CN105717791A - 一种自适应h无穷控制的悬臂梁振动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的是一种自适应H无穷控制的悬臂梁振动控制方法，应用于悬臂梁振动控制中；其方法为：（1）建立悬臂梁的模型；2）建立自适应控制器，将自适应控制器控制输出作为悬臂梁系统的控制输入；（3）基于Lyapunov稳定性理论，建立自适应律，确保系统稳定性;本发明控制器由两部分组成，一部分采用自适应控制器逼近悬臂梁系统的理想控制输入，另一部分采用H无穷鲁棒控制器提高系统对不确定项和外界干扰的鲁棒性。本发明可以针对外界干扰不确定实时调整控制器的参数，精确跟踪给定的参考轨迹，使跟踪误差迅速收敛为零；基于Riccati-like方程设计的控制器能有效消除系统非线性对轨迹跟踪的影响，能够对悬臂梁系统实现满意的跟踪性能，同时提高了系统的鲁棒性和可靠性。

Description

一种自适应H无穷控制的悬臂梁振动控制方法

技术领域

本发明涉及的是一种悬臂梁的控制方法，特别是涉及基于自适应H_∞控制的悬臂梁振动控制方法。

背景技术

悬臂梁是指梁的一端为不产生轴向、垂直位移和转动的固定支座，另一端为自由端(可以产生平行于轴向和垂直于轴向的力)。在工程力学受力分析中，比较典型的简化模型。在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。

随着科学技术的发展日新月异，航空航天技术的飞速发展，空间活动规模的日益扩大，对航空航天技术和空间结构的要求也越来越严格，大量的航天空间结构，如大型模块化的宇宙空间站、太阳能帆板、卫星天线、高精度光学系统及其支承体结构、空间机械臂等都有向柔性化发展的趋势。柔性构件的使用不仅增加了航天器设计和制造的灵活性，同时也降低了发射成本，因此，柔性构件的广泛采用是一个必然的趋势。但柔性构件也存在不足之处，那就是其在运动或定位时容易产生弹性振动，在运动结束时也会产生残余振动，所引起的振动对运动平稳性和定位精度有着很大的影响。例如：空间机器人及航天器挠性附件如太阳帆板等在扰动情况下，其大幅度的自由振动要延续很长时间，这将影响稳定性和指向控制精度，尤其是当需要精确地控制其位置和指向时。国际空间探索中发生过类似的事故，如美国发射的陆地卫星观测仪的旋转部分，由于受到太阳能帆板驱动系统的干扰而振动，影响了观测仪的稳定工作，大大降低了其传送图像的质量，又如美国1958年发射的“探索者l号”通讯卫星，由于其四根鞭状天线的振动耗散了很多能量，在正常工作了一段时间以后，出现了意想不到的卫星翻滚现象，最终导致任务失败。就国内而言，随着我国航空航天事业的迅速发展，振动问题也日益突出，如东方红三号通讯卫星就因为太阳能帆板的振动而产生过严重的问题。

传统抑制振动的方法是通过被动的隔振，减振的方法来起到减振的目的，而这些方法比较被动、死板、适应性差，不能对多变的外界振动进行实时的控制。为了克服上述困难，振动主动控制被提出来，振动主动控制能够实时感受到外界的振动情况，做出适当的反应，输出控制信号，来抑制振动。结构系统的抗振动性能对于系统的工作可靠性和精度是至关熏要的。大量的工程结构在实际运行中普遍承受振动环境的激励，若不采取措施对这些结构的振动予以抑制，就会影响结构上各部件的工作性能和寿命，严重时会使其功能失效。因此，为了提高结构的工作性能和精度，必须对结构进行实时振动控制。

国际上的文章有将各种先进控制方法应用到悬臂梁的控制当中，典型的有自适应控制和模糊控制方法。这些实现了对悬臂梁的轨迹控制，但自适应控制对外界扰动的鲁棒性很低，易使系统变得不稳定。

由此可见，悬臂梁振动控制显然仍存在有不便与缺陷，而亟待加以进一步改进。基于从事多年丰富的实务经验及专业知识，研究出一种基于自适应H_∞控制的悬臂梁振动控制方法，来解决现有技术上的步骤。

