CN105549081B - 各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，该方法包括如下步骤：步骤一、建立初始速度模型，并利用速度场进行各向异性正演模拟，得到相应的地震记录；步骤二、利用各向异性介质运动学射线追踪方程，获得走时及射线路径；步骤三、利用各向异性介质动力学射线追踪方程，获得复值的动力学射线参数P和Q；步骤四、对每个束中心位置进行加窗局部倾斜叠加并计算由震源和接收点出射的高斯束；步骤五、利用震源波场与不同波型的反向延拓的接收波场之间的零时刻互相关来计算成像值；步骤六、通过对所有的成像值加得到最终的共炮域成像结果。本发明实现了基于相速度的各向异性介质共炮域高斯束叠前深度偏移成像，进一步提高了计算效率。

Description

各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法

技术领域

本发明有关于地震勘探资料处理领域，特别是一种利用相速度实现各向异性介质共炮域高斯束偏移成像的方法。

背景技术

地球介质的各向异性是普遍存在的，而传统的勘探地震学主要是以地球介质具有完全弹性和各向同性的物理假设为基础。各向异性介质条件下，如果采用传统各向同性的深度偏移算法会引起成像误差，出现地下成像不准确、断层断面等陡倾角反射界面成像质量差等问题。高斯束偏移是一种具有较高计算效率的偏移成像方法。目前，随着研究的深入和技术的发展，地震各向异性研究逐渐引起人们的关注。各向异性偏移可以提供更为准确的成像剖面，从而为地震资料解释提供重要支持。

目前，各向异性偏移主要有波动方程类偏移和射线类偏移。波动方程类偏移具有较高的成像精度，但计算效率比较低；射线类偏移是一种具有较高计算效率的偏移成像方法，然而，它不能对复杂的地质构造有效成像。

发明内容

有鉴于此，本发明的主要目的在于提供一种利用相速度实现各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，该方法兼顾了波动方程类偏移和射线类偏移的优点，在提高成像精度的同时进一步提高了计算效率，该方法可以对存在各向异性的复杂地质构造较准确成像。

为达到上述目的，本发明提供一种各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，用于地震勘探数据处理，该方法包括如下步骤：

步骤一、建立初始速度模型，并利用速度场进行各向异性正演模拟，得到相应的地震记录；

步骤二、利用各向异性介质运动学射线追踪方程，获得走时及射线路径；

步骤三、利用各向异性介质动力学射线追踪方程，获得复值的动力学射线参数P和Q；

步骤四、对每个束中心位置进行加窗局部倾斜叠加并计算由震源和接收点出射的高斯束；

步骤五、利用震源波场与不同波型的反向延拓的接收波场之间的零时刻互相关来计算成像值；

步骤六、通过对所有的成像值加得到最终的共炮域成像结果。

所述步骤二具体包括：

定义广义各向异性介质中运动学追踪方程：

式中，τ为旅行时，v为相速度，并且V_i为群速度V的分量(i＝1,2)，为慢度p的分量(i＝1,2)；

进一步推导TTI介质中的相速度表达式：

v＝V_p0(θ)[1+δsin²(θ-υ)cos²(θ-υ)+εsin⁴(θ-υ)] (3)

其中，V_p0为垂直速度，δ和ε为各向异性参数，θ为相速度角,υ为对称轴与垂直方向的夹角，群速度可以通过相速度计算得到：

式中，为相速度v关于相速度角θ的偏导数；

将式(3)和式(4)代入到式(2)中，可以得到式(5)：

式中，p_x和p_z分别为慢度p在x和z轴方向上的分量，求解式(5)后，可以得到走时τ及对应的射线路径(x,z)。

所述步骤三具体包括：

给出基于相速度的各向异性动力学射线追踪方程如下：

式中，Q和P表示复值的动力学射线参数，A，B，C，D表示计算系数，q为慢度或者称为射线参数，y表示坐标轴,下标M和N表示坐标轴方向，其中M表示x轴方向，N表示z轴方向。

