CN105653794A - 一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，该方法首先根据缺陷板结构的受力特点，考虑有限样本条件下载荷、材料特性、设计许用值等参数的不确定性效应，建立矩形板结构裂纹扩展长度的非概率区间过程模型；进而基于经典Paris损伤演化公式与首次穿越理论，构建含初始缺陷结构的时变可靠性度量模型；以可靠度作为约束条件，以减重作为优化目标，以板厚作为设计变量，通过反复迭代获得拟定服役期内结构的最优设计方案。本发明在进行优化设计过程中合理表征了不确定性对含初始缺陷结构拟定生命周期内动力安全的综合影响，并可实现有效减重，确保设计本身兼顾安全性和经济性。

Description

一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法

技术领域

本发明涉及含初始缺陷板结构的优化设计技术领域，特别涉及一种含初始缺陷板结构时变可靠性设计方法，该方法考虑时变性、不确定性共同作用下裂纹扩展尺度对结构安全性能的定量表征以及基于时变可靠度指标约束下拟建含裂纹矩形板结构不确定性优化方案的制定。

背景技术

由于厚度小、质量轻、耗材少、性能好，使板结构成为具有优良特性的结构元件。此外，鉴于其自身具有结构形式规整、易于加工拆装及运输便携等优点，板结构不仅被大量应用于航空航天、船舶、兵器等军工领域，还作为最基本和最主要的构件频繁出现在桥梁、建筑等民用结构系统中。因此，针对板结构的力学特性分析与设计技术研究具有重要的理论意义与工程实用价值。

然而，工程板结构的服役环境相对复杂，制造加工工艺及材料非均质性所造成的初始缺陷和损伤不可避免，并在未来长期服役过程中于结构内部不断发展、蔓延、传播，严重影响着结构的力学行为及使用安全。此外，考虑到材料的分散性、载荷环境的非确知性以及设计准则的模糊性，不确定性效应伴随着损伤演化的整个动态过程，更加剧了初始缺陷所衍生的安全隐患，也使得传统的基于结构完整性假设的分析与设计方法不再适用。综合上述情况，针对拟建的含初始缺陷板结构开展不确定性分析与优化设计方法研究已受到学术界和工程界的高度重视。

当前，国内外学者与工程技术人员对含初始缺陷板结构的不确定性分析与设计研究主要集中在两个方面：(1)基于概率统计理论的结构不确定性损伤演化预测技术；(2)基于静态可靠度约束的结构不确定性优化设计技术。上述工作一定程度上丰富了含初始缺陷板结构的分析与设计理论，但是忽略了随机方法对样本信息的依赖性以及裂纹扩展历程的时间相关性，大大限制了其理论的工程实用化进程。

由于实际工程中贫信息、少数据的情况时有发生，建立以非概率理论框架为基础的不确定性表征技术、损伤演化特征量评估技术、时变可靠度建模与求解技术以及基于可靠性的优化设计技术具有显著的现实意义。目前，相关研究工作尚不成熟，针对拟建含缺陷板结构的方案设计经常无法严格满足所需的应用要求，亦或是安全冗余度过大，造成严重的资源浪费与时间成本损耗。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种针对拟建的含初始缺陷板结构的减重优化设计方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，以提出的非概率时变可靠性度量指标作为优化模型的约束条件，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于实现步骤如下：

步骤一：根据矩形板结构的几何特征、缺陷形式和位置、材料属性以及载荷边界条件，推演结构应力变程△σ的解，其中，矩形板结构的几何特征包括板宽W和板厚t，缺陷形式和位置包括初始边裂纹长度a₀，材料属性包括裂纹扩展特征参数C、β和n，其中C和n一般由试验数据拟合得到，β为量纲为一的应力强度因子或结构构型因数，对于给定的裂纹几何及载荷条件，β通常是裂纹长度的函数，载荷边界条件包括交变载荷P，N表示交变循环载荷次数，a(N)表示当前交变循环载荷次数下的裂纹长度，基于经典Paris公式，进而获取裂纹扩展速率的显式表达式，即

步骤二：利用区间向量x∈x^I＝(C,β,P,a_cr)合理表征贫信息、少数据条件下的结构不确定性，这里a_cr代表许用裂纹长度，于是有：

$x^U=(C^U,{\mathrm{\β}}^U,P^U,a_{cr}^U)=(C^c+C^r,{\mathrm{\β}}^c+{\mathrm{\β}}^r,P^c+P^r+a_{cr}^c+a_{cr}^r)$

