TWI805394B - 分析佩特里網的可達性方法 - Google Patents

Abstract

本發明提供一種Petri網（PN）的可達性分析方法，用於分析可達性並推導從變體第k系統擴展的PN的控制相關狀態數量的封閉式公式（CFF）。該方法的建構包括通過證明第一系統Gen-Right (k, gen)和第二系統Gen_Left(k, k−gen)是Gen-Left(k, gen)的拓撲逆網絡，第一系統和第二系統之間存在可逆的一對一映射關係；其中第一級數 Gen-Right(k, gen) 和 Gen-Left(k, k-gen) 具有相同的閉式公式，通過將 Gen-Left(k, gen) 代入已驗證的閉式公式中參數 gen 可以通過將其替換為 k-gen 得到，通過可逆的一對一映射可以直接得到其對應的可達狀態。

Description

分析佩特里網的可達性方法

本申請主張於2021年6月3日提交之美國臨時申請案第63/196,356號之優先權，其全部內容通過引用合併於此。

本發明涉及一種有效的基於知識的方法，拓撲反向鏡像(TRM)，用於分析可達性並推導控制相關狀態(可達、存活、禁止、PN的死鎖、活鎖、不可達)(CRS)數量的CFF。本發明還提供了一個非共享資源的雙缺k階系統的CRS數量的CFF，它是核心S3PR(一種具有資源的簡單順序流程的系統)，作為應用TRM的基本模型。為更複雜的PN推導CFF，為系統控制應用的決策提供基於當前狀態的實時可達性信息。

Petri網(PN)已廣泛應用於模型建立和分析並發系統，例如資源分配系統(RAS)(或靈活製造系統，FMS)。可達性分析可用於驗證系統的有界性、活性、可逆性等屬性。

然而，使用PN對非常大的系統進行模型建立的一個持久問題是生成的大量狀態(也稱為狀態爆炸問題)。PN的可達性問題的複雜性是 EXPSPACE-hard的，也是NP完全(NP-complete)的。在Intel(R)Core(TM)的PC中僅計算k=9、μ=4和gen=8的變體k-net系統的可達狀態(不包括活動、禁止和死鎖狀態)的時間i5 CPU 650 @ 3.20Ghz 4.00GB RAM環境使用INA工具超過5分鐘。

即使混合整數規劃(MIP)方法應用於PN中的系統控制應用，MIP的非確定性多項式時間硬(NP-hard)特性仍然限制了在實際應用中模型建立的實時系統的大小.

趙等人已經採用虹吸分析法，分別在不同位置為具有非共享資源r*的k階/k網系統構建了CFS(參考Chao & Yu,2013；Chao & Yu,2015；Chao & Yu 2016；Chao,Yu,& Chen,2014；Chao,Yu,& Lin,2014；Chao,Yu,& Liou,2014；Chao,Yu,& Wu,2014；Chao et al.2016)。PN的可達性信息成為系統控制應用的一種新型實時信息，但受限於變體k階/k網系統的模型建立。

由於CFS可以實時導出非常大PN的CRS的數量，因此基於這種新型實時信息提出了一些新的系統控制概念，如下所示。

第一，可以將(潛在的)禁止子狀態的未來死鎖率(死鎖狀態的數量/可達狀態的數量)應用為動態的指標，為避免/預防死鎖的政策啟動資源(控制器)分配(Chao和Yu，2015a；2016)，而該指標可以通過CFS實時導出。

其次，Yu(2016a)提出可以動態分配一個虛擬的非共享等待資源(由死鎖線程持有者表示，DTH)避免死鎖，而分配的DTH位置將可以用增加最大可達性做為配置決策依據，該位置可以通過CFS實時計算。

第三，Yu(2017)表明，較低的修正缺陷可達性比(DRO)(缺陷初始權杖(token)下的可達狀態數/可達狀態數)具有更好的可達性邊際效應。 相應地，可以為多獨立的不充分k階系統建立動態初始權杖分配機制，配置的決策可根據哪個系統具有最低的DRO值作為基礎。

上面列出的新系統控制概念的主要問題是需要基於當前狀態的實時可達性信息來計算用於分配/解除分配資源或進程的決策的基本指標。

上面列出的另一個問題是，獨立分析整個網絡結構的努力與存在的不同網絡結構一樣多。此外，通過分析整個網絡結構的複雜證明程序是理解可達性分析整個方法的障礙。

本發明涉及一種有效的基於知識的方法。關於本發明，拓撲反向鏡像(TRM)用於分析Petri網(PN)可達性並推導控制相關狀態(可達、存活、禁止、死鎖、活鎖、不可達)(CRS)的數量的封閉式公式(CFF)。本發明還提供了一個非共享資源的雙缺k階系統的CRS數量的CFF，它是核心S3PR(一種具有資源的簡單順序過程的系統)，作為應用TRM的基本模型。為更複雜的PN推導CFF，以作為系統控制應用的決策，提供基於當前狀態的實時可達性信息。

本發明的一個目的是提供拓撲反向鏡像(TRM)一種基於知識的方法，它使用通過已驗證之模型而不是通過分析整個網絡結構來證明的概念，以減少分析列出的可達性及建構CFF的工作量。

本發明的另一目的是提供用於變體雙缺k階系統的CFF，其具有一個非共享資源，作為使用TRM推導更複雜PN的CFF的基本模型。

因此，提供了一種Petri網(PN)的可達性分析方法，用於分析可達性並導出從變體第k階系統擴展的PN的控制相關狀態數量的封閉式公式(CFF)。 本發明之方法包括：通過證明第一系統Gen-Right(k,gen)以及第二系統Gen_Left(k,k-gen)皆為Gen-Left(k,gen)的拓撲逆向網絡，使得該第一系統以及該第二系統之間存在可逆的一對一映射關係；其中，該第一系統Gen-Right(k,gen)和Gen-Left(k,k-gen)具有相同的封閉式公式，並通過在Gen-Left(k,gen)的已驗證封閉式公式中，將參數gen替換為k-gen來獲得，並可透過可逆的一對一映射，直接取得其相對應的可達性狀態。

較佳地，其中該方法係為基於知識(knowledge-based)利用已驗證之網路的可達性及封閉解資訊，以改變行程、非共享資源及多權杖共享資源位置等參數值，直接獲得該新網路架構所有具有可逆的一對一映射新網路架構之可達性及封閉解資訊，在此稱該方法為拓撲反向鏡像(TRM)。

