CN105676815A - 用于单臂多组合设备的调度和最优缓冲空间构造 - Google Patents

用于单臂多组合设备的调度和最优缓冲空间构造 Download PDF

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Abstract

本发明提供了一种用于调度单臂多组合设备的方法。本发明研究了具有线性拓扑结构且加工受限的单臂多组合设备的调度问题。本发明的目的是通过最优地构造多组合设备的缓冲区的空间，从而求解单产品周期调度以达到周期时间的下限。为此，建立了Petri网模型，通过扩展的面向资源Petri网来描述该系统的动态行为特性，通过确定机器人的等待时间而使调度参数化。基于该模型，提出了求解具有周期时间下限的单产品周期调度的条件。借助该条件，设计了用以求解这样的调度和最优地构造缓冲空间的算法。

Description

用于单臂多组合设备的调度和最优缓冲空间构造
优先权
本申请根据35U.S.C.§119要求2015年1月12日提交的美国临时专利申请No.62/102,108的优先权，所述专利申请的公开在此以其全部内容通过参引结合到本文中。
技术领域
本发明涉及一种用最优缓冲空间构造和调度单臂多组合设备的方法。
背景技术
说明书中引用了以下参考文献。这些参考文献的公开以其全部内容用过参引结合到本文中。
参考文献列表
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N.Q.Wu、M.C.Zhou和Z.W.Li的“Resource-orientedPetrinetfordeadlockavoidanceinflexibleassemblysystems”，系统、人类与控制论的IEEE会刊，2008b，编号no.1,56-69，第38卷，A部分。
F.J.Yang、N.Q.Wu、Y.Qiao和M.C.Zhou的“Petrinet-basedoptimalone-wafercyclicschedulingofhybridmulti-clustertoolsinwaferfabrication”，半导体制造的IEEE会刊，2014a，编号no.2,192-203，第27卷。
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J.G.Yi、S.W.Ding、D.Z.Song和M.T.Zhang的“Steady-StateThroughputandSchedulingAnalysisofMulti-ClusterToolsforSemiconductorManufacturing:ADecompositionApproach”，自动化科学与工程的IEEE会刊，2008，编号pp.321-336，第5卷。
M.C.Zhou和K.Venkatesh的“Modeling,simulationandcontrolofflexiblemanufacturingsystems:Petrinetapproach”，1998，新加坡，世界科学。
Q.H.Zhu、N.Q.Wu、Y.Qiao和M.C.Zhou的“Petrinet-basedoptimalone-waferschedulingofsingle-armmulti-clustertoolsinsemiconductormanufacturing“，半导体制造的IEEE会刊，2013，编号no.4,578-591，第26卷。
W.M.Zuberek的“TimedPetrinetsinmodelingandanalysisofclustertools”，机器人自动化的IEEE会刊，2001年10月，编号no.5,pp.562-575，第17卷。
早在二十年以前，在晶圆制造中就越来越多地采用组合设备来提高产品质量和缩短交货周期。通常，组合设备结合了数个处理模块(PM)、晶圆加工机器人(R)以及用于晶圆装载/卸载的一个或更多个真空锁(loadlock，LL)。在操作组合设备时，真空锁中的未加工的晶圆以特定的顺序依次传送至PM，并最终回到它们所来自的真空锁。机器人执行装载、传送和卸载操作。它可以是单臂或双臂的机器人，从而形成单臂或双臂的组合设备。多组合设备有多个单臂组合设备组成，如图1中所示，该多个单臂组合设备经由缓冲区相互连接，且为有限容量。
对于单组合设备而言，在建模、分析、调度和性能评估方面已经进行了大量的研究，参见文献[Perkinson等人，1994和1996；Venkatesh等人，1997；Zuberek，2001；Wu等人，2011和2012；以及Wu和Zhou，2010a、2012a和2012b]。这些研究表明，组合设备在多数情况下处于稳态。组合设备在所谓的传送受限(transport-bound)或加工受限(process-bound)模式下运作。当晶圆的加工时间占据了操作的大部分时间从而机器人具有空闲时间时，为加工受限的，否则在其他情况下，当机器人总是忙碌时，则为传送受限的。在实践中，机器人的移动时间远远短于晶圆加工时间，可以假定机器人的移动时间为恒定的，参见文献[Kim等人，2003]。因此，在实践中，组合设备通常为加工受限的，在加工受限的生产模式下，就单臂组合设备而言，拉式调度(向后调度)是最优的，参见文献[Kim等人，2003；Lee等人，2004；Lopez和Wood，2003；以及Dawande，2002]，而对双臂组合设备而言，交换调度是最优的，参见文献[Venkatesh等人，1997；以及Drobouchevich等人，2006]。然而，这些研究结果仅仅在不考虑严格的晶圆驻留时间约束(waferresidencytimeconstraint)时才是适用的。
晶圆在加工过程中必然会遇到严格的晶圆驻留时间约束，从而引发复杂的调度问题，参见文献[Kim等人，2003；以及Lee和Park，2005]。文献[Kim等人，2003；Lee和Park，2005；以及Rostami等人，2001]研究了具有晶圆驻留时间约束时双臂组合设备的调度，，并且提出了求解最优的周期调度的方法。为了提高计算效率，文献[Wu等人，2008；以及Wu和Zhou，2010a、2010b、2012a和2012b]针对该问题对单臂和双臂组合设备都进行了进一步的研究，，并设计了Petri网模型，该Petri网明确地描述了机器人等待。基于这些模型，通过简单地确定机器人何时应该等待以及机器人应该等待多久就能求解到最佳的周期调度，从而开发出了封闭式调度算法来求解该调度。此后，该方法被人们称为确定机器人等待时间的方法。
为了满足复杂的制造条件，在半导体制造业中，多组合设备已经使用长达十年之久。由于多组合设备的相互连接导致组合设备的耦合和依赖，因此，对它们的分析和调度比对单个组合设备的分析和调度更为复杂，参见文献[Chan等人，2011]。直至今日，对于该问题只有少量的研究报告。基于优先规则，文献[Jevtic，2001；Jevtic和Venkatesh，2001]中提出了启发式的调度方法。由于难以估计启发式方法的成效，因此Ding等人在文献[2006]中研发了集成的事件图和网络模型。随后，提出了扩展的关键路径方法来求解周期调度。文献[Yi等人，2008]忽略机器人移动时间，提出了分解的调度方法，将多组合设备分解为多个单组合设备，并且计算每个单组合设备的基本周期(FP)。最后，通过分析缓冲区模块(BM)中的机器人操作从而获得整个系统的FP。Chan等人[2011a和2011b]考虑机器人移动时间为常量，，开发了多项式算法来求解最优的多产品周期调度。
由于在实践中机器人任务时间远远短于晶圆加工时间，单组合设备多为加工受限的。因此，本发明假设多组合设备中的瓶颈单元为加工受限的。这种多组合设备被称为加工主导的工具，参见文献[Zhu等人，2013]。对于加工主导的工具而言，它的瓶颈单组合设备的FP一定是整个系统的周期时间的下限。众所周知的是，单产品周期调度更易实施和控制，且能够确保产品质量，参见文献[Dawande等人，2002；以及Drobouchevitch等人，2006]。因此，本发明的目的主要实现多组合设备的最优的单产品周期调度。
