CN111352340A - 一种基于时变可靠度的不确定性系统pid控制器设计方法 - Google Patents

一种基于时变可靠度的不确定性系统pid控制器设计方法 Download PDF

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CN111352340A CN202010341229.7A CN202010341229A CN111352340A CN 111352340 A CN111352340 A CN 111352340A CN 202010341229 A CN202010341229 A CN 202010341229A CN 111352340 A CN111352340 A CN 111352340A
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    • G05B11/42—Automatic controllers electric with provision for obtaining particular characteristics, e.g. proportional, integral, differential for obtaining a characteristic which is both proportional and time-dependent, e.g. P. I., P. I. D.

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Abstract

本发明公开了一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法。该方法针对不确定变量PID闭环控制系统，通过计算闭环响应区间和时变可靠度，并以时变可靠度为约束设计出控制力指标最小的PID控制器。该方法通过将不确定变量进行区间化描述，结合配点法计算响应区间，并结合首次穿越理论计算时变可靠度。最后以时变可靠度作为约束，设计出控制力指标最小的PID控制器。

Description

一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法
技术领域
本发明涉及振动控制及可靠性评估技术领域，具体涉及一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法。
背景技术
在实际工程中，振动控制是一个重要问题。实际结构中过大的振动会引发一系列问题，例如噪声、性能下降，甚至导致结构破坏。传统的减振方法是被动减振，即通过添加减振材料和吸音材料来降低振动，这无疑会增加结构重量：另一方面，被动减振对于低频振动的抑制效果不理想。另一种减振方法是主动减振，在结构上布置传感器和驱动器，通过控制力产生次级振动来抵消原振动。此方法可以在达到振动抑制的同时避免增加结构重量。随着数字信号处理技术和现代控制理论的发展，振动主动控制技术在近年来取得显著发展。
然而实际结构中存在各种不确定性参数，例如控制系统本身的不确定参数、加工误差以及传感器的噪声信号。在设计实际结构的控制器时，这些不确定性必须予以考虑。传统解决方法是鲁棒控制。鲁棒控制指的是参数在一定范围内发生变化时，被控闭环系统仍可以保持原有性能。但是为了确保不确定系统可以正常运行，鲁棒控制器往往设计的过于保守，意味着有更多不必要的能量消耗。为了解决鲁棒控制过于保守的问题，可靠性设计的概念被提出。
近些年，已有很多学者将可靠性分析引入到主动控制问题的控制器设计的过程中，很多相关方法被提出：例如一种基于概率方法和第一通道理论的主动控制系统随机可靠性设计方法；随机激励下主动控制系统可靠性分析的一般框架，可应用于鲁棒控制和经典LQG控制理论；通过将概率可靠性方法与区间算法相结合，提出了一种概率可靠性度量指标；利用一阶或二阶矩可靠性分析理论、系统矩阵特征值和Routh-Hurwitz准则计算受控系统概率可靠性；利用不确定参数的概率分布，设计可靠控制器使系统失效概率最小化。然而，上述可靠性分析方法依赖于不确定参数的概率分布函数。但在实际工程中，由于样本数据量有限，往往无法准确地得到概率分布函数。
