒子追踪自己历史最优解的权重，c₂是粒子追踪群体历史最优的权重，和分别为第k次迭代中第m个粒子在第q维的速度和位置坐标，为第k次迭代中第m个粒子在第q维自己搜索到历史最优位置坐标，为第k+1次迭代中第m个粒子在第q维的速度，为第m个粒子在第k次迭代中第q维搜索到的全局最优位置；

步骤3.4，步骤3.3中速度的选定存在限定条件：

若更新后的速度大于设定的最大值便强制约束在速度最大值V_qmax，或者小于设定的最小值便强制约束在速度最小值V_qmin；

步骤3.5，位置的迭代公式为：

其中，为第m个粒子在第k+1次迭代中第m个粒子在第q维的位置坐标，为第m个粒子在第k次迭代中第m个粒子在第q维的位置坐标；

对于BinPSO算法位置的选定存在如下限定条件：

其中，rand表示均匀分布在[0,1]的随机数，S()表示sigmoid函数，即为了防止sigmoid函数的饱和性，粒子的速度范围[V_qmin,V_qmax]为[-4,4]；

步骤3.6，按照步骤3.3给出的速度、位置更新公式以及步骤3.5给出的位置的迭代公式更新粒子的速度与位置；

步骤3.7，确定最优解并且判断是否满足终止条件，如果满足即算法完成，否则返回步骤3.1计算新一代种群的适应度函数值并进入循环，直到最优解满足终止条件，或者当迭代的次数超过了步骤3.2预先设置的最大迭代次数，则强制结束，得到最优PSL方向图。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)采用PSO类算法，选取了合适的阵列长度和阵元数目，完成了对MIMO雷达方阵的布阵优化设计，获得了理想的PSL；(2)适用于一般性虚拟孔径雷达、一般性智能优化算法、一般性二维阵列，获得更低的旁瓣电平，提高了雷达性能；(3)有效可靠，优化效果明显。

附图说明

图1为本发明基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法的流程图。

图2为本发明中PSO类算法优化流程图。

图3为本发明中经PSO类算法优化后的方阵MIMO雷达阵列拓扑结构图，其中(a)为发射阵列图，(b)为接收阵列图。

图4为本发明经PSO类算法优化后的方阵MIMO雷达方向图。

具体实施方式

结合图1，本发明基于粒子群(Particle Swarm Optimization，PSO)PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，该布阵方法不仅适用于本发明所述的方阵，对任何可做离散化处理的二维阵型皆适用，具体步骤如下：

步骤1，对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示，具体步骤如下：

步骤1.1，设正方形边长L为：L＝aλ，a为常数，λ为雷达工作波长(约3cm)；MIMO雷达的发射阵元数目N_t和接收阵元数目N_r满足：N_t＝N_r＝N，N为正整数；

步骤1.2，为了减小天线阵元之间的互耦效应，阵元的间距满足大于或者等于0.5λ，将正方形按0.5λ的间距离散化为个端点，即8a个端点；

步骤1.3，为了获得最大的物理孔径，阵元离散化位置应遵循以下规则：发射、接收阵列中，正方形的四个端点处都放置阵元，其他的N-4个阵元需要放置在剩余的8a-4个端点上，用表示MIMO雷达发射阵列拓扑结构，来表示MIMO雷达接收阵列拓扑结构，即：

其中，b_tk,b_rk∈{0,1}，1表示第k个端点放置阵元，0表示第k个端点不放置阵元，k＝1,2,3…8a；

步骤1.4，方阵的离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示如下：

b_tk,b_rk∈{0,1}

b_t1＝b_t2a+1＝b_t4a+1＝b_t6a+1＝b_r1＝b_r2a+1＝b_r4a+1＝b_r6a+1＝1

步骤2，将步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式，确立该二进制向量与MIMO雷达方向图的一一对应关系，并求解MIMO雷达方向图对应的峰值旁瓣电平PSL，将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题，具体步骤如下：

步骤2.1，二维MIMO雷达方向图的公式为：

其中，λ表示为雷达工作波长(约3cm)，θ表示入射波方向的仰角，表示入射波方向的方位角，N_t和N_r分别为MIMO雷达的发射阵列与接收阵列的阵元数量，为阵元分布在XOY平面上发射阵列的阵元位置，为阵元分布在XOY平面上接收阵列的阵元位置，为入射波的入射方向单位矢量；