发明内容：

为鉴于上述现有的悬臂梁在控制使用上存在的缺陷，本发明目的在于提供了一种基于自适应H无穷控制的悬臂梁振动控制方法，将自适应H_∞控制方法应用到悬臂梁系统中，能够实现对系统的有效控制，以避免控制系统对悬臂梁的模型的依赖性，补偿制造误差和环境干扰，确保整个控制系统的全局渐进稳定性，提高了系统的可靠性和对参数变化的鲁棒性。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种自适应H_∞控制的悬臂梁振动控制方法，包括以下步骤：

1)建立动态的悬臂梁数学模型；

2)建立自适应H_∞控制器，将自适应H_∞控制器控制输出作为悬臂梁系统的控制输入；

3)基于Lyapunov稳定性理论，设计自适应律，确保系统稳定性；

4)将悬臂梁数学模型的输出实时反馈到自适应H_∞系统，确保全局稳定性。

本发明进一步设置为，所述步骤1)中动态的悬臂梁数学模型为：

$\stackrel{\·\·}{q}+C\stackrel{\·}{q}+Kq=u+d---\left(1\right)$

式中：C,K∈R^i*i为系统参数，其中C为阻尼项，K_b为频率项，d为扰动项，u为输入向量。

对(1)式进行改写得：

$\stackrel{\·\·}{q}=F\left(x\right)+u+d---\left(2\right)$

其中

本发明进一步设置为，所述步骤2)设计自适应H_∞控制器，将其控制输出作为悬臂梁系统的控制输入，具体包括以下步骤：

定义系统跟踪误差为：

e₁＝q-q_d(4)

式中q表示悬臂梁系统的实际振动轨迹，q_d为悬臂梁系统的参考轨迹。我们令可以得到系统跟踪误差动态方程为：

$\stackrel{\·}{e}=A_{0}e+B\[F\left(x\right)+u+d-{\stackrel{\·\·}{q}}_d\]---\left(5\right)$

其中选取一个矩阵K＝[k₁k₂]，它可以使矩阵为Hurwitz矩阵，则可以将跟踪误差动态方程(5)改写为：

$\stackrel{\·}{e}=Ae+B\[Ke+F\left(x\right)+u+d-{\stackrel{\·\·}{q}}_d\]---\left(6\right)$

由于悬臂梁系统的不确定性，接下来使用自适应H_∞方法对F(x)进行逼近和参数估计，来使系统的跟踪误差最小。下面给出自适应H_∞控制律。

定理：如果悬臂梁系统中采用自适应H_∞控制律为：

$u=-Y\widehat{\mathrm{\θ}}+{\stackrel{\·\·}{q}}_d-Ke+u_h+u_s---\left(7\right)$

其中

$u_h=-\frac{1}{2\mathrm{\γ}}{B}^{T}Pe---\left(8\right)$

u_s＝-ηsgn(B^TPe)(9)

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}={\mathrm{\αY}}^T{B}^{T}Pe---\left(10\right)$

u_h用来实现H_∞跟踪性能指标，u_s用来消减外界干扰带来的影响，η＞|ΔF|。

其中对称矩阵P＝P^T＞0满足如下Riccati-like方程：

$PA+A^{T}P+Q+PB(\frac{1}{{\mathrm{\ρ}}^2}I-\frac{1}{\mathrm{\γ}}I)B^{T}P=0---\left(11\right)$

其中衰减因子ρ＞0，H_∞控制增益γ＞0，权值矩阵Q＝Q^T＞0。此时可以得到如下结论：如果d∈L₂[0,∞)，则悬臂梁系统可以实现以下的H_∞跟踪性能指标：

$\frac{1}{2}{\∫}_0^T{e}^{T}Qedt\≤e^T\left(0\right)Pe\left(0\right)+\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\left(0\right)\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(0\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt---\left(12\right)$

将(7)式代入(6)式可以得到：

$\stackrel{\·}{e}=Ae+B\[-Y(\widehat{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\θ}}^{*})+\mathrm{\Δ}F+u_h+u_s+d\]---\left(13\right)$

定义自适应参数估计误差为：

$\widetilde{\mathrm{\θ}}=\widehat{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\θ}}^{*}---\left(14\right)$