較佳地，其中，該拓撲反向鏡像係用於分析可達性，並推導封閉式公式控制相關狀態(control-related states)的數量。

較佳地，其中該控制相關狀態係為可達、存活、禁止、死鎖、活鎖、以及不可達。

較佳地，其中該方法更包括提供非共享資源的雙缺k階系統的該CRS數量的CFF。

較佳地，其中該方法更包括在該CFF前面使用嵌入濾波係數(EFC)作為每種該CRS的α和β的必要條件。

較佳地，其中該可達狀態的EFC之必要條件為α

0以及β

0；其中，使用min(max(min(α,β,0)+1,0),1))作為嵌入式濾波係數(EFC)來排除可能性(α<0或β<0)。

較佳地，其中該存活狀態的EFC之必要條件為α

0以及β

0，但不包括α=0和β=0之條件；其中，使用(min(max(min(α,β,0)+1,0),1))(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))作為EFC。

較佳地，其中該鎖死狀態的EFC之基本條件為(α=β=0)聯集(α>0和β>0)；其中，使用1-(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))作為f(α=β=0)特殊條件的EFC；max(min(α,β,1),0)作為(α>0和β>0)條件下CFF的EFC。

較佳地，其中，該非共享資源的雙缺k階系統的該CRS數量的CFF係作為應用該TRM推導出更複雜之PN的CFF的基本模型，並提供基於當前狀態的實時可達性信息系統控制應用的決策。

對本領域熟知技藝者而言本發明顯而易見，通過參考附圖對最佳實施例有以下詳細描述，其中：圖1為k階系統，其中k=3；圖2為一個Gen-Left(k,gen)系統，其中k=3和gen=1；圖3(a)為一個Gen-Left(k,gen)系統，其中k=3和gen=2；圖3(b)為Gen-Left(k,gen)系統的反向網絡，其中k=3和gen=1；圖4為Gen-Left(k,k-gen)、rev(Gen-Left(k,gen))和Gen-Right(k,gen)的映射關係；圖5為普通NNS k階系統：由Deficient k階系統和NNS組成；圖6是雙NNS系統；以及圖7是k_1(μ-1)(1⁺,1)和k_1(μ-1)(1⁺,k-1)-階系統的映射關係，其中k=4。

除非另有定義，否則本文中使用的所有技術以及科學術語具有與該公開所屬領域的技術人員通常理解的相同含義。進一步理解該術語；例如在常用詞典中定義的那些術語，應該被解釋為具有與它們在相關技術以及本公開的上下文中的含義一致的意思，且除非明確地定義，否則將不會以一理想化或過於正式的意義在此作為解釋。

在整個說明書中，對“一個實施例”或“一實施例”指的是結合該實施例描述的一特定特徵，結構或特性包括在至少一個實施例中。因此，在整個說明書中各處出現的詞句“在一個實施例中”或“在一實施例中”不一定都指同一實施例。此外，在一個或多個實施例中，可以以任何合適的方式組合特定的特徵、結構或特性。

為了解決上面列出的問題，本發明提供了拓撲反向鏡像(TRM)，這是一種基於知識的方法，用於加速可達性分析和CFF的構建，用於更複雜的PN，且無需進行全網結構分析；並提供了一個非共享資源的雙缺k階系統的CRS數量，作為應用TRM推導出更複雜PN的CFF的基本模型，基於當前狀態來提供實時可達性信息，作為系統控制應用的決策基礎。

[0038]與目前分析整個網絡結構的方法相比，拓撲反向鏡像(TRM)是一種新的基於知識的方法，用於更有效地分析從變體k階系統擴展而來PN的可達性並推導出控制相關狀態數量的封閉式公式(CFF)。

根據變體k階系統，通過證明Gen-Right(k,gen)和Gen_Left(k,k-gen)都是Gen-Left(k,gen)的拓撲反向網絡來構造TRM，從而在這兩個系統之間 存在可逆的一對一映射(鏡像)。因此，Gen-Right(k,gen)和Gen-Left(k,k-gen)具有相同的CFF，這可以通過在已驗證的Gen_Left(k,gen)的CFF中將參數'gen'替換為'k-gen'立即推導出。變體雙缺陷k階系統的CFF被提出作為擴展分析可達性和推導CFF以進行更多拓撲反向鏡像的基本系統。此外，本發明提供基於當前狀態的實時可達性信息。TRM的展示應用包括非共享子網系統的可達性分析；雙缺權杖；多非共享/多權杖資源；以及從k階系統擴展而來的多進程。本發明提供了基於由它們的CFF導出的實時信息來加速進一步針對更複雜的PN的新興系統控制應用的核心方法。

Petri網是一個4元組N=(P,T,F,W)，其中P是位置(place)的集合，T是轉換(transitions)的集合，F

(P×T)∪(T×P)稱為網絡的流動關係，由帶有箭頭的弧表示，從位置到轉換，反之亦然，W：F→Z(非負整數的集合)是為弧分配權重的映射。M₀：P→Z是分配給每個位置p

P的初始標記，M₀(p)token，(N,M₀)稱為標記網絡或網絡系統。位置p的輸入(相應輸出)轉換集由^˙p(相應p^˙)表示。

以此類推，轉換t的輸入(或輸出)位置的集合由^˙t(resp.t^˙)表示。如果

p

˙P，|p˙|=|˙p|=1，則稱為標記圖(MG)。N中的基本有向路徑Γ是包含節點序列的圖形對象，使得序列中的每兩個連續節點之間都有一條弧線，記號為：Γ=[n₁ n₂...n_k]，k

1，使得n_i≠n_j，因為i≠j。Nr是在初始標記不變的情況下，通過反轉N中所有弧的方向獲得的N的反向網絡。A是具有m個位置和n個轉換的網絡的關聯矩陣：A=[a_ij]；整數矩陣及其典型項由a_ij=a_ij ⁺-a_ij ^-給出，其中a_ij-=W(i,j)是從過渡i到其輸出位置j的弧的權重，並且a_ij+=W(j,i)是從輸入位置j過渡到i的弧的權重。A^r=-A其中A^r是N的反向網絡N^r的關聯矩陣。 給定標記M，如果

p

˙t，M(p)

W(p,t)，則啟用轉換t，這是用M[t>表示。觸發一個啟用的轉換t會產生一個新的標記M₁，它是通過從每個位置p

˙t中刪除W(p,t)個標記並在每個位置p'

t˙中放置W(t,p')個標記來獲得的，並將系統狀態從M₀移動到M₁。

重複上述過程，它通過觸發序列σ=t₁t₂...t_k的轉換到達M'。M'可由M₀到達；即，M₀[σ>M'。R(N,M₀)是從M₀可達的標記集。禁止(或存活)標記或狀態即是(或不是)一個-或必然演變成一個-死鎖標記。對於Petri網(N,M₀)，如果˙S

S˙(resp.τ˙

˙τ)，則位置的非空子集S(resp.τ)稱為虹吸管(resp.trap)，也就是說，每個在S中有一個輸出(相應的輸入)位置的轉換在S中有一個輸入(相應的輸出)位置(相應的τ)。虹吸管是權杖可以連續流出的一組地方，使得M₀(S)=

