CN105787151B - 一种2.5维陶瓷基复合材料结构可靠性稳健优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种2.5维陶瓷基复合材料结构可靠性稳健优化设计方法，该方法将可靠度计算方法与灵敏度计算方法融入一般的复合材料设计流程中，考虑设计变量的分散性，主要步骤包括：(1)稳健设计模型变量参数选取；(2)目标函数与约束条件转化；(3)优化迭代；(4)计算结果验证与分析。本发明给2.5维陶瓷基复合材料结构优化设计提供了指导方法。使用本发明来对2.5维陶瓷基复合材料结构设计比传统陶瓷基复合材料优化设计有更高的可靠性，特别适用于力学性能分散性较高的陶瓷基复合材料；可直接计算得到设计变量均值、误差对结构可靠度的影响，提供各参数影响的定量指标；具有计算效率高、误差小的特点。
Description
技术领域
本发明涉及一种2.5维陶瓷基复合材料结构可靠性稳健优化设计方法，主要应用于考虑可靠性要求与稳健性要求的2.5维陶瓷基复合材料结构优化设计。
背景技术
在传统结构优化设计过程中，我们需要定义一个或多个目标函数以及一定数目的约束条件，而优化的目标是控制目标函数中各变量的数值来使目标函数值达到最小。优化设计具有很高的工程使用价值，定义不同的目标函数可以让机械结构的优化结果有不同的优化结果。优化目标是多种多样的，但结构优化的实质是寻找一种恰当的结构形式，满足安全性与经济性。
采用传统优化设计模型进行复合材料结构优化设计时，往往要引入安全系数。但是安全系数的选择具有一定的盲目性，如果安全系数选取过大，会使得结构过于笨重，经济性指标差，但是如果安全系数选择过小，会使得结构的可靠性降低，并且使用安全系数并不能得到结构的可靠度指标。
在优化的约束条件或目标函数中引入有关可靠度的要求，则称为稳健可靠设计方法，这样可克服传统优化设计模型不能考虑设计变量分散性的缺点，它可以在设计阶段就考虑设计变量的不确定性对结构的影响。可靠度灵敏度分析方法是一种有效的可靠度分析方法，它可以反映出设计变量的均值与误差对结构可靠度的影响，如果将其作为可靠性分析的一部分加入 到结构优化分析模型中，不仅可以设计出高可靠度的结构，还可以使得设计变量对结构可靠度的影响有一个定量的指标，可以很好的解决可靠度对设计变量敏感以及设计变量分布类型难以确定这两个缺点，同时具有计算效率相对较高的优点。因此，这种设计方法具有广阔的应用前景。
2.5维陶瓷基复合材料具有较高的比强度、比刚度，使用工作温度范围更广，比传统各向同性材料有很大优势。然而，2.5维陶瓷基复合材料力学性能的分散性比传统材料的力学性能分散性更大，对这种材料结构设计进行设计时，必须考虑结构的可靠度。复合材料结构设计方法的一般设计流程为：材料力学性能测试、结构有限元模型建立、设计变量变化范围的确定、选择合适的目标函数和约束条件、优化设计等。一般的复合材料结构优化设计流程忽略了设计参数分散性对结构可靠度的影响。
本发明将可靠度灵敏度计算方法融入一般的2.5维陶瓷基复合材料设计流程中，考虑设计变量的分散性，建立起适用于2.5维陶瓷基复合材料结构的可靠度灵敏度稳健设计模型，发展了2.5维陶瓷基复合材料结构稳健可靠性设计方法。
发明内容
本发明的目的是提出一种2.5维陶瓷基复合材料结构可靠性稳健优化设计方法，以提高该材料结构的安全性、可靠性和经济性，给2.5维陶瓷基复合材料结构优化设计提供指导方法。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种2.5维陶瓷基复合材料结构可靠性稳健优化设计方法，包括以下步 骤：
