CN106802625B - 一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法。综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：本发明提供一种基于物理运动方程的控制，将位置函数与机床加工运动组合为轨迹运动，并根据运动特性控制，实现轨迹几何特性的方法。本发明提供的曲线简化方法：根据曲线的曲率和公差分段，保证每段几何元素的相似性，提高几何精度和减少计算步长误差。同时，本发明按运动模型控制运动，不会出现插补曲线的方向急转弯，加速度无限大的情况。即，应用本发明提供的方法，驱动控制参数的选择决定运动是连续的，位移控制是无穷小的，其既适用于常规尺寸控制，也同样适用于纳米控制，这对于制造技术向纳米制造方向的发展有重要意义。

Description

一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法

技术领域

本发明涉及机床加工轨迹控制领域，特别是一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法。

背景技术

轨迹运动控制的应用十分广泛：如机械制造刀具轨迹控制，机器人运动控制，导弹飞行弹道控制，无人驾驶飞船航迹控制，计算机绘图等。传统轨迹控制大多采用插补法，插补法是一种位置近似算法，其会将很简单的轨迹(如直线)拆分为众多微小折线来近似替代，这种轨迹控制方法普遍存在位移方向突变的问题，其会对被控设备(如机床)造成运动冲击，进而影响被控设备运动的平稳性和所形成轨迹的几何精确性，基于插补法的轨迹控制方法在理论上是一种“步进式”的不连续驱动方法，其实违反最小作用原理的，其已逐渐成为提高数控机床精度的障碍。

发明内容

本发明的发明目的在于提供一种利用目标轨迹的几何性质与运动性质对机床进行轨迹控制的方法，消除理论误差。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法，包括如下步骤。

(1)根据机床运动特点，选定与机床坐标系一致的轨迹坐标系，设定目标轨迹函数F(X,Y,Z)；

(2)选定参考坐标及具体运动方式X(t)；

(3)建立运动学模型：对于任意轨迹函数y,设(x₁，x₂，…x_n)是基底坐标，各坐标x_i(t₁)均随时间参数t₁变化，T为映射算子，即

y(t₁)＝T{x₁(t₁),x₂(t₁),…,x_n(t₁)} (1)

这是关于位移的运动方程，即只包含位移参数的运动方程，简称位移方程。位移方程与一般的几何函数一样，表示几何参数对应关系，另一方面，表示了重要的运动信息：表示运动位移的动态关系，其微分方程可以求得各运动参数。假如给定任意坐标x_i(t₁)的运动方程，就可以根据式(1)求成其它坐标的运动方程。

从理论上讲，可以根据机械加工工艺、机床运动学、动力学相结合的方式给定任意坐标x_i(t₁)的运动方程，从而获得没有理论误差的、符合实际的轨迹运动形式。

除计算运动参数以外，还应该考虑运动参数之间的关系，这样才能完全求解运动方程。

设曲线方程：y＝f(x)＝f[x(t₁)]；

假定机床刀具的运动速率，加速率就是规划的速率和加速率。假定工件轮廓曲线是刀具运动轨迹。设规划速度v＝v(t₁)，规划加速度a＝a(t₁)，对所述曲线方程求导和矢量合成得

v_y＝f′(x)v_x (2)

(2)式是所述曲线方程两边对t₁求导而得，表示x，y方向的速度比等于轨道函数的一阶导数。这是速度与几何性质的关系；(3)式是(2)式两边对t₁求导而得，表示加速度与轨道几何性质的关系；(4)和(5)式表示合矢量模与分量模的关系，由(2)(3)(4)(5)四个方程联解，得到任意点的运动参数。称以上四个方程为轨迹方程组。

(4)控制运动参数，实现轨迹。

(5)根据几何特性和误差对规划轨迹分段：

采用如下公式对规划轨迹分段递推公式：

其中x_i是第i点的x值，f_i是函数f在第i点的值；用每段弧中点l_i的一阶导数作为替代直线的斜率以减小误差。

分段点的全部信息可利用轨道跟踪方程组计算出，近似替代邻域内各点的参数值，减少计算量。曲率是轨道方程一阶导数、二阶导数的函数，故用一阶导数、二阶导数和误差来计算。

这是由于，曲线可能很复杂，因此采用简单曲线将其替代，以便于控制，具体的：轨道几何性质是影响运动的重要因素。根据几何特性对曲线分段，使同一段的所有几何点性质相近，误差不大，以便近似替代，如直线代替曲线。需要用微分几何和泛函空间理论分析轨道函数来建立分段公式。基于运动参数的轨迹控制方法，需要计算不同位置点的运动参数，当然不可能计算所有的点。选择计算点的数量是有限的，最好是所选点具有代表性。曲率小相邻点的运动参数的变化就小，分段长度可以大一些。另外，允许误差大，也可分段长一些，所以根据曲率和误差分段。