为了求解最优的单产品周期调度，Zhu等人在文献[2013]中通过使用机器人等待方法，研究了线性的加工主导的多组合设备的调度问题。该多组合设备由单臂组合设备和单容量BM组成。他们表明对于这种多组合设备总是存在最优的单产品周期调度，并且开发了有效的算法来求解该调度。他们还提出了能够通过单产品周期调度达到周期时间的下限的条件。对于该系统，文献[Yang等人，2014]进一步研究了该调度问题。研究表明，如果所有的BM都具有两个空间，则总能求解达到周期时间的下限的单产品周期调度。这些结果对于调度多组合设备而言是非常重要的。
通过上述研究可知，因为单空间BM，即使实现单产品周期调度，有时很难达到周期时间的下限，这意味着生产率的的损失。借助双空间BM，虽然能达到最大生产率。然而，需要为额外的空间支付费用。因此，关键问题是如何最优地构造缓冲空间以便求解单产品周期调度从而达到最大生产率。这给了笔者进行该项研究的动机。文献[Zhu等人，2013；以及Yang等人，2014]中，研究了线性的单臂加工主导的多组合设备。建立了Petri网(PN)模型，用于描述该系统的动态行为。借助该模型，基于机器人等待方法，求解单产品周期调度的条件，从而使多组合设备各个单元能够协同运作。最后，提出了求解该调度并构造缓冲空间的算法。该算法涉及机器人等待时间的简单地计算，并且计算效率高。此外，缓冲空间构造就所需的缓冲空间的数量而言也是最优的。
本领域中需要一种以最优缓冲空间构造和调度单臂多组合设备的方法。
发明内容
本发明的一方面是提供一种以最优缓冲空间构造和调度单臂多组合设备的方法。
根据所要求保护的本发明的实施方式，以最优缓冲空间构造调度单臂多组合设备的方法包括：通过处理器，获得晶圆加工时间、机器人晶圆装载和卸载时间以及机器人移动时间；通过处理器，基于晶圆加工时间、机器人装载和卸载时间以及机器人移动时间，计算完成晶圆的最短时间；通过处理器，基于机器人晶圆装载和卸载时间以及机器人移动时间，计算机器人周期时间；通过处理器，根据从完成晶圆的最短时间以及机器人周期时间中选择最大值，确定基本周期；通过处理器，按如下情况确定组合设备的类型：如果基本周期为完成晶圆的最短时间的值，则该组合设备的类型为加工受限的；否则，该组合设备的类型为传送受限的；通过处理器，基于具有基本周期的最大值的组合设备的类型，确定该多组合设备为加工受限的还是传送受限的；通过处理器，基于基本周期的最大值，确定周期时间的下限；通过处理器，基于Petri网模型，确定用于调度的算法和缓冲空间构造；以及，通过处理器，基于该算法，计算机器人等待时间；通过处理器，基于该算法和周期时间的该下限，计算晶圆逗留时间(sojourntime)；通过处理器，基于晶圆逗留时间和机器人等待时间，确定缓冲模型的缓冲空间；以及，通过处理器，基于缓冲模型的该缓冲空间以及周期时间的该下限获得调度。
本发明研究了具有线性拓扑且加工受限的单臂多组合设备的调度问题。本发明的目的是通过最优地构造多组合设备的缓冲区的空间，从而求解单产品周期调度以达到周期时间的下限。为此，建立了Petri网模型，通过扩展的面向资源Petri网来描述该系统的动态行为特性，通过确定机器人的等待时间而使调度参数化。基于该模型，提出了求解具有周期时间下限的单产品周期调度的条件。借助该条件，设计了用以求解这样的调度和最优地构造缓冲空间的算法。通过导出的条件，得出了求解调度和最优地构造缓冲空间的算法。该算法仅仅需要用简单的计算来设定机器人的等待时间和构造缓冲空间。最后给出了说明性示例来验证所提出的方法。
附图说明
在后文中参照附图更详细地描述了本发明的实施方式，附图中：
图1示出了线性拓扑的多组合设备；
图2描绘了用于处理工序PSij的PN模型；
图3描绘了用于BM的PN模型；
图4描绘了用于工具Ci的PN模型。
具体实施方式
在下面的说明中，以优选的示例描述了用于以最优缓冲空间构造调度单臂多组合设备的方法。对本领域的技术人员而言显而易见的是，在不背离本发明的范围和精神的情况下可以做出包括增加和/或置换在内的改型。为了避免使得本发明难以理解，可能省略了特定的细节；然而，撰写本公开是为了使得本领域的一般技术人员能够在无需过度的实验的情况下实行本文的指教。
在A部分中，开发了PN模型。基于该模型，B部分给出了通过设定机器人等待时间而调度单组合设备的方法。C部分求导出能够为单个工具获得+具有周期时间的下限的单产品周期调度的条件。随后，提出了用于调度多组合设备和构造缓冲空间的有效的算法。使用了示例来验证D部分中所提出的方法。
A.系统建模
由K个单组合设备组成的多组合设备被称为K-组合设备。从拓扑范畴上说，K-组合设备可以为线性的或为树状的。如图1所示，本发明对该单臂组合设备组成的线性的且为加工主导型的K-组合设备进行调度和缓冲空间设计。在后文中，除非特别说明，K-组合设备均指的是这种多组合设备。令 且在K-组合设备中的第i个工具由Ci指定，其中，C1和CK分别为首尾的一个。在Ci中，存在至少一个加工工序，并且，在CK中，存在至少两个加工工序，否则可以从K-组合设备中移除。对于调度而言，链接单个设备的真空锁和BM可以被当作是加工时间为零的加工工序。Ci和Ci+1的BM用于将晶圆从Ci传递至Ci+1。因此，该BM对于Ci而言是输出缓冲区，和对于Ci+1而言是输入缓冲区。假设在Ci,中总共有n[i]+1个工序，其中，包括对于BM的工序。在Ci中，将进来的BM编号为工序0并且将最后的工序编号为工序n[i]，而其他工序以该顺序进行编号。可将多个PM构造为用于为一个工序服务。由于在本发明中获得的结构可以扩展到多PM工序的情形，因此，假定对于每个加工工序存在一个PM。然而，代表BM的工序可以具有大于一个的空间。Ci中的第j个加工工序,用PSij表示。将链接Ci和Ci+1的BM编号为工序b[i]和0，对于Ci和Ci+1，分别用PSi(b[i])和PS(i+1)0表示。令Ri为Ci中的机器人。这样，Ci中的工序为PSi0,PSi1,…,PSi(b[i]),PSi(b[i]+1),…,PSi(n[i]，其中，PSi0和PSi(b[i])分别表示输入和输出工序。晶圆加工路线为：PS10→PS11→…→PS1(b[1])(PS20)→PS21→…→PS2(b[2])(PS30)→…→PS(K-1)(b[K-1])(PSK0)→PSK1→…→PSK(n[K])→…→PSK0(PS(K-1)(b[K-1]))→PS(K-1)(b[K-1]+1)→…→PS30(PS2(b[2]))→PS2(b[2]+1)→…→PS20(PS1(b[1]))→…→PS1(n[1])→PS10。
对于本发明中所研究的K-组合设备而言，如文献[Chan等人，2011a和2011b]所述，假设：1)所有的晶圆遵循相同的加工顺序并且仅访问每个PM一次；2)PM一次能够加工一个晶圆；3)活动时间是确定的且已知的；4)机器人的装载和卸载时间是相同的；以及5)每个BM能够容纳一个或两个晶圆。
A.1晶圆流的建模
作为有效的建模工具，Petri网(PN)广泛地用于离散事件系统建模。本发明在文献[Wu，1999；Wu和Zhou，2001和2010c；以及Wu等人，2008b]中开发的面向资源PN基础上，扩展到对K-组合设备进行建模。文献[Zhou和Venkatesh，1998；以及Wu和Zhou，2009]介绍了有限容量PN的基本概念。有限容量PN是一个六元组，PN＝(P,T,I,O,Ω,M,Γ)，其中，P＝{p1,p2,...,pm}为库所(place)的有限集；T＝{t1,t2,...,tn}为变迁的有限集，其中，且为输入函数；为输出函数；Ω:P→{c1,c2,…,cn}和Ω:T→{c1,c2,…,cn}为颜色集合；为表示库所中的令牌的数量的标志，其中M0为初始标志；以及Γ:P→{1,2,3,…}为容量函数，其中，Γ(p)代表p每次能够容纳令牌的最大数量。●t＝{p:p∈P且I(p,t)>0}为变迁t的前置集，即指向t的所有输入库所的集合。,即，。t●＝{p:p∈P且O(p,t)>0}为变迁t的后置集，即从t输出的所有库所的集合。类似地，p的前置集为●p＝{t∈T:O(p,t)>0}且后置集为p●＝{t∈T:I(p,t)>0}。文献[Wu和Zhou，2009和2010c]定义了变迁的使能和触发规则。