则(13)式可改写为：

$\stackrel{\·}{e}=Ae+B\[-Y\widetilde{\mathrm{\θ}}+\mathrm{\Δ}F+u_h+u_s+d\]---\left(15\right)$

本发明进一步设置为，所述步骤3)基于Lyapunov稳定性理论，设计自适应律，确保系统稳定性，具体步骤如下：

定义Lyapunov方程为：

$V=\frac{1}{2}{e}^{T}Pe+\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(16\right)$

求V对时间t的导数得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{e}}^{T}Pe+\frac{1}{2}{e}^{T}P\stackrel{\·}{e}+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ =\frac{1}{2}{e}^T(A^{T}P+PA)e-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}^T{B}^{T}Pe+{u_h}^T{B}^{T}Pe+{u_s}^T{B}^{T}Pe\\ +{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe+d^T{B}^{T}Pe+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ =\frac{1}{2}{e}^T(A^{T}P+PA+PB(\frac{1}{{\mathrm{\ρ}}^2}I-\frac{1}{\mathrm{\γ}}I\left)B^{T}P\right)e+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{d}^{T}d\\ -\frac{1}{2}{(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)}^T(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)\\ -{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}^T{B}^{T}Pe+{u_s}^T{B}^{T}Pe+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ =-\frac{1}{2}{e}^{T}Qe+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{d}^{T}d-\frac{1}{2}{(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)}^T(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)\\ -{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}^T{B}^{T}Pe+{u_s}^T{B}^{T}Pe+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\end{array}---\left(17\right)$

又因为

$\begin{array}{c}{u_s}^T{B}^{T}Pe+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe=-\mathrm{\η}\mathrm{sgn}\left(B^{T}Pe\right)+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe\\ \≤-\mathrm{\η}\left|B^{T}Pe\right|+\left|\mathrm{\Δ}F\right|\left|B^{T}Pe\right|\\ =-(\mathrm{\η}-|\mathrm{\Δ}F\left|\right)\left|B^{T}Pe\right|\\ \≤0\end{array}---\left(18\right)$

则

$\stackrel{\·}{V}\≤-\frac{1}{2}{e}^{T}Qe+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{d}^{T}d---\left(19\right)$

对从0到T积分，有

$V\left(T\right)-V\left(0\right)\≤-\frac{1}{2}{\∫}_0^T{e}^{T}Qedt+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt---\left(20\right)$

由于V(T)≥0，所以

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\∫}_0^T{e}^{T}Qedt\≤V\left(0\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt\\ =e^T\left(0\right)Pe\left(0\right)+\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\left(0\right)\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(0\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt\end{array}---\left(21\right)$

即系统实现了上述自适应H_∞控制性能指标。

本发明与现有技术相比，优点在于：

(1)采在自适应控制中应用H_∞鲁棒控制，使整个闭环系统满足期望的动静态性能指标，实现系统的位置追踪，保证系统的全局稳定性。既能有效地克服悬臂梁模型的未知项和外界干扰作用，又能大大提高轨迹跟踪精度。

(2)在悬臂梁系统中应用自适应H_∞控制，能够实现对系统的有效控制，避免对悬臂梁模型的依赖性，并可以及时控制参数的学习和调整，提高应用系统的鲁棒性，自适应H_∞算法基于Lyapunov稳定性理论设计，保证了闭环系统的全局稳定性。

(3)该控制器可以针对外界干扰不确定实时调整控制器的参数，精确跟踪给定的参考轨迹，使跟踪误差迅速收敛为零。基于Riccati-like方程设计的控制器能有效消除系统非线性对轨迹跟踪的影响。

(4)本发明对悬臂梁的控制不需要建立在对象精确建模的基础上，节省了建模的费用。

上述说明仅是本发明的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，并可依照说明书的内容予以实施，以下以本发明的较佳实施例并配合附图详细说明如后。

本发明的具体实施方式由以下实施例及其附图详细给出。

附图说明：

图1为本发明的原理结构图

图2为采用本发明后稳态干扰下的位移跟踪图。

具体实施方式：

为更进一步阐述本发明为达成预定发明目的所采取的技术手段及功效，以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提出的一种基于自适应H_∞控制的悬臂梁振动控制方法，其具体实施方式、结构、特征及其功效，详细说明如后。、

