CN105867120B - 一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法，该方法依据混沌态的非线性系统具有周期遍历的特性，利用电感电流连续模式DC‑DC变换器处于混沌态时所具有的谐波成分的特点，针对不稳定周期轨道所具有的谐波成分特征，结合谐波平衡的原理，通过假设这条轨道所具有的各种谐波成分的幅值，然后结合扰动法，不断地修正前次假设的结果，最终得到关于混沌吸引子中不稳定周期轨道的解析表达式。本发明为寻找处于混沌态的电感电流连续模式DC‑DC变换器中的不稳定周期‑n轨道提供了一种新的思路，由于基于谐波平衡的原理，故所得的不稳定周期轨道表达式中能够清楚地反映该条轨道所包含的谐波成分，可以为基于陷波滤波器/延迟反馈的混沌控制器提供设计依据。

Description

一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法

技术领域

本发明涉及非线性系统的建模与分析领域，尤其是指一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法，具体地说，涉及电流连续模式开关变换器于混沌态时，根据混沌态的周期遍历特性，利用混沌态的谐波成分特点，寻找其不稳定周期轨道的方法。

背景技术

根据控制的目标，混沌控制方法可分为以原系统混沌吸引子中的不稳定周期轨道为目标的混沌控制方法，以及通过改变原系统的动力学结构，使得新的系统能够工作于新的稳定的周期轨道的混沌控制方法两大类。

第一类混沌控制方法利用了混沌系统的周期遍历特性，当混沌吸引子的相轨迹运行到其中不稳定周期轨道的不动点附近时，根据不动点与当前系统状态变量的值，对选定参数加入对应的扰动量，经过不断地对选定参数进行扰动，系统的相轨迹最终能够稳定在目标轨道上。OGY法及参数两步扰动法为这类方法的典型代表(参考文献1“E.Ott,C.Grebogi and J.A.Yorke.Controlling Chaos[J].Phys.Letters,1990,64(11),pp.1196-1199”，参考文献2“A.Jimenez-Trianna,Guanrong Chen and A.Gauthier.AParameter-Perturbation Method for Chaos Control to Stabilizing UPOs[J].IEEETrans.On Circuits and Systems-II,2015,62(4),pp.407-411.”)，这类方法在实现控制之前需要先找到混沌吸引子中的不稳定周期轨道。

过去寻找混沌系统的不稳定周期轨道的方法有：LK探测法(参考文献3“DanielP.Lathrop and Eric J.Kostelich.Characterization of an experimental strangeattractor by periodic orbits[J].Physical Review A,1989,40(7),pp.4028-4031)、基于迭代的Newton-Raphson法和Schmelcher-Diakonos法以及这两种方法的改进方法(参考文献4“O.Biham,W.Wenzel.Unstable periodic orbits and the symbolic dynamics ofthe complex Henon map[J].Physical Review A ,1990,42(10),pp.4639-4646.”，参考文献5“P.Schmelcher and F.K.Diakonos.Detecting Unstable Periodic Orbits ofChaotic Dynamical Systems[J].Physical Review Letters,1997,78(25),pp.4733-4736.”等)，此外还有一些采用动力学变换的方法及其改进方法(比如参考文献6“Paul So,Edward Ott,et al.Detecting Unstable Periodic Orbits in Chaotic ExperimentalData[J].Physical Review Letters,1996,76(25),pp.4705-4708.”，参考文献7“马文聪,金宁德,高忠科.动力学变换法探测连续系统不稳定周期轨道[J].物理学报,2012,61(17),170510.等)，这类方法通过对原始系统的离散序列进行动力学变换，然后再观察变换后数据统计直方图中的奇异性尖峰，通过识别尖峰的位置从而获得不稳定周期轨道。目前已有的寻找不稳定周期轨道的方法中没有利用混沌系统处于不同非线性动力学状态下的谐波特征，并根据谐波特征寻找混沌吸引子中的不稳定周期轨道。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点和不足，提供一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法，为寻找处于混沌态的电感电流连续模式DC-DC变换器中的不稳定周期轨道提供了一种新的思路，可以为基于陷波滤波器/延迟反馈的混沌控制器提供设计依据。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法，包括以下步骤：