从M0可获得的所有标志的集由R(M0)表示。对于每个标志M∈R(M0)而言，如果能够在一些触发顺序中触发至少一次则PN中的变迁为活变迁。如果每个变迁为活的，则PN为活的。PN的活性可以确保该模型中的所有事件或活动发生。
A.2K-组合设备的PN
在K-组合设备的操作中，主要存在三种状态：初始变迁状态、稳定状态以及最终变迁状态。虽然本发明主要求解稳定状态的周期调度，但是存在组合设备进入稳定状态的初始变迁过程以及存在当组合设备需要结束时的最终变迁过程。因此，设计能够描述所有的状态的动态行为的模型是很重要的。调度K-组合设备的关键之处在于如何协调多机器人在BM中的运作，并使其同步。因此，如果能够建立单个组合设备和BM的模型，并扩展至整个系统，就能详细地描述K-组合设备的动态行为。因此。如下所述，设计了单组合设备的PN模型。
首先，图2示为Ci的PSij的模型。赋时的库所pij——其中Γ(pij)＝1, 且——用于对PM建模。用p10对C1中真空锁建模，其中，Γ(p10)＝∞,代表在加工中能够容纳所有的晶圆。机械手的等待事件在多组合设备调度中起着重要作用。用库所qij表示Ci的机械手Ri在卸载模块PMij中加工完毕晶圆之前的等待事件。库所zij和dij分别用于表示：在Ci的机械手Ri持有1片晶圆(令牌)将要载入库所pij和移动至工序j+1(或工序0，如果j＝n[i])。赋时的tij和uij对Ri的将晶圆装载至pij和从pij卸载晶圆分别进行建模。形象地说，pij和qij由表示◎，zij和dij由○表示，而变迁由—表示。
对于Ci和Ci+1的BM而言，库所pi(b[i])用于对Ci的输出缓冲区进行建模，而p(i+1)0用于对Ci+1的输入缓冲区进行建模。实际上，pi(b[i])和p(i+1)0为同一BM。使用两个库所来对BM进行建模，这是因为该BM既为Ci又为Ci+1服务。需要构造BM中的库所的最小数量以便能够获得单产品周期调度从而达到周期时间的下限。因此，在对BM进行建模时，假设BM具有两个库所，则Γ(pi(b[i]))＝Γ(p(i+1)0)＝2。当调度该系统时，对于BM而言，如果在任一时间，仅存在一个令牌，则该BM构造单库所。然而，如果在某些情况下，BM中存在两个令牌，则为该BM构造两个库所。随后，使用pi(b[i])、qi(b[i])、zi(b[i])、di(b[i])、ti(b[i])和ui(b[i])对Ci中工序pi(b[i])进行建模，而使用p(i+1)0、q(i+1)0、z(i+1)0、d(i+1)0、t(i+1)0和u(i+1)0来为Ci+1对工序0进行建模。这样，如图3所示获得BM的PN模型。
在图3所示的PN模型中，pi(b[i])(p(i+1)0)具有两个输出变迁ui(b[i])和u(i+1)0，从而造成冲突。注意到，当ti(b[i])触发，令牌进入pi(b[i])时，则u(i+1)0使能，而当t(i+1)0触发令牌进入p(i+1)0时，则ui(b[i])使能。为了描述和解决这种冲突，将颜色引入该PN模型。
定义2.1：在p∈●ti中变迁ti具有独特的颜色Ω(ti)＝{ci}和令牌，其中使得ti能够具有颜色{ci}。
根据定义2.1，ui(b[i])和u(i+1)0分别具有颜色ci(b[i])和c(i+1)0。当令牌通过触发进入pi(b[i])时，ti(b[i])具有颜色c(i+1)0，而当令牌通过触发进入p(i+1)0时，t(i+1)0具有颜色ci(b[i])。因此，根据变迁使能和触发规则，PN模型是没有冲突的。
基于加工工序和BM的PN模型，可以建立如图4所示的设备Ci,的PN模型。库所ri，其中Γ(ri)＝1，对机器人Ri进行建模并且由表示。ri中的令牌表示机器人是可用的。弧(ri,yij)、(yij,qij)和变迁yij表示Ri在没有夹持晶圆的情况下从工序j+2移动至j(或从工序0，当j＝n[i]-1时；或从工序1，当j＝n[i]时)的运动进行建模。圆弧(dij,xij)、(xij,zij+1)和变迁xij表示Ri在夹持晶圆的情况下从工序j移动至j+1(或至工序0，当j＝n[i]时)。这样，如图4所示，获得了Ci,的PN模型。由于在C1中由SP10表示的真空锁为输入缓冲区，但是不与任何其他的单个设备共享，因此，通过用SP10的模型代替图4中的进来的缓冲区的PN模型，能够获得C1的PN模型。类似地，通过用SPKj的模型替换图4中的输出缓冲区的PN模型，获得CK的PN模型。
通过建立PN模型，能够设定初始标志M0。假设总是存在有待加工的晶圆，并且真空锁能够容纳加工中的所有晶圆，则设定M0(p10)＝n。由于K-组合设备为加工主导的，或则它的瓶颈组合设备为加工主导的，因此，在稳定状态下，如果在每个加工工序中都存在处于加工中的晶圆，则实现了最大的生产率。因此，对于C1，设定M0(p1j)＝1,M0(p1j)＝0，j∈{b[1],b[1]-1}；M0(z1j)＝0,M0(z1(b[1]))＝1；M0(d1j)＝0,M0(q1j)＝0,以及M0(r1)＝0。通过该设定，R1在工序b[1]做好准备用于将晶圆装载到SP1(b[1])中。对于Ci,2≤i≤K,设定M0(pij)＝1,并且M0(pij)＝0,以及j∈{0,1,b[i]}；M0(pK0)＝M0(pK1)＝0；M0(zij)＝M0(dij)＝0,并且M0(qij)＝0,以及M0(qi0)＝1,并且M0(ri)＝0,通过这样设定，Ci中的Ri在工序0用于将晶圆从SPi0卸载。
根据变迁使能和触发规则，如果在●ti(加工使能的)中存在具有颜色ci的令牌并且在ti ●(资源使能的)中存在至少一个自由空间，则变迁ti使能。根据该规则，对于M0处的Ci而言，假设变迁触发顺序<yi1→ui1→xi1>执行从而使得令牌进入zi2中。在该状态下，ti2为唯一的加工使能的变迁，但它不是资源使能的，这是由于M0(pi2)＝Γ(pi2)＝1。换言之，该系统发生死锁。为了解决死锁，在该模型中引入控制策略以使得该模型变成受控的PN，参见文献[Wu,1999]。对于受控的PN而言，如果变迁t是过程、资源、控制使能的，那么称t是使能的。基于文献[Wu等人，2008a]，对于上述开发的PN，所有的yij受到控制并且定义如下控制策略。
定义2.2：在标志M处，变迁yij,b[i]-1}在当M(pi(j+1))＝0时被称为控制使能；,当ti1 刚刚被触发时，变迁yi(n[i])为控制使能的；当ti(b[i+1]) 刚刚被触发时，yi(b[i-1])为控制使能的。
遵循文献[Wu等人,2008a]，通过定义2.2中给出的控制策略，单臂组合设备不会发生死锁。当应用定义2.2中给出的控制策略时，K-组合设备的PN模型不会发生死锁。
假设，K-组合设备为加工主导的，并且拉式调度策略对于每个设备而言是最优的。则应用拉式调度策略，从M0开始，C1中的R1通过触发t1(b[1])而将晶圆装载到p1(b[1])中。随后，R1移动至p1(b[1]-2)以便触发u1(b[1]-2)。在触发t1(b[1)后，u20通过C2中的R2立即触发并且令牌被移动至p21。以此类推，Ri, 进行类似的动作。可以如下所述地对单个设备的变迁触发过程进行描述。对于C1而言，变迁触发顺序为<t1(b[1])→y1(b[1]-2)→u1(b[1]-2)→x1(b[1]-2)→t1(b[1]-1)→…→y10→u10→x10→t11→y1(n[1])→u1(n[1])→x1(n[1])→t10→y1(n[1]-1)→u1(n[1]-1)→x1(n[1]-1)→t1(n[1])→…→y1(b[1])→u1(b[1])→x1(b[1])→t1(b[1]+1)→y1(b[1]-1)→u1(b[1]-1)→x1(b[1]-1)→t1(b[1])重复>；对于Ci而言，<ui0→xi0→ti1→yi(n[i])→ui(n[i])→xi(n[i])→ti0→yi(n[i]-1)→ui(n[i]-1)→xi(n[i]-1)→ti(n[i])→…→yi(b[i])→ui(b[i])→xi(b[i])→ti(b[i]+1)→yi(b[i]-1)→ui(b[i]-1)→xi(b[i]-1)→ti(b[i])→…→yi0→ui0重复>；以及，对于CK而言，<uK0→xK0→tK1→yK(n[K])→uK(n[K])→xK(n[K])→tK0→yK(n[K]-1)→uK(n[K]-1)→xK(n[K]-1)→tK(n[K])→…→yK0→uK0重复>。在这样的过程中，每次在ti(b[i]),触发后，u(i+1)0能够触发，并且在t(i+1)0触发后，ui(b[i])能够触发。这样，该系统能够保持工作。关键是如何调整ti(b[i])、u(i+1)0、t(i+1)0和ui(b[i]),的触发。