$x^L=(C^L,{\mathrm{\β}}^L,P^L,a_{cr}^L)=(C^c-C^r,{\mathrm{\β}}^c-{\mathrm{\β}}^r,P^c-P^r,a_{cr}^c-a_{cr}^r)$

其中，裂纹扩展特征参数C和β、拉伸载荷P以及许用裂纹长度a_cr可分别表示为区间变量，上标U代表参量的取值上界，上标L代表参量的取值下界，上标c代表中心值，上标r代表半径；

步骤三：将不确定性信息代入到裂纹扩展速率表达式中，引入非概率区间过程理论，建立裂纹扩展速率时变不确定性历程的数学模型，分别实现任意给定载荷循环次数N_i条件下中心值和半径以及任意不同载荷循环次数N_i和N_i+1条件下自相关性函数Cov_a(N_i,N_i+1)和相关系数函数ρ_a(N_i,N_i+1)的显式表达；

步骤四：将首次穿越理论与损伤扩展速率的区间过程模型相结合，提出针对含初始裂纹矩形板结构的时变可靠度计算指标：

$R_s\left(N\right)=Pos\{\∀N_i\≤N:g\left(N_i\right)=a_{cr}-a(N_i,C,\mathrm{\β},\mathrm{\Δ}\mathrm{\σ})>0\}$

其中，N表示整个服役周期，Pos{·}表示事件发生的可能性度量，a(N_i,C,β,△σ)表示经历N_i次载荷循环后板结构的裂纹扩展长度，g(N_i)表示安全性校核的极限状态函数；

步骤五：以损伤演化过程中的时变可靠度R_s(N)作为约束条件，以矩形板重量M作为优化目标，以板的厚度t作为设计变量，构建面向拟建的含初始边裂纹矩形板结构时变可靠性优化设计模型，并以粒子群智能算法实现完整优化迭代过程；

步骤六：迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束的许用值或者尽管满足可靠度约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ξ时，设计变量的种群重置更新，将已经完成迭代次数的值增加一，并返回步骤三，否则，进行步骤七；

步骤七：如果全局最优设计方案与全局次优设计方案的目标函数值相当接近时，即前后两次可行解的容差百分比小于预设值ξ时，终止计算，将得到的全局最优设计方案中的变量参数作为最终的拟建矩形板设计方案。

进一步的，所述步骤一中矩形板应力变程△σ的计算表达式取决于结构几何、材料、载荷输入参数的共同作用。

进一步的，所述步骤二中区间不确定性参数向量x可以表示为：

x＝[x^L,x^U]＝[x^c-x^r,x^c+x^r]

＝x^c+x^r[-1,1]

＝x^c+x^r×e

其中，e∈Ξ⁴，Ξ⁴定义为所有元素包含在[-1,1]内的4维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为4的向量。

进一步的，所述步骤三中裂纹扩展长度被量化在一个区间过程模型中，即a(N)∈a(N)^I，对于任意给定载荷循环次数N_i，裂纹长度将退化为一个区间变量a(N_i)^I，有限个离散的区间变量a(N₁)^I,a(N₂)^I,...,a(N_n)^I的可行范围被界定在一个超立方体域Ωⁿ内；此外，自相关函数Cov_a(N_i,N_i+1)和相关系数函数ρ_a(N_i,N_i+1)的定义需借助标准化处理手段，并转换工作坐标系至(e₁,e₂)，即：

a(N_i)∈[a(N_i)^L,a(N_i)^U]＝a(N_i)^c+a(N_i)^r×e₁

a(N_i+1)∈[a(N_i+1)^L,a(N_i+1)^U]＝a(N_i+1)^c+a(N_i+1)^r×e₂。

进一步的，所述步骤四中时变可靠度R_s(N)的计算需借助时间离散化方法，并遍历每一个微小载荷历程增量内结构发生裂纹失稳破坏的可能性指标，于是有：

$R_s\left(N\right)=1-P_f\left(N\right)=1-\left(Pos\right(0)+\underset{i=1}{\overset{N_i=N}{\Σ}}\mathrm{\ν}(N_i)\×{\mathrm{\ΔN}}_i)$

其中，P_f(N)表示失效度，Pos(0)＝Pos(a_cr<a₀)表示结构在初始缺陷作用下即发生失效的可能度，ν(N_i)表示矩形板结构在循环加载N_i次到N_i+1次之间发生穿越失效的可能性指标，△N_i＝N_i+1-N_i表示微小载荷历程增量，其取值设定为100次。