相关系数表达式：

其中V_N为射线中心坐标系中群速度矢量V的分量，将式(8)带入式(4)中，得出复值的动力学射线参数P和Q。

在所述步骤四中，将震源波场和束中心处的波场通过高斯束来表示，如同其他偏移方法，高斯束偏移成像是基于地震波场Φ(r,ω)满足标量波动方程的假设：

式中，v(r)为地下介质中点r处速度，Φ(r,ω)为地震波场，该波场值由下式所示的有界积分确定：

式中，r′＝(x′,0)表示地表z′＝0检波点的位置，G(r,r′,ω)为格林函数，表示点r′处的震源在点r处的地震响应，Φ(r′,ω)为检波点处的地震波场，ω为频率，x,z分别表示x和z轴方向上坐标，*表示复值共轭。

点r′处的震源产生的地震波场在点r处高频近似解为：

式中，u_GB(r,r′,p′；ω)为震源点r′处激发的高斯束，矢量p′表示射线的方向，p′_x和p′_z分别表示矢量p′矢量在x轴和z轴方向上的分量。

当高斯束中心不在震源点r′而在其附近的r₀处时，需要在积分插入一个相移因子以补偿相移的影响，得到格林函数表达式为：

其中矢量p′表示射线的方向，i表示复数中的虚数单位，u_GB(r,r₀,p′；ω)为震源点附近的r₀处激发的高斯束。

为了在式(10)所示的Kirchhoff偏移叠加式中使用式(12)，需要将式(10)中的积分范围分为小的积分区域，以保证使用式(12)时，积分区域中心点r₀接近震源点r′，为了减小计算误差，引入如下所示的高斯函数：

其中，L表示束中心位置，a为束中心间隔，ω_l为高斯束的宽度，ω为频率。

各向异性介质中，为了保证射线充分覆盖，采样率如下所示：

其中，v_0min为地表z＝0处的最小垂直速度，v_min(p_max)和v_min(p_min)分别为最小垂直速度处最大射线参数p_max和最小射线参数p_min对应的相速度，射线参数p_max和p_min可以通过步骤二中的运动学射线追踪得到。

在所述步骤五中，共炮域高斯束叠前深度偏移成像公式为：

式中，x为地下成像点，x_s为震源位置，p^d为束中心处的射线参数，为束中心处射线参数p^d在x轴方向上的分量，D(L,x_s,p^d,ω)为高斯时窗的共炮域道集上的局部倾斜叠加，系数C为一个与束中心网格相关的常数，U(x,x_s,L,p^d,ω)为共炮域的高斯束成像算子，如下所示：

式中，p^s和p^d分别为震源和束中心处的射线参数，和分别为震源和检波点处对应的地下波场的高斯束。

本发明的方法推导了TTI介质中相速度表达式，通过引入相速度和群速度，修改和简化各向异性运动学和动力学射线追踪方程。实现了基于相速度的各向异性介质共炮域高斯束叠前深度偏移成像。该方法兼顾了波动方程类偏移和射线类偏移的优点，在提高成像精度的同时进一步提高了计算效率。

附图说明

图1为本发明水平层状模型示意图；

图2为本发明水平层状模型的地震记录；

图3为本发明水平层状模型试算中的单炮偏移成像结果示意图；

图4为各向异性Hess模型示意图；

图5为本发明Hess模型高斯束叠前深度偏移成像结果示意图；

图6为本发明Hess模型局部放大显示的结果；

图7为TTI介质倾斜模型示意图；

图8为TTI介质倾斜模型的地震记录；

图9为本发明TTI介质倾斜模型的偏移成像结果；

图10为本发明的方法流程图。

具体实施方式

为便于对本发明的方法及达到的效果有进一步的了解，现结合附图并举较佳实施例详细说明如下。

实现各向异性高斯束偏移的关键在于运动学和动力学射线追踪。本发明在前人推导出的基于弹性参数的各向异性运动学和动力学射线追踪方程及以相速度的形式重新给出的广义各向异性介质中运动学和动力学射线追踪方程的基础上，修改了运动学和动力学射线追踪方程，进一步提高了计算效率和成像精度。结合图10，本发明的各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法通过以下步骤实现。

1、建立初始速度模型，并利用该速度场进行各向异性正演模拟，得到相应的地震记录。

2、利用各向异性介质运动学射线追踪，获得走时及射线路径。

Cerveny的基于弹性参数的运动学射线追踪方程如下式所示：

式中，τ为旅行时，a_ijkl＝c_ijkl/ρ为密度归一化的弹性参数，g是极化矢量，为慢度矢量。式(1)所示的方程右边的函数计算十分耗时，并且在每一步计算中都需要求解特征值问题。为了解决传统射线追踪方程中存在的这一不足，以相速度的形式重新给出了下式所示的广义各向异性介质中运动学追踪方程：