(6)轨迹误差状态评价：采用如下的轨迹运动的泛函分析方法：

设状态矢量U，时间变量t₁,其分量为轨迹运动函数及其导数

矢量U的每一个分量为在一个坐标方向的运动方程的一种描述形式，给定点矢量u₀的每一个分量描述不同的运动参数值，矢量U的维度n根据实际情况确定，一般情况n≤4。

设f₀，f₁分别是给定轨迹运动和实际轨迹运动的位移，在Sobolev空间定义状态矢量的误差为：

式中，η表示求导次数，p表示幂次方，表示偏导，a表示偏导次数；

以上范数误差，全面的反映了函数及其导数的误差，为运动控制提供了准确的度量。利用以上范数误差修正状态误差，即修正运动参数，使运动成为理想轨迹运动。

这样做的好处是，运动状态的描述需要同时度量多种状态参数，需要一种综合方法同时描述函数及其导数，以便同时研究几何、运动和动力特性。泛函分析具有高度的综合性和抽象性，不关注函数的具体结构和物理意义。用泛函分析轨迹运动，使得几何学、运动学、动力学函数具有统一的分析方法。

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：本发明提供一种基于物理运动方程的控制，将位置函数与机床加工运动组合为轨迹运动的方法。本发明提供的方法对曲线的简化严格根据曲线的特性，根据取消的曲率分段，保证每段几何元素的相似性，提高几何精度和减少计算步长误差。

同时，本发明按运动模型控制运动，不会出现插补曲线的方向急转弯，加速度无限大的情况。即，应用本发明提供的方法，驱动控制参数的选择决定运动是连续的，位移控制是无穷小的，其既适用于常规尺寸控制，也同样适用于纳米控制，这对于制造技术向纳米制造方向的发展有重要意义。

附图说明

图1是本发明提供的导数多维空间机床轨迹运动再现方法流程图。

图2是本发明中曲线分段点速度和割线误差示意图。

图3是本发明中抛物线运动轨迹的分段示意图。

图4是本发明中一种任意可调速度的轨迹运动示例图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明作详细的说明。

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本实施例提供一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法，包括如下步骤。

步骤一：根据机床运动特点，选定与机床坐标系一致的轨迹坐标系，设定目标轨迹函数F(X,Y,Z)；

步骤二：选定参考坐标及具体运动方式X(t)；

步骤三：建立运动学模型：对于任意轨迹函数y,设(x₁，x₂，…x_n)是基底坐标，各坐标x_i(t₁)均随时间参数t₁变化，T为映射算子，即

y(t₁)＝T{x₁(t₁),x₂(t₁),…,x_n(t₁)} (1)

这是关于位移的运动方程，即只包含位移参数的运动方程，简称位移方程。位移方程与一般的几何函数一样，表示几何参数对应关系，另一方面，表示了重要的运动信息：表示运动位移的动态关系，其微分方程可以求得各运动参数。假如给定任意坐标x_i(t₁)的运动方程，就可以根据式(1)求成其它坐标的运动方程。

从理论上讲，可以根据机械加工工艺、机床运动学、动力学相结合的方式给定任意坐标x_i(t₁)的运动方程，从而获得没有理论误差的、符合实际的轨迹运动形式。

除计算运动参数以外，还应该考虑运动参数之间的关系，这样才能完全求解运动方程。

设曲线方程：y＝f(x)＝f[x(t₁)]；

假定机床刀具的运动速率，加速率就是规划的速率和加速率。假定工件轮廓曲线是刀具运动轨迹。设规划速度v＝v(t₁)，规划加速度a＝a(t₁)，对所述曲线方程求导和矢量合成得

v_y＝f′(x)v_x (2)

(2)式是所述曲线方程两边对t₁求导而得，表示x，y方向的速度比等于轨道函数的一阶导数。这是速度与几何性质的关系；(3)式是(2)式两边对t₁求导而得，表示加速度与轨道几何性质的关系；(4)和(5)式表示合矢量模与分量模的关系，由(2)(3)(4)(5)四个方程联解，得到任意点的运动参数。称以上四个方程为轨迹方程组。

步骤四：控制运动参数，实现轨迹。

具体的，还可以包括，

步骤五：根据几何特性和误差对规划轨迹分段：

采用如下公式对规划轨迹分段递推公式：

如图2所示，其中x_i是第i点的x值，f_i是函数f在第i点的值；用每段弧中点l_i的一阶导数作为替代直线的斜率以减小误差。

分段点的全部信息可利用轨道跟踪方程组计算出，近似替代邻域内各点的参数值，减少计算量。曲率是轨道方程一阶导数、二阶导数的函数，故用一阶导数、二阶导数和误差来计算。

这是由于，曲线可能很复杂，因此采用简单曲线将其替代，以便于控制，具体的：轨道几何性质是影响运动的重要因素。根据几何特性对曲线分段，使同一段的所有几何点性质相近，误差不大，以便近似替代，如直线代替曲线。需要用微分几何和泛函空间理论分析轨道函数来建立分段公式。基于运动参数的轨迹控制方法，需要计算不同位置点的运动参数，当然不可能计算所有的点。选择计算点的数量是有限的，最好是所选点具有代表性。曲率小相邻点的运动参数的变化就小，分段长度可以大一些。另外，允许误差大，也可分段长一些，所以根据曲率和误差分段。

