CN105904461A

CN105904461A - 一种基于径向基函数的神经网络自适应遥操作控制方法

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Publication number: CN105904461A
Application number: CN201610322278.XA
Authority: CN
Inventors: 黄攀峰; 党小鹏; 鹿振宇; 刘正雄; 孟中杰
Original assignee: Northwestern Polytechnical University
Current assignee: Northwestern Polytechnical University
Priority date: 2016-05-16
Filing date: 2016-05-16
Publication date: 2016-08-31
Anticipated expiration: 2036-05-16
Also published as: CN105904461B

Abstract

本发明公开了一种基于径向基函数的神经网络自适应遥操作控制方法，通过对遥操作系统中的主手端和从手端分别建立动力学建模，设计从手端控制器，最后设计主手端控制器三个步骤，可以保证遥操作过程中的稳定性和较好的操作性能。遥操作的从手端即从端机械手抓取目标物时，系统的运动学和动力学参数产生不确定性，利用本发明提出的RBF神经网络自适应控制器对从手端设计控制器，可以发挥自适应控制方法的优势，对遥操作系统中的不确定性具有自学习能力和自适应性，从而克服了参数不确定性和未知干扰对遥操作系统的影响。

Description

一种基于径向基函数的神经网络自适应遥操作控制方法

【技术领域】

本发明属于遥操作技术领域，涉及双边控制和自适应控制技术，可用于单个手控器设备操作单个机械手的控制方法中。

【背景技术】

遥操作技术是一种能将人的智能投射到远端环境的实时操控技术。由于受目前机器人智能化水平限制，某些特定的场合和任务中不能完全依靠机器人来完成操作任务。通过遥操作技术，操作人员可以跨越空间距离的限制，实时地对远端的机器人设备进行操控，精准有效地完成特定操作任务。在医疗领域中，通过遥操作技术可以使医务人员跨越距离上的限制，为病人排除疑难杂症甚至是进行手术；在危险环境下的救援中，遥操作可以避免消防员直接参与危险环境下的救援，从而保证消防员的生命安全，同时也有助于弥补消防机器人智能程度不够以及难以应付复杂非结构化环境的自主救援问题。

典型的遥操作系统一般由五个部分组成，包括操作者，主手操作设备，从端机械手，从端机械手所处环境和通讯通道。遥操作的操作性能作为首要考虑的遥操作性能指标，尤其受到研究者的关注；同时，遥操作的操作过程对操作者也提出了很高要求。因此，必须对遥操作的控制系统进行合理设计，以满足日益复杂的遥操作任务。遥操作控制系统设计的主要目的是使系统具有较好的透明性和稳定性。以往的遥操作控制系统主要针对遥操作过程中系统动力学参数不变或者变化不大的情况，即假定遥操作系统模型的动力学参数固定。而在实际的遥操作过程中，当从端机械手抓取目标后，或者从端环境对从端机械手产生一些未知干扰时，遥操作系统的运动学和动力学参数便发生了变化，之前的控制系统便不能较好地处理这些运动学和动力学参数变化产生的影响，从而可能导致遥操作过程中的不稳定甚至遥操作失败。而即使这些运动学和动力学参数可以通过校准和参数辨识技术精确地得到，但是在机器人抓取每个目标物的时候都对目标物进行校准和参数辨识也是不可取、不灵活的做法。

自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，是一种适应性控制策略，可以根据检测到性能指标的变化，产生相应的反馈控制律，来消除这种变化，以求达到预定的控制目标。神经网络自适应控制为非线性系统的研究提供了新的方法，它是基于自适应控制的基本原理，在神经网络理论的基础上设计而成的，使得控制领域迈向了一个新的台阶。结合神经网络和自适应控制方法，很多实际的问题都能得到解决。

【发明内容】

本发明针对从端机械手抓取目标物时的运动学和动力学模型的这种不精确特性，提出了一种径向基函数(RBF)神经网络自适应控制方法，来克服模型不精确给遥操作系统带来的影响，保证其操作稳定性和跟踪性能。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种基于径向基函数的神经网络自适应遥操作控制方法，包括以下步骤：

1)对遥操作系统中的主手端和从手端分别建立动力学建模如下：

{\begin{matrix} M_{m} (q_{m}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) {\overset{\cdot}{q}}_{m} + G_{m} (q_{m}) = F_{h} (t) - F_{m s} (t) \\ M_{s} (q_{s}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} + G_{s} (q_{s}) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) \end{matrix} - - - (1)