进一步的，所述步骤五中优化列式描述为：

$\left\{\begin{array}{cc}min& M\left(t\right)\\ s.t.& W>0,t>0\\ & R_s(N,C,\mathrm{\&beta;},\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&sigma;},a_{cr},W,t)\&GreaterEqual;R_s^{cr}\end{array}\right.$

其中，可靠度的设计许用值越大，结构设计越安全，对应的结构重量会有所增加。

进一步的，所述步骤六中容差百分比的预设值ξ设定为1％。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了含缺陷板结构设计的新思路，弥补和完善了传统基于概率理论的静态可靠性设计方法的局限性。所构建的时变可靠性度量模型，一方面可大幅减小对样本信息的依赖性，另一方面可有效计及并量化不确定性作用下裂纹扩展的时间累积效应。在对拟建的含初始缺陷板结构进行优化设计时，可以充分考虑不确定性与时变性共同作用下的结构损伤演化规律，在确保裂纹扩展尺度水平可控的前提下可大大降低结构重量，提高性能的同时，降低设计周期和经济成本。

附图说明

图1是本发明针对拟建的含初始缺陷矩形板结构时变可靠性设计流程图；

图2是本发明提出的区间过程模型理论中标准化变换示意图；

图3是本发明定义的相关性函数所对应的几何可行域示意图；

图4是本发明针对不确定性损伤演化规律采用的首次穿越方法示意图；

图5是本发明提出的微小循环载荷增量段内穿越失效可能度计算方法示意图；

图6是本发明针对拟建的含初始缺陷矩形板结构几何模型示意图；

图7是本发明针对拟建的含初始缺陷矩形板结构载荷等效示意图；

图8是本发明针对拟建的含初始缺陷矩形板构时变可靠性设计迭代历程曲线，其中图8(a)中图8(b)中图8(c)中

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种针对拟建的含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，包括以下步骤：

(1)根据矩形板结构的几何特征(板宽W和板厚t)、缺陷形式和位置(初始边裂纹长度a₀)、材料属性(裂纹扩展特征参数C，β和n，其中C和n一般由试验数据拟合得到，β为量纲为一的应力强度因子或结构构型因数，对于给定的裂纹几何及载荷条件，β通常是裂纹长度的函数)以及载荷边界条件(交变载荷P)，N表示交变循环载荷次数，a(N)表示当前交变循环载荷次数下的裂纹长度，推演结构应力变程△σ的解，基于经典Paris公式，进而获取裂纹扩展速率的显式表达式，即显然，在任意微小循环载荷增量内，裂纹扩展速率的取值受材料特性、几何特性、载荷条件以及之前裂纹扩展长度的综合影响。

(2)利用区间向量x∈x^I＝(C,β,P,a_cr)合理表征贫信息、少数据条件下的结构不确定性，这里a_cr代表许用裂纹长度，于是有：

$x^U=(C^U,{\mathrm{\&beta;}}^U,P^U,a_{cr}^U)=(C^c+C^r,{\mathrm{\&beta;}}^c+{\mathrm{\&beta;}}^r,P^c+P^r,a_{cr}^c+a_{cr}^r)$

$x^L=(C^L,{\mathrm{\&beta;}}^L,P^L,a_{cr}^L)=(C^c-C^r,{\mathrm{\&beta;}}^c-{\mathrm{\&beta;}}^r,P^c-P^r,a_{cr}^c-a_{cr}^r)$

其中，裂纹扩展特征参数C和β、拉伸载荷P以及许用裂纹长度a_cr可分别表示为区间变量，上标U代表参量的取值上界，上标L代表参量的取值下界，上标c代表中心值，上标r代表半径。区间不确定性参数向量x还可以表示为：

x＝[x^L,x^U]＝[x^c-x^r,x^c+x^r]

＝x^c+x^r[-1,1]

＝x^c+x^r×e

其中，e∈Ξ⁴，Ξ⁴定义为所有元素包含在[-1,1]内的4维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为4的向量。

(3)将不确定性信息代入到裂纹扩展速率表达式中，引入非概率区间过程理论，建立裂纹扩展速率时变不确定性历程的数学模型。这里，裂纹扩展长度同样被量化在一个区间过程模型中，即a(N)∈a^I(N)，对于任意给定载荷循环次数N_i，裂纹长度将退化为一个区间变量a^I(N_i)，有限个离散的区间变量a^I(N₁),a^I(N₂),...,a^I(N_n)的可行范围被界定在一个超立方体域Ωⁿ内。