M₀(p)=0，S在M₀處稱為空虹吸管或無標記虹吸管；S的所有輸出轉換都永久失效。

在以下段落中介紹了幾個定義。

定義1

(J.Ezpeleta et al.1995)：一個簡單的順序過程(S²P)是一個網絡N=(P∪{p⁰},T,F)其中：P≠

,p⁰

P(p⁰稱為進程空閒或初始或最終操作位置)；2)N是強連接狀態機，3)N的每個流程都包含位置p⁰。

p^0·和^·p⁰中的轉換分別稱為源轉換和匯轉換。

定義2

(J.Ezpeleta et al.1995)：具有資源的簡單順序過程(S²PR)，也稱為工作過程(WP)，是一個網絡N=(P∪{p⁰}∪P_R,T,F)，使得1)X=P∪{p⁰}∪T生成的子網是一個S²P；2)P_R≠

和P∪{p⁰}∩P_R=

；3)

p

P，

t

^˙p，

t'

p^˙，

r_p

P_R， ^˙t∩P_R=t'^˙∩P_R={r_p}；4)下列兩個陳述可獲得驗證：

r

P_R,a)^˙˙r∩P=r^˙˙∩P≠

；b)^˙r∩r^˙=

.5)^˙˙(p⁰)∩P_R=(p0)^˙˙∩P_R=

.

p

P，p稱為操作位置。

r

P_R，r稱為資源位置。H(r)=^˙˙r∩P表示r的持有者集合(使用r的操作場所)。任何資源r都與最小P-不變量相關聯，其支持度由ρ(r)={r}∪H(r)表示。

定義3

(J.Ezpeleta et al.1995)：S²PR(S³PR)的系統遞歸定義如下：1)S²PR定義為S³PR；2)令Ni=(P_i∪P_i ⁰∪P_Ri,T_i,F_i),i

{1,2}為兩個S³PR使得(P₁∪P₁ ⁰)∩(P₂∪P₂ ⁰)=

。P_R1∩P_R2=P_C(≠

)，T₁∩T₂=

。N₁和N₂通過P_C合成得到的網路N=(P∪P⁰∪P_R,T,F)(記為N1 o N2)定義如下：1)P=P₁∪P₂；2)P⁰=P₁ ⁰∪P₂ ⁰；3)P_R=P_R1∪P_R2；4)T=T₁∪T₂和5)F=F₁∪F₂也是一個S³PR。

定義4

變體k階系統是S³PR的子類，具有在兩個進程N₁和N₂之間共享的k個資源位置r₁、r₂、...、r_k和一個非共享資源位置r'_gen(=r*)，由N₁或N₂中的操作位置p*使用。

1. M₀(r'gen)=1，

r

P_R，M0(r)=1。

2. N₁(resp.N₂)按順序使用r₁,r₂,...,r_k(resp.r_k,r_k-1,...r₂,r₁)。

3.當p* in N₁(resp.N₂)M₀(p₀)=k+1時，M₀(p'₀)=k(resp.M₀(p₀)=k, M₀(p'₀)=k+1)，其中p₀和p'₀分別是進程N₁和N₂中的空閒位置。

4. r_j在N₁和N₂中的持有人位置分別表示為p_j和p'_j。

5.包含r_i,r_i+1,...,r_j-1,r_j的複合流程稱為(r_i-r_j)-region。

6. r'_gen的位置位於r_gen和r_gen+1之間。如果r'_gen不存在，則稱為k階系統；當M₀(p0)<k時，稱為缺k階系統；當_M0(p₀)<k且M₀(p'₀)<k時，稱為雙缺k階系統。

7.最初位於r_i的權杖有3種可能性：p_i(N₁)、p'_i(N₂)和r_i。相應的權杖或r_i狀態分別用1、-1和0表示。

8. x[y]表示r_gen處於x狀態(x=1,0,-1)，r'_gen處於y狀態(y=1,0,-1)，其中gen為非共享位置操作位置p*正在使用的資源，1

gen

k-1。當p*在N₁時，系統被表示為Gen-Left(k,gen)系統；當p*在N₂時，表示為Gen-Right(k,gen)系統。除非另有列出的參數，否則Gen-Left是Gen-Left(k,gen)的縮寫；Gen-Right是Gen-Right(k,gen)的縮寫。

9. Gen-Left和Gen-Right的聯集被表示為Gen-One系統。

定義5

廣義k階系統(k網，k-net)(Chao,2016；Chao & Yu,2014；2016)是S³PR的子類，其中k個資源位置r₁、r₂、.、r_k在α⁺進程N₁ ⁺,N₂ ⁺,...,N_α ⁺和β^-過程，N₁ ^-,N₂ ^-,...,N_β ^-之間共享(記為k G階系統)。M(r)=M(r)=...=M(r)=1。N_i ⁺(分別為N_j ^-)依次使用r₁,r₂,...,r_k(resp.r_k,r_k-1,...r₂,r₁)，i=1,2,.,α(resp.j=1,2,.,β)。N_i ⁺和N_j ^-中的每一個都是一基本流程。當恰好有一個+過程和一個-過程時，廣義的k階系統變為k階系統(k G階系統是k階系統)。P⁺(分別為P^-)是+進程(分別為-進程)中的操作位置集合。H(r)⁺(分別為H(r)^-)是r在P⁺(分別為P^-)中的持有者位置的集合。令在N_i過程的gen位置具有非共享資源的廣義k階系統被表示為kαβ(i,gen)階系統。

定義6

網絡N=(P∪P_R∪P_NR,T,F)的等效N^e=(P^e∪P^e _R,T^e,F^e)(P_NR為非共享位置的集合)定義為1. P^e _R=P_R\P_NR；2. P^e=P\

H(r)；3. T^e=T\

r^．；4..F^e=(F

(^．r,r^‥)∪(^．(r^．),^．r)\

[(H(r),H(r)^．)∪(^．H(r),H(r))∪(^．r,r)∪(r,r^．)∪(r^．,r^‥)∪(^．(r^．),r^．)]。

定義7

(Chao,2014)：s=(x₁x₂...x_k),x_i=1,0 or-1,i=1 to k，是k階系統N的狀態，x_i是在r_i分別位於：p_i(N_i)、r_i或p'_i(N₂)之權杖。(x_i x_i+1...x_q),k

i

1,k

q

i

1(嵌入s)是s的子狀態。

為PNs構建CFS的理論框架

根據定義4，第一代k階系統的子集的示例在圖1、2和3(a)中示出。

令rev(N)為PN N的反向網絡(例如，圖3(a)和3(b))。根據完全可達圖的概念，Chao(2014)將PN N的可達圖拆分為可達(從初始狀態)、存活(可達初始狀態)、禁止(可達活鎖(Chao & Yu,2017)或僅死鎖狀態)，活鎖(Chao & Yu,2017)(僅可到達活鎖狀態)，死鎖(可到達無狀態)，不可到達(從初始狀態)和不可到達+空虹吸狀態(N和rev(N)中皆為不可到達狀態)。

