CN105710881B

CN105710881B - 一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法

Info

Publication number: CN105710881B
Application number: CN201610150017.4A
Authority: CN
Inventors: 陈落根; 赵振; 叶利峰
Original assignee: HANGZHOU WAHAHA PRECISION MACHINERY Co Ltd
Current assignee: HANGZHOU WAHAHA PRECISION MACHINERY Co Ltd
Priority date: 2016-03-16
Filing date: 2016-03-16
Publication date: 2017-10-31
Anticipated expiration: 2036-03-16
Also published as: CN105710881A

Abstract

本发明公开了一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，包括以下步骤：步骤1，确定需要进行连续轨迹规划过渡的第一线段和第二线段，确定相连线段的示教点，并确定示教点与第一线段的过渡距离和示教点与第二线段的过渡距离；步骤2，根据示教点与第一线段的过渡距离确定在第一线段上的第一过渡节点，根据示教点与第二线段的过渡距离确定在第二线段上的第二过渡节点；步骤3，在坐标轴内计算幅值系数、相位系数和速度缩放系数，将幅值系数、相位系数和速度缩放系数带入有限项正弦位置规划函数确定第一过渡节点和第二过渡节点之间的过渡曲线表达式。本发明算法流程清晰，计算时间大大缩短，降低了机器人控制系统的复杂程度。

Description

一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法

技术领域

本发明涉及一种机器人轨迹控制方法，尤其是指一种在笛卡尔空间下的多自由度工业机器人末端连续轨迹规划过渡方法。

背景技术

工业机器人轨迹规划算法是保证工业机器人实现稳定运动的核心技术。对于弧焊、涂胶、水切割等机器人应用来说，通常要求机器人末端执行器尽量以接近给定速度的速度沿着指定路径前进，并且保证相邻路径之间能够平滑过渡，因此过渡控制方法是重点和难点。

为解决路径平滑过渡这一难点问题，最早被应用的是基于样条曲线插补等方式的关节空间轨迹规划算法。虽然这类算法具有约束条件少和计算速度快等优势，但同时存在着空间轨迹不直观和轨迹形状随速度不同而改变等缺点，因此近年来国内外研究者大多将注意力转向了笛卡尔空间轨迹规划算法。现有常用的算法主要有三类：

第一类算法是卷积类算法(例如专利US4554497，US5434489)，通常是对路径进行均匀离散化之后采用卷积计算实现加减速规划，然后基于给定重叠时间参数进行速度叠加，其优点是算法简单，但存在诸多缺点，特别是难以精确控制过渡曲线形状。

第二类算法则是混叠类算法，包括速度混叠算法(例如专利US5602968)和位置混叠算法(Ustyan T，V，Implementation of a generic virtual robotcontroller[D]，Master’s Thesis，Chalmers University of Technology，Sweden，2011)。这类算法一般需要给定加减速时间，然后通过线性、多项式或者摆线等函数进行同伦处理获得速度曲线或位置曲线。其缺点是加速度约束涉及时间变量，需要比较复杂的处理流程。

第三类算法则是规划类算法，包括速度规划算法(例如专利US5740327)和位置规划算法(例如专利US8290611)。这一类算法通过设计过渡曲线的数学表达式来实现。其中，速度规划算法计算流程复杂，难以保证轨迹不随速度参数的更改而变化。而在位置规划算法的研究中，Siciliano等将关节空间的位置规划算法扩展到笛卡尔空间，获得抛物线形状的过渡轨迹，使得加速度约束不再取决于时间常数，但是仍存在加速度矢量方向突变的问题(Siciliano B，Sciavicco L，Villani L，Robotics：Modelling，Planning and Control[M]，3rd Fdition，Springer，2010.)。林仕高等提出五次多项式位置规划过渡算法，但是因加速度约束涉及时间变量而未能提出加速度约束处理方案(林仕高，刘晓麟，欧元贤，机械手笛卡尔空间轨迹规划研究[J]，机械设计与制造，2013(3)：49-52)。还有一些研究首先选取过渡路径并细分为微小路径段，再采用前瞻算法实现速度平滑和轨迹修形，但是算法复杂，且容易产生速度毛刺和波动。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中机器人末端平滑过渡的方法缺乏精确控制、处理流程较为复杂的缺陷，提供一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法。

本发明的目的是通过下述技术方案予以实现：

一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，用于控制机器人末端沿着给定路径前进，并在相连线段之间实现平滑过渡，包括以下步骤：

