CN105913189A - 一种机电产品无维修工作期分配方法 - Google Patents

Abstract

一种机电产品无维修工作期分配方法，它包括如下步骤：一：划分系统组成，确定系统顶层分配指标；二：确定各LRU的更换周期以及系统的大周期；三：确定各LRU的MFOPS水平的相关系数；四：确定各LRU在其更换周期内的过程退化参数；五：确定各LRU的MFOPS上限；六：用动态规划法进行系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元分配；七，若初始设计的分配结果未能满足整机MFOP要求，则可通过缩短退化明显的LRU的更换周期的方法改进设计；本发明解决了考虑性能退化、故障预测和系统冗余等相关影响因素在内的机电产品可靠性分配问题，对工程实际中产品研制阶段的机电产品可靠性定量化过程具有实用价值。

Description

一种机电产品无维修工作期分配方法

技术领域

本发明提供一种机电产品无维修工作期分配方法，它属于系统可靠性设计分析领域，注重于解决存在退化特征的机电产品可靠性分配问题，如辅助动力系统等。

背景技术

机电产品是机械技术、电子技术、液压技术等相互交叉、有机结合的产物，具有性能参数退化的特性。在传统的基于概率统计的可靠性方法中，常采用平均故障间隔时间(Mean Time Between Failures，MTBF)来评价系统的可靠性。然而，以MTBF为代表的传统可靠性参数应用于机电产品时，存在着较大缺陷：一方面存在退化现象的机电产品的故障率往往服从的是威布尔分布，MTBF并非是其寿命的良好估计；另一方面MTBF认为故障的发生是随机的，将导致较多的非计划维修，同时MTBF作为一个平均值，难以体现与任务时间的直接联系，无法直接反映出用户的可靠性要求。

MFOP(Maintenance Free Operating Period)全称无维修工作期，由英国国防部于1996年引入，用以替代目前被广泛使用、但在工程实践中存在缺陷和不足的MTBF。MFOP指装备能够完成规定的任务且不需要任何维修活动的时间，MFOPS(Maintenance FreeOperation Period Survivability)则是指产品能够成功度过MFOP中规定时长的概率。对于机电产品来说，MFOP一方面可以适用于故障率不服从指数分布的情况，它关注MFOP结束时间点的产品仍然可靠的概率，更符合对产品可靠性的需求；另一方面MFOP能够从设计角度出发，采取改进措施减少或消除非计划维修，因而具有更强的实用性。

MFOP的定义表明，它是一个任务可靠性参数，因此MFOP的适用范围为与任务直接关联的系统级、分系统级以及现场可更换单元(Line Replaceable Unit，LRU)级的产品。MFOP的分配就是将使用方提出的，在产品研制任务书(或合同)中规定的系统级MFOP指标，自顶向底，由上到下，逐步分解，分配到LRU级产品，从而使各级设计人员明确LRU级产品的设计要求。在传统的可靠性分配方法中，评分分配法和比例组合法只适用于串联产品，对于带有冗余结构的产品则无法分配；可靠度的再分配方法仅适用于对已有的分配结果进行调整；考虑重要度和复杂度的分配法以及余度系统的比例组合法虽然能够用于对带有冗余结构的产品进行可靠性分配，但要求产品服从指数分布；且无论是上述哪种分配方法，都未将维修策略纳入考虑。可见对于MFOP指标的分配，传统的可靠性分配方法并不适用。因此，在考虑影响产品MFOP的可靠性相关因素的基础上，提出本发明方法，用于分配机电产品的MFOP指标。

发明内容

(1)目的：本发明的目的是提供一种机电产品无维修工作期分配方法，能够将系统级MFOP指标分配给LRU级的组成单元，从而解决存在退化特征的机电产品可靠性分配问题。

(2)技术方案

根据将MFOP从系统分配到LRU时所要考虑的相关因素，在分配前应首先划分系统结构，确定机电产品可靠性顶层指标，即无维修工作所要达到的时间(MFOP)和相应的置信度(MFOPS)；而在分配过程中，需要在进行类似于传统可靠性分配的静态分配过程的基础上，将产品的性能退化纳入考虑，实现动态分配；而各LRU的MFOPS上限则应作为分配过程中的约束条件。

本发明一种机电产品无维修工作期分配方法，如图1所示，它包括如下步骤：

步骤一：划分系统组成，确定系统顶层分配指标，包括无维修工作所要达到的时间(MFOP)和相应的置信度(MFOPS)；

具体包括如下步骤：

步骤1.1，根据系统构成将待分配的机电产品划分为系统级和LRU级，设系统总共由n个LRU组成，分别为记为LRU1，LRU2，…，LRUn；

步骤1.2，分析订购方对该机电系统任务可靠性的要求，在基础上提出系统级可靠性指标：系统要达到的无维修工作时间MFOP及其置信度MFOPS；

步骤二：确定各LRU的更换周期以及系统的大周期(Cycle of System,CoS)；

具体包括如下步骤：

步骤2.1，由于MFOP的定义中不允许非计划维修的发生，因此需事先根据LRU的设计寿命确定好各LRU的初始更换周期，即各LRU所要求的MFOP初始时长，分别记为n₁,n₂,L,n_n；

步骤2.2，在确定各LRU的初始更换周期后，可据此确定系统的大周期(CoS)，即各LRU的更换周期的最小公倍数，在该种维修策略下，系统每经过一个CoS，都将恰好恢复到全新状态；

步骤三：确定各LRU的MFOPS水平的相关系数

具体包括如下步骤：

步骤3.1，根据各LRU的基本可靠性参数MTBF值计算该LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值(在产品研制阶段可靠性分配时LRU的MTBF值可根据相似产品、专家经验等方法判定)，分别记为MFOPS₁(1)′，MFOPS₂(1)′，…，MFOPS_n(1)′；MFOPS的计算方法如下：

根据MFOPS的定义，设系统运行期间共有m个MFOP，对于第i个MFOP，其MFOPS的计算公式为：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{R(i\·t_{mf})}{R\left(\right(i-1)\·t_{mf})},i=1,2,L,m---\left(0\right)$

其中，R(·)为可靠度函数，t_mf为系统MFOP值；

对于指数分布，其可靠度函数为：

$R\left(t\right)=\exp \[-\frac{t}{T_{BF}}\]---\left(2\right)$

其中，T_BF为该LRU的基本可靠性参数MTBF(设已知)；把式(2)代入式(0)，可得指数分布下MFOPS的计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\exp \[-\frac{t_{mf}}{T_{BF}}\]---\left(3\right)$

对于威布尔分布，其可靠度函数为：

$R\left(t\right)=\exp \[-{\left(\frac{t}{\mathrm{\θ}}\right)}^{\mathrm{\γ}}\]---\left(4\right)$