S1、建立工作在电感连续模式下开关变换器的系统模型，包括：

S11、根据电路原理，列写电感连续模式开关变换器的分段线性微分方程：

(1)状态1，开关管导通，系统状态方程：

(2)状态2，开关管关断，系统状态方程：

上式中x_i(t)＝[I_L(t) V_C(t)]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流I_Li、第i个电容上的电压V_Ci，两个开关模态的切换条件具有如下形式：

h(x,t)＝K₀+K₁x_i(t) (2)

S12、定义第n个周期的开关函数δ(n)为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比d(n)受状态变量影响，定义微分算子p＝d/dt，代替微分方程组(1a)(1b)中的d/dt，令非线性部分为f＝δ(A₁x+B₁)，τ＝ωt，其中ω＝2π/T；

S13、将所述开关变换器由如下向量微分方程描述为如下向量微分方程形式：

G₀(p)x+G₁(p)f＝U₀ (4)

其中矩阵G₀(p)、G₁(p)包含微分算子p。

S14、根据扰动法的原理，将状态变量x以及开关函数δ均展开为主要部分与修正量之和的形式：

S15、将S14式(5)代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并具有相同εⁱ阶次的项，得到非线性项f的展开式：

f＝f₀+εf₁+ε²f₂+… (6)

其中：

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量非线性项的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量非线性项的余项；

S16、将状态向量x以及包含开关函数的非线性函数f的展开式(6)(7)代入系统模型方程(4)：

式(8)即为开关变换器的向量微分形式描述模型，同时将式(8)根据小量标记ε的阶次i分别编组：

S2、绘制开关变换器随某个系统参数变化的分岔图及最大Lyapunov指数图，并依据分岔图及最大Lyapunov指数图确定开关变换器处于混沌态的参数区域；

S3、对开关变换器分别处于周期-1稳态、周期-2态、……、周期态及混沌态时的状态变量进行FFT分析，得到开关变换器处于不同非线性动力学状态下状态变量含有谐波成分的特点；

S4、根据S3分析所得不同状态下开关变换器状态变量的谐波成分特点，依据混沌系统的周期遍历特性，对混沌吸引子中的不稳定周期轨道所含有的主要谐波成分进行假设，依据谐波平衡原理得到不稳定周期轨道的解析表达式，并基于扰动法对解析表达式进行修正；包括以下步骤：

S41、假设混沌吸引子中不稳定周期轨道(目标轨道)含有的主要谐波成分x_i(i＝0,1,2,……)；

S42、将假设量x_i代入式(8)得到非线性项f的主部f_im(与x_i具有相同的谐波成分)和余项分量R_i+1的(与x_i具有不同的谐波成分，根据运算过程产生)的表达式；

S43、将假设量x_i代入式(9)中得到：

G₀(p)x_i+G₁(p)(f_im+R_i)＝U_i (10)

此即为关于当前假设量x_i的微分算子向量矩阵；

S44、求解式(10)得到x_i解析表达式；

S45、根据S42中获得的余项分量R_i+1所含有谐波成分的形式，对x_i+1的主要谐波成分进行设定；

S46、重复S41到S44过程，直至x_i+1远远小于x_i(小1个或以上数量级)。

S5、合并S4过程中获得的xi，得到混沌吸引子中的不稳定周期解析表达式。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

由本发明所提方法的求解过程可知，采用本方法寻找工作在混沌态的电感电流连续模式DC-DC变换器中不稳定周期轨道，利用了开关变换器处于不同的非线性动力学状态下谐波成分的特点，同时根据混沌系统的所具有的周期遍历特性，根据谐波平衡原理，通过使用微积分算子运算，将求解微积分运算的复杂过程转化为矩阵运算和求线性方程(组)的过程，只要根据电路原理建立如公式(3)的系统描述形式，然后将系数表达式代入各阶修正量表达式，通过简单的矩阵乘除加减运算和消元就可以得到关于不稳定周期轨道的解析表达式。相比较过去的各种寻轨方法，本发明所提方法的求解过程结合了开关变换器的特点，可以清楚的看到不稳定周期轨道所包含的谐波成分，有利于对该类变换器的混沌控制器设计提供理论依据。