步骤1，确定需要进行连续轨迹规划过渡的第一线段和第二线段，确定相连线段的示教点，并确定示教点与第一线段的过渡距离和示教点与第二线段的过渡距离；

步骤2，根据示教点与第一线段的过渡距离确定在第一线段上的第一过渡节点，根据示教点与第二线段的过渡距离确定在第二线段上的第二过渡节点；

步骤3，在坐标轴内计算幅值系数、相位系数和速度缩放系数，将幅值系数、相位系数和速度缩放系数带入有限项正弦位置规划函数确定第一过渡节点和第二过渡节点之间的过渡曲线表达式。

作为一种优选方案，步骤1中的示教点与第一线段的过渡距离和示教点与第二线段的过渡距离相等。

作为一种优选方案，步骤3中的速度缩放系数若大于等于1，则应采用时间缩放过渡曲线得到过渡曲线表达式。

作为一种优选方案，步骤3中的有限项正弦位置规划函数包含至少三个正弦周期函数，并且每个正弦周期函数的周期是给定周期的2ⁿ倍，而给定周期是从第一过渡节点到第二过渡节点所需的过渡时间的倍数。

作为一种优选方案，第一线段和第二线段为两个直线线段、一个直线线段和弧线线段或两个弧线线段。

作为一种优选方案，步骤3具体为：

设T为过渡时间，r₁为示教点与第一线段的过渡距离或示教点与第二线段的过渡距离，v₁和v₂则分别为第一线段和第二线段的巡行速度，k₁为过渡节点处待优化的速度比例系数，将第一过渡节点P₁和P₂的位置矢量分别用p₀和p_T表示；

将位置、速度和加速度矢量分别向坐标轴j投影以获得分量，设过渡节点的切向加速度均为0以使后续推导大为简化；

p₀处的位置、速度和加速度的坐标轴分量配置如下：

其中，a₁为在P₁处的加速度，和分别为p₀处切向单位向量和法向单位向量，e_j为坐标轴j的单位向量，坐标轴j＝x，y，z；

p_T处的位置、速度和加速度的坐标轴分量配置如下：

其中：为p_T处切向单位向量；

由以上公式可知，如果能确定k₁，过渡节点的实际配置将随之确定。因此，如果能够构造一种包含k₁为参数的位置过渡函数，令其满足上述配置，同时根据运动学约束指标或动力学约束指标来确定k₁，即可获得过渡区域的位置过渡函数。

对于非过渡区域的轨迹只需采用经典的起止点之速度和加速度为给定值的直线段或圆弧段的轨迹规划算法即可，例如多项式样条曲线方法。

对于每个坐标轴方向，引入基于有限项正弦级数的位置规划函数：

则过渡节点运动学约束方程组如下：

p_0j＝p_j(0)，p_Tj＝p_j(T)

为保证上述方程组的确定性，需方程数量与待定系数数量相同，选取n_s＝3，n_e＝5；

不难看出，T并不影响过渡轨迹的形状，其实际数值可由用户为每一段过渡区域指定，但为避免速度过大，应限定大于某下限值。综合考虑到两条共线直线段之间过渡等特殊情形，定义T＝k₁ ^-1s，

其中：s＝k₀r₁(v₁+v₂)^-1，k₀是用户可控参数且k₀≥4，将T＝k₁ ^-1s带入约束方程组，借助正弦函数的特点可消去k₁，得到：

Z＝CV，

其中：

C＝[α₃，α₄，α₅，β₃，β₄，β₅]

β_i＝[0，p_i，0，o_i，1，q_i，1，0，-p_i，2]^T

o_i，n＝2^-n(i-1)uⁿ，u＝πs^-1

p_i，n＝o_i，nsin2^-(i-1)π，q_i，n＝o_i，ncos2^-(i-1)π

V＝[v_3j，v_4j，v_5j，w_3j，w_4j，w_5j]^T

故由V＝C^-1Z可解得向量V，而由向量V可得：

由此可得加速度表达式如下：

取φ＝k₁ut/16，有φ∈[0，π/16]，可得：

其中：

为保证运动可实现，在给定|a_j(φ)|_max的允许值a_jmax之后，对于每一个坐标轴j，分别存在一个k₁满足公式可将其表示为k_1j：

为避免繁杂的数值判断，采用近似计算方法计算|ρ_j(φ)|_max，将ρ_j(φ)表达式中的正弦余弦函数用下面的幂级数前三项近似：

带入公式后可得近似表达式：

上式为五次多项式，其系数b_jl为常量，求导可得四次多项式，通过解析法求解该四次多项式得到极值可能对应的φ，并考虑边界情况，进而可获得ρ_j(φ)的近似最大值和近似最小值，分别记为ρ_jmax和ρ_jmin。为评估幂级数截断所产生的近似误差，且考虑到φ_i∈[0，π/4]，有：

在φ_i∈[0，π/4]的范围内，近似方法所得的|ρ_j(φ)|_max误差不超过0.05％，在此基础上可采用Newton方法进行迭代计算获得精确解。为简化表述，取：