步骤1，稳健设计模型变量参数选取：首先对2.5维陶瓷基复合材料的力学性能进行测试或通过计算模型模拟计算，得到进行分析所需要的力学性能数据；然后确定2.5维陶瓷基复合材料的结构尺寸、载荷参数及其分散性，用以有限元计算；最后建立2.5维陶瓷基复合材料结构有限元模型，根据2.5维陶瓷基复合材料主方向对有限元模型中单元的坐标系进行调整，代入力学性能参数，进行有限元计算，用以输出模型的体积、质量、应力和变形，这些计算结果作为稳健设计提供目标函数和约束条件；
步骤2，目标函数与约束条件转化：建立传统优化模型，用以建立稳健设计模型；改写目标函数；改写约束条件；
步骤3，迭代优化；
步骤4，计算结果验证与分析。
步骤1中，所述力学性能测试包括弹性性能、强度、热膨胀系数。
步骤2中，改写目标函数的方法为：保留原目标函数，添加结构灵敏度因子到目标函数中。
步骤2中，改写约束条件为删除原约束条件，添加约束条件为结构可靠度大于许用可靠度。
步骤3中所述的优化迭代步骤包括：
选用NSGAII优化方法，用以求解多目标优化问题；
选用Edgeworth(EDW)级数计算可靠度计算，用以加速优化求解过程；
选用响应面法，用以加速优化求解过程。
步骤4中，使用Monte Carlo法验证响应面与可靠度计算结果，用以验证计算结果的精度。
本发明的有益效果是：
本发明提出的方法，将可靠度灵敏度计算模型与优化设计方法相结合，是一种基于可靠度灵敏度的2.5维陶瓷基复合材料稳健设计模型，该模型属于结构优化模型的一种，具有如下有益效果：
(1)为2.5维陶瓷基复合材料结构尺寸优化设计提供指导；
(2)比传统复合材料优化设计有更高的可靠性，特别适用于力学性能分散性较高的2.5维陶瓷基复合材料；
(3)可直接计算得到设计变量均值、误差对结构可靠度的影响，提供各参数影响的定量指标；
(4)计算效率高、误差小。
附图说明
图1为导向叶片结构；
图2为导向叶片结构有限元模型；
图3为导向叶片单元坐标系；
图4为涡轮导向叶片Pareto解集；
图5为Thick＝1.70mm时极限状态方程的概率密度分布；
图6为Thick＝1.70mm时极限状态方程的概率累积分布；
图7为Thick＝1.70mm时的灵敏度计算结果；
图8为Thick＝1.70mm时的各灵敏度所占比重；
图9为叶片厚度与可靠度的关系；
图10为叶片厚度与应力的关系；
图11为叶片厚度与质量的关系；
图12为叶片厚度与可靠度灵敏度因子的关系。
具体实施方式
本发明对2.5维陶瓷基复合材料结构进行稳健设计时，主要包括以下几个步骤：稳健设计模型变量参数选取、目标函数与约束条件转化、优化迭代、计算结果验证与分析几部分。
步骤1：稳健设计模型变量参数选取。
在稳健设计模型变量参数选取部分，首先对2.5维陶瓷基复合材料的力学性能进行测试，得到进行分析所需要的力学性能数据。对于可以承受高温工作条件的陶瓷基复合材料而言，力学性能测试包括弹性性能、强度、热膨胀系数等材料参数。由于复合材料力学性能存在一定的分散性，在力学性能测试阶段同时对其力学性能的分散性进行测试，当试验条件受限制时，也可以采用力学性能计算模型对其分散性进行模拟。然后将力学性能参数带入复合材料结构的有限元模型，同时根据编织结构的材料主方向对有限元模型中单元的坐标系进行调整，同时根据生产工艺、使用条件等条件，给出复合材料结构尺寸、载荷等参数及其分散性。最后对复合材料结构进行有限元分析，并进行求解，输出模型的体积、质量、应力和变形等结果，这些计算结果主要为稳健设计提供目标函数和约束条件。
步骤2：目标函数与约束条件转化。
建立传统的优化模型。改写目标函数，添加结构灵敏度因子到目标函数中；改写约束条件为结构可靠度大于许用可靠度，建立稳健设计模型。 稳健设计模型建立部分是稳健设计的基础，经过稳健设计模型建立可以建立复合材料结构的材料参数、载荷条件和结构尺寸等参数与目标函数、约束条件之间的关系。对复合材料结构进行设计时，目标函数为一般结构的质量最轻、体积最小和造价最低等，约束条件可为强度满足许用强度、结构的刚度满足设计刚度等。