为了克服这一局限性，非概率可靠性理论被提出和发展。基于这一理论的相关研究很多：使用凸模型方法将可靠性定义为属于可靠性域的多维体积与整个凸模型的体积之比；利用区间变量来描述不确定参数，提出了一种基于非概率可靠性的优化模型，可以给出满足一定可靠性要求的优化设计。上述可靠性分析都是建立在时间无关模型的基础上的，但实际工程中的一些不确定参数是时间相关的，可靠性分析中的时间效应是不可忽视的。因此，时变可靠度的概念被提出，首次穿越理论在时变可靠度分析中得到了广泛的应用。在优化设计、主动控制结构进行了时变可靠性估计等方面得到了广泛应用。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：本发明提供了一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法。该方法针对含不确定变量PID闭环控制系统，通过将不确定变量进行非概率区间化描述，计算时变可靠度并以此进行控制器设计。该方法可以用于存在不确定性参数并且关于不确定参数的概率信息较少的PID闭环系统的控制器设计，所得控制器符合系统的可靠度要求。
本发明采用的技术方案为：一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，该方法针对含不确定变量PID闭环控制系统，通过将不确定变量进行非概率区间化描述，计算时变可靠度并以此进行控制器设计，该方法包括如下步骤：
第一步：根据实际工程系统建立对应的状态空间表达式或者传递函数，以状态空间表达式形式为例，设r自由度系统得到的状态空间为：
Figure BDA0002468553560000021
y(t)＝Cz(t)
其中，t为时间，u(t)为施加的控制力，f(t)为扰动外载荷，z(t)为状态向量，
Figure BDA0002468553560000025
为状态向量对时间的导数，y(t)为输出向量。A为状态传递矩阵，B和E分别为控制力和扰动外载荷的输入矩阵，C为输出矩阵。
设输出反馈的PID增益为KC＝[KP KI KD]。其中KP、KI、KD分别为比例增益、积分增益和微分增益。令增广状态向量
Figure BDA0002468553560000022
则引入PID反馈之后的增广状态空间表达式为：
Figure BDA0002468553560000023
其中：
Figure BDA0002468553560000024
第二步：初始化PID增益KC＝[KP KI KD]，其中KP、KI、KD分别比例增益、积分增益和微分增益，由此通过配点法进行闭环系统响应区间的求解。
设状态空间存在N个不确定参数b＝[b1 b2 b3 ... bN]，用区间数学可以描述为：
Figure BDA0002468553560000031
其中，b为不确定区间变量构成的向量，b和
Figure BDA0002468553560000032
分别为不确定变量向量b的下界和上界。
即：
Figure BDA0002468553560000033
其中，bc和Δb分别为不确定参数b的中心值和区间半径。运算符号*表示两个向量中的对应元素相乘。ξ＝[ξ1 ξ2 ξ3 ... ξN]为包含N个绝对值不超过1的元素的标准化不确定参数向量。
现逐一分析b中每个不确定参数来进行响应区间的计算。令向量ξ的第j个元素为原值ξj，ξj∈[-1,1],j＝1,2...N，ξ中其他元素均为0。
ξj＝[0 ... ξj ... 0]
1...j...N
其中，ξj表示选取向量ξ的第j个元素进行分析，即第j个元素设置为原值。
对于响应区间的多项式拟合，选取切比雪夫多项式。设包含不确定参数
Figure BDA0002468553560000034
的增广状态向量为
Figure BDA0002468553560000035
则对
Figure BDA0002468553560000036
的r阶切比雪夫拟合多项式Pr(ξ)可以表示为：
Figure BDA0002468553560000037
通过对拟合多项式Pr(ξ)求导，可得到不确定参数为ξj时Pr(ξ)取极值时ξ＝[ξ1 ξ2ξ3 ... ξN]中每个元素的值。对于Pr(ξ)最大值和最小值的求取，在极值基础上需要考虑边界值Pr(-1)和Pr(1)进行求解。由此可求得Pr(ξ)的最大值
Figure BDA0002468553560000041
和最小值
Figure BDA0002468553560000042
Figure BDA0002468553560000043
Figure BDA0002468553560000044
其中，
Figure BDA0002468553560000045
和
Figure BDA0002468553560000046
分别为不确定参数为ξj时Pr(ξ)取极大值和极小值时ξ中每个元素构成的向量。遍历所有的ξj，可以得到在考虑所有不确定变量之后，在增广状态向量Ψ(t,ξk)取最值时对应的不确定参数向量：
Figure BDA0002468553560000047
Figure BDA0002468553560000048