基于区间数学理论，分别定义出任意给定载荷循环次数N_i条件下中心值和半径如下：

$a{\left(N_i\right)}^c=\frac{a{\left(N_i\right)}^U+a{\left(N_i\right)}^L}{2}$

$a{\left(N_i\right)}^r=\frac{a{\left(N_i\right)}^U-a{\left(N_i\right)}^L}{2}$

为方便起见，定义方差函数为：

$D_a\left(N_i\right)={\left(a{\left(N_i\right)}^r\right)}^2={\left(\frac{a{\left(N_i\right)}^U-a{\left(N_i\right)}^L}{2}\right)}^2$

结合Paris公式和区间泰勒级数展开法，我们还可以进一步获知：

$a{\left(N_{i+1}\right)}^c=a{\left(N_i\right)}^c+{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^c\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i$

$a{\left(N_{i+1}\right)}^r=a{\left(N_i\right)}^r+{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^r\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i$

其中，

${\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^c=C^c{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^n{\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}^n{\left(\mathrm{\&pi;}a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}}$

$\begin{array}{c}{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^r\&ap;\left|\frac{\&part;{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^c}{\&part;C^c}\right|C^r+\left|\frac{\&part;{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^c}{\&part;{\mathrm{\&beta;}}^c}\right|{\mathrm{\&beta;}}^r+\left|\frac{\&part;{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^c}{\&part;\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}\right|{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^r+\left|\frac{\&part;{\left(\frac{da\left(N_i\right)}{{\mathrm{dN}}_i}\right)}^c}{\&part;a{\left(N_i\right)}^c}\right|a{\left(N_i\right)}^r\\ =\left|{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{n}{2}}{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^n{\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}^n{\left(a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}}\right|C^r+\left|{\mathrm{n\&pi;}}^{\frac{n}{2}}{C}^c{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^{n-1}{\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}^n{\left(a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}}\right|{\mathrm{\&beta;}}^r\\ +\left|{\mathrm{n\&pi;}}^{\frac{n}{2}}{C}^c{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^n{\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}^{n-1}{\left(a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}}\right|{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^r+\left|\frac{n}{2}{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{n}{2}}{C}^c{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^n{\left(a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}-1}\right|a{\left(N_i\right)}^r\end{array}$

对于任意给定的不同载荷循环次数N_i和N_i+1，如图2所示，借助标准化处理手段，并转换工作坐标系至(e₁,e₂)，即：

a(N_i)∈[a(N_i)^L,a(N_i)^U]＝a(N_i)^c+a(N_i)^r×e₁

a(N_i+1)∈[a(N_i+1)^L,a(N_i+1)^U]＝a(N_i+1)^c+a(N_i+1)^r×e₂

从几何角度不难发现，存在无数多个不同形状的偏转矩形域包含于标准方形域内，而这些矩形域形状的改变与其对应的区间变量相关性具有映射关系(如图3所示)。于是，我们定义自相关性函数Cov_a(N_i,N_i+1)和相关系数函数ρ_a(N_i,N_i+1)如下：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Cov}}_a(N_i,N_{i+1})=Cov(e_1,e_2)\&times;a{\left(N_i\right)}^r\&times;a{\left(N_{i+1}\right)}^r\\ =(1-\sqrt{2}d)\&times;a{\left(N_i\right)}^r\&times;a{\left(N_{i+1}\right)}^r\end{array},0\&le;d\&le;\sqrt{2}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_a(N_i,N_{i+1})=\frac{{\mathrm{Cov}}_a(N_i,N_{i+1})}{\sqrt{D_a\left(N_i\right)}\sqrt{D_a\left(N_{i+1}\right)}}\\ =\frac{Cov(e_1,e_2)}{\sqrt{D_{e_1}}\sqrt{D_{e_2}}}={\mathrm{\&rho;}}_{e_1{e}_2}=1-\sqrt{2}d\end{array},0\&le;d\&le;\sqrt{2}$

其中，d表示如图3所示矩形域边长的一半，D_e1和D_e2分别是标准区间变量e₁和e₂的方差(D_e1＝D_e2＝1)，ρ_a(N_i,N_i+1)是一个无量纲量，其大小代表了a(N_i)和a(N_i+1)的线性相关度。