步骤3：优化迭代。
在稳健设计方案确定后，需要选择合适的优化算法。将灵敏度因子作为目标函数加入稳健设计模型这种方法，这样做后稳健优化模型一定是多目标优化问题，选用NSGAII多目标优化方法。稳健设计每一步会进行2n+1次有限元计算(n为含有随机性变量的个数)，采用Edgeworth(EDW)级数计算可靠性，精度较好且速度较快，但是如果有限元模型计算量较大，当采用多目标优化方法进行计算时，结构整体计算速度依然很慢。在实际应用中，可根据需要选择响应面模型进行加速。在优化迭代过程结束后，根据生成的Pareto解集，进行多目标决策，同时选择合适的结果。
步骤4：计算结果验证与分析。
使用EDW级数计算可靠度，计算效率高，精度可以满足工程需要，特别当可靠度要求大于3σ水平时，其可靠度计算结果具有很高的精度。但是为了保证计算结果可靠，最后需要对选择的结果进行Monte Carlo验证。尤其当采用近似模型加速后，由于近似模型与有限元模型之间的差异，则必须进行Monte Carlo验证。验证后对设计变量的影响进行定量分析与评估。
下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。
实施例
为了更加便于理解本发明的内容，首先对发明步骤中所涉及的公式与计算方法与进行介绍，然后以2.5维陶瓷基复合材料涡轮导向叶片静强度设计方法为例，结合附图对本发明步骤做进一步的说明。
(1)可靠度计算方法
将极限状态方程g(X)在名义点Xd的一阶Taylor展开为
其中，X为设计变量向量；XT表示设计变量向量转置；Xp表示随机变量X中具有随机性的部分变量；Δ为高阶无穷小量；gd(X)表示设计点的极限状态方程值；为极限状态方程在设计点的偏差。
极限状态方程的均值、二阶矩、三阶矩和四阶矩的计算表达式为
μg＝gd(X)
其中，μg、Var(X)、C3(X)、C4(X)为设计参数的均值、二阶矩、三阶矩和四阶矩向量；(□)[k]是Kronecker幂,符号表示Kronecker积，
EDW级数能以较高的精度近似随机变量的真实分布，使用EDW级数的前四项表示失效概率为：
其中，β＝μg/θg，为标准正态分布的概率累计密度，为的第k阶导数，其计算公式为
其中，为标准正态分布的概率累积密度；Hk-1(□)为Hermite多项式，其递推公式为：
将失效概率方程(3)改写为可靠度表达式，得到
R(β)＝P[g(X)>0]＝1-F(-β) (6)
其中，R表示可靠度，表示该事件的概率。
(2)可靠度灵敏度计算方法
可靠度灵敏度定义为可靠度R(β)对设计参数X＝(x1,x2,...xn)的偏导数，由于设计参数X＝(x1,x2,...xn)的随机性，可靠度灵敏度包括可靠度R(β)对设计参数名义点Xd的偏导数和设计变量偏差Xp的偏导数两部分。结构可靠度对设计变量均值Xd和偏差Xp的灵敏度为：
其中，式中各项表达数如下：
下面是本实施例的具体步骤：
步骤1：稳健设计模型变量参数选取
计算用2.5维陶瓷基复合材料涡轮导向叶片模型的横截面参考某现役发动机的导向叶片，外形为直纹叶片。涡轮导向叶片的结构如图1、2、3所示，沿着涡轮导向叶片高度方向，叶片的截面相同，没有扭转和收缩，叶片高度为80mm，弦长90mm，前后缘的半径分别为4mm和0.68mm，除叶片后缘外其它部分的厚度相同。涡轮导向叶片位于燃烧室出口，处于高温、高压环境，涡轮导向叶片承受的载荷主要包括温度载荷与气体压力两种。