其中，θ和γ为正数，分别代表威布尔分布的特征寿命和形状参数；

威布尔分布的MTBF为：

$T_{BF}=\mathrm{\θ}\mathrm{\Γ}(1+\frac{1}{\mathrm{\γ}})---\left(5\right)$

把式(4)和式(5)代入式(0)，可得威布尔分布下MFOPS的计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{t_{mf}}{T_{BF}/\mathrm{\Γ}\left(1+1/\mathrm{\γ}\right)}\right)}^{\mathrm{\γ}}\·\[i^{\mathrm{\γ}}-{\left(i-1\right)}^{\mathrm{\γ}}\]\right\}---\left(6\right)$

步骤3.2，选定LRU1作为参考基准，计算其余LRU相对于LRU1的相关系数；相关系数代表的是MFOPS对数值之间的比值关系，对于第j个LRU，在第一个MFOP内，其相对于LRU1的相关系数C_i1可表示为：

$C_{i1}=\frac{\ln \left({\mathrm{MFOPS}}_j{\left(1\right)}^{\′}\right)}{\ln \left({\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{\′}\right)},j=1,2,L,n---\left(7\right)$

式中，MFOPS_j(1)′是第j个LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值，MFOPS₁(1)′是第1个LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值；

步骤四：确定各LRU在其更换周期内的过程退化参数(Degradation ProcessParameter，DPP)；

DPP描述了机电产品所具有的退化特性，第i个MFOP的过程退化参数定义为MFOPS的对数值在第i个MFOP初与第1个MFOP初的比值；根据式(3)和式(6)，指数分布和威布尔分布的DPP计算公式分别如下所示：

步骤五：确定各LRU的MFOPS上限

根据现有的技术水平或相似产品等已有信息，可以得到各LRU最高可能达到的MFOPS水平上限；设某LRU相似产品的MTBF为T_BFN，根据式(3)和式(6)该LRU的MFOPS上限MFOPS_U的计算公式为：

式中：‥‥‥；

式中，t_mf为系统MFOP值，γ为威布尔分布的形状参数；

步骤六：用动态规划法进行系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元分配；

基于动态规划法的MFOP和MFOPS分配流程图如图2所示，具体包括如下步骤：

步骤6.1，确定LRU1的对应于第1个整机MFOP的MFOPS₁(1)和迭代步长；通常情况下对于新产品来说MFOPS₁(1)是未知的，可根据经验将MFOPS₁(1)设为一个取值范围为(0,1)的值，记为a，即：

MFOPS₁(1)＝a,a∈(0,1) (10)

式中：‥‥‥；

式中，MFOPS₁(1)为LRU1的对应于第1个整机MFOP的MFOPS；

步骤6.2，根据相关系数计算各LRU对应于第1个整机MFOP的MFOPS；第j个LRU对应于第1个整机MFOP的MFOPS的计算公式为：

${\mathrm{MFOPS}}_j\left(1\right)={\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{C_{1j}},j=\mathrm{1,2},L,n---\left(11\right)$

式中，C_1j为第j个LRU在第一个MFOP内相对于LRU1的相关系数；

步骤6.3，根据退化过程参数DPP计算各LRU各自更换周期中的MFOPS；对于第j个LRU，其MFOP时长为n_j，其第p个整机MFOP的MFOPS计算公式如下：

MFOPS_j(p)＝MFOPS_j(1)gDPP(j)^p,j＝1,2,L,n,p＝1,2,L,n_j (12)

式中，DPP为第j个LRU的退化过程参数；

步骤6.4，对含有故障预测能力的LRU的MFOPS进行修正；

对于系统的故障预测能力，目前常采用故障预测成功率P_FPS作为度量指标；假设在维修修复周期内预测到系统将要发生故障时，立刻采取更换的维修措施以提高MFOPS，可推导出增加了故障预测能力后系统的可靠度修正值R'(i·t_mf)计算公式如下：

$R^{\′}\left(i\·t_{mf}\right)=\left\{\begin{array}{cc}R\left(t_{mf}\right)+\[1-R\left(t_{mf}\right)\]\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)& \left(i=1\right)\\ R^{\′}\left(\left(i-1\right)\·t_{mf}\right)\·\[\frac{R\left(\left(k_{i1}+1\right)\·t_{mf}\right)}{R\left(k_{i-1}\·t_{mf}\right)}+\left(1-\frac{R\left(\left(k_{i1}+1\right)\·t_{mf}\right)}{R\left(k_{i-1}\·t_{mf}\right)}\right)\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)\]& \left(i\≥2\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，k_i-1表示前(i-1)个MFOP中已工作周期数；由于实际的已工作周期数在分配时未知，因此将的期望作为估计值代替k_i-1；对于所有i≥2，的近似表达式为：

$\stackrel{\‾}{k_{i-1}}\≈\frac{\underset{l=1}{\overset{i-1}{\Σ}}\[l\·R\left(\right(i-1-l)\·t_{mf})\·(1-\frac{R\left(\right(i-l)\·t_{mf})}{R\left(\right(i-1-l)\·t_{mf})})\·P_{FPS}\·R(l\·t_{mf})\]+(i-1)\·R\left(\right(i-1)\·t_{mf})}{R^{\′}\left(\right(i-1)\·t_{mf})}---\left(14\right)$

把式(14)代入式(13)取代k_i-1，可得：

$R^{\′}\left(i\·t_{mf}\right)=\left\{\begin{array}{cc}R\left(t_{mf}\right)+\[1-R\left(t_{mf}\right)\]\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)& \left(i=1\right)\\ R^{\′}\left(\left(i-1\right)\·t_{mf}\right)\·\[\frac{R\left(\left(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}+1\right)\·t_{mf}\right)}{R\left(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}\·t_{mf}\right)}+\left(1-\frac{R\left(\left(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}+1\right)\·t_{mf}\right)}{R\left(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}\·t_{mf}\right)}\right)\·P_{FPS}\·R\left(T_{mf}\right)\]& \left(i\≥2\right)\end{array}\right.---\left(15\right)$

把式(15)代入式(0)，即可得到带有故障预测能力的系统的MFOPS修正值与P_FPS的数学模型；

步骤6.5，对含有冗余设计的LRU的MFOPS进行修正；

常见的冗余系统包括了并联、表决和旁联系统，其他类型的冗余系统对MFOPS的影响皆可以根据这三种系统的情况推导得到；并联、表决和旁联系统的MFOPS计算方法如下：

1.并联系统

对于含有q个组成单元的并联系统，当工作时间为i个MFOP时，系统可靠度计算公式为：

$R_S(i\·t_{mf})=1-\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}(1-R_j(i\·t_{mf}\left)\right),j=1,2,L,q---\left(16\right)$

其中，R_s为系统可靠度函数，R_j为第j个组成单元的可靠度函数；当q个组成单元相同时，系统可靠度函数可简化为：

R_S(i·t_mf)＝1-(1-R(i·t_mf))ⁿ (17)