根據定義4和7，本發明通過“資源”之間的權杖分佈的觀點而不是通過INA工具應用的“位置”的觀點來呈現狀態和子狀態的表示法。例如，當p₁、p₂和p'₃在圖1中包含一個標記時。在圖1中，狀態由(1 1-1)表示。例如，在第k階系統中包含子狀態(1-1)的狀態必須是由於空虹吸管而被禁止的狀態；包含子 狀態(-1 1)必須是不可到達狀態；子狀態(1[y]-1)包含具有y子狀態的非共享資源。根據這種狀態表示法，在子狀態(1-1)(resp.1[0]-1)中分配(resp.deallocated)的非共享資源可以表示為(1[0]-1)(resp.(1-1))。

此外，Chao(2014)表明(-1 0 1)、(-1 1 x)和(x-1 1)[resp.(1 0-1),(1-1 x)和(x 1-1)]其中x=-1,0或1是k階的三種基本不可達(分別是未標記的虹吸管)狀態系統，其中k=3。擴展到大型系統，不可到達狀態包含子狀態模式(-1 x x...x 1)，其中x=1、0、-1；(1 x x...x-1)(x=1,0,-1)的子狀態對應於禁止或不可到達狀態；並且禁止狀態最終到達具有狀態模式的死鎖狀態：(1₁ 1₂...1_m-1_m+1-1_m+2...-1_k),1

m<k。

此外，Chao(2014)證明了N中的任何禁止狀態在rev(N)中是不可達的；N中的任何不可達狀態在rev(N)中是禁止狀態或不可達狀態。Chao等人(2016)通過證明N中的存活狀態的反向狀態也是rev(N)中的存活狀態來增強這一理論框架，使得N和rev(N)都具有相同數量的存活狀態。

非共享資源在變體k階系統中的影響

根據等價物的定義(定義6)，k階系統(例如圖1)是網絡Gen-One(例如圖2和3(a))的等價物，因為除了一個非共享資源位置r *之外，圖1中的網絡與圖2和圖3(a)中的網絡完全相同。

令N為Gen-One k階系統(例如Gen-Left或Gen-Right)，N^e為相應的k階系統，在Gen-Left中y=1，在Gen-Left中y=-1對，Gen-one中的廣義禁止和不可達狀態模式如下所示：

1. N中包含非共享資源的禁止狀態模式是包含或將包含子狀態(1 0[y]-1)和(1[y]-1)的狀態；不可到達狀態部分包含或將包含子狀態(-1[y]1)和(-1 0[y]1)。

2.(-1 x...x[y]x...1)(x=1,0,-1)的子狀態是N中的不可達狀態。

3.(1 x...x[y]x...-1)(x=1,0,--1)的子狀態是N中的禁止或不可到達狀態。

下面列出了基於Gen-Left(Chao and Yu,2016)的觀點在k階系統中增加非共享資源然後將觀點擴展到Gen-one的效果。

1.讓M^e在N^e中可達(resp.live)，因為M*=M^e+r* and M'=M^e+p*在N中都是可達(相對地，存活)的，並且可達(相對地，存活)的數量)狀態大於2R(k)(分別為2L(k))。

2.增加“由非共享資源引起的等價的非可達(resp.non-live，包括非可達和禁止)狀態衍生的額外受限可達(相對地，存活)狀態”的現象，ARRS,(相對地，ARLS)當一個進程在一個現有的非共享資源的持有者中等待另一個進程的工作流時發生。在這種情況下，當前狀態是N^e的不可到達(或非實時)標記，但Gen-one是可到達(或可能是實時)標記。Gen-Left中ARRS的狀態模式為s=(x₁...-1_i x_i+1...x_gen...x_j-1 1_j x_j+1 x_j+2...x_k)其中x_m=0 or-1,i+1

m

gen和j+1

m

k；x_m=0,gen+1

m

j-1；(x1...x_i-1)是(i-1)階系統的可達狀態模式，因為進程只能在一個現有的非共享資源中等待另一個進程工作流。

1.拓撲反向鏡像(TRM)，一種基於知識的方法： 基於變體k階系統，通過證明定理1.1、引理1.1和推論1.1構造拓撲反向鏡像(TRM)方法，如下所示：

定理1.1：Gen-Right(k,gen)、rev(Gen-Left(k,gen))和Gen-Left(k,k-gen)具有相同的拓撲網絡結構。

圖4顯示了兩個映射函數map1和map2。map1是從Gen-Left(k,k-gen)(其中k=3和gen=k-1)到rev(Gen-Left(k,gen))的倒置網絡結構的映射關係，使得map1(Gen-Left(k,k-gen))=rev(Gen-Left(k,gen))。map2是rev(Gen-Left(k,gen))到Gen-Right(k,gen)的倒置左右旋轉網絡結構的映射關係，使得map2(rev(Gen-Left(k,gen)))=Gen-Right(k,gen)。根據複合函數map3=map2。map1，隱含Gen-Left(k,k-gen)到Gen-Right(k,gen)的映射關係，即map2(map1(Gen-Left(k,k-gen)))=Gen-Right(k,gen)。

令mapX_IP為X=1到3的空閒位置對應的映射函數；mapX_PT對應位置和轉換；mapX_R對應共享資源；非共享資源持有者對應的mapX_HN；mapX_NR對應非共享資源，示例如圖4，列舉如下：map3_IP(p₀,p'₀,t₄,t₁,t'₁,t'₄)=map2_IP(p₀,p'₀,t₁,t₄,t'₄,t'₁)=(p'₀,p₀,t'₁,t'₄,t₄,t₁)；map3_PT(p₁,p'₁,t₁,t*₂,t'₂,t'₁)=map2_PT(p₃,p'₃,t₄,t₃,t'₃,t'₄)=(p'₃,p₃,t'₄,t*₃,t₃,t₄)；map3_R(r₁,t*₂,t₁)=map2_R(r₃,t₃,t₄)=(r₃,t*₃,t'₄)；map3_HN(p*,t*₂,t₂)=map2_HN(p*,t₃,t*₃)=(p*,t*₃,t₃)；map3_NR(r'₁,t₂,t*₂)=map2_NR(r'₂,t*₃,t₃)=(r'₂,t'₃,t*₃)。