稳健模型的建立需要考虑影响结构可靠性的各因素，因而对复合材料 进行力学性能测试，得到各参数的分布情况。需要测试的力学性能包括弹性性能、剪切性能、泊松比、材料强度、热膨胀系数以及热传导系数。
根据复合材料力学性能测试结果、涡轮导向叶片的结构参数和使用环境，取面内拉伸模量E1和E3，复合材料强度R，叶片厚度Thick和叶片内外壁面承受压力载荷P1和P2为设计参数。含随机变量的涡轮导向叶片设计参数及其分散性如表1所示。
表1 涡轮导向叶片设计参数及其分散性
步骤2：目标函数与约束条件转化。
对涡轮导向叶片进行优化设计时，主要保证导向叶片结构具有一定强度的前提下，具有一定的经济性指标，为了保证涡轮导向叶片具有一定的 强度储备。传统优化设计模型表示为
min E(mass)＝f(Thick,E1,E3,R,P1,P2)
(14)
s.t. R-S≥0
其中，Thick为涡轮导向叶片的厚度，是设计变量，E(mass)为涡轮导向叶片名义设计点的质量，其变化范围为[1.3,2.4]mm，E1、E3分别为编织结构经纱方向和纬纱方向的弹性性能、R为复合材料的强度、P1、P2为涡轮导向叶片承受的气体力，S为涡轮导向叶片的最大应力。优化模型中，优化设计的目标条件是涡轮导向叶片的质量最小，约束条件是最大许用应力大于叶片的最大应力。
将传统优化模型的目标函数转化为求名义设计点的计算结果，将传统优化模型的约束条件转化为可靠度要求，同时，为了考虑设计变量均值、方差对结构可靠度的影响，将结构的灵敏度因子作为附加目标函数加入稳健设计模型。
涡轮导向叶片的稳健设计模型表示为：
其中，E(mass)为涡轮导向叶片名义设计点的质量；Sens为涡轮导向叶片名义设计点的可靠度灵敏度因子；RS为R强度下对应的可靠度；R0为叶片结构的许用可靠度；SE为设计变量均值对应的可靠度灵敏度因子，SVar为设计变量误差对应的可靠度灵敏度因子，计算式如下：
为第i个设计变量均值对应的可靠度灵敏度，为第i个设计变量方差、协方差对应的可靠度灵敏度，计算公式参考(7)。
本实施例中许用可靠度定为0.999。涡轮导向叶片稳健设计模型的目标函数为涡轮导向叶片名义设计点的质量和可靠度灵敏度因子最小，约束条件为结构的可靠度大于许用可靠度。
步骤3：迭代优化。
对涡轮导向叶片的稳健设计模型采用NSGAII方法进行计算，计算得到的Pareto解集如图4所示。从Pareto解集可以看出，在设计点1与设计点2之间，结构的体积略微增加，同时，叶片结构的可靠度灵敏度因子明显下降，在设计点2以后随着结构质量的增加，结构的可靠度灵敏度因子变化很小。这表明，在设计点1与设计点2之间，叶片结构的可靠度对叶片设计变量的均值、方差的变化比较敏感，当设计变量的均值、方差存在变动时，叶片结构的可靠度会产生较大的变化，在设计点3以后，叶片结构的可靠度对叶片设计变量的均值、方差的变化相对不再敏感，当设计变量的均值、方差存在微小变动时，叶片结构的可靠度变化很小。
在叶片结构满足可靠度要求的前提下，设计点1为质量最小的点，此时叶片对应的厚度为1.70mm，叶片结构的可靠度为0.99906。以叶片的厚 度为1.70mm为例，表2列出了设计变量的前四阶中心距。
表2 Thick＝1.70mm时设计变量前四阶中心矩
当涡轮导向叶片厚度为1.70mm时，涡轮导向叶片的最大应力为80.27MPa，此时，涡轮导向叶片的强度约束条件对应的极限状态方程为g＝R-S＝100.03。采用Bucher试验设计得到的设计点及极限状态方程计算结果如表3所示。
表3 Thick＝1.70mm时Bucher试验设计及计算结果
将表3中的数据采用二次响应面进行拟合，可以得到极限状态方程g的二次响应面近似表达式：
其中，e(□)表示科学计数法。
将式(17)对各个设计变量在设计点求偏导数，可得