参将图1和图2，本实施例是基于从事多年丰富的实务经验及专业知识，研究出一种基于自适应H_∞控制的悬臂梁振动控制方法，能够实现对系统的有效控制，避免对悬臂梁模型的依赖性，并可以及时控制参数的学习和调整，提高应用系统的鲁棒性，自适应H_∞控制算法基于Lyapunov稳定性理论设计，保证了闭环系统的全局稳定性；其具体步骤如下：

首先，悬臂梁的动态模型为：

$\stackrel{\·\·}{q}+C\stackrel{\·}{q}+K_{b}q=u+d---\left(1\right)$

式中：C,K∈R^i*i为系统参数，其中C为阻尼项，K_b为频率项，d为扰动项，u为输入向量。

对(1)式进行改写得：

$\stackrel{\·\·}{q}=F\left(x\right)+u+d---\left(2\right)$

其中

定义系统跟踪误差为：

e₁＝q-q_d(4)式中q表示悬臂梁系统的实际振动轨迹，q_d为悬臂梁系统的参考轨迹。令可以得到系统跟踪误差动态方程为：

$\stackrel{\·}{e}=A_{0}e+B\[F\left(x\right)+u+d-{\stackrel{\·\·}{q}}_d\]---\left(5\right)$

其中选取一个矩阵K＝[k₁k₂]，其是选取的一个合适的参数向量，它可以使矩阵为Hurwitz矩阵，可以使矩阵A满足Hurwitz稳定，则可以将跟踪误差动态方程(5)改写为：

$\stackrel{\·}{e}=Ae+B\[Ke+F\left(x\right)+u+d-{\stackrel{\·\·}{q}}_d\]---\left(6\right)$

由于悬臂梁系统的不确定性，接下来使用自适应H_∞方法对F(x)进行逼近和参数估计，来使系统的跟踪误差最小。下面给出自适应H_∞控制律。

定理：如果悬臂梁系统中采用自适应H_∞控制律为：

$u=-Y\widehat{\mathrm{\θ}}+{\stackrel{\·\·}{q}}_d-Ke+u_h+u_s---\left(7\right)$

其中

$u_h=-\frac{1}{2\mathrm{\γ}}{B}^{T}Pe---\left(8\right)$

u_s＝-ηsgn(B^TPe)(9)

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}={\mathrm{\αY}}^T{B}^{T}Pe---\left(10\right)$

u_h用来实现H_∞跟踪性能指标，u_s用来消减外界干扰带来的影响，η＞|ΔF|。其中对称矩阵P＝P^T＞0满足如下Riccati-like方程：

$PA+A^{T}P+Q+PB(\frac{1}{{\mathrm{\ρ}}^2}I-\frac{1}{\mathrm{\γ}}I)B^{T}P=0---\left(11\right)$

其中衰减因子ρ＞0，H_∞控制增益γ＞0，权值矩阵Q＝Q^T＞0。此时可以得到如下结论：如果d∈L₂[0,∞)，则悬臂梁系统可以实现以下的H_∞跟踪性能指标：

$\frac{1}{2}{\∫}_0^T{e}^{T}Qedt\≤e^T\left(0\right)Pe\left(0\right)+\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\left(0\right)\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(0\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt---\left(12\right)$

稳定性证明：

将(7)式代入(6)式可以得到：

$\stackrel{\·}{e}=Ae+B\[-Y(\widehat{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\θ}}^{*})+\mathrm{\Δ}F+u_h+u_s+d\]---\left(13\right)$

定义自适应参数估计误差为：

$\widetilde{\mathrm{\θ}}=\widehat{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\θ}}^{*}---\left(14\right)$

则(13)式可改写为：

$\stackrel{\·}{e}=Ae+B\[-Y\widetilde{\mathrm{\θ}}+\mathrm{\Δ}F+u_h+u_s+d\]---\left(15\right)$

其中，为自适应参数估计误差，u_h是线性反馈项，u_s是鲁棒补偿项，u_h用来实现H_∞跟踪性能指标，u_s用来消减外界干扰带来的影响；ΔF是模型不确定项。

定义Lyapunov方程为：

$V=\frac{1}{2}{e}^{T}Pe+\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(16\right)$