其中，bmax和bmin分别为Ψ(t,ξk)取最大值和最小值时的不确定参数向量。将bmax和bmin代入增广状态空间表达式，可以求得响应区间的上界
Figure BDA0002468553560000049
和下界Ψ 1(t,b)：
Figure BDA00024685535600000410
Figure BDA00024685535600000411
各个不确定参数区间构成的N维超矩形空间，如果令Ψ(t,b)＝ψ(b1,b2,…bn)中，如果函数ψ(b1,b2,…bn)连续且在超矩形空间内不存在极值点，则根据顶点法，Ψ(t,b)的最大值
Figure BDA00024685535600000412
和最小值Ψ 2(t,b)会在超矩形顶点处取到最值，即：
Figure BDA00024685535600000413
Ψ 2(t,b)＝min(ψ(Pj)),j＝1,2,...2N
其中，Pj为N维超矩形空间的第j个顶点。而在之前配点分析的过程中，并没有考虑到这些顶点取到最值的情况。故将顶点法的结果与配点法结合进行考虑：
Figure BDA00024685535600000414
Ψ(t,b)＝min(Ψ 1(t,b),Ψ 2(t,b))
其中，
Figure BDA00024685535600000415
和Ψ(t,b)分别为综合考虑配点法和顶点法之后的增广状态向量的最大值和最小值，由此得到响应区间的上下界。
第三步：将相应区间进行离散化，结合首次穿越理论计算时变可靠度。
将相应区间的上下界
Figure BDA0002468553560000051
和Ψ(t,b)在进行分析的时间段[t0,tf]内按照时间间隔Δt进行等分N份离散，其中t0为起始时间，tf为终止时间。根据首次穿越理论，系统失效可以定义为响应超过了响应的许用值，即发生了穿越。由此定义增广状态向量中的第i个元素在kΔt时刻
Figure BDA0002468553560000052
的极限状态函数：
Figure BDA0002468553560000053
因此，时间段[t0,tf]内的非概率时变可靠度Rs(t0,tf)和失效概率Pf(t0,tf)可以定义为：
Figure BDA0002468553560000054
Figure BDA0002468553560000055
其中，Pos{·}表示事件发生的概率。对于Rs(t0,tf)和Pf(t0,tf)的求解，利用首次穿越理论定义kΔt时刻的穿越率vi(kΔt)：
Figure BDA0002468553560000056
为了便于计算穿越率vi(kΔt)，令：
Figure BDA0002468553560000057
和
Figure BDA0002468553560000058
则Pos{gi(kΔt,b)＞0∩gi((k+1)Δt,b)＜0}可以表示为图2和图3中阴影干涉面积
Figure BDA0002468553560000059
与斜矩形可行域面积
Figure BDA00024685535600000510
的比值，即：
Figure BDA00024685535600000511
计算[t0,tf]内所有时刻的穿越率，进行累计得到时变可靠度：
Figure BDA00024685535600000512
其中，Pos(t0)表示初始时刻的失效概率。
第四步：以时变可靠度为约束，通过迭代进行PID参数优化。
以考虑不确定性参数的闭环系统时变可靠度最小值
Figure BDA00024685535600000513
为约束，以控制力相关指标J＝0.5J1+0.5J2＝0.5max(|umax|,|umin|)+0.5(umax-umin)最小作为优化指标，得到确定性系统的最佳PID增益KC＝[KP KI KD]。
find KP,KI,KD
min J＝0.5max(|umax|,|umin|)+0.5(umax-umin)
Figure BDA0002468553560000061
KPmin≤KP≤KPmax
KImin≤KI≤KImax
KDmin≤KD≤KDmax
其中，umax和umin分别为考虑正负情况下控制力的最大值和最小值，
Figure BDA0002468553560000062
为闭环响应的时变可靠度许用值，
Figure BDA0002468553560000063
为闭环系统的时变可靠度在时间段[t0,tf]内的最小值；KP、KI、KD分别比例增益、积分增益和微分增益，KPmax、KImax、KDmax分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最大值，KPmin、KImin、KDmin分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最小值。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明对于不确定参数只需知道区间范围，因而对样本信息的依赖性较小；