可以从K-组合设备的空闲状态开始进行分析，在空闲状态下，不存在处于加工中的晶圆。该状态能够通过利用虚拟令牌V0建模。假设，在M0处，PN模型中的每个令牌为虚拟令牌V0。则PN模型根据变迁使能和触发规则进行触发，使得无论何时u10触发时，代表真实晶圆的令牌都被传递至该系统中。这样，当所有的V0令牌从该模型移除后，初始变迁过程结束并且到达稳定状态。该方法表明PN模型不仅描述了稳定状态还描述了空闲状态和初始变迁过程。类似地，它还能够描述最终变迁过程。
A.3活动时间建模
为了描述K-组合设备的PN模型的时序特性，将时间与库所和变迁相关联。当时间ζ与变迁t相关联时,t的触发应当持续长达ζ时间单元；而当时间ζ与库所p相关联时，令牌在它使能其输出变迁之前应当在p中停留长达至少ζ时间单元。如Kim等人在文献[2003]中所指出的，对于Ri而言，用于将晶圆装载到PM、真空锁和BM中/从PM、真空锁和BM卸载的时间是相同的，并且该时间由λi表示。类似地，对于Ri而言，无论Ri是否夹持晶圆，在PM、真空锁和BM之间移动的时间也是相同的，并且该时间由μi表示。单元Ci中在工序j中加工晶圆的时间为αij。令ωij和τij分别代表Ri在qij中的等待时间和在Ci中在工序j中晶圆逗留时间。在表格I中总结了变迁和库所的时间。
表格I赋时变迁和赋时库所的时间
到目前为止，完成了K-组合设备的建模。为了调度K-组合设备，需要调度它的单个组合设备，并且同时，需要协调多个机器人的活动。如果所有的设备同步(pacedway)，并且同时每个设备具能够以独立地方式运作，则为K-组合设备获得周期调度。基于该概念，接下来讨论单个组合设备的调度问题。
对于组合设备Ci而言，基于PN模型，首先分析在工序j,完成晶圆加工所需的时间。根据PN模型，为了在工序j完成晶圆，执行以下的变迁触发序列：σ1＝<触发uij(时间λi)→xij(μi)→ti(j+1)(λi)→yi(j-1)(μi)→Ri在qi(j-1)(ωi(j-1))中等待→ui(j-1)(λi)→xi(j-1)(μi)→tij(λi)→在pij(αij)中加工晶圆→uij(λi)重复>。这样，当j＝n[i]时，需要用<ti0(λi)>替换<ti(j+1)(λi)>而不改变所需时间。
对于BM而言当j＝b[i]时，令ξ1为触发ti(b[i])结束的时间点而ξ2为触发ui(b[i])开始的时间点。虽然，对于BM而言，不存在晶圆加工功能并且由ti(b[i])和ui(b[i])传递的晶圆(令牌)是不同的，但对于调度目的而言，仅考虑所需的时间。因此，可以将αi(b[i])＝ξ2-ξ1当作是对于BM而言的虚拟晶圆加工时间，其与晶圆加工工序的αij相一致。
类似地，当j＝0时，令ρ1为触发ti0结束的时间点而ρ2为触发ui0开始的时间点。则，αi0＝ρ2-ρ1可以被当作是对于工序0而言的虚拟晶圆加工时间。因此，在工序j中完成晶圆所花的时间为：
ζi0＝αi0+4λi+3μi+ωi(n[i])(3.2)
注意到工序SP10用于真空锁。假设，总是存在准备好的待加工的晶圆。因此，在触发t10后，u10能够立即触发，从而导致α10＝0。而且，根据用于Ci和K-组合设备的调度，αi(b[i])和αi0可以为零。
如果从(3.1)和(3.2)中移除Ri的等待时间，则在工序j完成晶圆的最短时间为：
如果1片晶圆在Ci的第j道工序停留时间超过加工时间，即，τij≥αij,则系统的调度仍是可行的。于是在(3.1)和(3.2)中,用大于或等于αij的τij替换αij得到：
ηi0＝τi0+4λi+3μi+ωi(n[i])(3.5)
随后，需要分析Ri在Ci中的周期时间。在该循环中，Ri执行活动序列σ2＝<触发yi(n[i])(μi)→在qi(n[i])(ωi(n[i]))中等待→u(n[i])(λi)→xi(n[i])(μi)→ti0(λi)→...→yi(j-1)(μi)→在qi(j-1)(ωi(j-1))中等待→ui(j-1)(λi)→xi(j-1)(μi)→tij(λi)→yi(j-2)(μi)→在qi(j-2)(ωi(j-2))中等待→ui(j-2)(λi)→xi(j-2)(μi)→ti(j-1)(λi)→...→yi0(μi)→在qi0(ωi0)中等待→ui0(λi)→xi0(μi)→ti1(λi)→yi(n[i])(μi)重复>。在该过程中，所有的变迁仅触发一次并且在qij中存在等待时间。由于存在(n[i]+1)yij、uij、xij、tij以及qij，因此能够计算Ci中对于Ri的周期时间：
其中，ψi1＝2(n[i]+1)(λi+μi)为Ri在周期内的移动且为恒定的，而 为Ri在周期中的等待时间。
令πi＝max{ζi0,ζi1,…,ζi(n[i]),ψi1}代表对于Ci的基本周期(FP)，参见文献[Perkinson等人，1994；以及Venkatesh等人，1997]。如果πi＝max{ζi0,ζi1,…,ζi(n[i])}，则Ci为加工受限的，否则，为传送受限的。由于Ci中的工序以串行方式操作，因此，每道工序的生产率应当为相同的，或者，在Ci中在每道工序完成晶圆所花的时间应当为相同的。令ηi为对于Ci完成晶圆所花的时间。于是，得到：
ηi＝ηi0＝ηi1＝…＝ηi(n[i])(3.7)
其表明，在稳定状态下，Ci中的所有工序具有相同的周期时间。通过审查σ1和σ2，能够得出，Ri的周期时间与每个工序的周期时间相同。因此，得到：
ψi＝ηi＝ηi0＝ηi1＝…＝ηi(n[i])(3.8)
从(3.6)得出，Ri的周期时间由ψi1和ψi2组成，其中ψi1为已知的常数，而ψi2为机器人等待时间ωij的和，其中，ωij将通过调度确定。因此，调度单个设备的问题转化为如何确定ωij的问题，或者，对于单个设备的调度问题通过ωij参数化。根据这些结果，接下来讨论如果构造BM的空间从而求解单产品周期调度以便达到K-组合设备的周期时间的下限。
C.K-组合设备的调度
令Π＝max{π1,π2,…,πK}并且假设Π＝πh，Ch的FP。这表明，Ch是K-组合设备中的瓶颈设备。令η为K-组合设备调度的周期时间。于是，得到η≥Π，即，Π为K-组合设备的任一周期调度的周期时间的下限。令ηi为Ci的单产品周期调度的周期时间，为了通过周期时间η求解K-组合设备的单产品周期调度，得到以下结果:
命题4.1：为了通过周期时间η获得K-组合设备的周期调度，对于其单个工具Ci,而言，其周期时间应当等于η或者，
η1＝η2＝…＝ηK＝η(4.1)
证明：通过该对于Ci、在标志M处，链接Ci和Ci+1的所设计的PN模型，假设tib[i]在时间ξ1触发使得令牌在ξ2＝ξ1+λi进入p(i)(b[i])(p(i+1)0)。此外，假设在ξ2，在q(i+1)0中存在令牌。通过变迁使能和触发规则，在触发tib[i]之后，使能u(i+1)0并且u(i+1)0在ξ2触发。随后，在Ci中，在一个周期后，tib[i]再次触发使得另一令牌在ξ3＝ξ2+ηi进入p(i)(b[i])(p(i+1)0)。在ξ3之后，对于Ci+1而言，当令牌进入q(i+1)0时，u(i+1)0能够仅在ξ4≥ξ3＝ξ2+ηi再次触发。因此，得到ηi+1＝ξ4-ξ2≥ξ3-ξ2＝(ξ2+ηi)–ξ2＝ηi，或者ηi+1≥ηi。同样，可以得到ηi≥ηi+1。这表明ηi＝ηi+1。因此，得到η1＝η2＝…＝ηK。由于K-组合设备的周期时间等于C1的周期时间，因此，得到η1＝η2＝…＝ηK＝η，或者，该命题成立。
为了使K-组合设备的生产率最大化，期望调度成使得达到下限周期时间Π。为了容易实现最优的单产品周期调度。从命题4.1得出，K-组合设备应当调度满足：
η1＝η2＝...＝ηK＝η＝Π＝πh(4.2)