把式(17)代入式(0)，可得并联系统MFOPS计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{1-{(1-R(i\·t_{mf}\left)\right)}^n}{1-{(1-R(\left(i-1\right)\·t_{mf}\left)\right)}^n}---\left(18\right)$

2.表决系统

对于含有q个组成单元的k-out-of-q表决系统，当工作时间为i个MFOP时，系统可靠度计算公式为：

$R_S(i\·t_{mf})=\underset{j=k}{\overset{n}{\Σ}}{C}_n^j\·{\[R(i\·t_{mf})\]}^j\·{\[1-R(i\·t_{mf})\]}^{q-j},j=1,2,L,q---\left(19\right)$

其中，R_s为系统可靠度函数，R为组成单元的可靠度。

把式(19)代入式(0)，可得表决系统MFOPS计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{\underset{j=k}{\overset{q}{\Σ}}{C}_q^j\·{\[R(i\·t_{mf})\]}^j\·{\[1-R(i\·t_{mf})\]}^{q-j}}{\underset{j=k}{\overset{q}{\Σ}}{C}_q^j\·{\[R\left(\right(i-1)\·t_{mf})\]}^j\·{\[1-R\left(\right(i-1)\·t_{mf})\]}^{q-j}}---\left(20\right)$

3.旁联系统

对于含有q个组成单元的旁联系统，当工作时间为i个MFOP时，系统可靠度计算公式为：

$R_S(i\·t_{mf})=1-\∫...\∫{\∫}_{t_1+\mathrm{...}+t_q\≤i\·t_{mf}}{f}_1\left(t_1\right)\mathrm{...}{f}_q\left(t_q\right){\mathrm{dt}}_1\mathrm{...}{\mathrm{dt}}_q---\left(21\right)$

其中，R_s为系统可靠度函数，f_j表示第j个组成单元的故障概率密度函数(j＝1,2,L,q)；

把式(21)代入式(0)，可得旁联系统MFOPS计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{1-\∫...\∫\∫{\∫}_{t_1+\mathrm{...}+t_q\≤i\·t_{mf}}{f}_1\left(t_1\right)...f_q\left(t_q\right){\mathrm{dt}}_1...{\mathrm{dt}}_q}{1-\∫...\∫\∫{\∫}_{t_1+\mathrm{...}+t_q\≤(i-1)\·t_{mf}}{f}_1\left(t_1\right)...f_q\left(t_q\right){\mathrm{dt}}_1...{\mathrm{dt}}_q}---\left(22\right)$

式中：‥‥‥；

式中，MFOPS(i)为系统第i个MFOP对应的MFOPS。

步骤6.6，计算系统大周期内各LRU的MFOPS；

由于系统大周期(CoS)为各LRU的MFOP时长的最小公倍数，且LRU每经历一个更换周期均呈完好状态，故各LRU在CoS内每个更换周期内的MFOPS取值均与第一个更换周期内的MFOPS取值相同；

步骤6.7，计算系统大周期内的系统MFOPS；

系统在每个MFOP内的MFOPS可根据系统可靠性框图模型进行计算；

步骤6.8，检查各LRU的MFOPS是否低于上限，若是则进入步骤6.9；若否则判断是否是第一次分配：若是第一次分配应提示降低LRU1的对应于第一个整机MFOP的MFOPS初始值并返回步骤6.1；若不是第一次分配，则结束当前分配并提示改进设计，进入步骤七；

步骤6.9，检查系统在系统大周期内，MFOPS是否均满足指标要求，若结果满足系统顶层指标，则结束分配并提示分配成功；若结果不满足系统顶层指标，则将LRU1对应于第一个整机MFOP的MFOPS增加一个步长并返回步骤6.2；

步骤七，若初始设计的分配结果未能满足整机MFOP要求，则可通过缩短退化明显的LRU的更换周期的方法改进设计，以完成系统可靠性分配；

具体包括如下步骤：

步骤7.1，分别找出系统大周期内第一个整机MFOP对应的系统MFOPS(MFOPS₍₁₎)和最后一个整机对应的系统MFOPS(MFOPS_(CoS))；若MFOPS₍₁₎满足指标要求，而MFOPS_(CoS)不满足，且MFOPS₍₁₎-MFOPS_(CoS)的值较大，则说明系统受部分寿命期间退化明显的LRU的影响明显，需缩短退化显著的LRU的更换周期；

步骤7.2，考察各LRU在其更换周期内MFOPS的退化情况，若存在LRU的MFOPS小于MFOPS₍₁₎的情况，则认定该LRU退化较为显著，据此找到所有退化显著的LRU；

步骤7.3，对于退化显著的LRU，根据其各自的退化状况缩短它们的更换周期，使得它们在各自更换周期内的最低MFOPS大于系统MFOPS₍₁₎；

步骤7.4，选取最低MFOPS最小的LRU，将其更换周期缩短1个整机MFOP；

步骤7.5，返回步骤二并重新进行系统可靠性分配，直到系统在大周期内的退化程度在可接受的范围内；

通过以上步骤，实现了机电产品系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元的分配，解决了考虑性能退化、故障预测、系统冗余等相关影响因素在内的机电产品可靠性分配问题，对工程实际中产品研制阶段的机电产品可靠性定量化过程具有指导意义和实用价值。

(3)功效、优点

本发明所述的方法进一步完善了系统可靠性与性能一体化设计分析技术。其功效主要如下：

1.提出了一套针对机电产品的可靠性分配方法，将可靠性参数MFOP和MFOPS纳入指标体系，在分配过程中充分考虑了机电系统的退化特性，能够处理系统故障率不服从指数分布的可靠性分配问题；

2.将维修策略、故障预测、系统冗余等影响因素融入分配过程，使得分配结果更具实用性；

3.对初始分配结果不满足要求的情况提出了改进措施，使得分配结果能够不断更新直至满足要求，实现了产品设计与可靠性分配的融合。

附图说明

图1是本发明所述方法流程图。

图2是本发明应用的动态规划法流程图。

图3是具体实施方式中某典型辅助动力系统组成框图。

具体实施方式

本发明一种机电产品无维修工作期分配方法，见图1所示，该方法具体实施方式详述如下：

步骤一：划分系统组成，确定系统顶层分配指标，包括无维修工作所要达到的时间(MFOP)和相应的置信度(MFOPS)。

具体包括如下步骤：

步骤1.1，某典型辅助动力系统组成如图3所示，该系统的主要由6个LRU组成：辅助动力装置、齿轮箱组件、空气涡轮起动机(2个串联)、飞机附件机匣(2个并联)、电子控制器以及进排气装置，各LRU分别服从指数分布或威布尔分布。将上述6个LRU依次记为LRU1，LRU2，LRU3，LRU4，LRU5，LRU6。