(2)本发明在求解响应区间时运用配点法，相比于传统泰勒展开方法，充分利用了不确定参数的区间信息，可以更为准确地求解闭环响应区间；
(3)以时变可靠度作为约束，所得控制器在实际系统存在不确定参数时仍能够可靠地达到控制效果。
附图说明
图1是本发明一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法的流程示意图。
图2是本发明在相邻时刻kΔt和(k+1)Δt的响应区间在区间标准化前后，计算穿越率的可行域和干涉面积示意图。
图3是表征响应区间在不同时刻的可行域和干涉面积示意图。
图4是实施例一中的10自由度质量弹簧系统示意图。
图5是实施例一中的不同控制律的响应区间、时变可靠度曲线。其中图5(a)为质量块10受到的载荷；图5(b)为质量块7的开环位移响应；图5(c)和(d)为可靠度设计要求为0.95时的闭环响应区间和时变可靠度；图5(e)为可靠度设计要求为1时的闭环响应区间；图5(f)为传统H∞鲁棒控制的闭环响应区间。
图6是实施例二中的太阳能帆板结构及其控制器布置示意图。
图7是实施例二中的响应区间、时变可靠度曲线。其中图7(a)为扰动载荷示意图；图7(b)为系统开环响应；图7(c)和(d)为不确定度为1％时的闭环响应区间和时变可靠度；图7(e)和(f)为不确定度为5％时的闭环响应区间和时变可靠度；图7(g)和(h)为不确定度为10％时的闭环响应区间和时变可靠度。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。
如图1所示，本发明为一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，包括以下步骤：
第一步：根据实际工程系统建立对应的状态空间表达式或者传递函数，以状态空间表达式形式为例，设r自由度系统得到的状态空间为：
Figure BDA0002468553560000071
y(t)＝Cz(t)
其中，t为时间，u(t)为施加的控制力，f(t)为扰动外载荷，z(t)为状态向量，
Figure BDA0002468553560000076
为状态向量对时间的导数，y(t)为输出向量。A为状态传递矩阵，B和E分别为控制力和扰动外载荷的输入矩阵，C为输出矩阵。
设输出反馈的PID增益为KC＝[KP KI KD]。其中KP、KI、KD分别为比例增益、积分增益和微分增益。则控制力u(t)可以表示为：
Figure BDA0002468553560000072
令增广状态向量
Figure BDA0002468553560000073
则引入PID反馈之后的增广状态空间表达式为：
Figure BDA0002468553560000074
其中：
Figure BDA0002468553560000075
第二步：初始化PID增益KC＝[KP KI KD]，其中KP、KI、KD分别比例增益、积分增益和微分增益，由此通过配点法进行闭环系统响应区间的求解。
设状态空间存在N个不确定参数b＝[b1 b2 b3 ... bN]，用区间数学可以描述为：
Figure BDA0002468553560000081
其中，b为不确定区间变量构成的向量，b和
Figure BDA0002468553560000082
分别为不确定变量向量b的下界和上界。
即：
Figure BDA0002468553560000083
其中，bc和Δb分别为不确定参数b的中心值和区间半径。运算符号*表示两个向量中的对应元素相乘。ξ＝[ξ1 ξ2 ξ3 ... ξN]为包含N个绝对值不超过1的元素的标准化不确定参数向量。
即：
Figure BDA0002468553560000084
和
Figure BDA0002468553560000085
现逐一分析b中每个不确定参数来进行响应区间的计算。令向量ξ的第j个元素为原值ξj，ξj∈[-1,1],j＝1,2...N，ξ中其他元素均为0。
ξj＝[0 ... ξj ... 0]
1...j...N
其中，ξj表示选取向量ξ的第j个元素进行分析，即第j个元素设置为原值。
对于响应区间的多项式拟合，选取切比雪夫多项式。切比雪夫多项式Tn(ξ)是一系列的正交多项式，权重系数为
Figure BDA0002468553560000086
满足如下递推关系：
T0(ξ)＝1
T1(ξ)＝ξ
Tn+1(ξ)＝2ξTn(ξ)-Tn-1(ξ),n＝1,2,...