其中，下标m和s分别表示主手和从手端的参数项，q_m,q_s∈R^n×1表示关节角位置，M_m(q_m),M_s(q_s)∈R^n×n表示惯量矩阵，表示离心力和哥氏力项，G_m(q_m),G_s(q_s)∈R^n×1为重力项，F_ms(t),F_cs(t)表示主手和从手端控制器的控制力矩，F_h(t)表示操作者对主手端设备施加的作用力，F_e(t)表示从端环境对从端机械手的作用力；

当从端机械手抓取物体之后，其运动学和动力学参数发生了变化，在操作过程中又难以准确得到其动力学参数值，设M_s(q_s)、G_s(q_s)的变化量分别为ΔM_s、ΔC_s、ΔG_s，于是式(1)能够化为

{\begin{matrix} M_{m} (q_{m}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) {\overset{\cdot}{q}}_{m} + G_{m} (q_{m}) = F_{h} (t) - F_{m s} (t) \\ {M_{s}}^{'} (q_{s}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) + {C_{s}}^{'} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} + {G_{s}}^{'} (q_{s}) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) \end{matrix} - - - (2)

其中M_s'＝M_s+ΔM_s,C_s'＝C_s+ΔC_s,G_s'(q_s)＝G_s(q_s)+ΔG_s；

2)设计从手端控制器；

令e(t)＝q_sd(t)-q_s(t)，表示从手跟踪主手的状态误差，在操作中理想情况是希望从手完全跟踪主手的操作速度，其中q_sd(t)＝q_m(t-T_c1)表示从手端期望的关节位置，由主手端的关节位置经过时延T_c1得到；另设状态误差函数那么且有：

M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) = M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] - M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) - - - (3)

由式(2)得

M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} - G_{s} (q_{s}) - {ΔC}_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} - {ΔG}_{s} (q_{s}) - {ΔM}_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t)

令则有：

M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) - G_{s} (q_{s}) - ρ

将上式代入(3)并化简可得误差动力学方程：

\begin{matrix} M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) = M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] - F_{c s} (t) + F_{e} (t) + \\ C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] + G_{s} (q_{s}) + ρ \end{matrix} - - - (4)

据此设计相应的RBF神经网络控制器为：

\begin{matrix} F_{c s} (t) = K_{s} f (t) + M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] \\ + G_{s} (q_{s}) + \hat{ρ} + η + F_{e} (t) \end{matrix} - - - (5)

其中加入了自适应项ρ的估计值和鲁棒项η；将式(5)代入式(4)得：

M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) = - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) - K_{s} f (t) + \tilde{ρ} - η

将ρ线性化表示为ρ＝θ^TΦ，那么其估计值为于是有：

\tilde{ρ} = ρ - \hat{ρ} = (θ^{T} - {\hat{θ}}^{T}) Φ_{ρ}

其中，F_ρ为任意正定矩阵，K_ρ为设计参数，Φ_ρ为径向基函数，这里采用高斯函数的表示；由于存在通过设计η对进行抑制，设的上界为η_ρ，则η＝η_ρsat(r,ε)，其中

s a t (r, ϵ) = \{\begin{matrix} 1 & f (t) > ϵ \\ r / ϵ & - ϵ < f (t) < ϵ \\ - 1 & - ϵ > f (t) \end{matrix}

采用sat(r,ε)函数能够明显的抑制当r→0时刻控制系统的抖动；

3)设计主手端控制器；

主手端误差表示为σ(t)＝q_md(t)-q_m(t)，其中q_md(t)＝q_s(t-T_c2)表示主手端的期望关节位置，由从手端的期望关节位置经过时延T_c2得到；另设主手端的状态误差函数则且有

\begin{matrix} M_{m} \overset{\cdot}{g} (t) = M_{m} \overset{\cdot\cdot}{σ} (t) + M_{m} k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t) \\ = M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] - F_{h} (t) + F_{m s} (t) \\ - C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) g (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] + G_{m} (q_{m}) \end{matrix}

进而得到主手端的误差动力学方程：

\begin{matrix} M_{m} \overset{\cdot}{g} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) g (t) = M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] - F_{h} (t) \\ + F_{m s} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] + G_{m} (q_{m}) \end{matrix}

据此设计主端的控制器为：

\begin{matrix} F_{m s} (t) = F_{h} (t) - K_{m} g (t) - M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] \\ - C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] - G_{m} (q_{m}) \end{matrix} - - - (6) .