附图说明

图1a为寻找工作在混沌态下的电感电流连续模式DC-DC变换器的不稳定周期轨道的方法流程图。

图1b为建立开关变换器系统模型的步骤流程图。

图1c为假设/修正不稳定周期轨道的谐波成分步骤流程图。

图2为单环峰值电流模式控制DC-DC Boost变换器电路原理图。

图3a为电感电流I_L随参考电流I_ref变化分岔图。

图3b为电感电流I_L随参考电流Iref变化最大Lyapunov指数谱图。

图4a为周期-1稳态FFT分析图。

图4b为周期-2态FFT分析图。

图4c为周期-4态FFT分析图。

图4d为混沌态FFT分析图。

图5为采用参考文献2所述方法对DC-DC Boost变换器进行混沌控制的效果图。

图6a为本发明所公开方法找到的混沌态中不稳定周期-1轨道与图5中施加混沌控制后被固定的不稳定周期-1轨道的电感电流波形比较图，实线为采用参考文献2所述方法进行混沌控制后的不稳定周期-1轨道电感电流波形，虚线为本发明所提方法获得的不稳定周期-1轨道电感电流波形。

图6b为本发明所公开方法找到的混沌态中不稳定周期-1轨道与图5中施加混沌控制后被固定的不稳定周期-1轨道的电容电压波形比较图，实线为采用参考文献2所述方法进行混沌控制后的不稳定周期-1轨道电容电压波形，虚线为本发明所提方法获得的不稳定周期-1轨道电容电压波形。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

如图1a至1c所示，本发明所述的寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法，包括以下步骤：

S1、建立工作在电感连续模式下开关变换器的系统模型，包括：

S11、根据电路原理，列写电感连续模式开关变换器的分段线性微分方程：

(1)状态1，开关管导通，系统状态方程：

(2)状态2，开关管关断，系统状态方程：

上式中x_i(t)＝[I_L(t) V_C(t)]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流I_Li、第i个电容上的电压V_Ci，两个开关模态的切换条件具有如下形式：

h(x,t)＝K₀+K₁x_i(t) (2)

S12、定义第n个周期的开关函数δ(n)为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比d(n)受状态变量影响，定义微分算子p＝d/dt，代替微分方程组(1a)(1b)中的d/dt，令非线性部分为f＝δ(A₁x+B¹)，τ＝ωt，其中ω＝2π/T；

S13、将所述开关变换器由如下向量微分方程描述为如下向量微分方程形式：

G⁰(p)x+G¹(p)f＝U₀ (4)

其中矩阵G₀(p)、G₁(p)包含微分算子p。

S14、根据扰动法的原理，将状态变量x以及开关函数δ均展开为主要部分与修正量之和的形式：

S15、将S14式(5)代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并具有相同εⁱ阶次的项，得到非线性项f的展开式：

f＝f₀+εf₁+ε²f₂+... (6)

其中：

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量非线性项的主部，用R_i表示所述状态变量x第i阶修正量非线性项的余项；

S16、将状态向量x以及包含开关函数的非线性函数f的展开式(6)(7)代入系统模型方程(4)：

式(8)即为开关变换器的向量微分形式描述模型，同时将式(8)根据小量标记ε的阶次i分别编组：

S2、绘制开关变换器随某个系统参数变化的分岔图及最大Lyapunov指数图，并依据分岔图及最大Lyapunov指数图确定开关变换器处于混沌态的参数区域；

S3、对开关变换器分别处于周期-1稳态、周期-2态、……、周期态及混沌态时的状态变量进行FFT分析，得到开关变换器处于不同非线性动力学状态下状态变量含有谐波成分的特点；

S4、根据S3分析所得不同状态下开关变换器状态变量的谐波成分特点，依据混沌系统的周期遍历特性，对混沌吸引子中的不稳定周期轨道所含有的主要谐波成分进行假设，依据谐波平衡原理得到不稳定周期轨道的解析表达式，并基于扰动法对解析表达式进行修正；包括以下步骤：

S41、假设混沌吸引子中不稳定周期轨道(目标轨道)含有的主要谐波成分x_i(i＝0,1,2,……)；

S42、将假设量xi代入式(8)得到非线性项f的主部f_im(与x_i具有相同的谐波成分)和余项分量R_i+1的(与xi具有不同的谐波成分，根据运算过程产生)的表达式；

S43、将假设量x_i代入式(9)中得到：

G₀(p)x_i+G₁(p)(f_im+R_i)＝U_i (10)