步骤1.2，分析订购方对该机电系统任务可靠性的要求，在基础上提出系统级可靠性指标：系统要达到的无维修工作时间(MFOP)t_mf为200小时，其置信度MFOPS要求为0.95。

步骤二：确定各LRU的更换周期以及系统的大周期(Cycle of System,CoS)。

具体包括如下步骤：

步骤2.1，根据LRU的设计寿命确定各LRU的初始更换周期，如表1所示。

表1 辅助动力系统LRU初始更换周期

步骤2.2，在确定各LRU的初始更换周期后，可据此确定系统的大周期。对各LRU初始更换周期求最小公倍数，可得Cos＝120。

步骤三：确定各LRU的MFOPS水平的相关系数。

具体包括如下步骤：

步骤3.1，通过对辅助动力系统相似产品的调研，可得各LRU的基本可靠性信息，如表2所示。

表2 辅助动力系统LRU基本可靠性信息

序号	LRU名称	相似产品MTBF(h)	服从分布	形状参数
					LRU1	辅助动力装置	5000	威布尔	2.5
LRU2	齿轮箱组件	10000	威布尔	2
					LRU3	空气涡轮起动机	11000	威布尔	3
LRU4	飞机附件机匣	6000	威布尔	2
					LRU5	电子控制器	9000	指数	1
LRU6	进排气装置	110000	威布尔	2

以LRU1为例，因为LRU1服从威布尔分布，根据式(6)可得LRU1的第一个MFOP对应的MFOPS值：

$\begin{array}{c}{\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{\′}=\exp \left\{-{\left(\frac{t_{mf}}{T_{BF}/\mathrm{\Γ}\left(1+1/\mathrm{\γ}\right)}\right)}^{\mathrm{\γ}}\·\[i^{\mathrm{\γ}}-{\left(i-1\right)}^{\mathrm{\γ}}\]\right\}\\ =\exp \left\{-{\left(\frac{200}{5000/\mathrm{\Γ}\left(1+1/2.5\right)}\right)}^{2.5}\·\[1^{2.5}-{\left(1-1\right)}^{2.5}\]\right\}\\ =0.9998\end{array}---\left(23\right)$

同理，可依次求得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{\′}\\ {\mathrm{MFOPS}}_2{\left(1\right)}^{\′}\\ {\mathrm{MFOPS}}_3{\left(1\right)}^{\′}\\ {\mathrm{MFOPS}}_4{\left(1\right)}^{\′}\\ {\mathrm{MFOPS}}_5{\left(1\right)}^{\′}\\ {\mathrm{MFOPS}}_6{\left(1\right)}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.9998\\ 0.9997\\ 0.9999\\ 0.9991\\ 0.9780\\ 0.9999\end{array}\right]---\left(24\right)$

步骤3.2，以LRU2为例，根据式(7)，其相对于LRU1的相关系数C₂₁可表示为：

$C_{21}=\frac{ln\left({\mathrm{MFOPS}}_2{\left(1\right)}^{\′}\right)}{ln\left({\mathrm{MFOPS}}_2{\left(1\right)}^{\′}\right)}=\frac{ln\left(0.9998\right)}{ln\left(0.9997\right)}=1.3239---\left(25\right)$

同理，可依次求得各LRU相对于LRU1的相关系数：

$\left[\begin{array}{c}{C}_{11}\\ C_{21}\\ C_{31}\\ C_{41}\\ C_{51}\\ C_{61}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1.3239\\ 0.0180\\ 3.6776\\ 93.6495\\ 0.0109\end{array}\right]---\left(26\right)$

步骤四，确定各LRU在其更换周期内的过程退化参数。

以LRU1为例，根据式(8)，其第2个MFOP内的退化过程参数DPP₁(2)可表示为：

DPP₁(2)＝2^2.5-(2-1)^2.5＝4.6569 (27)

同理，可依次求得LRU在其更换周期内的过程退化参数，如表3～8所示。

表3 LRU1退化过程参数表

表4 LRU2退化过程参数表

MFOP个数	1	2	3	4	5
						DPP	1	3	5	7	9
MFOP个数	6	7	8	9	10
						DPP	11	13	15	17	19
MFOP个数	11	12	13	14	15
						DPP	21	23	25	27	29
MFOP个数	16	17	18	19	20
						DPP	31	33	35	37	39
MFOP个数	21	22	23	24	25
						DPP	41	43	45	47	49
MFOP个数	26	27	28	29	30
						DPP	51	53	55	57	59
MFOP个数	31	32	33	34	35
						DPP	61	63	65	67	69
MFOP个数	36	37	38	39	40
						DPP	71	73	75	77	79

表5 LRU3退化过程参数表

表6 LRU4退化过程参数表

MFOP个数	1	2	3	4	5
						DPP	1	3	5	7	9
MFOP个数	6	7	8	9	10
						DPP	11	13	15	17	19

表7 LRU5退化过程参数表(指数分布恒为1)

MFOP个数	1	2	3	L	40
						DPP	1	1	1	L	1

表8 LRU6退化过程参数表

MFOP个数	1	2	3	4	5
						DPP	1	3	5	7	9
MFOP个数	6	7	8	9	10
						DPP	11	13	15	17	19
MFOP个数	11	12	13	14	15
						DPP	21	23	25	27	29
MFOP个数	16	17	18	19	20
						DPP	31	33	35	37	39
MFOP个数	21	22	23	24	25
						DPP	41	43	45	47	49
MFOP个数	26	27	28	29	30
						DPP	51	53	55	57	59
MFOP个数	31	32	33	34	35
						DPP	61	63	65	67	69
MFOP个数	36	37	38	39	40
						DPP	71	73	75	77	79

步骤五，确定各LRU的MFOPS上限。

假设新产品与原有相似产品相比其MTBF水平最高可以提高10％，据此可以确定各LRU的MFOPS上限值。以LRU1为例，根据式(9)，可得LRU1的MFOPS上限MFOPS_U1为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{MFOPS}}_{U1}=\exp \left\{-{\left(\frac{t_{mf}}{T_{BFN}/\mathrm{\Γ}\left(1+1/\mathrm{\γ}\right)}\right)}^{\mathrm{\γ}}\right\}\\ =\exp \left\{-{\left(\frac{200}{5000\×1.1/\mathrm{\Γ}\left(1+1/2.5\right)}\right)}^{2.5}\right\}\\ =0.9998\end{array}---\left(28\right)$

同理，可依次求得各LRU的MFOPS上限：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{MFOPS}}_{U1}\\ {\mathrm{MFOPS}}_{U2}\\ {\mathrm{MFOPS}}_{U3}\\ {\mathrm{MFOPS}}_{U4}\\ {\mathrm{MFOPS}}_{U5}\\ {\mathrm{MFOPS}}_{U6}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.9998\\ 0.9997\\ 0.9999\\ 0.9993\\ 0.9800\\ 0.9999\end{array}\right]---\left(29\right)$