还可包括，

步骤六：轨迹误差状态评价，轨迹运动的泛函分析：

设状态矢量U，时间变量t₁,其分量为轨迹运动函数及其导数

矢量U的每一个分量为在一个坐标方向的运动方程的一种描述形式，给定点矢量u₀的每一个分量描述不同的运动参数值，矢量U的维度n根据实际情况确定，一般情况n≤4。

设f₀，f₁分别是给定轨迹运动和实际轨迹运动的位移，在Sobolev空间定义状态矢量的误差为：

式中，η表示组合次数，p表示平方，表示偏导，a表示偏导次数；以上范数误差，全面的反映了函数及其导数的误差，为运动控制提供了准确的度量。修正状态误差，即修正运动参数，使运动成为理想轨迹运动。

具体的，下面分别直线、抛物线以及其他两种特殊控制形式为例，讲解如何应用本发明进行轨迹参数的计算，具体如下：

示例一：直线运动控制：设定X(t)的运动方式；

已知规划速度v＝v(t₁)，规划加速度a＝a(t₁)，直线方程y＝kx对x求导得y′＝k,y"＝0，设y(t₁)＝kx(t₁)，t₁是时间，对t₁求导得

v_y＝kv_x a_y＝ka_x

运动合成关系：

联解得：

只需保证v_x,v_y的比值为k，根据以上算式计算v_y，控制XY两个方向的脉冲频率比，使其等于K。可以根据加工需要调节的大小，只要它们比例不变。图4是速度调节过程示意图。

示例二：抛物线运动控制。设定X(t)的运动方式；

已知方程y＝x²，x≥0，求导得y′＝2x，y"＝2，规划速度v＝v(t₁)，规划加速度a＝a(t₁)，代入以轨道跟踪方程组联解得

实际控制时，只需控制v_y＝2xv_x就可以加工抛物线，辅助位置脉冲技术或位置测量，就可以准确的加工。

对于本示例中的近似分段公式为：

根据上式，如图3抛物线运动轨迹的分段，利用直线代曲线，并根据直线运动控制方法绘制仿真图形。

示例三：根据恒速要求选择t₂

根据工艺要求，希望实现的是恒速加工。令f_i＝c，若为了减速，若选择t₂使该式成立，就可以实现恒速加工，即

示例四：任意运动规律的运动参数控制仿真：修改自定义时间与标准时间的变化率，使进给速度任意变化，考察轨迹跟踪情况。

假定参考时间t₂与几何参数t的数值相等，即比值为1，这时t₂对t₁的比就等于t比t₁。设计程序任意调节t₂对标准时间t₁的比值，如图4的速度线，使得图中抛物线轨迹增长的速度任意变化，但并不脱离轨道。这说明控制参考时间的变化就可以控制加工运动进程。

当变化时，几何变化率不变，所以不存在重新规划的问题。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种导数多维空间机床轨迹运动再现方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)根据机床运动特点，选定与机床坐标系一致的轨迹坐标系，设定目标轨迹函数F(X,Y,Z)；

(2)选定参考坐标及具体运动方式函数X(t)；

(3)建立运动学模型：对于任意轨迹函数y,设(x₁，x₂，…x_n)是基底坐标，各坐标x_i(t₁)均随时间参数t₁变化，T为映射算子，即公式一：y(t₁)＝T{x₁(t₁),x₂(t₁),…,x_n(t₁)}；

设曲线方程：y＝f(x)＝f[x(t₁)]；设规划速度v＝v(t₁)，规划加速度a＝a(t₁)，对(4)式求导和矢量合成得

v_y＝f′(x)v_x 公式二

公式二是所述曲线方程两边对t₁求导而得，表示x，y方向的速度比等于轨道函数的一阶导数；公式三是公式二两边对t₁求导而得，表示加速度与轨道几何性质的关系；公式四和公式五表示合矢量模与分量模的关系；由公式二、公式三、公式四、公式五四个方程联解，得到任意点的运动参数；

(4)控制运动参数，实现轨迹。

2.如权利要求1所述的机床轨迹运动再现方法，其特征在于，还包括如下步骤：

(5)先根据几何特性和误差对规划轨迹分段：

采用如下公式对规划轨迹分段递推公式：

其中x_i是第i点的x值，f_i是函数f在第i点的值；用每段弧中点l_i的一阶导数作为替代直线的斜率以减小误差。

3.如权利要求1所述的机床轨迹运动再现方法，其特征在于，还包括如下步骤：

(6)轨迹误差状态评价:采用如下的轨迹运动的泛函分析方法：

设状态矢量U，时间变量t₁,其分量为轨迹运动函数及其导数：

矢量U的每一个分量为在一个坐标方向的运动方程的一种描述形式，给定点矢量u₀的每一个分量描述不同的运动参数值，矢量U的维度n为根据实际情况确定的小于或等于4的自然；

设f₀，f₁分别是给定轨迹运动和实际轨迹运动的位移，在Sobolev空间定义状态矢量的误差为：

式中，η表示求导次数，p表示幂次方，表示偏导，a表示偏导次数。