此即为关于当前假设量x_i的微分算子向量矩阵；

S44、求解式(10)得到x_i解析表达式；

S45、根据S42中获得的余项分量R_i+1所含有谐波成分的形式，对x_i+1的主要谐波成分进行设定；

S46、重复S41到S44过程，直至x_i+1远远小于x_i(小1个或以上数量级)。

S5、合并S4过程中获得的x_i，得到混沌吸引子中的不稳定周期解析表达式。

如图2所示，为本实施例单环峰值电流模式控制DC-DC Boost变换器电路，图中采用Boost变换器输入电压E＝12V，开关频率fs＝25kHz，电感L＝470μH，滤波电容C＝10μF，负载R＝20Ω。按照上述提供的方法具体实施步骤如下：

S1、建立工作在电感连续模式下开关变换器的系统模型；

S11、根据电路原理，列写电感连续模式开关变换器的分段线性微分方程：

(1)状态1，开关管导通，系统状态方程：

(2)状态2，开关管关断，系统状态方程：

令x＝[I_L V_C]^T，两个开关模态的切换条件具有如下形式：

h(t)＝I_ref-K_ILI_L(t) (12)

S12～S15如前所述。

S2、根据系统分段线性模型绘制开关变换器随参考电流I_ref变化的分岔图(如图3a所示)及最大Lyapunov指数图(如图3b所示)，并依据分岔图及最大Lyapunov指数图确定开关变换器处于混沌态的参数区域，即I_ref>4A。

S3、对开关变换器分别处于周期-1稳态、周期-2态、……、周期-n态及混沌态时的状态变量进行FFT分析，得到开关变换器处于不同非线性动力学状态下状态变量含有谐波成分，如图4a至4d所示，可见在不同非线性动力学状态下，开关变换器的谐波特性特点：当开关变换器处于周期-1稳态时，其状态变量主要为直流量，此外还有与开关频率相关的各次谐波；当开关变换器发生n次倍周期分岔，在直流量及各次谐波之间充斥着新的谐波成分，这些谐波成分的频率为初始各次谐波频率的i/2n(i＝1,…,n)；随着倍周期分岔次数的增加，在各次谐波之间的各种谐波成分越来越多，当开关变换器处于混沌态时，各种谐波成分“充满”了各次谐波之间的频带，这符合混沌系统具有连续功率谱函数的特点。混沌吸引子中的不稳定的周期轨道应该与系统处于稳定的周期轨道具有相同的频率的谐波成分，但是具体到各次谐波成分的幅值，需要通过后续步骤中确定。

S4、根据S3分析所得不同状态下开关变换器状态变量的谐波成分特点，对混沌吸引子中的不稳定周期-1轨道所含有的主要谐波成分进行假设，设DC-DC变换器状态变量中的主要成分是直流量，即x₀＝a₀₀＝[I₀₀,U₀₀]^T，将其代入式(7)得：

f₀＝δ₀x₀＝a₀₀d₀+a₀₀(b₁₀e^jτ+c.c)＝f_0m+R₁ (13)

其中：

将x₀与f_0m代入(8)，可得：

G₀(0)a₀₀+G₁(0)a₀₀d₀＝U₀ (15)

根据该式假设的不稳定周期轨道主要谐波成分x₀的解析表达式。然后根据余项分量R₁的(与x_i具有不同的谐波成分，根据运算过程产生)的表达式，假设x₁＝a₁₁e^jτ+c.c，代入式(7)得：

将x₁、f_1m与R₁代入式(8)中得到：

G₀(p)(a₁₁e^jτ+c.c)+G₁(p)[(d₀a₁₁e^jτ+a₀₀b₁₁e^jτ+c.c)+a₀₀(b₁₀e^jτ+c.c)]＝0 (17)

根据该式假设的不稳定周期轨道主要谐波成分x₁的解析表达式，依此类推，直至需要修正的部分x_i+1远远小于前次修正x_i(小1个或以上数量级)。

S5、合并S4、S5过程中获得的各次谐波的主要成分x₀及各次修正部分x_i，获得混沌吸引子中的不稳定周期解析表达式，将参数代入，可得不稳定周期-1轨道的解析表达式为：