将已推导出的损伤演化特征量的数学表达式代入到Cov_a(N_i,N_i+1)和ρ_a(N_i,N_i+1)的定义式中，可以进一步获得：

${\mathrm{Cov}}_a(N_i,N_{i+1})\&ap;D_a\left(N_i\right)\&times;(1+(\frac{n}{2}{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{n}{2}}{C}^c{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^n{\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}^n{\left(a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}-1})\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_a(N_i,N_{i+1})=\frac{{\mathrm{Cov}}_a(N_i,N_{i+1})}{\sqrt{D_a\left(N_i\right)}\sqrt{D_a\left(N_{i+1}\right)}}=(1-\sqrt{2}d)\\ \&DoubleRightArrow;d\&ap;\frac{\sqrt{2}}{2}\{1-\sqrt{\frac{D_a\left(N_i\right)}{D_a\left(N_{i+1}\right)}}\&times;(1+(\frac{n}{2}{\mathrm{\&pi;}}^{\frac{n}{2}}{C}^c{\left({\mathrm{\&beta;}}^c\right)}^n{\left({\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^c\right)}^n{\left(a{\left(N_i\right)}^c\right)}^{\frac{n}{2}-1})\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i)\}\end{array}$

综上，我们实现了对含初始缺陷结构不确定性损伤演化机理的定量表征，为后续可靠性建模及优化设计提供了必要的理论依据。

(4)将首次穿越理论(如图4所示)与损伤扩展速率的区间过程模型相结合，提出针对含初始裂纹矩形板结构的时变可靠度计算指标：

$R_s\left(N\right)=Pos\{\&ForAll;N_i\&le;N:g\left(N_i\right)=a_{cr}-a(N_i,C,\mathrm{\&beta;},\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&sigma;})>0\}$

其中，N表示整个服役周期，Pos{·}表示事件发生的可能性度量，a(N_i,C,β,△σ)表示经历N_i次载荷循环后板结构的裂纹扩展长度。g(N_i)表示安全性校核的极限状态函数，g(N_i)>0代表结构安全，反之意味着当前裂纹长度已超过许用值，结构会发生失稳破坏。上式中时变可靠度R_s(N)的计算需借助时间离散化方法，并遍历每一个微小载荷历程增量内结构发生裂纹失稳破坏的可能性指标，于是有：

$R_s\left(N\right)=1-P_f\left(N\right)=1-\left(Pos\right(0)+\underset{i=1}{\overset{N_i=N}{\&Sigma;}}\mathrm{\&nu;}(N_i)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i)$

其中，P_f(N)表示失效度，Pos(0)＝Pos(a_cr<a₀)表示结构在初始缺陷作用下即发生失效的可能度，△N_i＝N_i+1-N_i表示微小载荷历程增量，其取值设定为100次。ν(N_i)表示矩形板结构在循环加载N_i次到N_i+1次之间发生穿越失效的可能性指标，具体表达如下：

$\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)\&ap;\frac{Pos\{\left(g\right(N_i)>0)\&cap;\left(g\right(N_{i+1})\&le;0)\}}{{\mathrm{\&Delta;N}}_i}$

其中，如图5所示，Pos{(g(N_i)>0)∩(g(N_i+1)≤0)}定义为标准化后阴影区域的面积与极限状态过程中g(N_i)与g(N_i+1)构成的总可行域(偏转矩形)面积之比，即：

由于边界条件和的变化，阴影区域所对应的面积表达式也有所不同，因此，穿越失效可能度ν(N_i)实际上是个典型的分段函数，共存在以下九种可能情况需作判定：

情况①：当 $G\left(N_i\right)=\frac{g^c\left(N_i\right)}{g^r\left(N_i\right)}\&Element;\&lsqb;1,+\mathrm{\&infin;}),$ 且 $G\left(N_{i+1}\right)=\frac{g^c\left(N_{i+1}\right)}{g^r\left(N_{i+1}\right)}\&Element;\&lsqb;{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1}),1\&rsqb;$ 时，

$\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)=\frac{{(1-G(N_{i+1}\left)\right)}^2}{2(1-{\mathrm{\&rho;}}_g{\left(N_i,N_{i+1}\right)}^2)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i}$

情况②：当G(N_i)∈[1,+∞)，且G(N_i+1)∈[0,ρ_g(N_i,N_i+1))时，

$\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;N}}_i}\&times;(\frac{1}{2}-\frac{G\left(N_{i+1}\right)}{1+{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1})})$