其零点为：
Figure BDA0002468553560000087
其中，m为选取的多项式阶数，需要兼顾计算精度和计算效率进行选取。当这些零点被选为插值点时，相应的插值系数为：
Figure BDA0002468553560000088
故设包含不确定参数
Figure BDA0002468553560000089
的增广状态向量为
Figure BDA0002468553560000091
则对
Figure BDA0002468553560000092
的r阶切比雪夫拟合多项式Pr(ξ)可以表示为：
Figure BDA0002468553560000093
通过对拟合多项式Pr(ξ)求导，可得到不确定参数为ξj时Pr(ξ)取极值时ξ＝[ξ1 ξ2ξ3 ... ξN]中每个元素的值：
Figure BDA0002468553560000094
Figure BDA0002468553560000095
其中，
Figure BDA0002468553560000096
和
Figure BDA0002468553560000097
分别为不确定参数为ξj时Pr(ξ)取极大值和极小值时ξ中每个元素构成的向量。对于Pr(ξ)最大值和最小值的求取，在极值基础上需要考虑边界值Pr(-1)和Pr(1)进行求解。由此可求得Pr(ξ)的最大值
Figure BDA0002468553560000098
和最小值
Figure BDA0002468553560000099
Figure BDA00024685535600000910
Figure BDA00024685535600000911
遍历所有的ξj，可以得到在考虑所有不确定变量之后，在增广状态向量Ψ(t,ξk)取最值时对应的不确定参数向量：
Figure BDA00024685535600000912
Figure BDA00024685535600000913
其中，bmax和bmin分别为Ψ(t,ξk)取最大值和最小值时的不确定参数向量。将bmax和bmin代入增广状态空间表达式，可以求得响应区间的上界
Figure BDA00024685535600000914
和下界Ψ 1(t,b)：
Figure BDA0002468553560000101
Figure BDA0002468553560000102
各个不确定参数区间构成的N维超矩形空间，如果令Ψ(t,b)＝ψ(b1,b2,…bn)中，如果函数ψ(b1,b2,…bn)连续且在超矩形空间内不存在极值点，则根据顶点法，Ψ(t,b)的最大值
Figure BDA0002468553560000103
和最小值Ψ 2(t,b)会在超矩形顶点处取到最值，即
Figure BDA0002468553560000104
Ψ 2(t,b)＝min(ψ(Pj)),j＝1,2,...2N
其中，Pj为N维超矩形空间的第j个顶点。而在之前配点分析的过程中，并没有考虑到这些顶点取到最值的情况。故将顶点法的结果与配点法结合进行考虑：
Figure BDA0002468553560000105
Ψ(t,b)＝min(Ψ 1(t,b),Ψ 2(t,b))
其中，
Figure BDA0002468553560000106
和Ψ(t,b)分别为综合考虑配点法和顶点法之后的增广状态向量的最大值和最小值，由此得到响应区间的上下界。
第三步：将相应区间进行离散化，结合首次穿越理论计算时变可靠度。
将相应区间的上下界
Figure BDA0002468553560000107
和Ψ(t,b)在进行分析的时间段[t0,tf]内按照时间间隔Δt进行等分N份离散，其中t0为起始时间，tf为终止时间。根据首次穿越理论，系统失效可以定义为响应超过了响应的许用值，即发生了穿越。由此定义增广状态向量中的第i个元素在kΔt时刻
Figure BDA0002468553560000108
的极限状态函数：
gi(kΔt,b)＝zi cr-zi(kΔt,b)1≤i≤2r
其中，
Figure BDA0002468553560000109
为增广状态向量第i个元素的许用值，gi(kΔt,b)＜0意味着系统在此刻失效。gi(kΔt,b)可以表示为区间形式：
Figure BDA00024685535600001010
Figure BDA00024685535600001011
Figure BDA00024685535600001012
其中，
Figure BDA00024685535600001013
和
Figure BDA00024685535600001014