步骤六：用动态规划法进行系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元分配。

基于动态规划法的MFOP和MFOPS分配流程图如图2所示，具体包括如下步骤：

步骤6.1，根据经验取MFOPS₁(1)为0.9800，迭代步长为0.0001。

步骤6.2，根据相关系数计算各LRU对应于第1个整机MFOP的MFOPS。以LRU2为例，LRU2对应的第1个整机MFOP的MFOPS的计算公式为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{MFOPS}}_2\left(1\right)={\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{C_{12}}\\ ={0.9800}^{1.3239}\\ =0.9736\end{array}---\left(30\right)$

同理，可依次求得各LRU的对应的第1个整机MFOP的MFOPS：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{MFOPS}}_1\left(1\right)\\ {\mathrm{MFOPS}}_2\left(1\right)\\ {\mathrm{MFOPS}}_3\left(1\right)\\ {\mathrm{MFOPS}}_4\left(1\right)\\ {\mathrm{MFOPS}}_5\left(1\right)\\ {\mathrm{MFOPS}}_6\left(1\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.9800\\ 0.9736\\ 0.9996\\ 0.9284\\ 0.1508\\ 0.9998\end{array}\right]---\left(31\right)$

步骤6.3，根据退化过程参数DPP计算各LRU各自更换周期中的MFOPS。

根据式(12)可得各LRU各自更换周期中的MFOPS，如表9～14所示。

表9 LRU1更换周期中的MFOPS

表10 LRU2更换周期中的MFOPS

MFOP个数	1	2	3	4	5
						MFOPS	0.9736	0.9229	0.8748	0.8293	0.7861
MFOP个数	6	7	8	9	10
						MFOPS	0.7451	0.7063	0.6695	0.6346	0.6016
MFOP个数	11	12	13	14	15
						MFOPS	0.5703	0.5406	0.5124	0.4857	0.4604
MFOP个数	16	17	18	19	20
						MFOPS	0.4364	0.4137	0.3921	0.3717	0.3524
MFOP个数	21	22	23	24	25
						MFOPS	0.3340	0.3166	0.3001	0.2845	0.2697
MFOP个数	26	27	28	29	30
						MFOPS	0.2556	0.2423	0.2297	0.2177	0.2064
MFOP个数	31	32	33	34	35
						MFOPS	0.1956	0.1854	0.1758	0.1666	0.1579
MFOP个数	36	37	38	39	40
						MFOPS	0.1497	0.1419	0.1345	0.1275	0.1209

表11 LRU3更换周期中的MFOPS

MFOP个数	1	2	3	4	5
						MFOPS	0.9996	0.9975	0.9931	0.9866	0.9781
MFOP个数	6	7	8	9	10
						MFOPS	0.9674	0.9549	0.9404	0.9241	0.9062
MFOP个数	11	12	13	14	15
						MFOPS	0.8866	0.8656	0.8432	0.8196	0.7950
MFOP个数	16	17	18	19	20
						MFOPS	0.7694	0.743	0.7159	0.6883	0.6604
MFOP个数	21	22	23	24	25
						MFOPS	0.6322	0.6039	0.5756	0.5474	0.5195
MFOP个数	26	27	28	29	30
						MFOPS	0.4919	0.4648	0.4382	0.4122	0.3869
MFOP个数	31	32	33	34	35
						MFOPS	0.3624	0.3387	0.3159	0.2939	0.2729
MFOP个数	36	37	38	39	40
						MFOPS	0.2529	0.2337	0.2156	0.1985	0.1823
MFOP个数	41	42	43	44	45
						MFOPS	0.167	0.1527	0.1394	0.1269	0.1153
MFOP个数	46	47	48	49	50
						MFOPS	0.1045	0.0945	0.0853	0.0768	0.069
MFOP个数	51	52	53	54	55
						MFOPS	0.0619	0.0554	0.0494	0.044	0.0391
MFOP个数	56	57	58	59	60
						MFOPS	0.0347	0.0307	0.0271	0.0239	0.021

表12 LRU4更换周期中的MFOPS

表13 LRU5更换周期中的MFOPS

MFOP个数	1	2	3	L	40
						MFOPS	0.1508	0.1508	0.1508	L	0.1508

表14 LRU6更换周期中的MFOPS

MFOP个数	1	2	3	4	5
						MFOPS	0.9998	0.9993	0.9989	0.9985	0.9980
MFOP个数	6	7	8	9	10
						MFOPS	0.9976	0.9971	0.9967	0.9963	0.9958
MFOP个数	11	12	13	14	15
						MFOPS	0.9954	0.9949	0.9945	0.9941	0.9936
MFOP个数	16	17	18	19	20
						MFOPS	0.9932	0.9928	0.9923	0.9919	0.9914
MFOP个数	21	22	23	24	25
						MFOPS	0.9910	0.9906	0.9901	0.9897	0.9893
MFOP个数	26	27	28	29	30
						MFOPS	0.9888	0.9884	0.9880	0.9875	0.9871
MFOP个数	31	32	33	34	35
						MFOPS	0.9867	0.9862	0.9858	0.9854	0.9849
MFOP个数	36	37	38	39	40
						MFOPS	0.9845	0.9841	0.9836	0.9832	0.9828

步骤6.4，对含有故障预测能力的LRU的MFOPS进行修正。

由于LRU5为电子器件，故障率服从指数分布，该系统对LRU5的故障发生具有预测能力，根据现有技术水平，认为其故障预测成功率P_FPS＝0.5。

LRU5在MFOP内的可靠度R₅(t_mf)可表示为：

$R_5\left(t_{mf}\right)=e^{-\frac{t_{mf}}{T_{BF5}}}=0.1508---\left(32\right)$

当i＝1，即LRU5处于第1个MFOP内，经修正的系统可靠度R₅′(t_mf)可表示为：

$\begin{array}{c}{R_5}^{\′}\left(t_{mf}\right)=R_5\left(t_{mf}\right)+\[1-R_5\left(t_{mf}\right)\]\·P_{FPS}\·R_5\left(t_{mf}\right)\\ =0.1508+\left(1-0.1508\right)\·0.5\·0.1508\\ =0.2148\end{array}---\left(33\right)$

当i＝2，即LRU5处于第2个MFOP内，可近似表达为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{k_1}\≈=\frac{\underset{l=1}{\overset{1}{\Σ}}\[l\·R\left(\right(1-l)\·t_{mf})\·(1-\frac{R(1\·t_{mf})}{R\left(\right(1-l)\·t_{mf})})\·P_{FPS}\·R(l\·t_{mf})\]+1\·R(1\·t_{mf})}{R^{\′}(1\·t_{mf})}\\ =1\end{array}---\left(34\right)$