情况③：当G(N_i)∈[ρ_g(N_i,N_i+1),1)，且G(N_i+1)∈[G(N_i),1]时，ν(N_i)的表达式与情况①相同。

情况④：当G(N_i)∈[ρ_g(N_i,N_i+1),1)，且G(N_i+1)∈[3G(N_i)-2,G(N_i))时，

$\begin{array}{c}\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)=\frac{1}{2(1-{\mathrm{\&rho;}}_g{\left(N_i,B_{i+1}\right)}^2)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i}\{{\left(G\right(N_i)-{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1}\left)\right)}^2\\ +\frac{1}{2}\left(G\right(N_i)-G(N_{i+1}\left)\right)\&times;\left(5G\right(N_i)-G(N_{i+1})-4{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1}\left)\right)\}\end{array}$

情况⑤：当G(N_i)∈[ρ_g(N_i,N_i+1),1)，且G(N_i+1)∈[0,3G(N_i)-2)时，

$\begin{array}{c}\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)=\frac{1}{2(1-{\mathrm{\&rho;}}_g{\left(N_i,N_{i+1}\right)}^2)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i}\&times;\{-{(1-G(N_i\left)\right)}^2\\ +(1-{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1}\left)\right)\&times;(1-{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1})-2G(N_{i+1}\left)\right)\}\end{array}$

情况⑥：当G(N_i)和G(N_i+1)均属于[1-ρ_g(N_i,N_i+1),ρ_g(N_i,N_i+1))时，

$\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)=\frac{{(1-{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1})+G(N_i)-G(N_{i+1}\left)\right)}^2}{4(1-{\mathrm{\&rho;}}_g{\left(N_i,N_{i+1}\right)}^2)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i}$

情况⑦：当G(N_i)∈[1-ρ_g(N_i,N_i+1),ρ_g(N_i,N_i+1))，且G(N_i+1)∈[0,G(N_i)+ρ_g(N_i,N_i+1)-1)时，

$\mathrm{\&nu;}\left(N_i\right)=\frac{G\left(N_i\right)-G\left(N_{i+1}\right)}{(1+{\mathrm{\&rho;}}_g(N_i,N_{i+1}\left)\right)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i}$

情况⑧：当G(N_i)∈[0,1-ρ_g(N_i,N_i+1))，且G(N_i+1)∈[0,G(N_i)-ρ_g(N_i,N_i+1)+1)时，ν(N_i)的表达式与情况⑥相同。

情况⑨：除了上述8种情况外，ν(N_i)恒等于0，也就意味着不存在穿越可能。

遍历所有离散化循环载荷增量段内ν(N_i)的计算结果，可以依照之前给出的定义式求解出时变可靠度R_s(N)。

(5)以损伤演化过程中的时变可靠度R_s(N)作为约束条件，以矩形板重量M作为优化目标，以板的厚度t作为设计变量，构建面向拟建的含初始边裂纹矩形板结构时变可靠性优化设计模型，并以粒子群智能算法实现完整优化迭代过程。具体优化列式可描述为：

$\left\{\begin{array}{cc}\min & M\left(t\right)\\ s.t.& W>0,t>0\\ & R_s(N,C,\mathrm{\&beta;},\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&sigma;},a_{cr},W,t)\&GreaterEqual;R_s^{cr}\end{array}\right.$

其中，可靠度的设计许用值越大，结构设计越安全，对应的结构重量会有所增加。

粒子群算法是一种智能全局寻优求解技术，每一个粒子代表一个潜在的优化解，并且其位置代表某种方向向量。最初种群将被随机地赋予初始位置和初始速度，它们将沿着之前的最优位置加速更新，而全局最优点的确定将依靠下面两个公式：

$v_i^{\left(k\right)}=w^{*}{v}_i^{(k-1)}+c_1^{*}{\mathrm{rand}}_1^{*}({\mathrm{pbest}}_i-x_i^{(k-1)})+c_2^{*}{\mathrm{rand}}_2^{*}({\mathrm{gbest}}_i-x_i^{(k-1)})$

$x_i^{\left(k\right)}=x_i^{(k-1)}+v_i^{\left(k\right)}$

式中，i代表第i个粒子，k代表第k次迭代过程，v_i表示第i个粒子的更新速度，x_i是第i个粒子的当前位置。和表示加速常数，和是在[0,1]区间内满足均匀分布的随机数，w^*代表权重系数，pbest_i和gbest_i分别表示基于个体和总体的最优位置。上述迭代过程的完成取决于最小误差或迭代步数的预设值，这也就决定了计算结果的精度。