令Gen-Left(k,gen)、Gen-Left(k,k-gen)、rev(Gen-Left(k,gen))的狀態模式和Gen的反轉左右旋轉網絡-Right(k,gen)分別以s_L、s_L ^k-g、s_L ^rev和s^R為首， 如圖4所示。4.引理1顯示了Gen-Right、Gen-Left和Gen-Left(k,k-gen)之間的狀態模式關係。

引理1.1：令s₁,..,s_k-gen,[y],...,s_k為資源r₁,..,r_k-gen,r*...,r_k在Gen-Left(k,k-gen)中的權杖分佈，然後s_L ^k-g(s₁,..,s_k-gen[y],...s_k),s_L ^rev(s_k,...,[y]s_gen,...s₁)和s_R(-s_k,..,[-y](-s)_gen...-s₁)是功能等價狀態，它們具有相同類型的CRS。對於圖1所示的Gen-Left(3,3-2)，令k=3，gen=2。4、s_L ^3-2(-1[0],1,-1)是可達狀態，s_L ^rev(-1,1[0],-1)和sR(1,-1[0],1)都是也是可達狀態；s_L ^3-2(1[1],-1,-1)是死鎖狀態，則s_L ^rev(-1,-1[1],1)和s_R(1,1[-1],-1)都是死鎖狀態。

推論1.1：Gen-Left(k,k-gen)、rev(Gen-Left(k,gen))和Gen-Right(k,gen)都具有相同的閉式解(CFS)。

定理1.1表明Gen-Left(k,k-gen)是Gen-Left(k,gen)的“拓撲反向”網絡。Gen-Left(k,k-gen)可以稱為中繼反向網絡，因為它的CFS可以通過將“gen”替換為“k-gen”直接從Gen-Left(k,gen)的驗證部分導出。應用Gen-Left(k,k-gen)和Gen-Right的功能等價映射，無需詳細的虹吸網絡結構分析即可推導出鏡像Gen-Right的CFS。引理1提供了Gen-Left(k,k-gen)、rev(Gen-Left(k,gen))和Gen-Right(k,gen)之間的狀態轉換規則。本發明將這種分析方法稱為拓撲反向鏡像(TRM)。

2.具有一個非共享資源的變體雙缺k階系統的CFF

令DDk(k,α,β)為Double Deficient k-th order system，其中k為共享資源處的個數M₀(p₀)=α，M₀(p'₀)=β；DDGen-Left(k,α,β,gen)為Gen-Left(k,gen)，其中M₀(p₀)=α,M₀(p'₀)=β；DDGen-Right(k,α,β,gen)是Gen-right(k,gen)，其中M₀(p₀)=α,M₀(p'₀)=β，Variant Double Deficient k階系統的CFF如下圖所示。

本發明將在CFF前面使用嵌入的濾波係數(EFC)作為表1所示的每種CRS的α和β的必要條件。

1.可達狀態的EFC：基本條件是(α

0且β

0)。可以使用min(max(min(α,β,0)+1,0),1))作為嵌入式濾波係數(EFC)來排除可能性(α<0或β<0)。例如，(α<0或β<0)=>max(min(α,β,0)+1,0)=0=>min(max(min(α,β,0)+1,0),1))=0，在這種情況下將強制使整個公式的值為0；(α

0或β

0)=>max(min(α,β,0)+1,0)

1=>min(max(min(α,β,0)+1,0),1))=1，在這種情況下，CFF的值取決於後續公式。

2、活狀態的EFC：必要條件是(α

0和β

0)，但不包括(α=0和β=0)的條件，在該條件下狀態為死鎖狀態。可以使用(min(max(min(α,β,0)+1,0),1))(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))作為EFC。例如(α=β=0)=>(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))的值為0。

3.存活狀態的EFC：根據公式

=

-F，嵌入到可達狀態和存活狀態公式中。

4.死鎖狀態的EFC：基本條件是(α=β=0)∪(α>0和β>0)。對於(α=β=0)的特殊條件，可以使用1-(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))作為f(α=β=0)特殊條件的EFC；max(min(α,β,1),0)作為(α>0和β>0)條件下CFF的EFC。

5. ARRS和ARLS的EFC：基本條件是(α

1和β

1)。可以使用max(min(α,β,1),0)作為EFC。例如，(α

0或β

0)=>min(α,β,1)

0=>max(min(α,β,1),0)=0；否則(α

1 and β

1)=>min(α,β,1)=1=>max(min(α,β,1),0)=1，在這種情況下，CFF的值取決於後續的公式。

定理2.1：DDk(k,α,β)的存活狀態總數為

GC(k,α,β)=(min(max(min(α,β,0)+1,0),1))(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))(Σ_{I=0 to min(k,α)}C(k,i)+Σ_{j=0 to min(k,β)}C(k,j)-1。

定理2.2：一個DDk(k,α,β)的可達狀態總數為

GC(k,α,β)=min(max(min(α,β,0)+1,0)，1)(Σ_{j=0 to k}((Σ_{i=0 to min(j,α-1)}C(j,i))(Σ_{i=0 to min(k-j-1,β)}C(k-j-1,i)))+(Σ_{i=0 to min(k,β)}C(k,i)))。推論1：1)一個DDk(k，α，β)中的禁止狀態數為FGC(k，α，β)=min(max(min(α，β，0)+1，0)，1)(Σ_{j=0 to k}((Σ_{i=0 to min(j,α-1)}C(j,i))(Σ_{i=0 to min(k-j-1,β)}C(k-j-1,i)))+(Σ_{i=0 to min(k,β)}C(k,i)))-(min(max(min(α,β,0)+1,0),1))(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))(Σ_{i=0 to min(k,α)}C(k,i)+Σ_{j=0 to min(k,β)}C(k,j)-1)。

定理2.3：一個DDk(k,α,β)的死鎖狀態總數為

GC(k,α,β)=1-(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))+(最小(α,β,1))(k-1)。

定理2.4：DDGen-Left中的可達狀態總數為

GOL(k,α,β,gen)=

GC(k,α,β)+

GC(k,α-1,β)+(min(α,β,1))(Σ_{1=1 to gen}(Σ_{u=gen+1 to k}(Σ_{j=0 to min(k-u,β-1)}(

GC(1-1,α-1,β-j-1)C(k-u,j))))).。

定理2.5：DDGen-Left中的存活狀態總數為

GOL(k,α,β,gen)=

GC(k,α,β)+

GC(k,α-1,β)+(min(α,β,1))(Σ_{1=1 to gen}(Σ_{u=gen+1 to k}((Σ_{i=0 to mir(β-1,u-1)}C(u-1,i))))+Σ_{1=1 to gen}(Σ_{u=gen+1 to k}(((Σ_{i=0 to min(β-1,k-u)}C(k-u,i)))).。