分别为极限状态函数gi(kΔt,b)的中心值和半径。因此，时间段[t0,tf]内的非概率时变可靠度Rs(t0,tf)和失效概率Pf(t0,tf)可以定义为：
Figure BDA0002468553560000111
Figure BDA0002468553560000112
其中，Pos{·}表示事件发生的概率。对于Rs(t0,tf)和Pf(t0,tf)的求解，利用首次穿越理论定义kΔt时刻的穿越率vi(kΔt)：
Figure BDA0002468553560000113
则失效概率Pf(t0,tf)可以由此计算：
Figure BDA0002468553560000114
其中，Pos(t0)表示初始时刻的失效概率。为了便于计算穿越率vi(kΔt)，令：
Figure BDA0002468553560000115
和
Figure BDA0002468553560000116
则Pos{gi(kΔt,b)＞0∩gi((k+1)Δt,b)＜0}可以表示为图2和图3中阴影干涉面积
Figure BDA0002468553560000117
与斜矩形可行域面积
Figure BDA0002468553560000118
的比值，即：
Figure BDA0002468553560000119
计算[t0,tf]内所有时刻的穿越率，进行累计得到时变可靠度：
Figure BDA00024685535600001110
第四步：以时变可靠度为约束，通过迭代进行PID参数优化。
以考虑不确定性参数的闭环系统时变可靠度最小值
Figure BDA00024685535600001111
为约束，以控制力相关指标J＝0.5J1+0.5J2＝0.5max(|umax|,|umin|)+0.5(umax-umin)最小作为优化指标，得到确定性系统的最佳PID增益KC＝[KP KI KD]。
find KP,KI,KD
min J＝0.5max(|umax|,|umin|)+0.5(umax-umin)
Figure BDA00024685535600001112
KPmin≤KP≤KPmax
KImin≤KI≤KImax
KDmin≤KD≤KDmax
其中，umax和umin分别为考虑正负情况下控制力的最大值和最小值，
Figure BDA0002468553560000121
为闭环响应的时变可靠度许用值，
Figure BDA0002468553560000122
为闭环系统的时变可靠度在时间段[t0,tf]内的最小值；KP、KI、KD分别比例增益、积分增益和微分增益，KPmax、KImax、KDmax分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最大值，KPmin、KImin、KDmin分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最小值。
具体实施过程为：初始化PID参数KC＝[KP KI KD]，根据第二步和第三步求解闭环响应区间和时变可靠度，对于符合可靠度要求的KC＝[KP KI KD]计算控制力指标J。利用模拟退火方法进行PID参数迭代，重复上述步骤直至控制力指标J达到最小值。由此得到符合可靠度要求且使控制力指标最小的PID参数。
实施例一：
如图4所示，10自由度质量弹簧阻尼系统，仅在水平方向存在平动自由度ux，每个质量块质量m＝1kg，弹簧刚度k＝1000N/m，阻尼c＝5N/ms-1。在质量块10上施加图5(a)所示的幅值为10kN的水平脉冲载荷f(t)，质量块7上施加控制力u(t)。质量m和刚度k均有5％不确定度，设质量块10的水平位移响应为x(t)。
系统在t0＝1.3s之后的开环响应如图5(b)所示，质量块7的位移设计要求为在t0＝1.3s之后位移绝对值不超过xcr＝0.02m。为了比较基于时变可靠度的控制器设计和传统的H∞鲁棒控制器设计，考虑以下三种情况进行控制器设计：
(1)时变可靠度要求不小于0.95，即
Figure BDA0002468553560000123
(2)时变可靠度要求正好为1，即
Figure BDA0002468553560000124
(3)H∞鲁棒控制，即：
find KP,KI,KD
min J＝||C”(sI-A′+B′KCC′)-1E′||∞
s.t.KPmin≤KP≤KPmax
KImin≤KI≤KImax
KDmin≤KD≤KDmax
三种情况具体的PID控制器参数和位移响应的特征值如表1所示。图5是本实例中的不同控制律的响应区间、时变可靠度曲线。其中图5(a)为质量块10受到的载荷；图5(b)为质量块7的开环位移响应；图5(c)和图5(d)为可靠度设计要求为0.95时的闭环响应区间和时变可靠度；图5(e)为可靠度设计要求为1时的闭环响应区间；图5(f)为传统H∞鲁棒控制的闭环响应区间。