经修正的LRU5可靠度R₅′(2·t_mf)可表示为

$\begin{array}{c}{R_5}^{\′}\left(2\·t_{mf}\right)=R^{\′}\left(1\·t_{mf}\right)\·\[\frac{R\left(\left(\stackrel{\‾}{k_1}+1\right)\·t_{mf}\right)}{R\left(\stackrel{\‾}{k_1}\·t_{mf}\right)}+\left(1-\frac{R\left(\left(\stackrel{\‾}{k_1}+1\right)\·t_{mf}\right)}{R\left(\stackrel{\‾}{k_1}\·t_{mf}\right)}\right)\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)\]\\ =0.2148\end{array}---\left(35\right)$

同理可得其余修正后的LRU5可靠度(MFOPS_N5(i))，如表15所示。

表15 修正后的LRU5的MFOPS

MFOP个数	1	2	3	L	40
						MFOPSN5(i)	0.2148	0.2148	0.2148	L	0.2148

步骤6.5，对含有冗余设计的LRU的MFOPS进行修正。

LRU3为两组件串联，其修正过的第i个MFOP对应的MFOPS(MFOPS_N3(i))可表示为：

MFOPS_N3(i)＝MFOPS₃(i)²,i＝1,2,L,60 (36)

LRU4为两组件并联，其修正过的第i个MFOP对应的MFOPS(MFOPS_N4(i))可表示为：

MFOPS_N4(i)＝1-[1-MFOPS₄(i)]²,i＝1,2,L,10 (37)

步骤6.6，计算系统大周期内各LRU的MFOPS。

由于系统大周期为各LRU更换周期的最小公倍数，故各LRU在大周期内的MFOPS为其单个更换周期内MFOPS取值的循环重复排列，这里不再单独列出。

步骤6.7，计算系统大周期内的系统MFOPS。

根据图3可知组成辅助动力系统的LRU为串联结构，故系统在第i个MFOP内的MFOPS(MFOPS_(i))可表示为：

MFOPS_(i)＝MFOPS₁(i)·MFOPS₂(i)·MFOPS_N3(i)·MFOPS_N4(i)·MFOPS_N5(i) (38)

根据(38)可计算出大周期内系统MFOPS的取值。

步骤6.8，经检查可发现在本次迭代中各LRU的MFOPS均低于上限，因而进入步骤6.9。

步骤6.9，经检查可知，在本次迭代中系统MFOPS₍₁₎为0.2037，远未达到规定的0.95，因而将LRU1对应于第一个整机MFOP的MFOPS增加一个步长，即令MFOPS₁(1)＝0.9800+0.0001＝0.9801，并返回步骤6.2。

重复上述迭代过程，可知当MFOPS₁(1)＝0.9998时，LRU5的第1个整机MFOP对应的MFOPS为：

MFOPS₅(1)＝0.9814＞0.9780 (39)

LRU5的MFOPS已超出上限，且不是第一次分配，按步骤6.8的要求，应改进设计，即进入步骤七。

步骤七，若初始设计的分配结果未能满足整机MFOP要求，则可通过缩短退化明显的LRU的更换周期的方法改进设计，以完成系统可靠性分配。

具体包括如下步骤：

步骤7.1，考察系统在大周期内的MFOPS，可知MFOPS₍₁₎＝0.9901，MFOPS_(CoS)＝0.7934，即MFOPS₍₁₎满足指标要求，而MFOPS_(CoS)不满足，且MFOPS₍₁₎-MFOPS_(CoS)的值较大，因而需缩短退化显著的LRU的更换周期。

步骤7.2，考察各LRU在其更换周期内MFOPS的退化情况可知：MFOPS₁(CoS)＝0.8833，MFOPS₂(CoS)＝0.9793，MFOPS₃(CoS)＝0.9264，MFOPS₄(CoS)＝0.9998，MFOPS₅(CoS)＝0.9905，MFOPS₆(CoS)＝0.9998。LRU1、LRU2、LRU3均存在大周期内MFOPS小于MFOPS₍₁₎的情况，故LRU1、LRU2、LRU3为退化显著的LRU。

步骤7.3，考察LRU1、LRU2、LRU3在其更换周期内MFOPS的退化情况，使得它们在各自更换周期内的最低MFOPS大于系统MFOPS₍₁₎，修正后的各LRU更换周期如表16所示。

表16 修正后的各LRU更换周期

序号	LRU名称	修正后的更换周期	符号
				LRU1	辅助动力装置	7	n1
LRU2	齿轮箱组件	19	n2
				LRU3	空气涡轮起动机	21	n3
LRU4	飞机附件机匣	10	n4
				LRU5	电子控制器	40	n5
LRU6	进排气装置	40	n6

步骤7.4，由于MFOPS₁(7)＝0.9917，MFOPS₂(19)＝0.9903，MFOPS₃(21)＝0.9910，MFOPS₄(CoS)＝0.9998，MFOPS₅(CoS)＝0.9905，MFOPS₆(CoS)＝0.9998，LRU2为最低MFOPS最小的LRU，故令n₂＝19-1＝18。

步骤7.5，返回步骤二并重新进行系统可靠性分配，直到系统在大周期内的退化程度在可接受的范围内，最终分配结果如表17所示。

表17 辅助动力系统MFOP与MFOPS详细分配结果

通过以上步骤，实现了机电产品系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元的分配，解决了考虑性能退化、故障预测、系统冗余等相关影响因素在内的机电产品可靠性分配问题，对工程实际中产品研制阶段的机电产品可靠性定量化过程具有指导意义和实用价值。

Claims (2)

1.一种机电产品无维修工作期分配方法，其特征在于：它包括如下步骤：

步骤一：划分系统组成，确定系统顶层分配指标，包括无维修工作所要达到的时间即MFOP和相应的置信度即MFOPS；

具体包括如下步骤：

步骤1.1根据系统构成将待分配的机电产品划分为系统级和LRU级，设系统总共由n个LRU组成，分别为记为LRU1，LRU2，…，LRUn；

步骤1.2分析订购方对该机电系统任务可靠性的要求，在基础上提出系统级可靠性指标：系统要达到的无维修工作时间MFOP及其置信度MFOPS；

步骤二：确定各LRU的更换周期以及系统的大周期即Cycle of System,CoS；

具体包括如下步骤：

步骤2.1由于MFOP的定义中不允许非计划维修的发生，因此需事先根据LRU的设计寿命确定好各LRU的初始更换周期，即各LRU所要求的MFOP初始时长，分别记为n₁,n₂,L,n_n；

步骤2.2在确定各LRU的初始更换周期后，据此确定系统的大周期即CoS，即各LRU的更换周期的最小公倍数，在该种维修策略下，系统每经过一个CoS，都将恰好恢复到全新状态；