求V对时间t的导数得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{e}}^{T}Pe+\frac{1}{2}{e}^{T}P\stackrel{\·}{e}+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ =\frac{1}{2}{e}^T(A^{T}P+PA)e-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}^T{B}^{T}Pe+{u_h}^T{B}^{T}Pe+{u_s}^T{B}^{T}Pe\\ +{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe+d^T{B}^{T}Pe+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ =\frac{1}{2}{e}^T(A^{T}P+PA+PB(\frac{1}{{\mathrm{\ρ}}^2}I-\frac{1}{\mathrm{\γ}}I\left)B^{T}P\right)e+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{d}^{T}d\\ -\frac{1}{2}{(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)}^T(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)\\ -{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}^T{B}^{T}Pe+{u_s}^T{B}^{T}Pe+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ =-\frac{1}{2}{e}^{T}Qe+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{d}^{T}d-\frac{1}{2}{(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)}^T(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}{B}^{T}Pe-\mathrm{\ρ}d)\\ -{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}^T{B}^{T}Pe+{u_s}^T{B}^{T}Pe+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe+\frac{1}{\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\end{array}---\left(17\right)$

又因为

$\begin{array}{c}{u_s}^T{B}^{T}Pe+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe=-\mathrm{\η}\mathrm{sgn}\left(B^{T}Pe\right)+{\mathrm{\ΔF}}^T{B}^{T}Pe\\ \≤-\mathrm{\η}\left|B^{T}Pe\right|+\left|\mathrm{\Δ}F\right|\left|B^{T}Pe\right|\\ =-(\mathrm{\η}-|\mathrm{\Δ}F\left|\right)\left|B^{T}Pe\right|\\ \≤0\end{array}---\left(18\right)$

则

$\stackrel{\·}{V}\≤-\frac{1}{2}{e}^{T}Qe+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{d}^{T}d---\left(19\right)$

对从0到T积分，有

$V\left(T\right)-V\left(0\right)\≤-\frac{1}{2}{\∫}_0^T{e}^{T}Qedt+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt---\left(20\right)$

由于V(T)≥0，所以

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\∫}_0^T{e}^{T}Qedt\≤V\left(0\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt\\ =e^T\left(0\right)Pe\left(0\right)+\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\left(0\right)\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(0\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}^2{\∫}_0^T\left|\right|d|{|}^{2}dt\end{array}---\left(21\right)$

即系统实现了上述自适应H_∞控制性能指标。

(4)计算机仿真实验

由动力学特性，结构振动的最主要贡献在最低的几阶模态，为了说明情况且主要目的在弹性结构振动抑制的仿真，这里只选第一阶模态。为了更加直观地显示本发明提出的基于自适应H_∞的悬臂梁振动控制方法的有效性，现利用数学软件MATLAB/SIMULINK对本控制方案进行计算机仿真实验。参考现有文献，选取悬臂梁的参数为：

C＝0.18,K＝56.4

理想参考轨迹设定为：

$q=0,\stackrel{\·}{q}=0,\stackrel{\·\·}{q}=0$

仿真实验中，控制器参数k₁＝5,k₂＝16,ρ＝2,γ＝1,α＝15,η＝1000,

仿真实验所加外界干扰为白噪声干扰d＝randn(1,1)，若扰动始终施加，在第10s施加控制作用运行仿真程序，得到悬臂梁的自适应H_∞控制系统的实验结果如附图2。

附图2展示了在本发明提出的控制方法下的悬臂梁振动轨迹跟踪效果曲线。从这张附图可以看出，在稳态扰动下自适应H_∞控制作用非常明显，施加控制作用的在1s内迅速衰。控制系统能够使得悬臂梁的输出，在不知道悬臂梁参数和结构以及存在外界干扰作用的情况下，能够迅速地跟踪上给定的理想轨迹，且跟踪误差很小，达到了满意的效果。

从以上仿真图可以看出，本发明提出的控制方法对悬臂梁的振动轨迹跟踪有着很好的控制效果，大大提高了悬臂梁系统的跟踪性能和鲁棒性，对悬臂梁振动轨迹的高精度控制提供了理论依据和仿真基础。