步骤2.2，将带约束条件的二进制向量代入步骤2.1的MIMO雷达方向图公式来确立表示拓扑结构的二进制向量与方向图的一一对应关系；

步骤2.3，由步骤2.2求解峰值旁瓣电平将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题如下：

b_tk,b_rk∈{0,1}

b_t1＝b_t2a+1＝b_t4a+1＝b_t6a+1＝b_r1＝b_r2a+1＝b_r4a+1＝b_r6a+1＝1

步骤3，对步骤2建立的二进制优化问题(目标是降低PSL)采用PSO类算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，最终得到最优PSL方向图，具体步骤如下：

步骤3.1，为解决雷达布阵问题，需求解变量为0或1的二进制优化问题：

subjectto x_q∈{0,1},for 1≤q≤Q

其中，目标函数f₀(x₁,x₂,...,x_Q)是Q个实数变量x₁,x₂,...,x_Q的函数，并且每个变量x_q只能取值0或1，q＝1,2,…,Q；

步骤3.2，给定种群规模和最大迭代次数后，初始化种群中第m个粒子的位置向量对于BinPSO，x_mq为第m个粒子在Q维空间中每个维度上的位置坐标，中的元素只能取0或者1，通过产生随机的0、1整数来初始化粒子的位置向量；

步骤3.3，对于BinPSO，速度、位置更新公式为：

其中，w为惯性系数，c₁是粒子追踪自己历史最优解的权重，c₂是粒子追踪群体历史最优的权重，和分别为第k次迭代中第m个粒子在第q维的速度和位置坐标，为第k次迭代中第m个粒子在第q维自己搜索到历史最优位置坐标，为第k+1次迭代中第m个粒子在第q维的速度，为第m个粒子在第k次迭代中第q维搜索到的全局最优位置；

步骤3.4，步骤3.3中速度的选定存在限定条件：

若更新后的速度大于设定的最大值便强制约束在速度最大值V_qmax，或者小于设定的最小值便强制约束在速度最小值V_qmin；

步骤3.5，位置的迭代公式为：

其中，为第m个粒子在第k+1次迭代中第m个粒子在第q维的位置坐标，为第m个粒子在第k次迭代中第m个粒子在第q维的位置坐标；

对于BinPSO算法位置的选定存在如下限定条件：

其中，rand表示均匀分布在[0,1]的随机数，S()表示sigmoid函数，即为了防止sigmoid函数的饱和性，粒子的速度范围[V_qmin,V_qmax]为[-4,4]；该限定条件对应步骤1.3的1表示放置阵元而0表示不放置阵元；

步骤3.6，按照步骤3.3给出的速度、位置更新公式以及步骤3.5给出的位置的迭代公式更新粒子的速度与位置；

步骤3.7，确定最优解并且判断是否满足终止条件，如果满足即算法完成，否则返回步骤3.1计算新一代种群的适应度函数值并进入循环，直到最优解满足终止条件，或者当迭代的次数超过了步骤3.2预先设置的最大迭代次数，则强制结束，根据步骤2.3得到最优PSL方向图。

实施例1

本发明基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，具体步骤如下：

步骤1，对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量来表示；

步骤2，对步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式来确立与方向图的一一对应关系。由方向图可以求解其对应的峰值旁瓣电平PSL，从而将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，建立对应的二进制优化问题；

步骤3，对步骤2获得的二进制优化问题(目标是降低PSL)采用PSO类算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，由此可以得出对应的最优PSL方向图；

步骤1选择对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量来表示的具体方法为：

步骤1.1，此处举例假设正方形边长为L＝4λ，MIMO雷达的发射、接收阵元数目N_t＝N_r＝16；

步骤1.2，为了减小天线阵元之间的互耦效应，阵元的间距需要满足大于或者等于0.5λ，可将正方形按0.5λ的间距离散化为32个端点；

步骤1.3，为了获得最大的物理孔径，阵元离散化位置应遵循：发射、接收阵列中，正方形的四个端点处都放置阵元，其他的12个阵元需要合理的放置在剩余的28个端点上。用表示MIMO雷达发射阵列拓扑结构，来表示MIMO雷达接收阵列拓扑结构，即其中b_ti,b_ri∈{0,1}，1表示第i个端点放置阵元而0表示不放置阵元；

步骤1.4，方阵的离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量来表示为：

b_ti,b_ri∈{0,1}

b_t1＝b_t9＝b_t17＝b_t25＝b_r1＝b_r9＝b_r17＝b_r32＝1

步骤2对步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式来确立与方向图的一一对应关系。由方向图可以求解其对应的峰值旁瓣电平PSL，从而将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，建立对应的二进制优化问题主要包括如下步骤：