步骤三：确定各LRU的MFOPS水平的相关系数

具体包括如下步骤：

步骤3.1根据各LRU的基本可靠性参数MTBF值计算该LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值，分别记为MFOPS₁(1)′，MFOPS₂(1)′，…，MFOPS_n(1)′；

步骤3.2选定LRU1作为参考基准，计算其余LRU相对于LRU1的相关系数；相关系数代表的是MFOPS对数值之间的比值关系，对于第j个LRU，在第一个MFOP内，其相对于LRU1的相关系数C_i1表示为：

$C_{i1}=\frac{ln\left({\mathrm{MFOPS}}_j{\left(1\right)}^{\′}\right)}{ln\left({\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{\′}\right)},j=1,2,L,n\mathrm{...}\left(7\right)$

式中，MFOPS_j(1)′是第j个LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值，MFOPS₁(1)′是第1个LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值；

步骤四：确定各LRU在其更换周期内的过程退化参数即Degradation ProcessParameter，DPP；

DPP描述了机电产品所具有的退化特性，第i个MFOP的过程退化参数定义为MFOPS的对数值在第i个MFOP初与第1个MFOP初的比值；根据式(3)和式(6)，指数分布和威布尔分布的DPP计算公式分别如下所示：

步骤五：确定各LRU的MFOPS上限

根据现有的技术水平或相似产品等已有信息，得到各LRU最高可能达到的MFOPS水平上限；设某LRU相似产品的MTBF为T_BFN，根据式(3)和式(6)该LRU的MFOPS上限MFOPS_U的计算公式为：

式中，t_mf为系统MFOP值，γ为威布尔分布的形状参数；

步骤六：用动态规划法进行系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元分配；

具体包括如下步骤：

步骤6.1确定LRU1的对应于第1个整机MFOP的MFOPS₁(1)和迭代步长；通常情况下对于新产品来说MFOPS₁(1)是未知的，根据经验将MFOPS₁(1)设为一个取值范围为(0,1)的值，记为a，即：

MFOPS₁(1)＝a,a∈(0,1)·········(10)

式中，MFOPS₁(1)为LRU1的对应于第1个整机MFOP的MFOPS；

步骤6.2根据相关系数计算各LRU对应于第1个整机MFOP的MFOPS；第j个LRU对应于第1个整机MFOP的MFOPS的计算公式为：

${\mathrm{MFOPS}}_j\left(1\right)={\mathrm{MFOPS}}_1{\left(1\right)}^{C_{1j}},j=1,2,L,n\mathrm{......}\left(11\right)$

式中，C_1j为第j个LRU在第一个MFOP内相对于LRU1的相关系数；

步骤6.3根据退化过程参数DPP计算各LRU各自更换周期中的MFOPS；对于第j个LRU，其MFOP时长为n_j，其第p个整机MFOP的MFOPS计算公式如下：

MFOPS_j(p)＝MFOPS_j(1)gDPP(j)^p,j＝1,2,L,n,p＝1,2,L,n_j·(12)

式中，DPP为第j个LRU的退化过程参数；

步骤6.4对含有故障预测能力的LRU的MFOPS进行修正；

对于系统的故障预测能力，目前常采用故障预测成功率P_FPS作为度量指标；假设在维修修复周期内预测到系统将要发生故障时，立刻采取更换的维修措施以提高MFOPS，推导出增加了故障预测能力后系统的可靠度修正值R'(i·t_mf)计算公式如下：

$R^{\′}(i\·t_{mf})=\left\{\begin{array}{cc}R\left(t_{mf}\right)+\[1-R\left(t_{mf}\right)\]\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)& (i=1)\\ R^{\′}\left(\right(i-1)\·t_{mf})\·\[\frac{R\left(\right(k_{i-1}+1)\·t_{mf})}{R(k_{i-1}\·t_{mf})}+(1-\frac{R\left(\right(k_{i-1}+1)\·t_{mf})}{R(k_{i-1}\·t_{mf})})\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)\]& (i\≥2)\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，k_i-1表示前(i-1)个MFOP中已工作周期数；由于实际的已工作周期数在分配时未知，因此将的期望作为估计值代替k_i-1；对于所有i≥2，的近似表达式为：

$\stackrel{\‾}{k_{i-1}}\≈\frac{\underset{l=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\[l\·R\left(\right(i-1-l)\·t_{mf})\·(1-\frac{R\left(\right(i-l)\·t_{mf})}{R\left(\right(i-1-l)\·t_{mf})})\·P_{FPS}\·R(l\·t_{mf})\]+(i-1)\·R\left(\right(i-1)\·t_{mf})}{R^{\′}\left(\right(i-1)\·t_{mf})}---\left(14\right)$

把式(14)代入式(13)取代k_i-1，得：

$R^{\′}(i\·t_{mf})=\left\{\begin{array}{cc}R\left(t_{mf}\right)+\[1-R\left(t_{mf}\right)\]\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)& (i=1)\\ R^{\′}\left(\right(i-1)\·t_{mf})\·\[\frac{R\left(\right(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}+1)\·t_{mf})}{R(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}\·t_{mf})}+(1-\frac{R\left(\right(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}+1)\·t_{mf})}{R(\stackrel{\‾}{k_{i-1}}\·t_{mf})})\·P_{FPS}\·R\left(t_{mf}\right)\]& (i\≥2)\end{array}\right.---\left(15\right)$

把式(15)代入式(1)，即得到带有故障预测能力的系统的MFOPS修正值与P_FPS的数学模型；

步骤6.5对含有冗余设计的LRU的MFOPS进行修正；

常见的冗余系统包括了并联、表决和旁联系统，其他类型的冗余系统对MFOPS的影响皆根据这三种系统的情况推导得到；并联、表决和旁联系统的MFOPS计算方法如下：

1.并联系统

对于含有q个组成单元的并联系统，当工作时间为i个MFOP时，系统可靠度计算公式为：

$R_S(i\·t_{mf})=1-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(1-R_j(i\·t_{mf}\left)\right),j=1,2,L,q\mathrm{.....}\left(16\right)$

其中，R_s为系统可靠度函数，R_j为第j个组成单元的可靠度函数；当q个组成单元相同时，系统可靠度函数简化为：

R_S(i·t_mf)＝1-(1-R(i·t_mf))ⁿ········(17)

把式(17)代入式(1)，可得并联系统MFOPS计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{1-{(1-R(i\·t_{mf}\left)\right)}^n}{1-{(1-R(\left(i-1\right)\·t_{mf}\left)\right)}^n}\mathrm{...}\left(18\right)$

2.表决系统

对于含有q个组成单元的k-out-of-q表决系统，当工作时间为i个MFOP时，系统可靠度计算公式为：

$R_S(i\·t_{mf})=\underset{j=k}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n^j\·{\[R(i\·t_{mf})\]}^j\·{\[1-R(i\·t_{mf})\]}^{q-j},j=1,2,L,q\mathrm{...}\left(19\right)$