式中，τ为旅行时，v为相速度，并且V_i为群速度V的分量(i＝1,2)，为慢度p的分量(i＝1,2)；

本发明的方法中，进一步推导了TTI介质中的相速度表达式：

v＝V_p0(θ)[1+δsin²(θ-υ)cos²(θ-υ)+εsin⁴(θ-υ)] (3)

其中，V_p0为垂直速度，δ和ε为各向异性参数，θ为相速度角,υ为对称轴与垂直方向的夹角，群速度可以通过相速度计算得到：

式中，为相速度v关于相速度角θ的偏导数。

将式(3)和式(4)代入到式(2)中，可以得到式(5)：

式中，τ为旅行时，p_x和p_z分别为慢度p在x和z轴方向上的分量。求解式(5)后，可以得到走时(即：旅行时)τ时，对应的射线路径(x,z)。

3、利用各向异性介质动力学射线追踪，获得复值的动力学射线参数P和Q。

对于各向异性介质来说，动力学射线追踪是更为复杂。Hanyga给出了一种基于弹性参数的各向异性动力学射线追踪方程，该式求解过程比较复杂。为此，zhu等人也给出了基于相速度的各向异性动力学射线追踪方程。

根据Zhu等人的研究，可以得到射线中心坐标系下各向异性动力学射线追踪方程如下：

式中，A，B，C，D表示计算系数，下标M和N表示坐标轴方向，M表示x轴方向，N表示z轴方向。相关系数由下式给出：

其中，V_N为射线中心坐标系中群速度矢量V的分量，q为慢度或者称为射线参数，y表示坐标轴。

与基于弹性参数的动力学射线追踪方程相比，式(6)所示的动力学射线追踪方程更为简单，因而计算效率更高。该动力学射线追踪方程的求解只需计算相应的相速度和群速度导数。然而，此方法中式(7)所示的相关系数的计算过程仍然比较复杂。为此，本发明中改进了简化思路，得到如下所示的相关系数表达式：

4、对每个束中心位置进行加窗局部倾斜叠加并计算由震源和接收点出射的高斯束，将震源波场和束中心处的波场通过高斯束来表示。

如同其他偏移方法，高斯束偏移成像也是基于地震波场Φ(r,ω)满足标量波动方程的假设：

式中，v(r)为地下介质中点r处速度，Φ(r,ω)为地震波场。该波场值由下式所示的有界积分确定：

式中，r′＝(x′,0)表示地表z′＝0检波点的位置，G(r,r′,ω)为格林函数，表示点r′处的震源在点r处的地震响应，Φ(r′,ω)为检波点处的地震波场，ω为频率，x,z分别表示x和z轴方向上坐标，*表示复值共轭。

Hill的研究表明，点r′处的震源产生的地震波场在点r处高频近似解为：

式中，u_GB(r,r′,p′；ω)为震源点r′处激发的高斯束，矢量p′表示射线的方向，p′_x和p′_z分别表示矢量p′在x轴和z轴方向上的分量。

式(11)要求射线中心的初始点与震源点保持一致，因此当高斯射线束(即高斯束)中心不在震源点r′而在其附近的r₀处时，需要在积分插入一个相移因子以补偿相移的影响，得到格林函数表达式为：

其中矢量p′表示射线的方向，i表示复数中的虚数单位，u_GB(r,r₀,p′；ω)为震源点附近的r₀处激发的高斯束。

为了在式(10)所示的Kirchhoff偏移叠加式中使用式(12)，需要将式(10)中的积分范围分为小的积分区域，以保证使用式(12)时，积分区域中心点r₀接近震源点r′。因此，为了减小计算误差，Hill引入式(13)所示的高斯函数：