本发明的控制系统能够在线实时逼近悬臂梁系统模型的非线性、不确定部分，使悬臂梁的振动轨迹跟踪上理想给定轨迹。起是提出了针对悬臂梁系统的自适应H无穷控制方案，控制器由两部分组成，一部分采用自适应控制器逼近悬臂梁系统的理想控制输入，另一部分采用H无穷鲁棒控制器提高系统对不确定项和外界干扰的鲁棒性。该控制器可以针对外界干扰不确定实时调整控制器的参数，精确跟踪给定的参考轨迹，使跟踪误差迅速收敛为零。

此外，本发明基于Riccati-like方程设计的控制器能有效消除系统非线性对轨迹跟踪的影响。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的技术知识。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上大的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本方明技术方案的范围内。

Claims (4)

1.一种基于自适应H无穷控制的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立悬臂梁的模型；所述悬臂梁的动态模型为：

式中：C,K∈R^i*i为系统参数，其中C为阻尼项，K_b为频率项，d为扰动项，u为输入向量，为悬臂梁系统的实际振动轨迹，R表示实域，i表示矩阵的阶数；

2)建立自适应H_∞控制器，将自适应H_∞控制器控制输出作为悬臂梁系统的控制输入；所述自适应H_∞控制器控制输出的跟踪误差动态方程为：

其中，矩阵选取一个矩阵K＝[k₁k₂]；令系统跟踪误差为：e₁＝q-q_d；q表示悬臂梁系统的实际振动轨迹，q_d为悬臂梁系统的参考轨迹；为自适应参数估计误差，u_h是线性反馈项，u_s是鲁棒补偿项，u_h用来实现H_∞跟踪性能指标，u_s用来消减外界干扰带来的影响；ΔF是模型不确定项；

3)基于Lyapunov稳定性理论，建立自适应律，确保系统稳定性；具体步骤如下：

定义Lyapunov方程为：

求V对时间t的导数得：

对从0到T积分得公式

由于V(T)≥0，所以

即系统实现了上述自适应H_∞控制性能指标；

其中，Q,P为任意两个2×2阶的正定矩阵，e(0)表示t＝0时e的值，衰减因子ρ＞0，||d||表示d的范数。

2.根据权利要求1所述的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，所述步骤1)中，建立悬臂梁的模型具体步骤如下：

动态的悬臂梁数学模型为：

式中：C,K∈R^i*i为系统参数，其中C为阻尼项，K_b为频率项，d为扰动项，u为输入向量。

从而对动态的悬臂梁数学模型式进行改写得：

其中

3.根据权利要求1所述的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，所述步骤2)中，建立自适应H_∞控制器的跟踪误差动态方程的具体步骤如下：

首先，根据设定系统跟踪误差为e₁＝q-q_d以及建立系统跟踪误差动态方程为：

然后，选取一个矩阵K＝[k₁k₂]，使矩阵为Hurwitz矩阵，则将上述系统跟踪误差动态方程改写为：

再次，使用自适应H_∞方法对F(x)进行逼近和参数估计，来使系统的跟踪误差最小；下面给出自适应H_∞控制律；

定理：如果悬臂梁系统中采用自适应H_∞控制律为：

其中

u_s＝-ηsgn(B^TPe)(5)

u_h用来实现H_∞跟踪性能指标，u_s用来消减外界干扰带来的影响，其中参数η＞|ΔF|，γ＞0,α＞0；其中对称矩阵P＝P^T＞0满足如下Riccati-like方程：

其中衰减因子ρ＞0，H_∞控制增益γ＞0，权值矩阵Q＝Q^T＞0；

此时得到如下结论：

如果d∈L₂[0,∞)，则悬臂梁系统实现以下的H_∞跟踪性能指标：

最后，将(3)式代入(2)式可以得到：

定义自适应参数估计误差为：

则(9)式可改写为：

4.根据权利要求1所述的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，所述步骤3)中，基于Lyapunov稳定性理论，建立模糊自适应律的具体步骤如下：

首先，根据定义Lyapunov方程，求V对时间t的导数得：

然后，由于

则

最后，对从0到T积分，有

由于V(T)≥0，所以

即系统实现了上述自适应H_∞控制性能指标。