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明可以保证遥操作过程中的稳定性和较好的操作性能。遥操作的从手端即从端机械手抓取目标物时，系统的运动学和动力学参数产生不确定性，利用本发明提出的RBF神经网络自适应控制器对从手端设计控制器，可以发挥自适应控制方法的优势，对遥操作系统中的不确定性具有自学习能力和自适应性，从而克服了参数不确定性和未知干扰对遥操作系统的影响。

【附图说明】

图1表示仿真中选取的遥操作系统结构示意图；

图2表示模拟主手和从手的机器人结构示意图；

图3表示仿真过程中主手和从手的两个关节角的变化曲线；

图4表示仿真过程中主手和从手的两个关节角的控制力矩变化曲线。

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

参见图1-图4，本发明基于径向基函数的神经网络自适应遥操作控制方法，包括以下步骤：

第一步：对遥操作系统中的主手端和从手端分别建立动力学建模如下：

{\begin{matrix} M_{m} (q_{m}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) {\overset{\cdot}{q}}_{m} + G_{m} (q_{m}) = F_{h} (t) - F_{m s} (t) \\ M_{s} (q_{s}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} + G_{s} (q_{s}) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) \end{matrix} - - - (1)

其中，下标m和s分别表示主手和从手端的参数项，q_m,q_s∈R^n×1表示关节角位置，M_m(q_m),M_s(q_s)∈R^n×n表示惯量矩阵，表示离心力和哥氏力项，G_m(q_m),G_s(q_s)∈R^n×1为重力项，F_ms(t),F_cs(t)表示主手和从手端控制器的控制力矩，F_h(t)表示操作者对主手端设备施加的作用力，F_e(t)表示从端环境对从端机械手的作用力。

当从端机械手抓取物体之后，其运动学和动力学参数发生了变化，在操作过程中又难以准确得到其动力学参数值，设M_s(q_s)、G_s(q_s)的变化量分别为ΔM_s、ΔC_s、ΔG_s，于是式(1)可以化为

{\begin{matrix} M_{m} (q_{m}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) {\overset{\cdot}{q}}_{m} + G_{m} (q_{m}) = F_{h} (t) - F_{m s} (t) \\ {M_{s}}^{'} (q_{s}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) + {C_{s}}^{'} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} + {G_{s}}^{'} (q_{s}) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) \end{matrix} - - - (2)

其中M_s'＝M_s+ΔM_s,C_s'＝C_s+ΔC_s,G_s'(q_s)＝G_s(q_s)+ΔG_s

第二步：设计从手端控制器。令e(t)＝q_sd(t)-q_s(t)，表示从手跟踪主手的状态误差，在操作中理想情况是希望从手完全跟踪主手的操作速度，其中q_sd(t)＝q_m(t-T_c1)表示从手端期望的关节位置，由主手端的关节位置经过时延T_c1得到。另设状态误差函数那么且有：

M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) = M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] - M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) - - - (3)

由式(2)得

令则有：

M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) - G_{s} (q_{s}) - ρ

将上式代入(3)并化简可得误差动力学方程：

\begin{matrix} M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) = M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] - F_{c s} (t) + F_{e} (t) + \\ C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] + G_{s} (q_{s}) + ρ \end{matrix} - - - (4)

据此设计相应的RBF神经网络控制器为：

\begin{matrix} F_{c s} (t) = K_{s} f (t) + M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] \\ + G_{s} (q_{s}) + \hat{ρ} + η + F_{e} (t) \end{matrix} - - - (5)

其中加入了自适应项ρ的估计值和鲁棒项η。将式(5)代入式(4)可得

M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) = - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) - K_{s} f (t) + \tilde{ρ} - η

这里将ρ线性化表示为ρ＝θ^TΦ，那么其估计值为于是有其中，F_ρ为任意正定矩阵，K_ρ为设计参数，Φ_ρ为径向基函数，这里采用高斯函数的表示。由于存在通过设计η对进行抑制，设的上界为η_ρ，则η＝η_ρsat(r,ε)，其中

s a t (r, ϵ) = \{\begin{matrix} 1 & f (t) > ϵ \\ r / ϵ & - ϵ < f (t) < ϵ \\ - 1 & - ϵ > f (t) \end{matrix}