定理2.6：DDGen-Left中的死鎖狀態總數為

GOL(k,α,β,gen)=1-(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))+(max(min(α,β,1),0))(gen-1)+min(max(α,0),1))*min(max(β,0),1))(Σ_{i=gen+1 to k-1}(min(max(i-gen-α+1,0),1))+Σ_{i=1 to gen}(min(max(α-1,0),1)* min(max(β-gen+i,0),1)+Σ_{i=gen+1 to k-1}(min(max(α+gen-i,0),1)* min(max(β,0),1))+(min(max(α-1,0),1)* min(max(β-1,0),1)*(Σ_{i=1 to gen-1}(Σ_{j=gen+1 to k-1}(Σ_{q=1 to min}(β-1,gen-i)min(max(β-q,0),1)))).。

公式與使用INA(Integrated Net Analyzer)工具(1992)的可達性分析一致。將TRM擴展到DDGen-Left(k,α,β,gen)，可以得到rev(DDGen-Left(k,α,β,k-gen)=DDGen-Left(k,α,β,gen))，並且在DDGen-Left(k,α,β,k-gen)和DDGen-Right(k,β,α,gen)之間存在1-1且可轉換的映射，因此可以直接導出CFS DDGen-Right通過將DDGen-Left的參數列表(k,α,β,gen)替換為(k,β,α,k-gen)。

因此，DDGen-Right的CFS如下所示：

GOR(k,α,β,gen)=

GOL(k,β,α,k-gen)；

GOR(k,α,β,gen)=

GOL(k,β,α,k-gen)； FGOR(k,α,β,gen)=FGOL(k,β,α,k-gen)；

GOR(k,α,β,gen)=

GOL(k,β,α,k-gen)。

因此，本發明完成具有參數k、α、β、gen和流程的Gen-One的CFS，其中流程僅包含Left和Right兩個值。

If process=Left then

GO(k,α,β,gen,process)=

GOL(k,α,β,gen)；

GO(k,α,β,gen,process)=

GOL(k,α,β,gen)；FGO(k,α,β,gen,process)=FGOL(k,α,β,gen)；

GO(k,α,β,gen,process)=

GOL(k,α,β,gen).Else

GO(k,α,β,gen,process)=

GOL(k,β,α,k-gen)；

GO(k,α,β,gen,process)=

GOL(k,β,α,k-gen)；FGO(k,α,β,gen,process)=FGOL(k,β,α,k-gen)；

GO(k,α,β,gen,process)=

GOL(k,β,α,k-gen).End if

用於實施本發明的申請將在以下段落中描述。

1.可應用於從變體k階系統擴展而來的多非共享子網系統；雙缺權杖；多非共享/多權杖資源；多進程系統的可達性分析，無需全網結構分析。

1.1 應用於NNS系統的CFS建設

有缺陷的k階系統是具有非共享子網(NNS)(如圖5所示)的k階系統的基本要素，因為NNS將在空閒位置(idle place)共享一些權杖至左側進程的位置。此外，在這樣的系統中，存在目前INA無法檢測到的所謂活鎖狀態。當類似k階的系統包含死鎖狀態標記並且權杖只能在左進程NNS中流動時，就會 出現活鎖狀態。一個例子是p₁、p'₂和p'₃分別包含一個權杖，這是一個死鎖狀態(1-1-1)；由於沒有空虹吸管，NNS中的子狀態將始終處於活動狀態。

有缺陷的k階系統(Def(k,q))(Chao & Yu,2017)中的可達狀態總數為RD(k,q)=R(k)-Σ_{1=q+1 to k}(Σ_{i=0 to 1-q-1}C(1-1,1-1-i))(2^k-1)，其中q是左側空閒位置的權杖數過程。

缺陷Gen-Left k階系統(Def-Gen-Left(k,q,gen))(Yu,2016 b)中可達狀態的總數為RDG(k,q,gen)=RD(k,q)+RD(k,q-1)+Σ_{i=1 to gen}(Σ_{j=gen+1 to k} RD(i-1,q-1)(2^k-j))，其中gen是Def-Gen-Left(k,q,gen)中非共享資源的位置。

基於上面列出的公式，可以推導出左側過程中具有NNS和非共享資源的k階系統的可達狀態數的CFF，NNS-Gen-Left k-th階系統(NNS-Left(k,m,gen))，如下圖。

RNNS-Gen(k,m,gen)=Σ_{1=0 to m}((|f(1)|)RDG(k,k-1,gen))，其中m是可以流入NNS，m的限制是m<k；f(1)是NNS的可測量狀態函數，1是流入NNS的權杖數，因此|f(1)|在NNS中1的當前信息下，可以映射到一個不模糊的不同狀態組合。

根據TRM，可以容易地推導出rev(NNS-Left(k，m，gen))的CFS，這是合併兩個不同製造過程的基本模型。Def-Gen-Left(k,q,gen)的拓撲反向網絡是Def-Gen-Left(k,q,k-gen)並且鏡像是Def-Gen-Left(k,q,k)的網絡-gen)本身是一個可逆的一對一函數。因此，可以推導出rev(NNS-Left(k,m,gen))的可達狀態的CFF為 Rrev(NNS-Gen)(k,m,k-gen)=Σ_{1=0 to m}((|f(1)|)RDG(k,k-1,k-gen))沒有全網結構分析。

1.2 具有一個非共享資源的雙缺k階系統的可達性分析

圖6顯示了一個雙NNS系統。當兩個NNS都包含權杖時(不包括初始權杖位置)，k階系統將成為雙缺k階系統(Double Deficient k-th order system)。

令

GC(k,α,β)=min(max(min(α,β,0)+1,0),1)(Σ_{j=0 to k}((Σ_{i=0 to min(j,α-1)}C(j,i))(Σ_{i=0 to min(k-j-1,β)}C(k-j-1,i)))+(Σ_{i=0 to min(k,β)}C(k,i)))是在p0中有α個標記的雙缺k階系統的可達狀態數；p'₀中的β個權杖，在左進程的lon位置具有非共享資源的雙缺k階系統的可達狀態數為

GOL(k,α,β,lon)=

GC(k,α,β)+

GC(k,α-1,β)+(min(α,β,1))(Σ_{1=1 to lon}(Σ_{u=lon+1 to k}(Σ_{j=0 to min(k-u,β-1)}(