从Zhu等人[2013]的文献中得出，对于K-组合设备而言，可能不存在使得到达下限周期时间的周期调度。可以通过增大BM中的缓冲空间来求解具有周期时间的下限的单产品周期调度。文献[Yang等人，2014]表明，通过在每个BM中设置两个缓冲空间，总能求解具有周期的下限的单产品周期调度。于是，问题是在每个BM中是否需要两个缓冲空间？本发明通过构造最小缓冲空间从而解决具有周期时间的下限的单产品周期调度问题。
C.1调度分析
根据上文的分析，为了到达周期时间的下限，对于Ci,而言，应当求解单产品周期调度从而使得它的周期时间为Π。如上文所述，如果应用该方法获得了周期下限的单产品周期调度，确定了触发ti0、ui0、ti(b[i])和ui(b[i])的时间。在某一时刻，这些变迁根据调度应当触发，则它使能并且能够触发，于是，每个单个设备就能够独立地运作。这样，就实现了K-组合设备具有周期时间Π的单产品周期调度。由于本发明中所处理的K-组合设备为加工主导的，因此得到Π＝πh并且Π≥πi以及ψi2＝Π-ψi1≥0,这表明当Ci,为传送主导型组合设备时，通过减少当前在设备中正在加工的晶圆数量而减少周期时间是无意义的。对于加工主导型K-组合设备，每个单组合设备可以用拉策略调度。根据单个组合设备的调度方法，最优地调度加工主导型K-组合设备，就是确定各个机械手的等待时间ωij’s(i∈NK和j∈Ωn[i])以最优地协调它们的动作。对Ci,应该采用拉式调度策略进行调度。为了获得Ci,的单产品周期调度以使得它的周期时间为Π，根据上部分的讨论，得到ηij＝Π＝πh,于是，从(4.2)得到：
通过(4.3)，所有的单个设备能够以节拍的方式操作。于是，为了协调多个机器人以使得当ti0、ui0、ti(b[i])和ui(b[i]),中的任一变迁根据调度规则应该触发时，变迁是使能，需要分析K-组合设备的动态行为。
定理4.1：对于加工主导的K-组合设备而言，当且仅当Ci-1和Ci的BM以及Ci和Ci+1的BM均具有一个缓冲空间并且满足如下条件时，就能够通过确定Ci,中的机器人等待时间ωij和ω(i+1)f来求解具有周期时间Π的单产品周期调度：
τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])(4.4)
τ(i+1)0≥4λi+3μi+ωi(b[i]-1)(4.5)
证明：必要性：考虑Ci和Ci+1,和该BM中的工序b[i]。根据(3.4)、(3.5)和(4.3)，该工序的周期时间应满足ηi(b[i])＝Π＝τi(b[i])+4λi+3μi+ωi(b[i]-1),因此晶圆逗留时间为τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi+ωi(b[i]-1))。基于图3中的PN模型，ti(b[i])触发后，晶圆装载到pi(b[i])(p(i+1)0)中。令φ1表示ti(b[i])结束时刻。假设，ti(b[i])触发后，u(i+1)0触发，在φ1时间点后，pi(b[i])(p(i+1)0)中的令牌立即传递至Ci+1。于是，Ci+1中的Ri+1执行变迁触发序列σ1＝<u(i+1)0触发(λi+1)→x(i+1)0(μi+1)→t(i+1)1(λi+1)→y(i+1)(n[i+1])(μi+1)→在q(i+1)(n[i+1])(ω(i+1)n[i+1])中等待→u(i+1)(n[i+1])(λi+1)→x(i+1)(n[i+1])(μi+1)→t(i+1)0(λi+1)>，这样Ci+1中的新的令牌通过变迁t(i+1)0触发而被装载到p(i+1)0(pi(b[i]))中，从而使得变迁ui(b[i])使能。令φ2表示晶圆装载到p(i+1)0(pi(b[i]))中时刻(t(i+1)0触发后)。令Θ＝(φ2-φ1)+4λi+3μi+ωi(b[i]-1)，于是，Ci中的工序b[i]的周期时间必然大于或等于Θ。根据σ1，得出φ2-φ1＝4λi+1+3μi+1+ω(i+1)n[i+1]。此外，假设τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])不成立，或者φ2-φ1＝4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])>τi(b[i])。这表明Θ＝(φ2-φ1)+4λi+3μi+ωi(b[i]-1)>τi(b[i])+4λi+3μi+ωi(b[i]-1)＝Π，这与Ci的周期时间为Π相矛盾。因此，(4.4)是必要条件。同理，若τ(i+1)0≥4λi+3μi+ωi(b[i]-1)不成立，则Ci+1的生产节拍大于Θ，导致矛盾。所以(4.5)是必要的。
充分性：基于图3中所示的PN模型，考虑Ci和Ci+1的BM以及Ci中的工序b[i]。周期时间满足Π＝τi(b[i])+4λi+3μi+ωi(b[i]-1)。令φ3表示变迁ti(b[i])的(即载入晶圆到pi(b[i])(p(i+1)0))结束时刻。同时，u(i+1)0开始在φ3触发并且随后执行σ1。令φ4表示执行变迁ti(b[i])之后的首次触发ui(b[i])的起始时刻。因此，得到φ4-φ3＝4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])。依据(4.4)，得到τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])。这表明ui(b[i])在φ5开始触发，其中φ5-φ3＝τi(b[i])。因此，得到φ5-φ3＝τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])＝φ4-φ3。换言之，当ui(b[i])触发时，在p(i+1)0(pi(b[i]))中已经存在令牌，或者ui(b[i])使能。然后，ui(b[i])触发，当ti(b[i])触发时，由于τ(i+1)0≥4λi+3μi+ωi(b[i]-1)，因此p(i+1)0(pi(b[i]))为空。这表明ti(b[i])使能。同理，考虑Ci和Ci-1之间的缓冲区工序PSi0，若(4.5)成立，其调度也是可执行的注意到，在上文讨论的过程中，最多存在一个令牌p(i+1)0(pi(b[i]))，或者，一个缓冲空间时足够的。
根据定理4.1中，当(4.4)和(4.5)均成立时，设备Ci可以实现周期时间Π的单产品周期调度，且能够独立地运作。然而，考虑Ci和Ci+1,的BM，当条件(4.4)和(4.5)中的一个成立时，另一个也成立。因此得到以下推论。
推论4.1:对于由BM链接的Ci和Ci+1而言，如果定理4.1中的条件(4.4)成立，则(4.5)成立；反之亦然。
证明：假设τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])成立。就Ci中的工序b[i]而言，通过(3.4)、(3.5)和(4.3)，得出Π＝τi(b[i])+4λi+3μi+ωi(b[i]-1)，从而导出τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi+ωi(b[i]-1))≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])。对于Ci+1中的工序0而言，通过(3.4)、(3.5)和(4.3)，得出Π＝τ(i+1)0+4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])，从而导出4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])＝Π-τ(i+1)0。因此，Π-(4λi+3μi+ωi(b[i]-1))≥4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])＝Π-τ(i+1)0，从而导出τ(i+1)0≥4λi+3μi+ωi(b[i]-1)。同理，如果(4.5)成立，(4.4)也成立。