利用文献2所提的参数两步扰动法对实例中开关变换器进行混沌控制，控制效果如图5所示，上下分别为电感电流和电容电压的波形。将本发明提出的不稳定周期-1轨道寻轨方法与参考文献2所用方法在稳态时状态变量波形比较，如图6a、6b仿真结果对比验证图，图中实线为依据参考文献2方法所建立模型的时域仿真结果，点划线为本发明提出的方法的数值仿真结果，图6a为电感电流波形，图6b为电容电压波形。

从图中可见两条曲线拟合得很好，说明本发明所提出的方法是有效的。由解析解公式可以看出，采用本方法求得处于混沌态开关变换器的不稳定周期轨道解析解，且通过该表达式可以清楚地看出不稳定周期轨道中所包含的谐波成分，可以为基于陷波滤波器/延迟反馈的混沌控制器提供设计依据。

以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种寻找混沌态开关变换器不稳定周期轨道的方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、建立工作在电感连续模式下开关变换器的系统模型，包括以下步骤：

S11、根据电路原理，列写电感连续模式开关变换器的分段线性微分方程：

(1)状态1，开关管导通，系统状态方程：

(2)状态2，开关管关断，系统状态方程：

上式中x_i(t)＝[I_L(t)V_C(t)]^T表示系统的状态变量，包括第i个电感上的电流I_Li、第i个电容上的电压V_Ci，两个开关模态的切换条件具有如下形式：

h(x,t)＝K₀+K₁x_i(t) (2)

S12、定义第n个周期的开关函数δ(n)为：

其中，开关变换器在开环工作时占空比d(n)受状态变量影响，定义微分算子p＝d/dt，代替微分方程组(1a)(1b)中的d/dt，令非线性部分为f＝δ(A₁x+B₁)，τ＝ωt，其中ω＝2π/T；

S13、将所述开关变换器由如下向量微分方程描述为如下向量微分方程形式：

G₀(p)x+G₁(p)f＝U₀ (4)

其中矩阵G₀(p)、G₁(p)包含微分算子p；

S14、根据扰动法的原理，将状态变量x以及开关函数δ均展开为主要部分与修正量之和的形式：

S15、将S14式(5)代入f＝δ(A₁x+B₁)，合并具有相同εⁱ阶次的项，得到非线性项f的展开式：

f＝f₀+εf₁+ε²f₂+... (6)

其中：

式中用f_im表示所述状态变量x第i阶修正量非线性项的主部，用Rⁱ表示所述状态变量x第i阶修正量非线性项的余项；

S16、将状态向量x以及包含开关函数的非线性函数f的展开式(6)(7)代入系统模型方程(4)：

式(8)即为开关变换器的向量微分形式描述模型，同时将式(8)根据小量标记ε的阶次i分别编组：

S2、绘制开关变换器随某个系统参数变化的分岔图及最大Lyapunov指数图，并依据分岔图及最大Lyapunov指数图确定开关变换器处于混沌态的参数区域；

S3、对开关变换器分别处于周期-1稳态、周期-2态、……、周期-n态及混沌态时的状态变量进行FFT分析，得到开关变换器处于不同非线性动力学状态下状态变量含有谐波成分的特点；

S4、根据S3分析所得不同状态下开关变换器状态变量的谐波成分特点，依据混沌系统的周期遍历特性，对混沌吸引子中的不稳定周期轨道所含有的主要谐波成分x_i进行假设，依据谐波平衡原理得到不稳定周期轨道的解析表达式，并基于扰动法对解析表达式进行修正，包括以下步骤：

S41、假设混沌吸引子中不稳定周期轨道含有的主要谐波成分x_i，i＝0,1,2,……；

S42、将假设量x_i代入式(8)得到非线性项f的主部f_im和余项分量R_i+1的表达式；其中，该主部f_im与x_i具有相同的谐波成分，该余项分量R_i+1与x_i具有不同的谐波成分，根据运算过程产生；

S43、将假设量x_i代入式(9)中得到：

G₀(p)x_i+G₁(p)(f_im+R_i)＝U_i (10)

此即为关于当前假设量x_i的微分算子向量矩阵；

S44、求解式(10)得到x_i解析表达式；

S45、根据S42中获得的余项分量R_i+1所含有谐波成分的形式，对x_i+1的主要谐波成分进行设定；

S46、重复S41到S44过程，直至x_i+1小于x_i的1个或以上数量级；

S5、合并S4过程中获得的x_i，得到混沌吸引子中的不稳定周期解析表达式。