将设计变量的前四阶矩向量和设计点的偏导数代入可靠度灵敏度计算公式，计算得到极限状态方程g的一阶矩为1e(2)，二阶矩为1.086e(3)，三阶矩为-2.007e(3)，四阶矩为1.423e(6)，使用式(6)得到可靠度R＝0.99906。
叶片厚度为1.70mm时，设计变量均值对应的可靠度灵敏度计算结果如表4所示。设计变量误差对应的可靠度灵敏度如表5所示。根据表4和表5可以计算叶片厚度为1.70mm时对应的可靠度灵敏度因子。设计变量均值对应的可靠度灵敏度因子为0.1049，设计变量误差对应的可靠度灵敏度因子 为3.4312，叶片厚度为1.70mm时对应的可靠度灵敏度因子为3.5361。
表4 Thick＝1.70mm时设计变量均值对应的可靠度灵敏度
表5 Thick＝1.70mm时设计变量误差对应的可靠度灵敏度
步骤4：计算结果验证与分析。
使用Monte Carlo模拟作为参考方法来进行验证，可得到极限状态方程的概率密度分布与概率累积分布如图5、6所示，极限状态方程的平均值为98.70，均方差为33.24，最小值为-40.47。Monte Carlo模拟结果表明，叶片结构存在一定的失效概率，叶片结构的失效概率为0.0076，叶片结构的可靠度RMCS1为0.9924。本发明中的方法与Monte Carlo方法的计算结果之间存在一定的误差，两者之间的相对误差为0.68％。
极限状态方程g的灵敏度计算结果如图7、8所示。图7为各设计变量相对于极限状态方程的灵敏度，灵敏度计算结果表明叶片外壁面压力P1、内壁面压力P2、材料强度R和叶片结构参数Thick对极限状态方程的影响比较显著，拉伸模量E1、E3对极限状态方程的影响很小；另外，外壁面压力P1对应的灵敏度计算结果为负值，表明外壁面压力P1增加对极限状态方程g会带来不利影响，这个计算结果与叶片厚度为1.62mm的计算结果类似。图8为各个灵敏度数值所占比重，从图中可以看出，内壁面压力P2所占的比重最大，达到41.98％，其次外壁面压力P1所占比重达到20.82％，材料强度R所占比重达到22.58％，叶片结构参数Thick所占的比重为14.62％，这个计算结果与叶片厚度为1.62mm的计算结果相比，随着叶片厚度增加，外壁面压力P1、内壁面压力P2、叶片结构参数Thick对极限状态方程的影响相对减小，材料强度R所占比重相对增加。
涡轮导向叶片的设计变量为叶片厚度，改变叶片厚度，会对叶片的可靠度、可靠度灵敏度、最大应力和质量带来影响。在叶片结构满足可靠度要求的前提下，不同叶片厚度对应的可靠度、可靠度灵敏度、应力水平和质量如图9、10、11、12所示。
图9为叶片厚度与可靠度的关系，当叶片厚度为1.70mm时，叶片结构的可靠度为0.99906，随着叶片厚度的增加，叶片结构的可靠度不断趋近于1，此外，当叶片的厚度在1.70～1.85mm变化时，叶片结构的可靠度变化较大，当叶片的厚度大于1.85mm时，叶片结构的可靠度变化趋于平缓。图10为叶片厚度与应力的关系，当叶片厚度为1.70mm时，叶片结构的最大 应力为80.27MPa，随着叶片厚度的增加，叶片结构的最大应力呈非线性减小，当叶片厚度增加到2.4mm时，叶片结构的最大应力下降到39.79MPa。图11为叶片厚度与质量的关系，当叶片厚度为1.70mm时，叶片结构的质量为35.8g，随着叶片厚度的增加，叶片结构的质量近似于线性增加，当叶片厚度增加到2.4mm时，叶片结构的质量增加到47.3g。图12为叶片厚度与灵敏度因子的关系，编号1、2、3分别为SE、Svar、Sens与厚度的关系曲线。当叶片厚度为1.70mm时，叶片结构的灵敏度因子为3.62，随着叶片厚度的增加，叶片结构的灵敏度因子不断趋近于0，此外，当叶片的厚度在1.70～1.85mm变化时，叶片结构的灵敏度因子变化较大，当叶片的厚度大于1.85mm时，叶片结构的灵敏度因子变化趋于平缓。对比图9和12还可以看出，叶片结构的可靠度和灵敏度因子之间呈现负相关的特点，即随着叶片可靠度的增加，叶片结构的灵敏度因子会随之下降。