其中，L表示束中心位置，a为束中心间隔。ω_l为高斯束的宽度，ω为频率。

对于各向同性介质，Hale给出的射线参数采样间隔为：

其中，ω_l为最小角频率，ω_h为最大的角频率，l表示高斯束的初始宽度。该采样间隔使射线充分覆盖，从而避免假频的产生。

然而，各向异性介质中，采样间隔不同于各向同性介质中的采样间隔。为了保证射线充分覆盖，如式(15)所示，本发明中采用的是Alkhalifah给出的采样率：

其中，v_0min为地表z＝0处的最小垂直速度，v_min(p_max)和v_min(p_min)分别为最小垂直速度处最大射线参数p_max和最小射线参数p_min对应的相速度，射线参数p_max和p_min可以通过2中的运动学射线追踪得到。

5、利用震源波场与不同波型的反向延拓的接收波场之间的零时刻互相关来计算成像值。

由Nowack等和Gray等人的研究，共炮域高斯束叠前深度偏移成像公式为：

式中，x为地下成像点，x_s为震源位置，p^d为束中心处的射线参数，为束中心处射线参数p^d在x轴方向上的分量，D(L,x_s,p^d,ω)为高斯时窗的共炮域道集上的局部倾斜叠加，系数C为一个与束中心网格相关的常数，U(x,x_s,L,p^d,ω)为共炮域的高斯束成像算子，如下所示：

式中，p^s和p^d分别为震源和束中心处的射线参数，和分别为震源和检波点处对应的地下波场的高斯束。前者是从震源x_s到成像点x处的算子，后者是从束中心L到成像点x处的算子。

6、通过对所有的成像值I_s叠加得到最终的共炮域成像结果。

为了说明本发明中方法的正确性，本发明采用水平层状模型进行单炮偏移测试。其中，图1为水平层状模型示意图，图2中展示了水平层状模型的地震记录，图3中展示了高斯束深度偏移的单炮成像值。

同时，为了验证本发明中的共炮域高斯束叠前深度偏移成像方法对复杂地质模型的有效性和适应性，采用国际标准各向异性二维HessVTI模型进行偏移成像试算。其中，图4为各向异性Hess模型示意图，图5为Hess模型高斯束叠前深度偏移结果，图6为将图4中矩形框的图像局部放大显示的结果。

另外，为了说明本发明中的方法对TTI介质地质构造的有效性和准确性，我们设计了倾斜模型进行了测试。其中，图7为TTI介质倾斜模型示意图，图8为TTI介质倾斜模型的地震记录，图9为TTI介质倾斜模型的偏移成像结果。

1)水平层状模型试算。如图1所示，图1的(a)、(b)、(c)分别表示速度v_p、各向异性参数ε及各项异性参数δ。该模型网格大小为601*301，纵横向网格间隔为10m*10m。利用各向异性有限差分正演模拟方法得到图2所示的qp波(拟声波)地震记录,采样时间为4s，采样间隔为1ms；采用中间放炮方式，每炮601道接收，共1炮，道间隔10m。

图3中(a)、(b)分别为各向同性和各向异性高斯束偏移成像结果。对比可以发现，由于忽略各向异性的影响，各向同性高斯束叠前深度偏移不能使反射波准确归位，而本发明中的各向异性高斯束叠前深度偏移的归位准确，成像效果比较好。

为了分析各向异性参数对本发明中方法的影响。偏移过程中，分别令各向异性参数ε＝0和δ＝0，得到图3中(c)和(d)所示的偏移成像结果。对比可以发现，图3中(c)由于不考虑各向异性参数ε(ε＝0)的影响，大炮检距位置处成像明显上翘，成像结果不准确。图3中(d)由于不考虑各向异性参数δ(δ＝0)时的影响，反射波也不能正确归位，成像结果不准确。对比图3的(c)和(d)发现，与各向异性参数δ相比，各向异性参数ε对qp波偏移成像影响更大一些，两侧成像结果上翘更明显。通过该模型测试，说明了本发明中方法的正确性。

2)各向异性Hess模型试算。该模型网格大小为3617*1500，纵横向网格间隔为6.096m(20ft(英尺))*6.096m(20ft)；合成数据共720炮，炮间距为30.480m(100ft)；道间隔为12.192m(40ft)；采样时间为7.992s，采样点数为1332，时间采样间隔为6ms。该模型采用了左边放炮的方式。图4的(a)、(b)、(c)分别给出了SEG/Hess二维VTI模型qp波速度场(v_p)和相应的各向异性参数场(ε)、各向异性参数场(δ)的模型示意图。此模型中存在高速盐丘，断层、尖灭等构造。