采用sat(r,ε)函数可以明显的抑制当r→0时刻控制系统的抖动。

第三步：设计主手端控制器。主手端误差可表示为σ(t)＝q_md(t)-q_m(t)，其中q_md(t)＝q_s(t-T_c2)表示主手端的期望关节位置，由从手端的期望关节位置经过时延T_c2得到。另设主手端的状态误差函数则且有

\begin{matrix} M_{m} \overset{\cdot}{g} (t) = M_{m} \overset{\cdot\cdot}{σ} (t) + M_{m} k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t) \\ = M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] - F_{h} (t) + F_{m s} (t) \\ - C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) g (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] + G_{m} (q_{m}) \end{matrix}

进而得到主手端的误差动力学方程：

\begin{matrix} M_{m} \overset{\cdot}{g} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) g (t) = M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] - F_{h} (t) \\ + F_{m s} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] + G_{m} (q_{m}) \end{matrix}

据此设计主端的控制器为：

\begin{matrix} F_{m s} (t) = F_{h} (t) - K_{m} g (t) - M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] \\ - C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] - G_{m} (q_{m}) \end{matrix} - - - (6)

至此阐述了本发明所提出控制方法所使用遥操作模型、从手端的神经网络自适应控制器及主手端的控制器的结构。

为了进一步说明本发明所提出的方法的应用流程，下面对所提方法使用Simulink进行模拟仿真。在仿真中，选取的遥操作系统结构如图1所示。其中主手端和从手端为2-自由度、两连杆、旋转关节机器人，其具体结构示意图如图2所示，图中l₁,l₂为连杆长度，m₁,m₂为连杆质量，q₁,q₂为关节角位置，x,y为机器人末端执行器在直角坐标系下的位置坐标。

步骤一：根据式(1)在Simulink中搭建遥操作模型。本仿真中利用S-Function模块表示主手和从手的动力学方程，该模块输入为作用在主手或从手上的合力，输出为主手或从手的关节角位置、关节角速度和关节角加速度。设式(1)中主手端和从手端的动力学参数相同，均可表示为

M_{q} (q) = [\begin{matrix} {l_{2}}^{2} m_{2} + 2 l_{1} l_{2} m_{2} \cos (q_{2}) + {l_{1}}^{2} (m_{1} + m_{2}) & {l_{2}}^{2} m_{2} + l_{1} l_{2} m_{2} \cos (q_{2}) \\ {l_{2}}^{2} m_{2} + l_{1} l_{2} m_{2} \cos (q_{2}) & {l_{2}}^{2} m_{2} \end{matrix}],

C_{q} (q, \overset{\cdot}{q}) = [\begin{matrix} - 2 l_{1} l_{2} m_{2} s i n (q_{2}) {\overset{\cdot}{q}}_{2} & - l_{1} l_{2} m_{2} s i n (q_{2}) {\overset{\cdot}{q}}_{2} \\ l_{1} l_{2} m_{2} s i n (q_{2}) {\overset{\cdot}{q}}_{2} & 0 \end{matrix}],

G_{q} (q) = [\begin{matrix} m_{2} l_{2} g \cos (q_{1} + q_{2}) + (m_{1} + m_{2}) l_{1} g \cos (q_{1}) \\ m_{2} l_{2} g \cos (q_{1} + q_{2}) \end{matrix}] .

其中，g为重力加速度，这里取g＝9.8m/s²，这里假设主手端和从手端机器人均是在水平面上工作，因此重力可以忽略。仿真中用到的其他机器人参数设置为：l₁＝l₂＝0.5m,m₁＝4.6kg,m₂＝2.3kg。

步骤二：在遥操作仿真模型中加入主手端和从手端的控制力矩、操作力矩和环境作用力矩。根据式(5)和式(6)设计主手端和从手端的控制输入力矩，其中涉及到的参数设置为：K_s＝0.1,k₁＝3；K_m＝0.3,k₂＝50，从手端控制器中的RBF自适应项对应的模块通过一个神经网络训练函数来产生，可以进行多次训练迭代产生一个效果较佳的RBF神经网络模块。主手端每个关节上的操作力矩和从手端每个关节上的环境作用力矩用相同的正弦输入力矩来表示，即

F_{h} (t) = F_{e} (t) = [\begin{matrix} 5 s i n (t + \frac{π}{2}) \\ 5 \sin (t) \end{matrix}]