虽然本发明已以较佳实施例公开如上，但他们并不是用来限定本发明的，任何熟习此技艺者，在不脱离本发明之精神和范围内，自当可做各种变化或润饰，因此本发明的保护范围应当已本申请的专利保护范围所界定的为准。
Claims (1)
1.一种2.5维陶瓷基复合材料结构可靠性稳健优化设计方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1，稳健设计模型变量参数选取：首先对2.5维陶瓷基复合材料的力学性能进行测试或通过计算模型模拟计算，得到进行分析所需要的力学性能数据；然后确定2.5维陶瓷基复合材料的结构尺寸、载荷参数及其分散性，用以有限元计算；最后建立2.5维陶瓷基复合材料结构有限元模型，根据2.5维陶瓷基复合材料主方向对有限元模型中单元的坐标系进行调整，代入力学性能参数，进行有限元计算，用以输出模型的体积、质量、应力和变形，这些计算结果作为稳健设计提供目标函数和约束条件；所述力学性能测试包括弹性性能、强度、热膨胀系数；
步骤2，目标函数与约束条件转化：建立传统优化模型，用以建立稳健设计模型；改写目标函数；改写约束条件；改写约束条件为删除原约束条件，添加约束条件为结构可靠度大于许用可靠度；改写目标函数的方法为：保留原目标函数，添加结构灵敏度因子到目标函数中；SE为设计变量均值对应的可靠度灵敏度因子，SVar为设计变量误差对应的可靠度灵敏度因子，计算式如下：
为第i个设计变量均值对应的可靠度灵敏度，为第i个设计变量方差对应的可靠度灵敏度；可靠度灵敏度定义为可靠度R(β)对设计变量X＝(x1,x2,...xn)的偏导数，由于设计变量X＝(x1,x2,...xn)的随机性，可靠度灵敏度包括可靠度R(β)对设计变量名义点Xd的偏导数和设计变量偏差Xp的偏导数两部分，结构可靠度对设计变量均值Xd和偏差Xp的灵敏度为：
其中，式中各项表达数如下：
步骤3，迭代优化；
优化迭代步骤包括：
选用NSGAII优化方法，用以求解多目标优化问题；
选用Edgeworth级数计算可靠度，用以加速优化求解过程；
选用响应面法，用以加速优化求解过程；
其中，可靠度的计算方法为：
将极限状态方程g(X)在名义点Xd的一阶Taylor展开为
其中，X为设计变量向量；XT表示设计变量向量转置；Xp表示设计变量偏差；△为高阶无穷小量；gd(X)表示设计点的极限状态方程值；为极限状态方程在设计点的偏差；
极限状态方程的均值、二阶矩、三阶矩和四阶矩的计算表达式为
μg＝gd(X)
其中，μg、Var(X)、C3(X)、C4(X)为设计参数的均值、二阶矩、三阶矩和四阶矩向量；(·)[k]是Kronecker幂,符号表示Kronecker积，
EDW级数能以较高的精度近似随机变量的真实分布，使用EDW级数的前四项表示失效概率为：
其中，β＝μg/θg，为标准正态分布函数，为的第k阶导数，其计算公式为
其中，为标准正态分布的概率累积密度；Hk-1(·)为Hermite多项式，其递推公式为：
将失效概率方程改写为可靠度表达式，得到
R(β)＝P[g(X)>0]＝1-F(-β)
其中，R表示可靠度，表示事件的概率；
步骤4，计算结果验证与分析，使用Monte Carlo法验证响应面与可靠度计算结果，用以验证计算结果的精度。
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