步骤2.1，二维MIMO雷达方向图公式为：

其中λ表示波长，θ表示入射波方向的仰角，表示入射波方向的方位角；

步骤2.2，将步骤1.4中带约束条件的二进制向量代入步骤2.1的MIMO雷达方向图公式来确立表示拓扑结构的二进制向量与方向图的一一对应关系；

步骤2.3，由步骤2.2可以求解其对应的峰值旁瓣电平将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立对应的二进制优化问题：

b_ti,b_ri∈{0,1}

b_t1＝b_t9＝b_t17＝b_t25＝b_r1＝b_r9＝b_r17＝b_r32＝1

结合图2，步骤3对步骤2获得的二进制优化问题采用BinPSO算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，由此可以得出对应的最优PSL方向图主要包括如下步骤：

步骤3.1，为解决雷达布阵问题，需求解变量为0或1的二进制优化问题：

subjectto x_q∈{0,1},for 1≤q≤Q

其中目标函数f₀(x₁,x₂,...,x_Q)是Q个实数变量的函数，并且每个变量_xq只能取值0或1。

步骤3.2，给定种群规模后，初始化种群中粒子的位置向量对于BinPSO，中的元素只能取0或者1，通过产生随机的0,1整数来初始化粒子的位置向量；

步骤3.3，对于BinPSO，速度、位置更新公式为：

其中，w为惯性系数，c₁是粒子追踪自己历史最优解的权重，c₂是粒子追踪群体历史最优解的权重，ξ与η是均匀分布在[0,1]的随机数。

步骤3.4，步骤3.3中速度的选定存在限定条件：

表明若更新后的速度大于设定的最大值或者小于设定的最小值，那么便强制其约束在最大值或者最小值；

步骤3.5，位置的迭代公式为：对于BinPSO算法位置的选定存在如下限定条件：

其中rand表示均匀分布在[0,1]的随机数，S()表示sigmoid函数，即为了防止sigmoid函数的饱和性，粒子的速度范围[V_qmin,V_qmax]建议为[-4,4]；该限定条件对应步骤1.3的1表示放置阵元而0表示不放置阵元；

步骤3.6，按照步骤3.3给出的速度、位置更新公式以及步骤3.5给出的位置的迭代公式更新粒子的速度与位置；

步骤3.7，确定最优解并且判断是否满足终止条件，如果满足即算法完成，否则计算新一代种群的适应度函数值并且进入循环，直到某一代的最优解是满足终止条件的，或者当迭代的次数超过了预先设置的最大迭代次数，则算法也强制完成。其中，适应度函数为步骤2.4中的峰值旁瓣电平

BinPSO参数设置如下：

种群规模:N＝100

最大迭代次数：K＝50

粒子速度范围：[V_qmin,V_qmax]＝[-4,4]

惯性系数：w_max＝0.95,w_min＝0.4，按照迭代次数线性递减

粒子追踪自己历史最优解的权重：c1＝1.4

粒子追踪群体历史最优解的权重：c2＝1.4

通过以上步骤最后就能得到经过PSO类算法优化后的最优PSL。

结合图3、图4：图3(a)是MIMO雷达方阵采用BinPSO优化后的发射阵列拓扑结构，图3(b)是方阵MIMO雷达BinPSO优化后的接收阵列拓扑结构，图4是由BinPSO优化后方阵MIMO雷达的方向图，其峰值旁瓣电平为-9.5915dB。

综上所述，本发明通过PSO类算法能够有效降低MIMO雷达PSL，实现了MIMO雷达方阵的优化设计。

Claims (2)

1.一种基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1，对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示；

步骤2，将步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式，确立该二进制向量与MIMO雷达方向图的一一对应关系，并求解MIMO雷达方向图对应的峰值旁瓣电平PSL，将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题；

步骤3，对步骤2建立的二进制优化问题采用PSO算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，最终得到最优PSL方向图；

步骤1所述对方阵进行离散化处理，并对离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示，具体步骤如下：

步骤1.1，设正方形边长L为：L＝aλ，a为常数，λ为雷达工作波长；MIMO雷达的发射阵元数目N_t和接收阵元数目N_r满足：N_t＝N_r＝N，N为正整数；

步骤1.2，阵元的间距满足大于或者等于0.5λ，将正方形按0.5λ的间距离散化为个端点，即8a个端点；

步骤1.3，阵元离散化位置应遵循以下规则：发射、接收阵列中，正方形的四个端点处都放置阵元，其他的N-4个阵元需要放置在剩余的8a-4个端点上，用表示MIMO雷达发射阵列拓扑结构，来表示MIMO雷达接收阵列拓扑结构，即：