由此解得：

则k₁值由下式取得：k₁＝min{k_1j}，

将幅值系数A_ij、相位系数速度缩放系数k₁带入有限项正弦位置规划函数获得过渡曲线表达式确定第一过渡节点和第二过渡节点之间的过渡曲线表达式。

作为一种优选方案，步骤3中的速度缩放系数k₁若大于等于1，表明(v₁+v₂)过小或者r₁过大，此时应采用时间缩放过渡曲线：

即将过渡时间扩大k₁倍。

本发明的有益效果是：

(1)算法流程清晰，计算时间大大缩短，降低了机器人控制系统的复杂程度，可以在低性能嵌入式系统中实现；

(2)过渡曲线形状具有确定性，可以方便的控制拐角过渡曲线的半径。

(3)机器人轨迹平滑，不存在加速度突变，可减小运动过程的振动和冲击，延长机器人零部件寿命；

(4)轨迹不随速度参数的更改而变化，示教完成之后可以采用不同速度运行。

附图说明

图1是采用本发明的机器人控制系统结构示意图；

图2是本发明的机器人连续轨迹过渡效果示意图；

图3是本发明的用来阐述轨迹过渡算法的典型轨迹示意图；

图4是本发明中轨迹过渡算法的计算流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步描述。

实施例：图1是采用本发明的机器人控制系统，包括示教程序解释器10、轨迹生成器20，实时控制程序及驱动30和伺服驱动器40。示教程序解释器通过人机交互界面获得机器人操作员输入的示教程序，示教程序通常包括直线运动、圆弧运动等指令以及线段之间过渡参数。解释器10对示教程序进行解释，并将示教数据发送给轨迹生成器20，在轨迹生成器20中，将运行本发明提出的笛卡尔空间下的多自由度工业机器人连续轨迹规划过渡控制方法，提前计算出下一段轨迹(包含过渡曲线部分)所对应的关节转角等数据，并将数据传递给实时控制系统及驱动30，这些数据通常在数据缓冲区被存储，一直等到对应的时刻到达时，通过数据总线或者脉冲等形式，将电机转角参考值发送给伺服驱动器40，伺服驱动器40根据电机反馈的编码器计数和电机转角参考值计算出电机电流，进行电机转角的闭环控制。伺服驱动器还将电机转角的实际值传递给实时控制程序，用于实现更高层次的闭环控制。

本发明的机器人连续轨迹过渡效果示意图如图2所示，连续轨迹过渡可以是圆弧段Path₀和圆弧段Path₁之间，圆弧段Path₁和直线段Path₂之间，直线段Path₂和直线段Path₃之间。

步骤1，确定需要进行连续轨迹规划过渡的第一线段和第二线段，确定相连线段的示教点，并确定示教点与第一线段的过渡距离和示教点与第二线段的过渡距离，示教点与第一线段的过渡距离和示教点与第二线段的过渡距离相等；

如图3所示，步骤3具体为：

设T为过渡时间，r₁为示教点与第一圆弧段Path₁的过渡距离或示教点与第二直线段Path₂的过渡距离，v₁和v₂则分别为第一线段和第二线段的巡行速度，k₁为过渡节点处待优化的速度比例系数，将第一过渡节点P₁和P₂的位置矢量分别用p₀和p_T表示；

p₀处的位置、速度和加速度的坐标轴分量配置如下：

p_T处的位置、速度和加速度的坐标轴分量配置如下：

其中：为p_T处切向单位向量；

则过渡节点运动学约束方程组如下：

不难看出，T并不影响过渡轨迹的形状，其实际数值可由用户为每一段过渡区域指定，但为避免速度过大，应限定大于某下限值。综合考虑到两条共线直线段之间过渡等特殊情形，定义T＝k₁ ^-1s，(2)

Z＝CV， (3)

其中：

C＝[α₃，α₄，α₅，β₃，β₄，β₅]

α_i＝[o_i，0，q_i，0，0，-p_i，1，-o_i，2，-q_i，2]^T

β_i＝[0，p_i，0，o_i，1，q_i，1，0，-p_i，2]^T

o_i，n＝2^-n(i-1)uⁿ，u＝πs^-1

p_i，n＝o_i，nsin2^-(i-1)π，q_i，n＝o_i，ncos2^-(i-1)π

V＝[v_3j，v_4j，v_5j，w_3j，w_4j，w_5j]^T

故由V＝C^-1Z可解得向量V，而由向量V可得：

由此可得加速度表达式如下：

取φ＝k₁ut/16，有φ∈[0，π/16]，可得：

其中：

带入公式后可得近似表达式：

由此解得：

则k₁值由下式取得：k₁＝min{k_1j}， (9)