表1
Figure BDA0002468553560000131
其中
Figure BDA0002468553560000132
表示响应下界的最小值，
Figure BDA0002468553560000133
表示响应上界的最大值。
Figure BDA0002468553560000134
和
Figure BDA0002468553560000135
分别为位移响应中心值xc的最小值和最大值。
由以上结果可以看出，本发明提出的基于时变可靠度的控制器设计，一方面可以解决传统的H∞鲁棒控制设计过于保守、控制力指标过大的问题。另一方面反映，可靠度要求越高意味着需要的控制力指标也越大，定性分析符合实际。
实施例二：
如图6所示为实际工程中的太阳能板结构，四块板均平行于xy平面。其中1,2,3号板已经连接在一起，并且一边约束三个方向的平动自由度。4号板沿z方向与2号板对接，2号板因对接受到的扰动载荷如图7(a)所示。控制器的传感器和作动器布局布置在2号板边缘。系统的瑞利阻尼为确定值，而密度和刚度存在不确定性。设计要求为观察点的z方向位移z(t)在t0＝1s后不超过zcr＝1.5m且时变可靠度不小于0.95，即
Figure BDA0002468553560000136
考虑到结构和控制器的对称性，两个控制器的PID参数相同，故实际上只需设计一组KC＝[KP KI KD]。考虑三种不同的不确定度的情形，如表2所示。同时为了证明本方法的可靠性，对于三种情况设计出来的PID控制器，分别用蒙特卡洛方法进行可靠性验证。
三种情况具体的PID控制器参数、位移响应特征值以及蒙特卡洛计算的可靠度如表3所示。图7是本实例中的不同控制律的响应区间、时变可靠度曲线。其中图7(a)为对接产生的冲击载荷；图7(b)为观察点的开环位移响应；图7(c)和(d)为情况1的闭环响应区间和时变可靠度；图7(e)和(f)为情况1的闭环响应区间和时变可靠度；图7(g)和(h)为情况1的闭环响应区间和时变可靠度。
表2
Figure BDA0002468553560000141
表3
Figure BDA0002468553560000142
由上述结果可以看出，利用时变可靠度设计出的PID控制器构成的闭环系统，通过蒙特卡洛计算的可靠度大于要求的
Figure BDA0002468553560000151
说明本方法设计出的控制器在可靠度方面仍有余量，符合可靠度设计要求。与此同时，可以看到，如果可以得到较为精确的不确定参数区间，即更小的不确定区间半径，就可以利用更小的控制力指标达到所要求的的控制效果。

Claims (5)

1.一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，其特征在于：该方法针对含不确定变量PID闭环控制系统，通过将不确定变量进行非概率区间化描述，计算时变可靠度并以此进行控制器设计，包括如下步骤：
第一步：根据实际工程系统建立对应的状态空间表达式或者传递函数，以状态空间表达式形式为例，设r自由度系统得到的状态空间为：
Figure FDA0002468553550000011
y(t)＝Cz(t)
其中，t为时间，u(t)为施加的控制力，f(t)为扰动外载荷，z(t)为状态向量，
Figure FDA0002468553550000012
为状态向量对时间的导数，y(t)为输出向量，A为状态传递矩阵，B和E分别为控制力和扰动外载荷的输入矩阵，C为输出矩阵；
第二步：初始化PID增益KC＝[KP KI KD]，其中KP、KI、KD分别比例增益、积分增益和微分增益，由此通过配点法进行闭环系统响应区间的求解；
设状态空间存在N个不确定参数b＝[b1 b2 b3...bN]，用区间数学可以描述为：
Figure FDA0002468553550000013
其中，b为不确定区间变量构成的向量，b和
Figure FDA0002468553550000014
分别为不确定变量向量b的下界和上界；
利用切比雪夫多项式对响应进行拟合，通过对拟合多项式求导可以求得极值，对于Pr(ξ)最大值和最小值的求取，在极值基础上需要考虑边界值进行求解，由此可求得响应取最大值和最小值时的不确定参数向量bmax和bmin。将bmax和bmin代入闭环系统的状态空间表达式，可以求得响应区间的上界
Figure FDA0002468553550000015
和下界Ψ 1(t,b)；
令Ψ(t,b)＝ψ(b1,b2,…bn)中，如果函数ψ(b1,b2,…bn)连续且在超矩形空间内不存在极值点，则根据顶点法，Ψ(t,b)的最大值