其中，R_s为系统可靠度函数，R为组成单元的可靠度；

把式(19)代入式(1)，得表决系统MFOPS计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{\underset{j=k}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{C}_q^j\·{\[R(i\·t_{mf})\]}^j\·{\[1-R(i\·t_{mf})\]}^{q-j}}{\underset{j=k}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{C}_q^j\·{\[R\left(\right(i-1)\·t_{mf})\]}^j\·{\[1-R\left(\right(i-1)\·t_{mf})\]}^{q-j}}\mathrm{...}\left(20\right)$

3.旁联系统

对于含有q个组成单元的旁联系统，当工作时间为i个MFOP时，系统可靠度计算公式为：

$R_S(i\·t_{mf})=1-\∫\mathrm{...}\∫{\∫}_{t_1+\mathrm{...}+t_q\≤i\·t_{mf}}{f}_1\left(t_1\right)\mathrm{...}{f}_q\left(t_q\right){\mathrm{dt}}_1\mathrm{...}{\mathrm{dt}}_q\mathrm{....}\left(21\right)$

其中，R_s为系统可靠度函数，f_j表示第j个组成单元的故障概率密度函数(j＝1,2,L,q)；

把式(21)代入式(1)，得旁联系统MFOPS计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{1-\∫\mathrm{...}\∫\∫{\∫}_{t_1+\mathrm{...}+t_q\≤i\·t_{mf}}{f}_1\left(t_1\right)\mathrm{...}{f}_q\left(t_q\right){\mathrm{dt}}_1\mathrm{...}{\mathrm{dt}}_q}{1-\∫\mathrm{...}\∫\∫{\∫}_{t_1+\mathrm{...}+t_q\≤(i-1)\·t_{mf}}{f}_1\left(t_1\right)\mathrm{...}{f}_q\left(t_q\right){\mathrm{dt}}_1\mathrm{...}{\mathrm{dt}}_q}\mathrm{...}\left(22\right)$

式中：MFOPS(i)为系统第i个MFOP对应的MFOPS；

步骤6.6计算系统大周期内各LRU的MFOPS；

由于系统大周期即CoS为各LRU的MFOP时长的最小公倍数，且LRU每经历一个更换周期均呈完好状态，故各LRU在CoS内每个更换周期内的MFOPS取值均与第一个更换周期内的MFOPS取值相同；

步骤6.7计算系统大周期内的系统MFOPS；

系统在每个MFOP内的MFOPS是根据系统可靠性框图模型进行计算；

步骤6.8检查各LRU的MFOPS是否低于上限，若是则进入步骤6.9；若否则判断是否是第一次分配：若是第一次分配应提示降低LRU1的对应于第一个整机MFOP的MFOPS初始值并返回步骤6.1；若不是第一次分配，则结束当前分配并提示改进设计，进入步骤七；

步骤6.9检查系统在系统大周期内，MFOPS是否均满足指标要求，若结果满足系统顶层指标，则结束分配并提示分配成功；若结果不满足系统顶层指标，则将LRU1对应于第一个整机MFOP的MFOPS增加一个步长并返回步骤6.2；

步骤七，若初始设计的分配结果未能满足整机MFOP要求，则通过缩短退化明显的LRU的更换周期的方法改进设计，以完成系统可靠性分配；

具体包括如下步骤：

步骤7.1分别找出系统大周期内第一个整机MFOP对应的系统MFOPS即MFOPS₍₁₎和最后一个整机对应的系统MFOPS即MFOPS_(CoS)；若MFOPS₍₁₎满足指标要求，而MFOPS_(CoS)不满足，且MFOPS₍₁₎-MFOPS_(CoS)的值较大，则说明系统受部分寿命期间退化明显的LRU的影响明显，需缩短退化显著的LRU的更换周期；

步骤7.2考察各LRU在其更换周期内MFOPS的退化情况，若存在LRU的MFOPS小于MFOPS₍₁₎的情况，则认定该LRU退化较为显著，据此找到所有退化显著的LRU；

步骤7.3对于退化显著的LRU，根据其各自的退化状况缩短它们的更换周期，使得它们在各自更换周期内的最低MFOPS大于系统MFOPS₍₁₎；

步骤7.4选取最低MFOPS最小的LRU，将其更换周期缩短1个整机MFOP；

步骤7.5返回步骤二并重新进行系统可靠性分配，直到系统在大周期内的退化程度在可接受的范围内；

通过以上步骤，实现了机电产品系统级可靠性指标MFOP和MFOPS向LRU级组成单元的分配，解决了考虑性能退化、故障预测和系统冗余相关影响因素在内的机电产品可靠性分配问题，对工程实际中产品研制阶段的机电产品可靠性定量化过程具有指导意义和实用价值。

2.根据权利要求1所述的一种机电产品无维修工作期分配方法，其特征在于：在

步骤3.1中所述的“根据各LRU的基本可靠性参数MTBF值计算该LRU的第一个MFOP对应的MFOPS值”，其MFOPS的计算方法如下：

根据MFOPS的定义，设系统运行期间共有m个MFOP，对于第i个MFOP，其MFOPS的计算公式为：

$MFOPS\left(i\right)=\frac{R(i\·t_{mf})}{R\left(\right(i-1)\·t_{mf})},i=1,2,L,m\mathrm{...}\left(1\right)$

其中，R(·)为可靠度函数，t_mf为系统MFOP值；

对于指数分布，其可靠度函数为：

$R\left(t\right)=\exp \[-\frac{t}{T_{BF}}\]\mathrm{...}\left(2\right)$

其中，T_BF为该LRU的基本可靠性参数MTBF(设已知)；把式(2)代入式(1)，得指数分布下MFOPS的计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\exp \[-\frac{t_{mf}}{T_{BF}}\]\mathrm{...}\left(3\right)$

对于威布尔分布，其可靠度函数为：

$R\left(t\right)=\exp \[-{\left(\frac{t}{\mathrm{\θ}}\right)}^{\mathrm{\γ}}\]\mathrm{...}\left(4\right)$

其中，θ和γ为正数，分别代表威布尔分布的特征寿命和形状参数；

威布尔分布的MTBF为：

$T_{BF}=\mathrm{\θ}\mathrm{\Γ}(1+\frac{1}{\mathrm{\γ}})\mathrm{...}\left(5\right)$

把式(4)和式(5)代入式(1)，得威布尔分布下MFOPS的计算公式：

$MFOPS\left(i\right)=\exp \{-{\left(\frac{t_{mf}}{T_{BF}/\mathrm{\Γ}(1+1/\mathrm{\γ})}\right)}^{\mathrm{\γ}}\·\[i^{\mathrm{\γ}}-{(i-1)}^{\mathrm{\γ}}\]\}\mathrm{.....}\left(6\right).$