即将过渡时间扩大k₁倍。

本发明中轨迹过渡算法的计算流程示意图如图4所示，其步骤如下：

方块11：给定示教点S₀，S₁，S₂，圆心O₁，O₂，速度v1，v2，过渡距离r1，r1′，通常假设r1′＝r1。

方块12：确定过渡点P₁，P_T的矢量坐标。

方块13：根据式(3)和式(4)求取和A_ij。

方块14：根据式(7)求取ρ_jmax和ρ_jmin。进而根据式(8)和式(9)分别求取k_1j和k₁。

方块15：如果k₁小于1，表明速度(v₁+v₂)足够大或者r₁较小，此时得到正常过渡曲线：

此时若v₁和v₂同比变化，由式(2)和式(8)可知k₁与速度成反比变化，使得过渡节点配置不变，进而可知幅值系数与相位系数均不变，从而保证过渡轨迹的路径和速度剖面形状等均不发生改变。

方块16：如果k₁大于等于1，表明(v₁+v₂)过小或者r₁过大，此时应采用时间缩放过渡曲线：

即将过渡时间扩大k₁倍。因各项系数不变，故过渡轨迹的路径不发生改变，但是速度剖面形状会有一定变动。

Claims

1.一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，用于控制机器人末端沿着给定路径前进，并在相连线段之间实现平滑过渡，其特征是，包括以下步骤：

步骤3，在坐标轴内计算幅值系数、相位系数和速度缩放系数，将幅值系数、相位系数和速度缩放系数带入有限项正弦位置规划函数确定第一过渡节点和第二过渡节点之间的过渡曲线表达式；

所述的步骤1中的示教点与第一线段的过渡距离和示教点与第二线段的过渡距离相等；

所述的步骤3具体为：

p₀处的位置、速度和加速度的坐标轴分量配置如下：

<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>

p_T处的位置、速度和加速度的坐标轴分量配置如下：

<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>

其中：为p_T处切向单位向量；

则过渡节点运动学约束方程组如下：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>

定义T＝k₁ ^-1s，

Z＝CV，

其中：

C＝[α₃，α₄，α₅，β₃，β₄，β₅]

α_i＝[o_i，0，q_i，0，0，-p_i，1，-o_i，2，-q_i，2]^T

β_i＝[0，p_i，0，o_i，1，q_i，1，0，-p_i，2]^T

o_i，n＝2^-n(i-1)uⁿ，n＝πs^-1

p_i，n＝o_i，nsin2^-(i-1)π，q_i，n＝o_i，ncos2^-(i-1)π

V＝[v_3j，v_4j，v_5j，w_3j，w_4j，w_5j]^T

故由V＝C^-1Z可解得向量V，而由向量V可得：

由此可得加速度表达式如下：

取φ＝k₁ut/16，有φ∈[0，π/16]，可得：

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mo>|</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>16</mn> </mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mo>|</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>

其中：

为保证运动可实现，在给定|a_j(φ)|_max的允许值α_jmax之后，对于每一个坐标轴j，分别存在一个k₁满足公式可将其表示为k_1j：

带入公式后可得近似表达式：

<mrow> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>&phi;</mi> <mi>l</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>&phi;</mi> <mo>&Element;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>16</mn> <mo>&rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>

上式为五次多项式，其系数b_jl为常量，求导可得四次多项式，通过解析法求解该四次多项式得到极值可能对应的φ，并考虑边界情况，进而可获得ρ_j(φ)的近似最大值和近似最小值，分别记为ρ_jmax和ρ_jmin，为评估幂级数截断所产生的近似误差，且考虑到φ_i∈[0，π/4]，有：

在φ_i∈[0，π/4]的范围内，近似方法所得的|ρ_j(φ)|_max误差不超过0.05％，在此基础上采用Newton方法进行迭代计算获得精确解，为简化表述，取：

由此解得：

则k₁值由下式取得：k₁＝min{k_1j}，

2.根据权利要求1所述的一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，其特征是，所述的步骤3中的速度缩放系数若大于等于1，则应采用时间缩放过渡曲线得到过渡曲线表达式。

3.根据权利要求1所述的一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，其特征是，所述的步骤3中的有限项正弦位置规划函数包含至少三个正弦周期函数，并且每个正弦周期函数的周期是给定周期的2ⁿ倍，而给定周期是从第一过渡节点到第二过渡节点所需的过渡时间的倍数。

4.根据权利要求1或2或3所述的一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，其特征是，所述的第一线段和第二线段为两个直线线段、一个直线线段和弧线线段或两个弧线线段。

5.根据权利要求1所述的一种机器人末端连续轨迹规划过渡方法，其特征是，步骤3中的速度缩放系数k₁若大于等于1，表明(v₁+v₂)过小或者r₁过大，此时应采用时间缩放过渡曲线：

即将过渡时间扩大k₁倍。