从推论4.1得出，如果条件(4.4)和(4.5)中的一个成立，为了确保多组合设备具有周期时间Π的单产品周期调度，需要Ci-1和Ci的BM以及在Ci和Ci+1的BM中设置一个缓冲空间。然而，对于Ci-1和Ci的BM以及Ci和Ci+1的BM而言，条件(4.4)和(4.5)可能不会同时满足。通过观察(4.4)，当τi(b[i])<4λi+1+3μi+1时得出τi(b[i])<4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])。于是，得出以下结果。
定理4.2：对于加工主导的K-组合设备而言，当链接,Ci-1和Ci的BM具有一个缓冲空间，链接Ci和Ci+1的BM具有两个空间，并且满足如下条件时，能够通过确定Ci,中机器人等待时间ωij和ω(i+1)f来求解具有周期时间Π的单产品周期调度：
τ(i-1)(b[i-1])≥4λi+3μi+ωi(n[i])(4.6)
以及τi(b[i])<4λi+1+3μi+1(4.7)
证明：从定理4.1得出，如果满足条件(4.6)并且在Ci-1和Ci的BM中存在一个缓冲空间，Ci能够以周期时间Π调度，从而使得，无论tio和uio何时触发，它们都会被使能并且能够触发。接着，检查ti(b[i])和ui(b[i])。Ci和Ci+1的BM中具有两个缓冲空间，假设在标志M处，在zi(b[i])中存在具有颜色ci(b[i])的令牌并且在pi(b[i])(p(i+1)0)中存在具有颜色ci(b[i])的令牌，即ui(b[i])使能。在该标志处，K(pi(b[i]))-M(pi(b[i]))＝1，则表明存在一个未占用的空间，从而ti(b[i])使能。然后，该系统执行如下如下调度。变迁ti(b[i])触发，并且，具有颜色c(i+1)0的令牌被装载到pi(b[i])(p(i+1)0)中。令φ1为变迁ti(b[i])结束时刻。注意到，在此时，在pi(b[i])(p(i+1)0)中同时存在两个不同颜色的令牌。在触发ti(b[i])之后，u(i+1)0在φ1立即触发。而且，在τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi+ω(i)(b[i]-1))时刻后，ui(b[i])在时间φ2＝φ1+τi(b[i])＝φ1+Π-(4λi+3μi+ω(i)(b[i]-1))触发并且机械手已经从pi(b[i])(p(i+1)0)移除了令牌。对于Ci+1而言，u(i+1)0在φ1触发，执行σ1。令φ3为变迁t(i+1)0的结束时刻。得到φ3＝φ1+4λi+1+3μi+1+ω(i+1)(n[i+1])。由于τi(b[i])＜4λi+1+3μi+1,φ2＝φ1+τi(b[i])＜φ1+4λi+1+3μi+1＜φ1+4λi+1+3μi+1+ω(i+1)n[i+1]＝φ3,或者φ2＜φ3。这意味着不存在冲突。在φ3时刻，pi(b[i])(p(i+1)0)中存在空余空间从而使得ti(b[i])能够根据调度再次触发。
定理4.2表明，当τi(b[i])<4λi+1+3μi+1时，在链接Ci和Ci+1的BM中的两个缓冲空间是足够的。从定理4.1得出，当τi(b[i])<4λi+1+3μi+1时，在链接Ci和Ci+1的BM中的一个缓冲空间是不足够的。因此，立即得出以下推论。
推论4.2：对于加工主导的K-组合设备而言，当τi(b[i])<4λi+1+3μi+1时，为了获得周期时间Π的单产品周期调度，在Ci和Ci+1的BM中必需设置两个缓冲空间。
为了达到周期时间为Π，τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi+ω(i)(b[i]-1))。这表明，τi(b[i])随着ω(i)(b[i]-1)的增加而减少。从定理4.1得出，调度单个设备以使得τi(b[i])尽可能地大，即令ω(i)(b[i]-1)尽可能地小。由于如果设定ωi(n[i])＝ψi2，则得到ω(i)(b[i]-1)＝0并且τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi)最大化。因此得到定理4.3。
定理4.3：对于加工主导的K-组合设备而言，当τi(b[i])<4λi+1+3μi+1并且Ci和Ci+1的BM具有两个缓冲空间时，通过设定ω(i+1)(n[i+1])＝ψ(i+1)2，使得Ci和Ci+1都能够以周期时间Π调度，从而使得ti(b[i])、ui(b[i])、t(i+1)0和u(i+1)0根据调度需要触发时即可触发。
证明：和定理4.2的证明一样，ti(b[i])的触发在φ1结束，ui(b[i])在时间φ2＝φ1+τi(b[i])＝φ1+Π-(4λi+3μi+ω(i)(b[i]-1))触发，并且t(i+1)0的触发在φ3结束。得出φ2＝φ1+τi(b[i])＜φ1+4λi+1+3μi+1＜φ1+4λi+1+3μi+1+ψ(i+1)2＝φ3，或者φ2＜φ3。这表明t(i+1)0能够根据调度触发。在Ci中ui(b[i])触发后，ti(b[i])再次触发并且在φ4＝φ1+Π结束，这样u(i+1)0使能且该的令牌进入pi(b[i])(p(i+1)0)中。由于Ci+1周期时间为Π，因此u(i+1)0在φ1+Π再次触发。此时，已经存在令牌使得u(i+1)0使能。因此，其能够触发并且定理成立。
根据定理4.3，如果Ci-1和Ci的BM具有两个缓冲空间，设定ωi(n[i])＝ψi2，则Ci可以实现周期时间为Π的单产品周期调度。这样，τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi)最大化。接着，令Λi＝τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi)，得到以下定理。
定理4.4:对于加工主导的K-组合设备来说，当τ(i-1)(b[i-1])<4λi+3μi且Λi<4λi+1+3μi+1时，得当且仅当Ci-1和Ci的BM以及Ci和Ci+1的BM中都存在两个缓冲空间，Ci可实现周期时间为Π的单产品周期调度。而且变迁ti0、ui0、ti(b[i])和ui(b[i])根据调度需要触发时即可触发。
证明:必要性:根据τ(i-1)(b[i-1])<4λi+3μi，依据推论4.2——对于设备Ci，Ci-1和Ci的BM必须具有两个缓冲空间才能实现调度。当Ci-1和Ci的BM中有两个缓冲空间时，根据定理4.3——能够通过设定ωi(n[i])＝ψi2而调度Ci。当ωi(n[i])＝ψi2时，可以得出Λi＝τi(b[i])＝Π-(4λi+3μi)，但是不等式τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1无法成立。于是，通过推论4.2，Ci和Ci+1的BM中的两个缓冲空间是必要的。
充分性:可以从定理4.3直接证明。
定理4.4提出了两个连续的BM需要两个缓冲空间来获得具有周期时间Π的单产品周期调度的条件。由此从定理4.4可以得出以下推论。
推论4.3:对于加工主导的K-组合设备而言，当τ(i-1)(b[i-1])<4λi+3μi并且Λi≥4λi+1+3μi+1时，当且仅当Ci-1和Ci的BM中存在两个缓冲空间并且Ci和Ci+1的BM中存在一个缓冲空间时Ci可实现周期时间为Π的单产品周期调度。变迁ti0、ui0、ti(b[i])和ui(b[i])根据调度需要触发时即可触发。
当Ci-1和Ci的BM中存在两个缓冲空间时，通过设定ωi(n[i])＝ψi2使得τi(b[i])＝Λi＝Π-(4λi+3μi)取得最大值，才能令τi(b[i])≥4λi+1+3μi+1。因此，只有较少的BM需要两个缓冲空间。到目前为止，已经提出了实现周期时间为Π的单产品周期调度的条件。基于该结果，接下来就可以讨论如何构造缓冲空间和实现该调度。
C.2调度和缓冲空间构造算法
如前所述，已经给出了单个设备实现周期时间为Π的单产品周期调度的条件。由于在K-组合设备中存在多个机器人，因此关键是协调多机器人在BM中的活动。为此通过应用A部分中给出的方法从C1至CK依次调度单个设备。在该过程中，应用上节中获得的条件来构造最优的缓冲空间。
由于K-组合设备为加工主导的，因此得出Π≥πi，或者Π≥ψi1,并且ψi2＝Π-ψi1≥0。令Bi-1为Ci-1和Ci的BM中的缓冲空间的数量。于是，系统实现调度的同时缓冲空间也被按照如下方法进行构造。对于C1而言，由于真空锁不被任何其他的设备共享，因此设定ω1(n[1])＝Π-ψ11＝ψ12以使得ω1j＝0,这样，获得了具有周期时间Π的单产品周期调度。使得ω1(b[1]-1)＝0,τ1(b[1])＝Λ1最大化时，C1和C2的BM需要最小数量的缓冲空间。