GC(1-1,α-1,β-j-1)C(k-u,j))))).。

應用TRM，可以很容易地推導出在正確進程的lon位置具有非共享資源的雙缺陷k階系統的可達狀態數是

GOL(k,β,α,k-lon)。

1.3 多非共享資源系統的可達性分析

對於包含兩個非共享資源系統的子網，s=(x₁...x_i[y]...x_j[z]...x_k),where x_m=1,0,-1；y=0,1；z=0,-1，左側非共享資源位於i位置之後，x_i[y]，右側位於j位置之後，x_j[z]。根據“由非共享資源引起的等價(定義6中定義)的不可到達(non-live)狀態派生的附加受限可達(相對地，存活)狀態”(ARRS)(相對地，ARLS)信息Gen-Right和Gen-Left的組合，可以直觀地排除不屬於s的ARRS模式的狀態模式：(x₁...-1 x_i[y]...1 1...x_j[z]...x_k)and(x₁...x_i[y]...-1-1...x_j[z]...1 x_k)，因為(-1 x_i[y]...1 1)不是Gen-Left的可達子狀態，(-1-1...x_i[z]...1 x_k)不是Gen-Right的可達子狀態。因此Gen-One的ARRS信息可用於 分析可達性和構建具有多個非共享資源的k階系統的CFF。TRM可以減少構建CFF所需的工作量。當為s構造CFF,fs(k,Li,Rj)時，還可以為右側x_i[y]和左側x_j[z](y=0,1；z=0-1)非共享資源推導出CFF fs(k,R(k-i),L(k-j))]僅根據TRM。

1.4 多權杖資源系統的可達性分析

在具有包含多權杖的共享資源的變體k階系統中，存在類似的ARRS狀態模式，因為在共享資源中存在多權杖的情況下，左進程或右進程可以在該共享資源rm中等待另一個進程的工作流程。為這樣的網絡結構構造CFS，在導出左側進程pgen中rm資源的權杖數om的CRS的CFF f(k,om,gen)之後，可以立即導出相同數量權杖的部分根據TRM方法，正確的過程p'gen,f(k,om,k-gen-1)。

1.5 多進程系統的可達性分析

圖6顯示k_1(μ-1)(1⁺,1)-th階系統是k_1(μ-1)(1⁺,k-1)-th階系統和k_1(μ-1)(1⁺,k-1)和k_(μ-1)1(1^-,1)具有相同的網絡結構。因此，k_(μ-1)1(1^-,1)的CFF可以直接導出為k_1(μ-1)(1⁺,k-1)的經過驗證的CFF。擴展到k_ijG階系統，其中i

1和j

1，可以發現kij(j+,k-gen)和kji(j^-,gen)是相同的拓撲網絡結構，其中1

j

i。基於k_ij(j⁺,k-gen)的閉式解並應用TRM概念，可以推導出k_ji(j^-,gen)k_ji(j^-,gen)的閉式解，即k_ij(j⁺,k-gen)的解。

2.直接推導從變體k階系統擴展的PN的CFF，無需整體網絡結構分析。

使用經過驗證的k_ij(j⁺,gen)的CFF，kji(j^-,gen)的CFF可以根據映射關係map2(map1(k_ij(j⁺,k-gen)))=map2(rev(k_ij(j⁺,gen)))=k_ji(j^-,gen)如定理1.1所示，圖4和圖。7是k_ij(j⁺,k-gen)的CFF，通過用k-gen替換k_ij(j⁺,gen)的CFF中的參數gen。這裡的參數gen可以是非共享資源的位置，也可以是包含多 權杖的共享資源的位置。已驗證的案例包括DDGen-Right(k,α,β,gen)的CFF是DDGen-Left(k,α,β,k-gen)的CFF和k_(μ-1)1(1^-,1)可以直接導出為經過驗證的k_1(μ-1)(1⁺,k-1)(Chao and Yu,2016)的CFF，無需進行全網結構分析。

3.實現DTH死鎖避免功能

一個簡單的死鎖避免函數算法EnableState((x_C,x_N))(Yu,2016)如下所示，其中x_C是當前狀態的單權杖分佈要改變為下一個狀態的單權杖分佈x_N.

令Nk是與變體k階系統N等價的k階系統，子狀態(m,n)是第t可達子狀態(x_m...x_n)，使得N的當前狀態可以由(sub-state₁...sub-state_t...sub-state_e)組成，其中1

e

int(k/2)+1，URt在Nk中sub-state_t中的或將是的唯一一個未標記的虹吸管(ri-rj)-區域，其中它包含零或空子狀態(0_i+1...0_j-1)，並且s_t是從URt派生的可能的未標記最小虹吸管(表示為UMS)區域(例外條件是子狀態是存活的或子狀態包含由於NSR導致的ARRS)。

函數Search(x₁)返回包含單個狀態x₁的子狀態；MinProcess(sub-state_t)returns the process with the minmal number of operation places containing a token；Deallocate(sub-state_t,DTH)will deallocate all of DTH in sub-state_t；Split(sub-state_t)will Deallocate(sub-state_t,DTH)and split the sub-state_t into sub-state_t-and sub-state_t+ at s_t while s_t is a non-reachable marking in Nk；Merge(sub-state_t(m_t,n_t)sub-state_t+1(m_t+1,n_t+1))generates the newsub-state’_t(m_t,n_t+1)；AllocateDTH(sub-state_t,P_i)will allocate a DTH according to max(DDGen-Left(k,α,β,gen)or DDGen-Right(k,α,β,gen))of URt in process Pi where gen is the possible location of DTH；Protect(s_t)(resp.Unprotect(s_t))protects(resp.unprotects)s_t from the traps holding the token due to the work flow of other siphons； Place(x_C)returns the place containing the token in a single state x_C；isProtected(s_t)returns the Boolean value as true when s_t is protected；and ProcessOf(Place(x_C))will return the process P_i of Place(x_C).

EnableState((x_C,x_N)){1 sub-state_t=Search(x_C)；sub-state’_t=Search(x_N)；2 if(sub-state_t≠sub-state’_t)then{Merge(sub-state_t,sub-state’_t)；}3 if(x_C is not in UR_t)then{return SUCC；}4 if(UR_t contains no NSR or DTH)then{AllocateDTH(sub-state_t,MinProcess(sub-state_t))；}5 if(isProtected(s_t)and Place(x_C)in trap of s_t){return SUCC}6 if(isProtected(s_t)and Place(x_C)in H(DTH)and reachable to x_C){if(no other H(DTH)contains token in URt)then{Unprotected(s_t)；Split(sub-state_t)；Merge(sub-state_t-1,sub-state_t-)；Merge(sub-state_t+,sub-state_t+1)；}return SUCC；}7 if(Place(x_N)in H(DTH)and UR_t is UMS and not isProtected(s_t)){Protect(s_t)；return WAITING；}8 if(Place(x_N)not in H(DTH)and UR_t is UMS and not isProtected(s_t)){Protect(s_t)；Deallocate(s_t,DTH)；Allocate_DTH(s_t,ProcessOf(x_C))；return WAITING；}9 if(Place(x_C)not in s_t and isProtected(s_t)){return HOLDING；}}

當返回值為SUCC時，狀態可以從xC前進到x_N；值為WAITING時，在xC的DTH中等待；而值為HOLDING時，在xC中等待直到Unprotected(st)。