(6)迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束的许用值或者尽管满足可靠度约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ξ时，设计变量的种群重置更新，将已经完成迭代次数的值增加一，并返回(3)，否则，进行(7)。这里，容差百分比的预设值ξ设定为1％。

(7)如果全局最优设计方案与全局次优设计方案的目标函数值相当接近时，即前后两次可行解的容差百分比小于预设值ξ时，终止计算，将得到的全局最优设计方案中的变量参数作为最终的拟建矩形板设计方案。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示拟建的含初始缺陷20Cr2Ni4A材料矩形板结构进行基于时变可靠性的优化设计。该矩形板结构两端承受偏心的交变拉伸载荷P，综合几何尺寸、初始裂纹状况以及载荷条件，可以求解出应力变程△σ的显示表达，即这里，△σ的计算可以等效为沿中心轴线拉伸下的正应力和纯弯曲作用下的最大正应力的叠加(详见图3)。基于经典的Paris公式，可以进一步计算出裂纹扩展速率的显式表达式，即表1给出了实施例中矩形板结构的不确定性信息。

表1

该实施例采用三种不同水平的可靠度设计许用值进行约束，即R_s ^cr分别为0.9，0.95和0.99，图8(a)-(c)给出了三种工况下目标函数的迭代历程曲线。可以看出：相较于初始设计，减重效果明显；随着可靠度许用值增加，结构趋于安全，重量有所增加。

综上所述，本发明提出了一种含初始裂纹矩形板结构的时变可靠性设计方法。首先，根据板结构几何、材料、缺陷以及载荷等情况的具体特征，结合经典Pairs公式求得损伤扩展速度的数学表达；其次，将不确定性信息引入建立区间过程模型，分别实现裂纹扩展长度和极限状态函数时变不确定特征量的快速计算；基于首次穿越理论和离散化策略，完成任意微小循环载荷增量段内穿越失效可能度的指标定义与求解，进而构建时变可靠度模型；最后，以可靠性指标为约束，以减重为目标，完成不同设计许用水平下拟建含缺陷结构的优化设计。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含缺陷结构的优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (7)

1.一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于实现步骤如下：

步骤一：根据矩形板结构的几何特征、缺陷形式和位置、材料属性以及载荷边界条件，推演结构应力变程△σ的解，其中，矩形板结构的几何特征包括板宽W和板厚t，缺陷形式和位置包括初始边裂纹长度a₀，材料属性包括裂纹扩展特征参数C、β和n，其中C和n一般由试验数据拟合得到，β为量纲为一的应力强度因子或结构构型因数，对于给定的裂纹几何及载荷条件，β通常是裂纹长度的函数，载荷边界条件包括交变载荷P，N表示交变循环载荷次数，a(N)表示当前交变循环载荷次数下的裂纹长度，基于经典Paris公式，进而获取裂纹扩展速率的显式表达式，即 $\frac{da\left(N\right)}{dN}={\mathrm{C\&beta;}}^n{\left(\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&sigma;}\right)}^n{\left(\mathrm{\&pi;}a\right(N\left)\right)}^{\frac{n}{2}};$

步骤二：利用区间向量x∈x^I＝(C,β,P,a_cr)合理表征贫信息、少数据条件下的结构不确定性，这里a_cr代表许用裂纹长度，于是有：

$x^U=(C^U,{\mathrm{\&beta;}}^U,P^U,a_{cr}^U)=(C^c+C^r,{\mathrm{\&beta;}}^c+{\mathrm{\&beta;}}^r,P^c+P^r,a_{cr}^c+a_{cr}^r)$

$x^L=(C^L,{\mathrm{\&beta;}}^L,P^L,a_{cr}^L)=(C^c-C^r,{\mathrm{\&beta;}}^c-{\mathrm{\&beta;}}^r,P^c-P^r,a_{cr}^c-a_{cr}^r)$

其中，裂纹扩展特征参数C和β、拉伸载荷P以及许用裂纹长度a_cr可分别表示为区间变量，上标U代表参量的取值上界，上标L代表参量的取值下界，上标c代表中心值，上标r代表半径；

步骤三：将不确定性信息代入到裂纹扩展速率表达式中，引入非概率区间过程理论，建立裂纹扩展速率时变不确定性历程的数学模型，分别实现任意给定载荷循环次数N_i条件下中心值和半径以及任意不同载荷循环次数N_i和N_i+1条件下自相关性函数Cov_a(N_i,N_i+1)和相关系数函数ρ_a(N_i,N_i+1)的显式表达；