图5的(a)和(b)分别给出了采用各向同性和各向异性高斯束叠前深度偏移方法的成像的结果。对比可以发现，由于忽略了各向异性参数的影响，各向同性高斯束偏移得到的成像剖面质量比较差，剖面中存在明显的成像噪声干扰。而采用本发明中方法得到的各向异性高斯束叠前深度偏移剖面同相轴清晰，断层、高速盐丘得到很好的成像，最终的成像质量明显提高。

为了更加清晰的说明本发明所用方法的优势，将图5中矩形框的图像局部放大显示，如图6所示，其中(a)、(b)分别表示采用各向同性和各向异性高斯束叠前深度偏移方法的成像的结果放大图，可以发现各向同性高斯束偏移的结果中会出现反射波不能准确归位，绕射波不能完全收敛，能量不聚焦等问题；而采用各向异性高斯束偏移得到的成像结果，反射波能够更准确归位，绕射波更好的收敛，断层及尖灭等构造成像更准确。总体来说，运用本发明中的方法得到的成像结果，整体成像质量明显提高。

3)TTI介质倾斜模型试算。

如图7所示，该TTI介质斜层模型网格大小为1001*301，纵横向的网格间隔为10m*10m。其中，第2层存在各向异性。图7中分别表示：(a)速度νp，(b)各向异性参数ε，(c)各向异性参数δ，(d)角度ν。利用各向异性有限差分正演模拟得到该模型的qp波地震记录的参数为：采样时间为4s，采样间隔1ms；采用中间放炮的方式，每炮301道接收，道间隔为10m，炮间隔为70米，共101炮，图8为第1炮地震记录。

本发明分别采用各向同性和各向异性共炮域高斯束叠前偏移方法进行偏移成像，得到的偏移结果分别如图9的(a)和(b)所示，分别表示各向同性介质与TTI介质。

对比图9的(a)、(b)发现，若不考虑各向异性的影响，各向同性高斯束叠前深度偏移不能使绕射波很好的收敛，不能使反射波很好的归位；而本发明中的各向异性高斯束叠前深度偏移中绕射波收敛性更好，成像也更准确。

本发明的各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，具有其他方法不具备的优势，其具体优势和特点表现在以下几个方面：

一、本发明中的方法利用相速度实现了TI介质中的共炮域高斯束偏移，从而可以对地下复杂各向异性介质准确成像，解决了由于忽略各向异性引起的反射波不能准确归位，绕射波不能完全收敛，能量不聚焦等问题，为地震资料解释提供高质量的成像剖面。

二、同传统的基于弹性参数的各向异性介质高斯束偏移成像方法相比，本发明中的方法，通过推导TTI介质中的相速度表达式，优化和改进了传统的射线追踪方法，从而在成像精度和计算效率方面具有更多优势。

高斯束偏移(Gaussian Beam Migration,GBM)方法是一种改进的Kirchhoff偏移成像方法，它不仅具有射线类方法所具有的较高的计算效率，还具有接近于波动方程类方法的成像精度。本发明的方法推导了TTI介质中相速度表达式，通过引入相速度和群速度，修改和简化各向异性运动学和动力学射线追踪方程。实现了基于相速度的各向异性介质共炮域高斯束叠前深度偏移成像。该方法兼顾了波动方程类偏移和射线类偏移的优点，在提高成像精度的同时进一步提高了计算效率。该方法可以对存在各向异性的复杂地质构造较准确成像。该发明可以促进地震勘探中的各向异性方法研究，可以为各向异性方法在实际地震资料处理和应用上打下更多基础。

以上所述，仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，用于地震勘探数据处理，其特征在于，该方法包括如下步骤：

步骤一、建立初始速度模型，并利用速度场进行各向异性正演模拟，得到相应的地震记录；

步骤二、利用各向异性介质运动学射线追踪方程，获得走时及射线路径；

步骤三、利用各向异性介质动力学射线追踪方程，获得复值的动力学射线参数P和Q；

步骤四、对每个束中心位置进行加窗局部倾斜叠加并计算由震源和接收点出射的高斯束；

步骤五、利用震源波场与不同波型的反向延拓的接收波场之间的零时刻互相关来计算成像值；

步骤六、通过对所有的成像值加得到最终的共炮域成像结果；

所述步骤二具体包括：

定义广义各向异性介质中运动学追踪方程：

式中，τ为走时，v为相速度，并且V_i为群速度V的分量(i＝1,2)，为慢度p的分量(i＝1,2)；

进一步推导TTI介质中的相速度表达式：

v＝V_p0(θ)[1+δsin²(θ-υ)cos²(θ-υ)+εsin⁴(θ-υ)] (3)