DTH死鎖避免功能的額外優點是可以動態地將這樣的子狀態封裝為整個系統的獨立模組，因為死鎖策略不需要額外分配的共享資源。

最後，Petri網的CFF實現了從EXPSPACE-hard問題提供實時可達性信息的可能性。提出了一些基於當前狀態的大型系統控制應用概念。然而，針對上述所提出的新應用，傳統的全網結構分析方法目前受限於只能導出變體k階系統CFF，從而限制了以更複雜的Petri網模型建立。為了解決這個問題，本發明提供了一種新的高效的基於知識的方法“拓撲反向鏡像”(TRM)，以增強無需複雜的全網虹吸分析即可為PN構建CFS的理論框架，以及用於變體雙缺k階系統的CFF作為基本系統，以擴展更複雜Petri網的分析可達性和推導CFF。

下面提供一個實施例以更好地理解本發明。

假設一個柔性製造子系統包含兩個製造過程(圖1中的N₁和N₂)，共享一個帶有一系列可重定向組件(r_i，i=1到k，稱為共享資源)的輸送系統，可以應用k階系統來建模這樣的子系統，如所示的映射標籤。這種子系統的好處是在按需製造過程中高度利用流程和共享資源。但是，當兩個進程同時啟動時，在使用r_i和r_i+1將因每個定向組件向前傳遞到面對面相反方向的過程中而會發生死鎖。

在由於空間有限而不允許額外的共享資源並且只有兩個進程的每個位置(p_i和p'_i)的臨時存儲可以避免死鎖的情況下，可以應用當前狀態的死鎖率作為啟動的指標死鎖避免策略。Yu(2016a)提出了一種死鎖線程持有者(DTH，一種虛擬的非共享等待資源)避免死鎖策略，該策略基於分配的DTH位置將增加最大可達性。於此，DTH是暫存的位置，用於等待其他工作進程。此外，由於死鎖策略不需要額外分配的共享資源，因此可以將這樣的子系統封裝為整個系統的獨立模塊。

在兩個過程中擴展包含兩個子網的子系統，如圖2所示。子系統可以同時生產四種不同的產品。假設整個系統包括多個這樣的獨立子系統，一個待解決的問題是，在基於當前狀態的過程中，要製造什麼樣的產品，將更有效地利用流程和共享資源。Yu(2017)表明，較低的修正缺陷可達性比(DRO)(缺陷初始權杖下的可達狀態數/可達狀態數)具有更好的可達性邊際效應，可以根據以下情況建立動態初始權杖分配機制哪個系統的DRO值最低。

當k很大時，基於PN的CFF，例如

GOL(k,α,β,lon)公式，可以很容易地即時估計出當前狀態的死鎖率、DTH的位置和DRO的值，已獲得上述製程的整體解決方案。然而，由於NP完全問題，目前無法基於傳統的可達性分析方法實時得出這些值。

用於Petri網的CFF實現了從EXPSPACE-hard問題提供實時可達性信息的可能性。提出了一些基於當前狀態的大型系統控制應用概念。然而，傳統的全網結構分析方法目前限制了CFF只能導出變體k階系統，從而限制了提出的新應用以及將應用應用於更複雜的建模Petri網。

為了解決該問題，本發明提供了一種新的有效的基於知識的方法“拓撲反向鏡像”(TRM)，以增強無需複雜的全網虹吸分析即可用於構建PN的CFS的理論框架，以及用於Variant的CFF雙缺k階系統作為基礎系統，擴展更複雜的Petri網分析可達性並推導其CFF。

除非另有定義，否則本文使用的所有術語(包括技術和科學術語)與本公開所屬領域的普通技術人員通常理解的含義相同。將進一步理解這些術語；例如在常用詞典中定義的那些，應被解釋為具有與其在相關技術和本公開的 上下文中的含義一致的含義，並且除非明確如此定義，否則不會以理想化或過於正式的含義來解釋在此處。

Claims (10)

1. 一種分析佩特里網的可達性方法，該方法係用於分析可達性並推導從變體k階系統擴展的PN的控制相關狀態數的封閉式公式(CFF)，該佩特里網的可達性方法包括：通過證明第一系統Gen-Right(k,gen)以及第二系統Gen_Left(k,k-gen)皆為Gen-Left(k,gen)的拓撲逆向網絡，使得該第一系統以及該第二系統之間存在可逆的一對一映射關係；其中，該第一系統Gen-Right(k,gen)和Gen-Left(k,k-gen)具有相同的封閉式公式，並通過在Gen-Left(k,gen)的驗證封閉式公式中將參數gen替換為k-gen來獲得，並可透過可逆的一對一映射，直接取得其相對應的可達性狀態。
2. 如請求項1所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該方法係為基於知識(knowledge-based)利用已驗證之網路的可達性及封閉解資訊，以改變行程、非共享資源及多權杖共享資源位置等參數值，直接獲得該新網路架構所有具有可逆的一對一映射新網路架構之可達性及封閉解資訊，在此稱該方法為拓撲反向鏡像(TRM)。
3. 如請求項2所述的分析佩特里網的可達性方法，其中，該拓撲反向鏡像係用於分析可達性，並推導封閉式公式控制相關狀態(control-related states)的數量。
4. 如請求項3所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該控制相關狀態係為可達、存活、禁止、死鎖、活鎖、以及不可達。
5. 如請求項1所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該方法更包括提供非共享資源的雙缺k階系統的該CRS數量的CFF。
6. 如請求項5所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該方法更包括在該CFF前面使用嵌入濾波係數(EFC)作為每種該CRS的α和β的必要條件。
7. 如請求項5所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該可達狀態的EFC之必要條件為α

   

   0以及β

   

   0；其中，使用min(max(min(α,β,0)+1,0),1))作為嵌入式濾波係數(EFC)來排除可能性(α<0或β<0)。
8. 如請求項5所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該活動狀態的EFC之必要條件為α

   

   0以及β

   

   0，但不包括α=0和β=0之條件；其中，使用(min(max(min(α,β,0)+1,0),1))(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))作為EFC。
9. 如請求項5所述的分析佩特里網的可達性方法，其中該鎖死狀態的EFC之基本條件為(α=β=0)聯集(α>0和β>0)；其中，使用1-(min(max(max(α,0),max(β,0)),1))作為f(α=β=0)特殊條件的EFC；max(min(α,β,1),0)作為(α>0和β>0)條件下CFF的EFC。
10. 如請求項1所述的分析佩特里網的可達性方法，其中，該非共享資源的雙缺k階系統的該CRS數量的CFF係作為應用該TRM推導出更複雜之PN的CFF的基本模型，並提供基於當前狀態的實時可達性信息系統控制應用的決策。

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