然后，对于C2而言，根据上文中的讨论，检查是否满足Λ1≥4λ2+3μ2。如果满足，则设定B1＝1并且ω2(n[2])＝Λ1-4λ2+3μ2并且将ω2j,尽可能取最大值，同时满足ω2(j-1)≤Π-α2j-4λ2+3μ2。随后，设定而同时使得ω2(b[2]-1)尽可能取较小的值，而τ2(b[2])＝Π-(4λ2+3μ2+ω2(b[2]-1))尽可能地取较大值。这样，C2就可以实现周期时间为Π的单产品周期调度。当Λ1≥4λ2+3μ2不满足时，设定B1＝2、ω2(n[2])＝ψ22且τ2(b[2])＝Λ2来获得具有周期时间Π的单产品周期调度。对于Ci,而言，通过调度Ci-1得到τ(i-1)(b[i-1]),采用与C2相同的设计步骤来设定缓冲空间Bi的数量，并获得具有周期时间为Π的单产品周期调度。
对于CK而言，指定每个ωKj,当满足τ(K-1)(b[K-1])≥4λK+3μK+ωK(n[K])时，设定BK-1＝1,否则设定BK-1＝2，以便能够达到周期时间Π。这样，K-组合设备实现了周期时间为Π的单产品周期调度，同时构造最优的缓冲区空间。由此得出算法4.1。
算法4.1:K-组合设备求解最优的单产品周期调度和最优的缓冲区构造算法。
Input:αij,λi,μi,
Output:ω ij ,
由于算法4.1仅仅涉及了简单的计算，因此，该算法是非常有效的。由于Π为K-组合设备调度的周期时间下限，因此，该调度从生产率方面而言是最优的。由此得出了以下结果。
定理4.5:由算法4.1获得的缓冲空间构造是最优的。
证明:由于仅仅当τi(b[i])<4λi+1+3μi+1时，Bi被设定成Bi＝2,否则，它被设定成Bi＝1。因此，需要两个缓冲空间的BM的数量已经最小化，则缓冲空间构造是最优的。根据算法4.1,τi(b[i])尽可能取较小值，从而使得满足τi(b[i])<4λi+1+3μi+1时的缓冲区数量是最少的，从而导致该结构是最优的。
C.3调度实施
如上文所述，由算法4.1获得的K-组合设备的调度仅针对于系统是稳态情况。系统在到达稳态之前，存在初态过程，如A部分中所示，当系统中的所有的令牌为虚拟令牌时，系统能够从初始标志M0到达它的稳定状态。注意到，在A部分，设定M0(pi(b[i]))＝0(M0(p(i+1)0)＝0),通过该M0，无法实现所获得的调度。为了实现获得的调度，需要将V0放置到系统中，并根据以下过程来改变M0。对于Ci和Ci+1,的BM而言，当Bi＝1时，设定M0(pi(b[i]))＝0(M0(p(i+1)0)＝0)；当Bi＝2时,设定M0(pi(b[i]))＝1(M0(p(i+1)0)＝1)，使得令牌具有颜色ci(b[i]),或者ui(b[i])使能。随后，从M0开始，系统就演变为如下所述的稳定状态。无论令牌何时进入qij,且它都根据调度在qij中停留ωij时间单位并且每个时间段u10触发,代表真实产品的令牌W从p10卸载。当所有的虚拟令牌V0从该系统移除后，该系统到达其稳定状态，然后再根据调度进行运作。
D.案例分析
在该部分中，使用两个示例来证明所提出的方法及其应用。
示例1:根据文献[Chan等人，2011b]中所提出的3-组合设备的调度问题。其各个设备活动时间如下：对于C1而言，为α10＝0(真空锁)、α11＝34s、α12＝0(BM1)、α13＝31s、α14＝4s、λ1＝10s以及μ1＝1s；对于C2而言，α20＝0(BM1)、α21＝82s、α22＝0(BM2)、α23＝54s、α24＝12s、λ2＝7s以及μ2＝1s；以及对于C3而言，α30＝0(BM2)、α31＝54s、α32＝38s、α33＝91s、α34＝90s、λ3＝3s以及μ3＝1s。根据文献[Chan等人，2011b]中所解决的单空间BM调度问题，获得了具有周期时间114.8s的多产品周期调度。本文涉及的解决方法如下：
对于C1而言，使得ζ10＝α10+4λ1+3μ1＝0+4×10+3×1＝43s、ζ11＝α11+4λ1+3μ1＝34+4×10+3×1＝77s、ζ12＝43s、ζ13＝74s、ζ14＝47s以及ψ11＝2(n[1]+1)(μ1+λ1)＝2×(4+1)×(10+1)＝110s。因此，π1＝110并且C1为传送受限的。对于C2而言，使得ζ20＝α20+4λ2+3μ2＝ζ22＝α22+4λ2+3μ2＝0+4×7+3×1＝31s、ζ21＝113s、ζ23＝85s、ζ24＝43s以及ψ21＝2(n[2]+1)(μ2+λ2)＝2×(4+1)×(7+1)＝80s。因此，π2＝113并且C2为加工受限的。对于C3而言，使得ζ30＝α30+4λ3+3μ3＝0+4×3+3×1＝15s、ζ31＝69s、ζ32＝53s、ζ33＝106s、ζ34＝105s以及ψ31＝2(n[3]+1)(μ3+λ3)＝2×(4+1)×(3+1)＝40s。因此，π3＝106s并且C3也为加工受限的。因此π2>π1>π3并且C2为加工受限的，因此该3-组合设备为加工主导的并且周期时间的下限为η1＝η2＝η3＝Π＝π2＝113s。
通过所提出的方法，使得ψ12＝Π–ψ11＝3s、ψ22＝Π–ψ21＝33s以及ψ32＝Π–ψ31＝73s。根据算法4.1,通过如下地设置ωij而获得单产品周期调度:对于C1而言，ω10＝ω11＝ω12＝ω13＝0s、ω14＝3s以及τ12＝Π–(4λ1+3μ1)＝113–43＝70s；对于C2而言，ω20＝ω21＝ω22＝ω23＝0s、ω24＝33s以及τ22＝Π–(4λ2+3μ2)＝113–31＝82s；以及对于C3而言，ω30＝44s、ω31＝29s、ω32＝ω33＝ω34＝0s。由于τ12＝70>(4λ2+3μ2)＝31并且τ22＝82>(4λ3+3μ3)+ω34＝15,因此对于BM不需要额外的缓冲空间。这样，本方法求解出的是具有周期时间113s的单产品调度，而不是文献[Chan等人，2011b]中所获得的具有周期时间114.8s的多产品调度。
示例2:在某3-组合设备中，活动时间为:对于C1而言，α10＝0(真空锁)、α11＝75s、α12＝0(BM1)、α13＝70s、λ1＝10s以及μ1＝5s；对于C2而言，α20＝0(BM1)、α21＝0s(BM2)、α22＝7s、λ2＝20s以及μ2＝1s；以及对于C3而言，α30＝0(BM2)、α31＝5s、α32＝100s、λ3＝5s以及μ3＝1s。
对于C1而言，ζ10＝α10+4λ1+3μ1＝0+4×10+3×5＝55s、ζ11＝α11+4λ1+3μ1＝75+55＝130s、ζ12＝α12+4λ1+3μ1＝0+55＝55s、ζ13＝α13+4λ1+3μ1＝70+55＝125s以及ψ11＝2(n[1]+1)×(λ1+μ1)＝2(3+1)×(10+5)＝8×15＝120s,或者C1为加工受限的并且π1＝130s。对于C2而言，使得ζ20＝α20+4λ2+3μ2＝0+4×20+3×1＝83s、ζ21＝α21+4λ2+3μ2＝0+83＝83s、ζ22＝α22+4λ2+3μ2＝7+83＝90以及ψ21＝2(n[2]+1)×(λ2+μ2)＝2(2+1)×(20+1)＝6×21＝126s,或者C2为传送受限的并且π2＝126s。对于C3而言，使得ζ30＝α30+4λ3+3μ3＝0+4×5+3×1＝23s、ζ31＝α31+4λ3+3μ3＝5+23＝28s、ζ32＝α32+4λ3+3μ3＝100+23＝123s以及ψ31＝2(n[3]+1)×(λ3+μ3)＝2(2+1)×(5+1)＝36,或者C3也为加工受限的并且π3＝123s。由于Π＝π1＝130s＞π2＝126s＞π3＝123s并且C1为加工受限的，因此该3-组合设备为加工主导的。需要系统的周期时间为η1＝η2＝η3＝Π＝π1＝130s。