其中，V_p0为垂直速度，δ和ε为各向异性参数，θ为相速度角,υ为对称轴与垂直方向的夹角，群速度可以通过相速度计算得到：

式中，为相速度v关于相速度角θ的偏导数；

将式(3)和式(4)代入到式(2)中，可以得到式(5)：

式中，x表示x轴方向的坐标，z表示z轴方向的坐标，p_x和p_z分别为慢度p在x和z轴方向上的分量，求解式(5)后，可以得到走时τ及对应的射线路径(x,z)；

所述步骤三具体包括：

给出基于相速度的各向异性动力学射线追踪方程如下：

式中，Q和P表示复值的动力学射线参数，A，B，C，D表示计算系数，q为慢度或者称为射线参数，y表示坐标轴,下标M和N表示坐标轴方向，其中M表示x轴方向，N表示z轴方向；

相关系数表达式：

其中V_N为射线中心坐标系中群速度矢量V的分量，将式(8)带入式(6)中，得出复值的动力学射线参数P和Q。

2.如权利要求1所述的各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，其特征在于，在所述步骤四中，将震源波场和束中心处的波场通过高斯束来表示，如同其他偏移方法，高斯束偏移成像是基于地震波场Φ(r,ω)满足标量波动方程的假设：

式中，v(r)为地下介质中点r处速度，Φ(r,ω)为地震波场，该波场值由下式所示的有界积分确定：

式中，r′＝(x′,0)表示地表z′＝0检波点的位置，G(r,r′,ω)为格林函数，表示点r′处的震源在点r处的地震响应，Φ(r′,ω)为检波点处的地震波场，ω为频率，x,z分别表示x和z轴方向上坐标，*表示复值共轭；

点r′处的震源产生的地震波场在点r处高频近似解为：

式中，u_GB(r,r′,p′；ω)为震源点r′处激发的高斯束，矢量p′表示射线的方向，p′_x和p′_z分别表示矢量p′矢量在x轴和z轴方向上的分量；

当高斯束中心不在震源点r′而在其附近的r₀处时，需要在积分插入一个相移因子以补偿相移的影响，得到格林函数表达式为：

其中矢量p′表示射线的方向，i表示复数中的虚数单位，u_GB(r,r₀,p′；ω)为震源点附近的r₀处激发的高斯束。

3.如权利要求2所述的各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，其特征在于，为了在式(10)所示的Kirchhoff偏移叠加式中使用式(12)，需要将式(10)中的积分范围分为小的积分区域，以保证使用式(12)时，积分区域中心点r₀接近震源点r′，为了减小计算误差，引入如下所示的高斯函数：

其中，L表示束中心位置，a为束中心间隔，ω_l为高斯束的宽度，ω为频率。

4.如权利要求1所述的各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，其特征在于，各向异性介质中，为了保证射线充分覆盖，采样率如下所示：

其中，(Δpx)_iso为射线参数采样间隔，v_0min为地表z＝0处的最小垂直速度，v_min(p_max)和v_min(p_min)分别为最小垂直速度处最大射线参数p_max和最小射线参数p_min对应的相速度，射线参数p_max和p_min可以通过步骤二中的运动学射线追踪得到。

5.如权利要求2所述的各向异性介质共炮域高斯束偏移成像方法，其特征在于，在所述步骤五中，共炮域高斯束叠前深度偏移成像公式为：

式中，L为束中心，x为地下成像点，x_s为震源位置，p^d为束中心处的射线参数，为束中心处射线参数p^d在x轴方向上的分量，D(L,x_s,p^d,ω)为高斯时窗的共炮域道集上的局部倾斜叠加，系数C为一个与束中心网格相关的常数，U(x,x_s,L,p^d,ω)为共炮域的高斯束成像算子，如下所示：

式中，p^s和p^d分别为震源和束中心处的射线参数，和分别为震源和检波点处对应的地下波场的高斯束。