Figure FDA0002468553550000016
和最小值Ψ 2(t,b)会在超矩形顶点处取到最值，即：
Figure FDA0002468553550000017
Ψ 2(t,b)＝min(ψ(Pj)),j＝1,2,...2N
其中，Pj为N维超矩形空间的第j个顶点，而在之前配点分析的过程中，并没有考虑到这些顶点取到最值的情况，故将顶点法的结果与配点法结合进行考虑：
Figure FDA0002468553550000021
Ψ(t,b)＝min(Ψ 1(t,b),Ψ 2(t,b))
其中，
Figure FDA0002468553550000022
和Ψ(t,b)分别为综合考虑配点法和顶点法之后的增广状态向量的最大值和最小值，由此得到响应区间的上下界；
第三步：将相应区间进行离散化，结合首次穿越理论计算时变可靠度
将相应区间的上下界
Figure FDA0002468553550000023
和Ψ(t,b)在进行分析的时间段[t0,tf]内按照时间间隔Δt进行等分N份离散，其中t0为起始时间，tf为终止时间；根据首次穿越理论，系统失效可以定义为响应超过了响应的许用值，即发生了穿越，由此定义增广状态向量中的第i个元素在kΔt时刻
Figure FDA0002468553550000024
的极限状态函数：
Figure FDA0002468553550000025
利用首次穿越理论定义kΔt时刻的穿越率vi(kΔt)：
Figure FDA0002468553550000026
计算[t0,tf]内所有时刻的穿越率，进行累计得到时变可靠度：
Figure FDA0002468553550000027
其中，Pos(t0)表示初始时刻的失效概率，
Figure FDA0002468553550000028
为干涉面积，
Figure FDA0002468553550000029
为斜矩形可行域面积；
第四步：以时变可靠度为约束，通过迭代进行PID参数优化
以考虑不确定性参数的闭环系统时变可靠度最小值
Figure FDA00024685535500000210
为约束，以控制力相关指标J最小作为优化指标，得到确定性系统的最佳PID增益KC＝[KP KI KD]，
find KP,KI,KD
min J＝0.5max(|umax|,|umin|)+0.5(umax-umin)
Figure FDA00024685535500000211
KPmin≤KP≤KPmax
KImin≤KI≤KImax
KDmin≤KD≤KDmax
其中，umax和umin分别为考虑正负情况下控制力的最大值和最小值，
Figure FDA00024685535500000212
为闭环响应的时变可靠度许用值，
Figure FDA0002468553550000031
为闭环系统的时变可靠度在时间段[t0,tf]内的最小值；KP、KI、KD分别比例增益、积分增益和微分增益，KPmax、KImax、KDmax分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最大值，KPmin、KImin、KDmin分别为预先设定的对应比例增益、积分增益和微分增益增益范围的最小值。
2.根据权利要求1所述的一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，其特征在于：所述的第一步中根据实际工程情况、创建开环系统的状态空间表达式或者传递函数。
3.根据权利要求1所述的一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，其特征在于：所述的第二步中将不确定参数表示为非概率区间形式，兼顾精度和效率选取合适的切比雪夫多项式阶数，通过配点法和顶点法进行响应区间较为精确的求解。
4.根据权利要求1所述的一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，其特征在于：所述的第三步中使用第二步中计算得到的响应区间，将在进行时间离散后的相邻时刻内响应区间进行标准化，并结合首次穿越理论，将在kΔt时刻到(k+1)Δt时刻的穿越率表示为干涉阴影面积与总面积的比值，通过计算所有时刻的穿越率进行时变可靠度的计算。
5.根据权利要求1所述的一种基于时变可靠度的不确定性系统PID控制器设计方法，其特征在于：所述的第四步中通过定义控制力指标最小和第三步得到的时变可靠度作为约束，通过优化得到符合要求的PID参数。
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