步骤四：将首次穿越理论与损伤扩展速率的区间过程模型相结合，提出针对含初始裂纹矩形板结构的时变可靠度计算指标：

$R_s\left(N\right)=Pos\{\&ForAll;N_i\&le;N:g\left(N_i\right)=a_{cr}-a(N_i,C,\mathrm{\&beta;},\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&sigma;})>0\}$

其中，N表示整个服役周期，Pos{·}表示事件发生的可能性度量，a(N_i,C,β,△σ)表示经历N_i次载荷循环后板结构的裂纹扩展长度，g(N_i)表示安全性校核的极限状态函数；

步骤五：以损伤演化过程中的时变可靠度R_s(N)作为约束条件，以矩形板重量M作为优化目标，以板的厚度t作为设计变量，构建面向拟建的含初始边裂纹矩形板结构时变可靠性优化设计模型，并以粒子群智能算法实现完整优化迭代过程；

步骤六：迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束的许用值或者尽管满足可靠度约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ξ时，设计变量的种群重置更新，将已经完成迭代次数的值增加一，并返回步骤三，否则，进行步骤七；

步骤七：如果全局最优设计方案与全局次优设计方案的目标函数值相当接近时，即前后两次可行解的容差百分比小于预设值ξ时，终止计算，将得到的全局最优设计方案中的变量参数作为最终的拟建矩形板设计方案。

2.根据权利要求1所述的一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于：所述步骤一中矩形板应力变程△σ的计算表达式取决于结构几何、材料、载荷输入参数的共同作用。

3.根据权利要求1所述的一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于：所述步骤二中区间不确定性参数向量x可以表示为：

x＝[x^L,x^U]＝[x^c-x^r,x^c+x^r]

＝x^c+x^r[-1,1]

＝x^c+x^r×e

其中， $x^c=(C^c,{\mathrm{\&beta;}}^c,P^c,a_{cr}^c),x^r=(C^r,{\mathrm{\&beta;}}^r,P^r,a_{cr}^r),$ e∈Ξ⁴，Ξ⁴定义为所有元素包含在[-1,1]内的4维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为4的向量。

4.根据权利要求1所述的一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于：所述步骤三中裂纹扩展长度被量化在一个区间过程模型中，即a(N)∈a(N)^I，对于任意给定载荷循环次数N_i，裂纹长度将退化为一个区间变量a(N_i)^I，有限个离散的区间变量a(N₁)^I,a(N₂)^I,...,a(N_n)^I的可行范围被界定在一个超立方体域Ωⁿ内；此外，自相关函数Cov_a(N_i,N_i+1)和相关系数函数ρ_a(N_i,N_i+1)的定义需借助标准化处理手段，并转换工作坐标系至(e₁,e₂)，即：

a(N_i)∈[a(N_i)^L,a(N_i)^U]＝a(N_i)^c+a(N_i)^r×e₁

a(N_i+1)∈[a(N_i+1)^L,a(N_i+1)^U]＝a(N_i+1)^c+a(N_i+1)^r×e₂。

5.根据权利要求1所述的一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于：所述步骤四中时变可靠度R_s(N)的计算需借助时间离散化方法，并遍历每一个微小载荷历程增量内结构发生裂纹失稳破坏的可能性指标，于是有：

$R_s\left(N\right)=1-P_f\left(N\right)=1-\left(Pos\right(0)+\underset{i=1}{\overset{N_i=N}{\&Sigma;}}v(N_i)\&times;{\mathrm{\&Delta;N}}_i)$

其中，P_f(N)表示失效度，Pos(0)＝Pos(a_cr<a₀)表示结构在初始缺陷作用下即发生失效的可能度，ν(N_i)表示矩形板结构在循环加载N_i次到N_i+1次之间发生穿越失效的可能性指标，△N_i＝N_i+1-N_i表示微小载荷历程增量，其取值设定为100次。

6.根据权利要求1所述的一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于：所述步骤五中优化列式描述为：

$\left\{\begin{array}{cc}min& M\left(t\right)\\ s.t.& W>0,t>0\\ & R_s(N,C,\mathrm{\&beta;},\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&sigma;},a_{cr},W,t)\&GreaterEqual;R_s^{cr}\end{array}\right.$

其中，可靠度的设计许用值越大，结构设计越安全，对应的结构重量会有所增加。

7.根据权利要求1所述的一种含初始缺陷矩形板结构的时变可靠性设计方法，其特征在于：所述步骤六中容差百分比的预设值ξ设定为1％。