步骤三：完善连接并运行仿真模型。将各个模块按照输入输出关系连接起来，并在主手端和从手端之间加入时延模块，时延设为T_c1＝T_c2＝3s，以模拟实际遥操作过程当中回路时延对系统的影响。运行仿真并将仿真过程中主手和从手的每个关节角的角度变化和控制力矩变化绘制出曲线如图3和图4所示。

从图3和图4中可以看出，从手端的两个关节角在仿真一开始就可以实现较好跟踪主手关节角变化，稳定情况下存在3s的时延；由于从手端的运动学和动力学参数在遥操作过程中的不确定性从而影响遥操作的稳定性和操作性能，而本发明中在从手端控制器中应用了RBF神经网络自适应控制方法，从手端的关节控制力矩可以实现自适应变化，从而可以克服遥操作中模型参数不确定对遥操作的影响。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims

1.一种基于径向基函数的神经网络自适应遥操作控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

{\begin{matrix} M_{m} (q_{m}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) {\overset{\cdot}{q}}_{m} + G_{m} (q_{m}) = F_{h} (t) - F_{m s} (t) \\ M_{s} (p_{s}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} + G_{s} (q_{s}) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) \end{matrix} - - - (1)

{\begin{matrix} M_{m} (q_{m}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) {\overset{\cdot}{q}}_{m} + G_{m} (q_{m}) = F_{h} (t) - F_{m s} (t) \\ {M_{s}}^{'} (q_{s}) {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) + {C_{s}}^{'} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) + {G_{s}}^{'} (q_{s}) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) \end{matrix} - - - (2)

其中M_s'＝M_s+ΔM_s,C_s'＝C_s+ΔC_s,G_s'(q_s)＝G_s(q_s)+ΔG_s；

2)设计从手端控制器；

M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) = M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] - M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) - - - (3)

由式(2)得

M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} - G_{s} (q_{s}) - {ΔC}_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) {\overset{\cdot}{q}}_{s} - {ΔG}_{s} (q_{s}) - {ΔM}_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t)

令则有：

M_{s} {\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s} (t) = F_{c s} (t) - F_{e} (t) - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) - G_{s} (q_{s}) - ρ

将上式代入(3)并化简可得误差动力学方程：

\begin{matrix} M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) = M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] - F_{c s} (t) + F_{e} (t) + \\ C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] + G_{s} (q_{s}) + ρ \end{matrix} - - - (4)

据此设计相应的RBF神经网络控制器为：

\begin{matrix} F_{c s} (t) = K_{s} f (t) + M_{s} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{s d} (t) + k_{1} \overset{\cdot}{e} (t)] + C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) [{\overset{\cdot}{q}}_{s d} + k_{1} e (t)] \\ + G_{s} (q_{s}) + \hat{ρ} + η + F_{e} (t) \end{matrix} - - - (5)

M_{s} \overset{\cdot}{f} (t) = - C_{s} (q_{s}, {\overset{\cdot}{q}}_{s}) f (t) - K_{s} f (t) + \tilde{ρ} - η

将ρ线性化表示为ρ＝θ^TΦ，那么其估计值为于是有：

\tilde{ρ} = ρ - \hat{ρ} = (θ^{T} - {\hat{θ}}^{T}) Φ_{ρ}

s a t (r, ϵ) = \{\begin{matrix} 1 & f (t) > ϵ \\ r / ϵ & - ϵ < f (t) < ϵ \\ - 1 & - ϵ > f (t) \end{matrix}

3)设计主手端控制器；

\begin{matrix} M_{m} \overset{\cdot}{g} (t) = M_{m} \overset{\cdot\cdot}{σ} (t) + M_{m} k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t) \\ = M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] - F_{h} (t) + F_{m s} (t) \\ - C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) g (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] + G_{m} (q_{m}) \end{matrix}

进而得到主手端的误差动力学方程：

\begin{matrix} M_{m} \overset{\cdot}{g} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) g (t) = M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] - F_{h} (t) \\ + F_{m s} (t) + C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] + G_{m} (q_{m}) \end{matrix}

据此设计主端的控制器为：

\begin{matrix} F_{m s} (t) = F_{h} (t) - K_{m} g (t) - M_{m} [{\overset{\cdot\cdot}{q}}_{m d} (t) + k_{2} \overset{\cdot}{σ} (t)] \\ - C_{m} (q_{m}, {\overset{\cdot}{q}}_{m}) [{\overset{\cdot}{q}}_{m d} + k_{2} σ (t)] - G_{m} (q_{m}) \end{matrix} - - - (6) .