根据所提出的方法，ψ12＝130–ψ11＝130–120＝10s、ψ22＝130–ψ21＝130–126＝4s并且ψ32＝130–ψ31＝130–36＝94s。根据算法4.1,对于C1而言，令ω10＝ω11＝ω12＝0s,ω13＝10s、τ12＝Π-(4λ1+3μ1)＝130–55＝75s。于是，得到τ12＝75＜4λ2+3μ2＝83。这表明，为了获得具有周期时间130s的单产品周期调度，应当为BM1构造两个缓冲空间。由于BM1中的两个缓冲空间，设定了ω2(n[2])＝ψ22＝4s。因此，根据算法4.1,对于C2而言，令ω20＝ω21＝0s,ω22＝4s并且τ21＝Π–(4λ2+3μ2)＝130–(4×20+3×1)＝47s。对于C3而言，根据算法4.1,令ω30＝94s,ω31＝ω32＝0s。由于τ21＝47＞4λ3+3μ3+ω32＝23,对于BM2不需要额外的缓冲空间，并且获得了具有下限周期时间130s的单产品周期调度。
调度多组合设备是复杂的。由于实践者容易实施和理解单产品周期调度，因此期望获得易于实现的单产品周期调度。对于半导体制造者而言，生产率是最为重要的性能目标之一。已知的是，BM中的缓冲空间的数量对多组合设备的性能有一定的影响。对于加工受限的单臂多组合设备而言，本发明研究如何为其缓冲区构造缓冲空间来获得到达周期时间的下限的单产品周期调度。为了解决该问题，根据扩展的面向资源Petri网，设计了线性的K-组合设备的PN模型。基于该模型，建立了获得具有周期时间的下限的单产品周期调度的充要条件，从而构造了缓冲区空间的最小数量。基于求得的条件，提出了求解该调度和最优地构造缓冲空间的算法。该算法在计算上是有效的。还提出了一种有效的方法来实施所获得的调度。
本文中公开的实施方式可以通过使用通用型或专门的计算工具、计算机处理器或包括但不限于包括数字信号处理器(DSP)的电子电路、专用集成电路(ASIC)、现场可编程门阵列(FPGA)以及根据本公开的指教而构造或编程的其他的可编程逻辑设备来实现。基于本公开的指教，具有软件或电子领域的技能的实践者能够容易地准备在通用型或专门的计算设备、计算机处理器或可编程的逻辑设备中运行的计算机指令或软件代码。
在一些实施方式中，本发明包括具有存储了能够用于对计算机或微处理器进行编程以执行本发明的任一程序的计算机指令或软件代码的计算机存储介质的。该存储介质包括但不限于有软盘、光盘、蓝光光盘、DVD、CD-ROM以及磁光盘、ROM、RAM、闪存设备或适用于存储指令、代码和/或数据的任何类型的介质或设备。
本发明在不背离其精神或实质特征的情况下可以实施为其他特定的形式。因此现有的实施方式在各个方面被认为是说明性的而不是限制性的。本发明的范围通过所附的权利要求而非通过前面的说明书限定，因此，在权利要求的对等内容的意思和范围之内的所有的变化都将被包含在其中。

Claims (10)

1.一种通过最优缓冲空间构造调度单臂多组合设备的计算机实现方法，包括：
通过处理器，获得晶圆加工时间、机器人晶圆装载和卸载时间以及机器人移动时间；
通过处理器，基于所述晶圆加工时间、所述机器人晶圆装载和卸载时间以及所述机器人移动时间，计算用于完成晶圆的最短时间；
通过处理器，基于所述机器人晶圆装载和卸载时间以及所述机器人移动时间，计算机器人周期时间；
通过处理器，基于从用于完成晶圆的所述最短时间和所述机器人周期时间之中选择的最大值，确定基本周期；
通过处理器，根据以下步骤确定组合设备的类型：
如果所述基本周期为用于完成晶圆的所述最短时间的值，则所述组合工具的类型为加工受限的；
否则，所述组合设备的类型为传送受限的；
通过处理器，基于具有所述基本周期的最大值的组合设备的类型，确定所述多组合设备为加工受限的还是传送受限的；
通过处理器，基于所述基本周期的最大值，确定周期时间的下限；
通过处理器，基于petri网模型，确定用于调度和缓冲空间构造的算法；以及
通过处理器，基于所述算法，计算机器人等待时间；
通过处理器，基于所述算法和周期时间的所述下限，计算晶圆逗留时间；
通过处理器，基于所述晶圆逗留时间和所述机器人等待时间，确定用于缓冲模型的缓冲空间；以及
通过处理器，基于用于缓冲模型的所述缓冲空间以及周期时间的所述下限，获得调度。
2.根据权利要求1所述的方法，其中，用于完成晶圆的所述最短时间通过下式计算得出：
ζij表示组合设备i在工序j完成晶圆的最短时间；
αij表示组合设备i在工序j的晶圆加工时间；
λi表示组合设备i的机器人晶圆加载和卸载时间；
μi表示组合设备i的机器人移动时间；
表示组合设备的总数量；以及
表示组合设备i的加工工序的总数量。
3.根据权利要求1所述的方法，其中，机器人周期时间通过下式计算得出：
ψi表示组合设备i的机器人周期时间；
λi表示组合设备i的机器人晶圆装载和卸载时间；
μi表示组合设备i的机器人移动时间；
ψi1＝2(n[i]+1)(λi+μi)表示组合设备i的机器人移动时间；
表示组合设备i的周期中的机器人等待时间；
以及
表示组合设备的总数量。
4.根据权利要求1所述的方法，其中，基本周期通过下式确定：
πi＝max{ζi0,ζi1,…,ζi(n[i]),ψi1}
πi表示组合设备i的基本周期；
ζi0、ζi1、…、ζi(n[i])表示组合设备i在不同工序的最短时间；以及
ψi1表示组合设备i的机器人移动时间。
5.根据权利要求1所述的方法，其中，所述基本周期的最大值Π通过下式确定：
Π＝max{π1,π2,…,πK}
π1、π2、…、πK表示不同的组合设备的不同的基本周期。
6.一种非瞬时性计算机可读介质，其内容使得计算系统执行通过最优缓冲空间构造调度单臂多组合设备的计算机实现方法，所述方法包括：
通过处理器，获得晶圆加工时间、机器人晶圆装载和卸载时间以及机器人移动时间；
通过处理器，基于所述晶圆加工时间、所述机器人晶圆装载和卸载时间以及所述机器人移动时间，计算用于完成晶圆的最短时间；
通过处理器，基于所述机器人晶圆装载和卸载时间以及所述机器人移动时间，计算机器人周期时间；
通过处理器，基于从用于完成晶圆的所述最短时间和所述机器人周期时间之中选择的最大值，确定基本周期；
通过处理器，根据以下步骤确定组合设备的类型：
如果所述基本周期为用于完成晶圆的所述最短时间的值，则所述组合工具的类型为加工受限的；
否则，所述组合设备的类型为传送受限的；
通过处理器，基于具有所述基本周期的最大值的组合设备的类型，确定所述多组合设备为加工受限的还是传送受限的；
通过处理器，基于所述基本周期的最大值，确定周期时间的下限；
通过处理器，基于petri网模型，确定用于调度和缓冲空间构造的算法；以及
通过处理器，基于所述算法，计算机器人等待时间；
通过处理器，基于所述算法和周期时间的所述下限，计算晶圆逗留时间；
通过处理器，基于所述晶圆逗留时间和所述机器人等待时间，确定用于缓冲模型的缓冲空间；以及
通过处理器，基于用于缓冲模型的所述缓冲空间以及周期时间的所述下限，获得调度。
7.根据权利要求6所述的非瞬时性计算机可读介质，其中，用于完成晶圆的所述最短时间通过下式计算得出：
ζij表示组合设备i在工序j完成晶圆的最短时间；
αij表示组合设备i在工序j的晶圆加工时间；
λi表示组合设备i的机器人晶圆加载和卸载时间；
μi表示组合设备i的机器人移动时间；
表示组合设备的总数量；以及
表示组合设备i的加工工序的总数量。
8.根据权利要求6所述的非瞬时性计算机可读介质，其中，机器人周期时间通过下式计算得出：
ψi表示组合设备i的机器人周期时间；
λi表示组合设备i的机器人晶圆装载和卸载时间；
μi表示组合设备i的机器人移动时间；
ψi1＝2(n[i]+1)(λi+μi)表示组合设备i的机器人移动时间；
表示组合设备i的周期中的机器人等待时间；以及
表示组合设备的总数量。
9.根据权利要求6所述的非瞬时性计算机可读介质，其中，基本周期通过下式确定：
πi＝max{ζi0,ζi1,…,ζi(n[i]),ψi1}
πi表示组合设备i的基本周期；
ζi0、ζi1、…、ζi(n[i])表示组合设备i在不同工序的最短时间；以及
ψi1表示组合设备i的机器人移动时间，ψi1＝2(n[i]+1)(λi+μi)。
10.根据权利要求6所述的非瞬时性计算机可读介质，其中，所述基本周期的最大值Π通过下式确定：
Π＝max{π1,π2,…,πK}
π1、π2、…、πK表示不同的组合设备的不同的基本周期。
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