其中，b_tk,b_rk∈{0,1}，1表示第k个端点放置阵元，0表示第k个端点不放置阵元，k＝1,2,3…8a；

步骤1.4，方阵的离散孔径拓扑使用带约束条件的二进制向量表示如下：

b_tk,b_rk∈{0,1}

b_t1＝b_t2a+1＝b_t4a+1＝b_t6a+1＝b_r1＝b_r2a+1＝b_r4a+1＝b_r6a+1＝1

步骤2所述将步骤1得到的二进制向量代入MIMO雷达方向图公式，确立该二进制向量与MIMO雷达方向图的一一对应关系，并求解MIMO雷达方向图对应的峰值旁瓣电平PSL，将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题，具体步骤如下：

步骤2.1，二维MIMO雷达方向图的公式为：

其中，λ表示为雷达工作波长，θ表示入射波方向的仰角，表示入射波方向的方位角，N_t和N_r分别为MIMO雷达的发射阵列与接收阵列的阵元数量，为发射阵列的阵元位置，为接收阵列的阵元位置，为入射波的入射方向单位矢量；

步骤2.2，将带约束条件的二进制向量代入步骤2.1的MIMO雷达方向图公式来确立表示拓扑结构的二进制向量与方向图的一一对应关系；

步骤2.3，由步骤2.2求解峰值旁瓣电平将PSL表示为拓扑结构二进制向量的函数，从而建立二进制优化问题如下：

b_tk,b_rk∈{0,1}

b_t1＝b_t2a+1＝b_t4a+1＝b_t6a+1＝b_r1＝b_r2a+1＝b_r4a+1＝b_r6a+1＝1

2.根据权利要求书1所述的基于PSO类算法的MIMO雷达方阵布阵优化方法，其特征在于，步骤3所述对步骤2建立的二进制优化问题采用PSO算法进行求解，得到优化后的阵列拓扑结构，最终得到最优PSL方向图，具体步骤如下：

步骤3.1，为解决雷达布阵问题，需求解变量为0或1的二进制优化问题：

subjectto x_q∈{0,1},for1≤q≤Q

其中，目标函数f₀(x₁,x₂,...,x_Q)是Q个实数变量x₁,x₂,...,x_Q的函数，并且每个变量x_q只能取值0或1，q＝1,2,…,Q；

步骤3.2，给定种群规模和最大迭代次数后，初始化种群中第m个粒子的位置向量对于BinPSO，x_mq为第m个粒子在Q维空间中每个维度上的位置坐标，中的元素只能取0或者1，通过产生随机的0、1整数来初始化粒子的位置向量；

步骤3.3，对于BinPSO，速度、位置更新公式为：

其中，w为惯性系数，c₁是粒子追踪自己历史最优解的权重，c₂是粒子追踪群体历史最优的权重，和分别为第k次迭代中第m个粒子在第q维的速度和位置坐标，为第k次迭代中第m个粒子在第q维自己搜索到历史最优位置坐标，为第k+1次迭代中第m个粒子在第q维的速度，为第m个粒子在第k次迭代中第q维搜索到的全局最优位置，ξ与η是均匀分布在[0,1]的随机数；

步骤3.4，步骤3.3中速度的选定存在限定条件：

若更新后的速度大于等于设定的最大值便强制约束在速度最大值V_qmax，或者小于等于设定的最小值便强制约束在速度最小值V_qmin；

步骤3.5，位置的迭代公式为：

其中，为第m个粒子在第k+1次迭代中第m个粒子在第q维的位置坐标，为第m个粒子在第k次迭代中第m个粒子在第q维的位置坐标；

对于BinPSO算法位置的选定存在如下限定条件：

其中，rand表示均匀分布在[0,1]的随机数，S()表示sigmoid函数，即为了防止sigmoid函数的饱和性，粒子的速度范围[V_qmin,V_qmax]为[-4,4]；

步骤3.6，按照步骤3.3给出的速度、位置更新公式以及步骤3.5给出的位置的迭代公式更新粒子的速度与位置；

步骤3.7，确定最优解并且判断是否满足终止条件，如果满足即算法完成，否则返回步骤3.1计算新一代种群的适应度函数值并进入循环，直到最优解满足终止条件，或者当迭代的次数超过了步骤3.2预先设置的最大迭代次数，则强制结束，得到最优PSL方向图。